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2025年辽宁省沈阳市浑南区中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系内，利用函数可以画出漂亮的图形，下列图形中，既是中心对称图形，
也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．据不完全统计，截至 年 月， 累计下载量超 亿次，周活跃用户峰
值近 万，数据 万用科学记数法表示为（ ）
A． B．
试卷第1页，共3页C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．东北四城市 年 月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ）
城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春
月份平均气温
A．沈阳 B．大连 C．哈尔滨 D．长春
6．解分式方程 时，去分母后变形为
A． B．
C． D．
7．如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点
在 轴上， 为边 上的点．若 ，则 的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．12
8．估计 的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
试卷第2页，共3页9．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直
10．《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：今有三
人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？其大意如下：有若干人要坐车，
若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各
多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．已知 ，则 ．
13．现有四张卡片依次写有“五”“一”“快”“乐”四个字（四张卡片除字不同外其它
均相同），把四张卡片背面向上洗匀后，从五随机一次抽取两张，则抽到的汉字恰好是
“快”“乐”的概率是 ．
14．如图，平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，点
为 内一点，连接 ，若 为等腰三角形且面积为 ，则点 的坐标
为 ．
试卷第3页，共3页15．如图，在 中， ，在 上取点 ，使得 ，
连接 ；以点 为圆心作弧交 于点 ，分别以 为圆心，大于 的长为
半径，在点 的异侧作弧交于点 ，射线 交 于点 ，连接 ，则 的长为
．
三、解答题
16．（1）计算： ；
（2）解不等式组：
17．现有一根弹簧，在弹性限度内，弹簧的长度 是所受拉力 的一次函数．当弹
簧所受拉力为 时，弹簧长 ；所受拉力为 时，弹簧长 ．
(1)求弹簧在不受力时的自然长度；
(2)若弹簧最大长度不超过 ，则弹簧所受的最大拉力为多少牛？
18．为增强学生国家安全意识，学校开展了国家安全知识竞赛．现分别从该校七、八年级
学生中各随机调查了100名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分
用 （分）表示，80分及以上为优秀，共分成五组（ 组： ； 组：
； 组： ； 组： ； 组： ）将数据进行分析，得到如
下统计图，如图1，2．设七年级抽取学生中成绩在B组的人数为 ，八年级抽取学生中成
绩在A组的人数所占的百分比为 ．请你根据以上信息，回答下列问题：
试卷第4页，共3页(1)求 和 的值；
(2)已知七年级B组学生竞赛成绩从高到低排列，排在最后的10个数据分别是82，82，
81，81，81，81，80，80，80，80，求七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数；
(3)已知七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生
一共有多少名？
19．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公
司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公
司每月新能源汽车销量的增长率相同．
(1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率；
(2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理
300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能
源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？
20．在公园，巨型雕塑 垂直耸立在观赏台 上， 平行于水平地面 ．小李在
处测得雕塑顶端的仰角为 ，为了仔细观察，他先从点 沿水平方向向左行走 米到达
点 ，再经过一段坡度（或坡比）为 ，坡长为 米的斜坡 到达点 ，再沿水平
方向向左行走 米到达雕塑底部 处．
(1)求观赏台 距离地面的高度；
(2)求巨型雕塑的高度（精确到1米）．
（参考数据： ）
21．已知：如图， 内接于 ，点 为 上一点，连接 ，其中 经过圆心
试卷第5页，共3页的延长线交射线 于点 ，若 ．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ，求 的长．
22．已知：如图1， ，点 为射线 上一点，连接 ，将 沿
翻折得到 ，作 的角平分线 ，过点 作 ，交 于点 ，直线
交 于点 ．
(1)如图2，当点 与 重合时，求四边形 的面积；
(2)求证： ；
(3)如图3，点 在线段 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，点 旋
转至点 ，连接 ，交 于点 ．
①求 的长；
②请直接写出 的长．
23．与二次函数 的二次项系数相同的二次函数统称为“ 系二次函数”．由初中阶
段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“ 系二次函
数”的图象与 的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“ 系二次
函数”可以看作是由二次函数 的图象沿 轴和 轴作平移变换得到的．如“1系二
试卷第6页，共3页次函数” 是由 沿 轴向下平移2个单位距离后得到的．
(1)如图1，已知“ 系二次函数” 是由 的图象沿 轴向上平移一段距离
后得到，其中点 平移后的对应点为 ，连接 ， ，
得到四边形 ，若四边形 的面积为18，求 的值；
(2)如图2，已知 为 上的点， 为等腰直角三角形， ，
将 作平移变换后得到“ 系二次函数” （ 为大于零的常
数），该函数与 轴交于点 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，其中点
平移后的对应点分别为 ，直线 与 轴交于点 ．
①求点 的纵坐标；
②若 ，求 的值；
③在②的条件下且 时，连接 ．点 分别从点 以每秒1个单位长度的
速度沿 轴同时出发相向而行，当点 到达原点时， 两点停止运动，过点 的直线
轴，交直线 于点 ，求 的面积 与点 的运动时间 （秒）的函数关系式，
并求出 的最大值．
试卷第7页，共3页《2025 年辽宁省沈阳市浑南区中考二模数学试卷》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A C D D D C B B A
11. 12. 13. 14. 或 15.
