文档内容
课时教学设计
课题 数学广角：重叠问题 课型：新授课 课时：一课时
授课时间 年 月 日 第 周 第 节
1.教材分析：
本课内容选自人教版小学数学三年级下册第九单元“数学广角——集合”，主要引导学生通过解决生活中常见
的“重复”现象，初步理解集合思想，认识维恩图的结构与意义。教材以学生熟悉的获奖名单为情境，引出人
数统计中的重复问题，帮助学生从具体到抽象地建立集合模型，掌握解决重叠问题的基本方法，为后续学习更
复杂的分类与逻辑推理打下基础。
2.学情分析：
三年级学生已具备一定的观察、分析和归纳能力，能够进行简单的数据整理与计算。但在面对“重复计数”的
实际问题时，容易忽略交叉部分的存在，导致直接相加得出错误结果。学生对图形化表达方式较为感兴趣，但
尚未系统接触过集合概念和维恩图。因此，教学中应借助贴近生活的情境和直观图示，引导学生发现矛盾、提
出问题，并通过动手画图、讨论交流等方式逐步构建集合思维，提升逻辑表达能力。
3.核心素养目标：
①情境与问题：创设“科技节获奖名单”“猜字谜”等真实生活情境，引导学生在具体问题中识别“重复参
与”的现象，激发探究欲望，发展从现实情境中抽象出数学问题的能力，体会数学与生活的紧密联系；
②知识与技能：经历解决问题的全过程，了解简单的集合知识，能正确使用维恩图表示两个集合之间的关系，
掌握“总数=各部分之和－重复部分”的计算方法，并能运用该策略解决类似的实际问题；
③思维与表达：通过画图分析、列式解答等活动，培养学生有序思考、逻辑推理的能力，学会用数学语言清晰
表达解题思路，提升借助图形工具进行数学表征和问题解决的意识；
④交流与反思：在小组合作与全班交流中，乐于倾听他人观点，敢于表达自己的想法，养成勤于思考、善于总
结的良好学习习惯，在不断反思中优化解题策略，增强数学学习的兴趣与信心。
4.学习重点难点：
重点：经历解决问题的过程，了解简单的集合知识，初步感受集合的意义。
难点：学会借助维恩图，运用集合思想解决较简单的实际问题。
5.教学准备：课件
6.学习活动设计：
教学环节一：学习目标
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示本节课的学习目标，逐条朗读并简 1. 认真聆听教师宣读学习目标。 让学生清楚知道
要解释关键词含义。 2. 明确本节课将要学习的内容与 本节课的学习方
2. 强调“重叠问题”是生活中常见的数学 要求。 向和预期达成的
现象，鼓励学生带着目标进入学习状态。 目标，增强学习
的目的性和主动
性。
教学环节二：情境导入
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 播放脑筋急转弯：“两位妈妈和两个女 1. 思考问题，尝试理解其中的逻 通过趣味性问题
儿一同去看电影（每人都得买一张票），可 辑关系。 引发认知冲突，
是她们只买了3张票，便顺利地进了电影 2. 预设：奶奶、妈妈、女儿三 激发学生兴趣，
院。这是为什么？” 人，妈妈既是女儿又是母亲，所 初步感知“一人
2. 提问启发：这三人之间是什么关系？你 以只有三人。 双重身份”即
能说清楚吗？ 3. 尝试在练习本上画出三人关系 “重叠”现象的
3. 鼓励学生尝试用画图的方式表示人物关 图。 存在，为引入集
系。 合思想做铺垫。
1. 追问：“除了文字说明，还有什么方法 1. 回忆以往学习中是否见过类似 引导学生从具体
可以更清楚地表示这种关系？” 的图。 情境中提炼数学
2. 引导学生认识到图示法的直观优势。 2. 预设：可以用圈圈画画的方式 问题，体会图示
3. 揭示课题：“今天我们就来学习如何用 来表示谁属于哪一类。 表达的优势，自
