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2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．
本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个实数中最小的是
A．2 B． C． D．
2．（3分）下列倡导环保的图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）数据显示，随着访问使用量急速上升，2025年2月1日 已经成为目前最快突破
30000000日活跃用户量的应用程序．其中数据30000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算，正确的是
A． B． C． D．
5．（3分）如图，将直尺与含 角的直角三角板叠放在一起，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
6．（3分）中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要 年）》，其中明确提出了中小
第1页（共20页）学生每天综合体育活动时间不低于 2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在
一周内的综合体育活动时间统计如下表：
时间 12 13 14 15 16
人数 12 20 10 5 3
则这些学生综合体育活动时间的众数和中位数分别是
A．13，13 B．12，14 C．13，15 D．13，14
7．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）下列函数的图象经过第一、二、四象限的是
A． B． C． D．
9．（3分）如图，△ 内接于 ， 为 的直径， ，垂足为 ，交 于另一点 ，
为 上一点，且 ，若 ，则 的半径为
第2页（共20页）A． B．4 C． D．
10．（3分）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的
挑战任务．比赛规则如下：
①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的
挑战完成时间为准（例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分
钟）；
②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点（返程也需完成对应的挑战任务，
耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟）；
③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返；
④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束．
某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，则该组
队员完成比赛所需的最短时间为
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式： ．
12．（3分）十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购
买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，
小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全
相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是 ．
13．（3分）如图，将一个正多边形纸片剪去一个完整的角，测量剪下来的纸片 ，则这个正多边
形的边数为 ．
第3页（共20页）14．（3分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的值可以是 ．
15．（3分）如图，在 △ 中， ， ， ，以 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 ， 于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ．
作射线 交 于点 ，则△ 的面积是 ．
16．（3分）已知当物体的质量一定时，体积与密度是反比例函数关系，如图是一个可以通过活塞改变气
体体积（单位： 的密闭容器，容器内装有一定质量的氢气，向下推动活塞，当活塞下压到刻度 时，
该气体的密度为 ，则当活塞下压到刻度 时，该气体的密度为 （整个过程温度保
持不变）．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题
每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算： ．
18．（6分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
19．（6分）如图①，沩山千手观音像位于长沙市宁乡市沩山之巅，是中国传统文化与自然景观完美融合
的杰作．某数学兴趣小组把测量“沩山千手观音像高度”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用
第4页（共20页）课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量沩山千手观音像高度
测量示意 如图②，千手观音像 垂
图及方案
直于地面，在地面 ， 两
处分别测得 和
的度数 ， ，
在同一直线上，所有点均在
同一平面内）
测量数据 的长度为
请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求为山千手观音像 的高度．（结果保留整数，参考数
据： ， ，
20．（8分）随着教育改革的不断深入，新课标中强调了学生在阅读过程中的主体地位，鼓励学生自主选
择阅读材料、自主安排阅读时间，并在阅读中积极思考、主动探究．同时，学校和家庭也应为学生提供
良好的阅读环境和条件，共同促进学生课外阅读习惯的养成和阅读能力的提升．某校为了解本校学生每
天课外阅读所用的时间情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不
完整的频数分布表和频数分布直方图．
某校部分学生每天课外阅读时间频数分布直方图
等级 每天课外阅读时间 频率
0.4
0.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生4800名，试估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数．
第5页（共20页）21．（8分）如图，在△ 和△ 中，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
22．（8分）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农
药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农