选择题、填空题解法提示
7．C
如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
13．
解：列表如下：
答案第1页，共2页五 一 快 乐
五 一，五 快，五 乐，五
一 五，一 快，一 乐，一
快 五，快 一，快 乐，快
乐 五，乐 一，乐 快，乐
由表可知，共有12种等可能结果，其五抽到的汉字恰好是“快”、“乐”的有2种结果，
所以抽到的汉字恰好是“快”、“乐”的概率为 = ，
故答案为： ．
14． 或
如图所示，取 ，过点C作 交线段 于D，则
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形且面积为 ，
∴ 的面积等于 ，
∴ ，
∴点Q在线段 上（不包括端点），
设 ，
∴ ， ，
当 时，则 ，解得 ，
答案第2页，共2页∴此时点Q的坐标为 ；
当 时，则 ，解得 （舍去），
当 时，则 ，解得 或 （舍去），
∴此时点Q的坐标为 ；
综上所述，点Q的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
15．
解： 四边形 是平行四边形， ，
， ，
又 ，
是等腰三角形， ，
根据三角形内角和为 ，可得 ，
由尺规作图可知 是 的平分线，
答案第3页，共2页，
∵ ，
，
则 是等边三角形，
，
，
过B作 交 延长线与 ，
，
，
在 中，
， ，
在 中，
，
∴ ，
故答案为： ．
解答题参考答案
16．解：（1）
；
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ．
答案第4页，共2页17．解：（1）设 与 的函数关系式为 （ ）．
已知当 时， ；当 时， ．
将其分别代入 中，得到方程组 ．
解得：
所以 与 的函数关系式为 ．
当 时，
答：弹簧在不受力时的自然长度为 ．
（2）由题意得：弹簧最大长度不超过 ，
即 ，
，
．
即 ．
解得 ．
答：弹簧所受的最大拉力为 牛．
18．（1）解：由题意得， ，
，
∴ ；
（2）解：∵七年级调查的人数为100人，
∴把这100人的乘积按照从高到低排列，中位数为第50和第51个数的平均数，
∵ ，
∴七年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数为 分；
（3）解： 人
∴估计两个年级竞赛成绩优秀的学生一共约有718人．
19．（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，
根据题意得 ，
答案第5页，共2页解得： （不合题意舍去）．
答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为 ；
（2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同，
∴四月份的新能源汽车销量为： ，
∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工，
，
∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；
∴
∴需要增加员工 （名），
即至少需要增加4名员工．
20．解：（1）
如图，过点 作 于点 ．
已知斜坡 的坡度（或坡比）为 ，
即 ，
设 ，
则 ．
在 中，根据勾股定理 ，
米，
，
即 ，
解得： （ 舍去）．
米，
答：观赏台 距离地面的高度为 米．
（2）
答案第6页，共2页如图，延长 交 于 ，
则 ，
， ，
四边形 为矩形，
，
由题意知 米， 米， 米，
所以 米．
在 中， ，
，
米， ，
米．
米．
答：巨型雕塑的高度约为 米．
21．（1）解：连接 ，如图：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第7页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 半径，
∴ 是 的切线；
（2）解： ∵ ，
∴ ，
，
为等边三边形， ，
，
．
22．（1）解：由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ；
（2）证明：由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
答案第8页，共2页（3）解：①由折叠的性质可得 ，
同理可证明 ，
∵ ，
∴可设 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
②如图所示，过点N作 于Q，
由折叠的性质可得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
由（3）①可得 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中 ，
∴ ，
在 中， ，
答案第9页，共2页∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
23．（1）解：∵点 是函数 的图象的点，
∴ ， ，
∴点 ，
∵ 是由 的图象沿 轴向上平移一段距离 后得到，
∴四边形 是平行四边形，且 ，
∵四边形 的面积为18，
∴ ，
解得 ；
（2）解：①设 与 轴交于点 ，
答案第10页，共2页∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ 也为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
∵ 在抛物线 上，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ，
∵将 作平移变换后得到“ 系二次函数” ，
∴将 向上平移了 个单位，
∴点 向上平移了 个单位得到点 ，
∴点 的纵坐标为 ；
②同理 ，
∵将 作平移变换后得到“ 系二次函数” ，
∴将 向上平移了 个单位，向右平移了 个单位，
∴点 向上平移了 个单位得到点 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
答案第11页，共2页代入 和 ，
得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，即点 的坐标为 ，
对于 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，
解得 或 ，
∵ 为大于零的常数，
∴ 的值为 或 ；
③∵在②的条件下且 时，
答案第12页，共2页∴ ，
∴平移变换后得到“ 系二次函数”为 ，点 的坐标为 ，
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由题意， ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵当点 到达原点时， 两点停止运动，
答案第13页，共2页∴ ，
∴当 时， 有最大值 ．
答案第14页，共2页