图形解决这类‘重叠’问题。” 3. 倾听教师讲解，明确本节课主 然过渡到新知学题。 习。
教学环节三：新知讲解
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 展示教材P102例题情境：某校科技节中 1. 观察表格信息，分别数出两类 引导学生回顾已
三（1）班、三（2）班航空模型、机器人作 获奖人数。 有统计经验，建
品获奖学生名单。 2. 预设：航空模型6人，机器人 立初步的数量感
2. 提问：“三（1）班航空模型获奖的有几 6人，共12人。 知，为后续对比
人？机器人作品获奖的有几人？一共多少 3. 独立完成填空。 埋下伏笔。
人？”
3. 组织学生独立填写答案。
1. 继续提问：“三（2）班航空模型获奖的 1. 数出每类获奖人数。 制造认知冲突，
有几人？机器人作品获奖的有几人？一共多 2. 发现杨明、罗阳重复出现。 促使学生意识到
少人？” 3. 预设：不能直接相加，因为有 “重复”会导致
2. 引导学生核对名单，发现杨明、罗阳两 两个人重复了，会多算一次。 计数错误，激发
人同时出现在两个项目中。 寻找新方法的需
3. 设疑：“还能用‘6+6=12’计算总人数 求。
吗？为什么？”
1. 提出任务：“你有什么办法能清楚地表 1. 动手尝试画图表示两类获奖情 鼓励学生自主探
示三（2）班获奖学生的情况？” 况。 究，经历“从无
2. 鼓励学生尝试画图表达，提示可用不同 2. 使用线条、方框、圆圈等方式 到有”的图示建
颜色或区域区分。 尝试分类。 构过程，发展创
3. 巡视指导，收集典型作品准备展示。 3. 部分学生开始尝试将重复的人 新思维和动手实
放在中间位置。 践能力。
1. 展示学生作品，重点呈现接近维恩图的 1. 观察同学的作品，比较异同。 通过对比优化，
画法。 2. 跟随教师演示，在课本或练习 引出规范的维恩
2. 引入标准维恩图：用两个相交的圆圈分 本上同步绘制维恩图。 图表示法，帮助
别表示“航空模型获奖”和“机器人作品获 3. 理解三个区域的含义：只参加 学生建立正确的
奖”。 一项、两项都参加。 集合图示模型，
3. 动态演示绘制过程：左边圆圈写只参加 理解其结构与意
航空模型的学生，右边圆圈写只参加机器人 义。
的学生，中间重叠部分写两项都获奖的学
生。
1. 提问：“现在你能列出算式求出三（2） 1. 观察维恩图，尝试列式计算。 引导学生由形入
班获奖总人数吗？” 2. 预设：6 + 6 – 2 = 10 数，实现从图形
2. 引导学生根据维恩图写出算式：6 + 6 （人）。 表达到数量运算
– 2 = 10（人）。 3. 口述算式含义：减去重复的2 的转化，掌握解
3. 解释每一步的意义：6 是航空模型人 人，避免多算。 决重叠问题的核
数，6是机器人人数，减去2是因为两人被 心算法。
重复计算了一次。
1. 追问：“为什么三（2）班不能直接相 1. 思考生活中的类似现象。 联系生活实际，
加？生活中还有类似的例子吗？” 2. 预设：班级里有同学既参加了 拓展应用视野，
2. 举例引导：如有人同时参加美术班和舞 跳绳比赛又参加了踢毽子比赛。 帮助学生理解集
蹈班；既喜欢语文又喜欢数学的同学等。 3. 预设：我爸爸既是老师又是篮 合思想的广泛适
3. 归纳总结：当存在“既……又……”的 球爱好者。 用性，强化数学
情况时，就会出现重复，需减去重叠部分。 4. 加深对“重叠”普遍性的认 建模意识。
识。
1. 介绍维恩图的历史背景：由英国数学家 1. 聆听教师讲解，了解维恩图的 丰富数学文化内
约翰·维恩发明，用于研究集合问题，也称 来源。 涵，提升学习兴
文氏图。 2. 在笔记本上记录两种数量关系 趣；系统梳理核
2. 强调维恩图的作用：能清晰表示集合间 式。 心知识点，帮助