户的欢迎．某公司目前有 ， 两款无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架 款无人机和2架
款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架 款无人机和3架 款无人机每小时可为440亩土地
进行农药喷洒．
（1）求 ， 两款无人机每小时各可为多少亩土地进行农药喷洒？
（2）当地高标准农田建设项目总占地面积为1500亩，计划使用 ， 两款无人机共18架同时进行农药
喷洒服务1小时，为了在1小时内将这些土地全部喷洒上农药，那么最少使用多少架 款无人机？
23．（10分）如图，在四边形 中，点 与点 关于直线 对称，连接 交 于点 ， 为
上一点， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若 ， ， ，求 的度数及 的长．
第6页（共20页）24．（10分）如图， 为 的直径，过点 作 的切线 ， 是 上一点（点 与点 不重
合），且 ，连接 ， ， ， 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求切线 的长；
（3）记△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若满足 ，
试证明： ；
（4）设 ，求 关于 的函数解析式．
25．（10 分）定义：对于关于 的二次函数 与 ，若满足
且 ，则称 是 的“协同函数”．
（1）已知二次函数 与 ，其中 是 的“协同函数”，求 ， 的值；
（2）已知二次函数 ，对于任意的实数 ，当 时和 时的函数值相
等，且满足不等式 ．二次函数 是 的“协同函数”，当 时， 的最小值为
，判断二次函数 的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明
第7页（共20页）理由．
（3）若开口向上的二次函数 的对称轴在 轴左侧，且满足 ，它的“协同函
数” 的图象与 轴交于 ， 两点 在 左侧），与 轴交于点 ，当△ 是直角三角形时，求
出△ 外接圆面积 的取值范围．
第8页（共20页）2025年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B C A D D B A
11. 12. 13.12 14.0（答案不唯一） 15.30 15.1.08
选择题、填空题解法提示
9．解：连接 ，
，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
10．解：由题意可得：要使得该组队员完成比赛所需的最短时间，
让最快的两个人（甲和乙）多次往返，以减少返程时间，
第一次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时： 分钟．
第9页（共20页）第一次返程：甲（1）返回．总时间： 分钟，
第二次出发：丙（3）和丁（5）一起出发．耗时： 分钟．
总时间： 分钟，
第二次返程：乙（2）返回．耗时：2分钟．
总时间： 分钟，
第三次出发：甲（1）和乙（2）一起出发．耗时： 分钟．
总时间： 分钟，
总计： 分钟．
故选： ．
解答题参考答案
17．解：
．
18．解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
19．解：设 米，
，
米，
，
米，
米，
，
第10页（共20页）即 ，
，
米，
答：观音像的高度 约为99米．
20．解：（1）由频数与频率可得总人数为： ，
，
故答案为：0.2，0.1；
（2）总人数乘以0.4得出第3组频数为： ，
总人数乘以0.1得出第4组频数为： ，
补全图形如下：
（3）估计该校学生每天课外阅读时间超过1小时的人数为： （人 ．
21．（1）证明： ，
，即 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
；
（2）解： ，
，
．
第11页（共20页）22．解：（1）设 款无人机 亩每小时， 款无人机 亩每小时，根据题意得，
，解得 ，
即 款无人机每小时喷洒100亩， 款无人机每小时喷洒80亩，
答： 款无人机每小时喷洒100亩， 款无人机每小时喷洒80亩；
（2）设使用 架 款无人机，则使用 架 款无人机，根据题意得，
，
解得 ，
最小整数解为3，
答：最少需使用3架 款无人机．
23．（1）证明： 点 与点 关于直线 对称，
， ，
又 ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为菱形；
（2）解： ， ，
（等边对等角），
，
四边形 为菱形；
， ， ，
，
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
，
第12页（共20页）即 的长为 ．
24．（1）证明： 是 的切线，如图1，连接 ， ，
，即 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
是圆 的半径，
是 的切线；
（2）解： 为 的直径， 是 的切线，
， ，
，
设 ， ， ，则 ，
，
，则 ，
，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ， ，
又
第13页（共20页），
（负值舍去），
又 ，
解得： （舍去）或 ，
；
（3）证明：记△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，四
边形 的面积为 ，如图2，过点 作 于 ，
，
，
由 得 ，
，
，
第14页（共20页），
整理得： ，
解得： ，
，
，
到 的距离和 到 的距离相等，
，
又 ， ， 是 的切线，
， ，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
，
△ △ ，
，
，
又 ，
；
（4）解： 是 的切线，
第15页（共20页），
又 ，
，
△ △ ，
，即 ，
如图3，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
，
，
又 是切线，
，
，
又 ，
，
又 ，
△ △ ，
，
又 ，
，
由题意知： ，
，
第16页（共20页），
即 ，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
关于 的函数解析式为 ．
25．解：（1）已知 且 ，
， ， ，
，
二次函数 与 ，其中 是 的“协同函数”，
， ；
（2）二次函数 的图象总经过某定点；理由如下：
已知二次函数 ，对于任意的实数 ，当 时和 时的函数值相等，且
满足不等式 ，
对称轴为直线 ，
第17页（共20页），
，
二次函数 是 的“协同函数”，
，即 ，
，
开口向下，可得对称轴为直线 ，
，
，
，
，
，
，
当 时， 的最小值为 ，
当 时， 取最小值，
故 ，
化简得： ，
的解析式为 ，
当 时，得： ，
解得： 或 ，
二次函数 的图象总经过某定点；经过定点 和 ；
（3） ， ， ，
第18页（共20页）二次函数 的“协同函数”为 ，
设 ， ， ， ，
当 时，
则 ，
△ 为直角三角形，且 ，且抛物线开口向上，
，点 在 轴负半轴，点 在 轴正半轴，
如图：
此时只能 ，
，
，
△ △ ，
，
，
，
，
，
，
第19页（共20页），
开口向上的二次函数 的对称轴在 轴左侧，
，
，
．
第20页（共20页）
