文档内容
第 25 讲 分式的运算
目录
第一部分 典例剖析+针对训练....................................................................................................................................1
【模块一】分式的运算......................................................................................................................................1
题型一 分式的运算....................................................................................................................................1
题型二 分式的化简与求值........................................................................................................................4
题型三 分式的条件求值............................................................................................................................8
【模块二】分式的拆分....................................................................................................................................10
题型一 分式的拆分..................................................................................................................................10
题型二 分离常数......................................................................................................................................11
第二部分 专题提优训练............................................................................................................................................15
第一部分 典例剖析+针对训练
【模块一】分式的运算
题型一 分式的运算
典例1（2022秋•绿园区校级月考）计算：
（1）2ax2y；
3ax y2
2y y
（2） − ；
x+1 x+1
a b
（3） + ．
a−b b−a
思路点拨：（1）根据分式的基本性质进行约分．
（2）根据分式的减法法则，分母相同的分式相减，分母不变，分子相减．
（3）根据分式的减法法则，分母不同的分式相加，先通分，再相加．解：（1）2ax2y 2x；
=
3ax y2 3 y
2y y y
（2） − = ；
x+1 x+1 x+1
a b
（3） +
a−b b−a
a b
= −
a−b a−b
a−b
=
a−b
＝1．
总结升华：本题主要考查分式的加减法、分式的约分，熟练掌握分式的加减运算法则、分式的基本性质
是解决本题的关键．
典例2（2022秋•环翠区校级月考）分式计算：
5 5a
（1）3x2y⋅ ÷(− )；
12ab2 4b
（2） a2b c2 bc ；
(− ) 3 ⋅(− ) 2÷(− ) 4
c a2 a
（3）a+3 a2+3a ；
÷
1−a a2−2a+1
a2−b2
（4）(ab−b2 )÷ ．
a+b
思路点拨：（1）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（3）先把除法转化为乘法，进行计算即可解答；
（4）先把除法转化为乘法，进行计算即可解答．
5 5a
解：（1）3x2y⋅ ÷(− )
12ab2 4b
15x2y•（ 4b）
= −
12ab2 5ax2y；
=−
a2b
（2） a2b c2 bc ；
(− ) 3 ⋅(− ) 2÷(− ) 4
c a2 a
a6b3•c4 b4c4
=− ÷
c3 a4 a4
a6b3•c4• a4
=−
c3 a4 b4c4
a6 ；
=−
c3b
（3）a+3 a2+3a
÷
1−a a2−2a+1
a+3•(a−1) 2
=
1−a a(a+3)
1−a
= ；
a
a2−b2
（4）(ab−b2 )÷
a+b
a+b
＝b（a﹣b）•
(a+b)(a−b)
＝b．
总结升华：本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
典例3 计算：
(b3
)
−2
a2
(1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) a-2b2·(a2b-2)-3
1
解：(1)
a-2÷a5=a-2-5=a-7=a7
(b3
)
−2 b−6 a4
=
=a4b−6
=
a2 a−4 a6
(2)b6
(3)
(a-1b2)3=a-3b6=a3
b8
(4)
a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=a8
针对训练
1．（2022秋•东营区校级月考）计算：
b2c ac c
（1） × ÷(− ) 2；
a b a
x2−4 1
（2） • ÷（x﹣2）；
x+2 x−2
x❑−5 x 1+x
（3） − − ；
x−2 x−2 2−x
2x 1
（4）( − )(x−y) 2 ．
x2−y2 x+ y
思路点拨：（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（3）原式第三项利用分式性质变形，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（4）原式先对第一项的分母分解因式，利用乘法分配律，约分后再运用同分母的分式加减运算即可得
到结果．
解：（1）原式 b2c ac c2
= × ÷
a b a2
b2c ac a2
= × ×
a b c2
＝a2b；
(x+2)(x−2) 1 1
（2）原式= • •
x+2 x−2 x−2
1
= ；
x−2
x−5 x x+1
（3）原式= − +
x−2 x−2 x−2
x−5−x+x+1
=
x−2
x−4
= ；
x−22x 1
（4）原式＝[ − ]（x﹣y）2
(x+ y)(x−y) x+ y
2x(x−y) 2 (x−y) 2
= −
(x+ y)(x−y) x+ y
2x(x−y) (x−y) 2
= −
x+ y x+ y
(x−y)(x+ y)
=
x+ y
＝x﹣y．
总结升华：此题考查了分式的混合运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.计算：
(1) x2y-3(x-1y)3 (2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
1
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3=x-1y0=x
1 1 a4c6
(2)原式=(4 a-2b-4c6)÷(a-6b3)=4 a4b-7c6= 4b7
题型二 分式的化简与求值
典例4 （2021秋•萨尔图区校级期末）先化简，再求值： y2 x ，其中x＝2，y＝﹣4．