的包含、相交关系，是解决重叠问题的重要 3. 理解公式中每一项的实际意 学生形成完整的
工具。 义。 知识体系。
3. 板书关键数量关系：
只参加A的人数 + 只参加B的人数 + A、B
都参加的人 = 总人数
参加A的人数 + 参加B的人数 – A、B都
参加的人 = 总人数
1. 总结解决重叠问题的策略： 1. 跟随教师总结三种解法。 帮助学生提炼通
方法一：两部分之和减去重叠部分； 2. 理解不同方法的本质一致性。 用解题方法，形
方法二：先用其中一部分减去重叠部分，再 3. 记录解题一般步骤，内化解题 成可迁移的思维
加上另一部分； 策略。 模式，提高解决方法三：用一部分（不含重叠）+ 重叠部分 同类问题的能
+ 另一部分（不含重叠）。 力。
2. 强调解题步骤：先分析条件 → 画维恩
图 → 借助图思考 → 列式解答。
教学环节四：随堂小练
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示第一题：把下面动物的序号填写在 1. 判断动物属性： 巩固维恩图的使
合适的圈里（会游泳、会飞、既会游泳又会 ①青蛙—会游泳；②企鹅—会游 用方法，训练学
飞）。 泳；③燕子—会飞；④鸭子—会 生根据属性进行
2. 引导学生判断每种动物的能力特征。 游泳；⑤海豚—会游泳；⑥天鹅 分类的能力，加
3. 示范如何将序号填入维恩图相应区域。 —既会游泳又会飞；⑦老鹰—会 深对集合交集的
飞；⑧鱼—会游泳；⑨海鸥—既 理解。
会游泳又会飞；⑩蝙蝠—会飞。
2. 预设：既会游泳又会飞的是⑥
和⑨。
3. 完成填图练习。
1. 出示第二题：荣获“语文之星”和“数 1. 观察名单，找出重复名字。 应用所学知识解
学之星”的名单。 2. 预设：既获“语文之星”又获 决新的实际问
2. 提问：（1）既荣获两项荣誉的有几人？ “数学之星”的有6人。 题，检验学生对
（2）上光荣榜的一共有几人？ 3. 列式计算：9 + 15 – 6 = 18 重叠问题解法的
3. 引导学生画维恩图辅助解答。 （人）。 掌握程度，提升
4. 完成答题。 迁移应用能力。
教学环节五：当堂检测
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 出示题目：在大于50小于70和大于60 1. 列出大于 50 小于 70 的数： 将集合思想应用
小于80的两个数集中，填写符合条件的数 51~69共19个。 于数的认识领
字。 2. 列出大于 60 小于 80 的数： 域，拓展维恩图
2. 引导学生先分别列出两个范围内的整 61~79共19个。 的应用场景，培
数。 3. 找出公共部分：61~69 共 9 养学生跨知识点
3. 提问：两个圈里都出现的数有哪些？用 个。 整合能力。
画图方式表示。 4. 绘制维恩图并填数。
1. 提问：“你还能提出其他数学问题并解 1. 尝试提出新问题。 鼓励学生主动提
答吗？” 2. 预设：大于50小于80的数有 问，培养问题意
2. 引导学生提问如：“大于50小于80的 多少个？ 识和发散性思
数有多少个？” 3. 列式解答：前段（51~59）9 维，进一步深化
3. 指导列式：10 + 10 + 9 = 29（个）或 个，中段（60）1 个，后段 对集合运算的理
直接计算79 - 50 = 29（个）。 （70~79）10 个，加上重叠段 解。
（ 61~69 ） 9 个 ？ 修 正 为 ：
51~59:9 个，60:1 个，61~69:9
个 ， 70~79:10 个 → 合 计
9+1+9+10=29个。
4. 或 简 化 为 79 - 50 = 29
（个）。
1. 出示第三题：三位好朋友猜字谜。 1. 分析第一问：小华猜对的都在 设置更具挑战性
小艺猜对15个，小华猜对7个，小路猜对 小艺范围内，说明小华是小艺的 的问题，考察学
11个。 子集。 生对包含关系与
小华猜对的7个，小艺都猜对了；小路猜对 2. 预设：小艺和小华一共猜对15 相交关系的区别
的有6个，小艺也猜对了。 个（因小华全部包含在小艺 理解，提升综合
（1）小艺和小华一共猜对几个？ 中）。 分析与灵活应用
（2）小艺和小路一共猜对几个？ 3. 分析第二问：小艺和小路有6 能力。
2. 引导学生分别画出两组维恩图进行分 个重复。
析。 4. 列式：15 + 11 – 6 = 20
（个）。
5. 完成作答。
教学环节六：课堂小结
教师活动 学生活动 设计意图 二次备课
1. 提问：“通过本节课的学习，你有什么 1. 积极举手发言分享收获。 帮助学生回顾整
收获？” 2. 预设：我知道了有些人可以同 节课的学习历
2. 引导学生从知识、方法、思想三个方面 时属于两个集体。 程，梳理知识脉
总结。 3. 预设：我学会了用两个交叉的 络，促进知识的
3. 系统梳理： 圆圈来表示重叠情况。 系统化与内化，- 学习了集合知识，认识了维恩图； 4. 预设：以后遇到重复的问题就 提升元认知能
- 掌握了重叠问题的解法：总数 = A + B – 知道要减去多算的部分。 力。
重叠；
- 学会了画图分析、有序思考的策略。
7.作业设计
基础性作业：
1. 完成练习纸上第1题：根据班级兴趣小组报名情况，画出维恩图并计算总人数。
2. 口答：教室里有8人戴眼镜，10人扎辫子，其中有3人既戴眼镜又扎辫子，一共有多少人？
提升性作业：
1. 小明读了8本故事书和5本科普书，其中有2本既是故事书又是科普书（如科学童话），他一共读了多少本
书？请画图并列式解答。
2. 某小区有12户订牛奶，15户订报纸，其中5户既订牛奶又订报纸。这个小区至少有多少户人家？
拓展性作业：
请你调查家里成员的兴趣爱好，比如有人喜欢唱歌，有人喜欢跳舞，有没有人既喜欢唱歌又喜欢跳舞？用维恩
图画出来，并写出家庭总人数的计算过程。
8.板书设计 数学广角：重叠问题
维恩图的应用
三（2）班获奖情况：航空模型：6人 机器人：6人 重复：2人 总人数 = 6 + 6 – 2 = 10（人）
数量关系：总人数 = A + B – 重叠部分 总人数 = 只A + 只B + 共同
解题策略：1. 分析条件 2. 画维恩图 3. 借图思考 4. 列式解答
9.教学反思与改进：
成功之处：本节课以“脑筋急转弯”导入，迅速吸引学生注意力，有效激发学习兴趣。通过真实获奖名单引发
认知冲突，使学生深刻体会到直接相加的不合理性，从而主动寻求解决方案。维恩图的引入循序渐进，从学生
自主画图到规范呈现，再到动态演示，帮助学生顺利完成从具象到抽象的思维跃迁。练习设计层次分明，涵盖
生活情境、数字集合、复杂关系等多种类型，充分巩固了所学知识，多数学生能准确识别重叠现象并正确列式
解答。
不足之处：部分学生在绘制维恩图时仍存在区域划分不清的问题，尤其是对“只属于某一类”的理解不够到
位。个别学生在面对“子集”关系（如小华全部包含于小艺）时仍习惯性地进行减法操作，反映出对集合关系
本质理解尚不深入。课堂时间安排略显紧张，最后的拓展性问题未能充分展开交流，影响了高阶思维的深度发
展。
改进措施：在下次教学中可增加一组对比练习，专门区分“相交”与“包含”两种集合关系，强化辨析能力。
对于绘图困难的学生，提供半成品模板辅助完成。适当压缩前面简单练习的时间，留出更多空间用于开放性问
题的讨论与展示，鼓励学生大胆质疑与表达，进一步提升课堂生成质量。同时考虑将拓展作业纳入下一节课的
分享环节，形成持续探究的学习闭环。