+
x2−xy y−x
思路点拨：根据分式的加减混合运算法则、分式的约分法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
y2 x2
解：原式= −
x(x−y) x(x−y)
(y−x)(y+x)
=
x(x−y)
x+ y
=− ，
x
2−4
当x＝2，y＝﹣4时，原式=− =1．
2
总结升华：本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
典例5（2021秋•武隆区校级期末）先化简，再求值： 1 x2−4x+4 3 ，其中x是不等
− ÷(x+1− )
x+2 x2−x x−1{ x−1＞0
式组 的整数解．
2(x−1)≤x+1
思路点拨：根据分式的混合运算法则把原式化简，解一元一次不等式组求出x的范围，根据题意确定x
的值，代入计算即可．
解：原式 1 (x−2) 2 （x2−1 3 ）
= − ÷ −
x+2 x(x−1) x−1 x−1
1 (x−2) 2 • x−1
= −
x+2 x(x−1) (x+2)(x−2)
1 x−2
= −
x+2 x(x+2)
x x−2
= −
x(x+2) x(x+2)
2
= ，
x(x+2)
{ x−1＞0
解不等式组 ，得1＜x≤3，
2(x−1)≤x+1
其中整数有2和3，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
2 2
当x＝3时，原式= = ．
3×(3+2) 15
总结升华：本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则是解题
的关键．
针对训练
1．（2021秋•巩义市期末）请你阅读下面小王同学的解题过程，思考并完成任务：
3x x x2−1
先化简，再求值：（ − ）• ，其中x＝﹣3．
x−1 x+1 2x
3x(x+1) x(x−1) (x−1)(x+1)
解：原式＝[ − ]• ⋯⋯第一步
(x−1)(x+1) (x−1)(x+1) 2x
3x2+3x−x2+x (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第二步
(x−1)(x+1) 2x
2x2+4x (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第三步
(x−1)(x+1) 2x2x(x+2) (x−1)(x+1)
= • ⋯⋯第四步
(x−1)(x+1) 2x
＝x+2……第五步
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
任务一：以上解题过程中，第 步是约分，其变形依据是 ；
任务二：请你用与小明同学不同的方法，完成化简求值；
任务三：根据平时的学习经验，就分式化简时需要注意的事项给同学们提一条建议．
思路点拨：任务一：根据分式的基本性质判断即可；
任务二：根据乘法分配律、分式的约分法则计算；
任务三：根据学生在计算时容易出现的问题解答．
解：任务一：第五步是约分，其变形依据是分式的基本性质，
故答案为：五，分式的基本性质；
3x (x+1)(x−1) x (x+1)(x−1)
任务二：原式= • − •
x−1 2x x+1 2x
3x+3 x−1
= −
2 2
2x+4
=
2
＝x+2，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
任务三：去括号时，要注意符号是否需要改变（答案不唯一）．
总结升华：本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
1 m2−6m+9
2．（2022秋•开福区校级月考）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中1＜m＜5，从中选取
m−2 m−2
一个整数值，代入求值．
思路点拨：根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出m的值，最后代入原式即可求出
答案．
m−2−1 m−2
解：原式= •
m−2 (m−3) 2
m−3 m−2
= •
m−2 (m−3) 2
1
= ，
m−3
由分式有意义的条件可知：m不能取2和3，故m＝4，
1
原式= =1．
4−3
总结升华：本题考查分式的化简，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题
属于基础题型．
3．（2021秋•潍坊期末）先化简，再求值： 4mn m2+4mn+4n2，其中m+n＞0，|m|＝2，|n|＝
( +m)÷
m−2n 4n3−m2n
1．
思路点拨：根据分式的混合运算法则把原式化简，根据题意确定m、n的值，根据分式有意义的条件得
出不能求值．
解：原式＝（ 4mn
m2−2mn）•n(2n+m)(2n−m)
+
m−2n m−2n (m+2n) 2
m2+2mn n(2n−m)
= •
m−2n m+2n
m(m+2n) n(2n−m)
= •
m−2n m+2n
＝﹣mn，
∵m+n＞0，|m|＝2，|n|＝1，
∴m＝2，n＝1或﹣1，
当m＝2，n＝1或﹣1时，m﹣2n＝0，m+2n＝0，
则原式无意义，
∴不能求值．
总结升华：本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、绝对值的性质，掌握分式的混合运算法
则是解题的关键．
4．（2021秋•西宁期末）先化简，再求值： m2−1 m−1，选一个合适的数作为m的值代入求
m− ÷
m2+2m+1 m
值．
思路点拨：利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式的定义及有意义的条件选取合适的数代
入运算即可．解： m2−1 m−1
m− ÷
m2+2m+1 m
原 (m+1)(m−1) m
=m− ⋅
(m+1) 2 m−1
m
=m−
m+1
m2
= ，
m+1
∵m2+2m+1≠0，m﹣1≠0，m≠0，
∴m≠±1，m≠0，
∴当m＝2时，
22 4
原式= = （答案不惟一）．
2+1 3
总结升华：本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
题型三 分式的条件求值
1
典例6（2022春•黔江区校级期中）（1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+ 的值．
a2
2016
（2）已知a为实数，且a2﹣2016a+1＝0，求a2﹣2015a+ 的值．
a2+1
1
思路点拨：（1）由已知等式得出a+ =3，再两边平方即可；
a
1
（2）由已知等式得出a2+1＝2016a，a2＝2016a﹣1，a+ =2016，继而代入计算即可．
a
解：（1）∵a2﹣3a+1＝0，
1
∴a﹣3+ =0，
a
1
则a+ =3，
a
1
∴（a+ ）2＝9，
a1
∴a2+2+ =9，
a2
1
∴a2+ =7；
a2
（2）∵a2﹣2016a+1＝0，
1
∴a2+1＝2016a，a2＝2016a﹣1，a﹣2016+ =0，
a
1
∴a+ =2016，
a
2016
则原式＝2016a﹣1﹣2015a+
2016a
1
＝a﹣1+
a
＝2016﹣1
＝2015．
总结升华：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
针对训练
1 1 2 x y
1．（2022春•南阳期末）已知x＞0，y＞0且− + = ，则 + 的值为（ ）
x y x−y y x
1 1 1
A． B． C． 或1 D．4
4 2 4
思路点拨：对已知条件进行整理得2xy＝（x﹣y）2，再对所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
1 1 2
解：∵x＞0，y＞0且− + = ，
x y x−y
−y+x 2
∴ = ，
xy x−y
则2xy＝（x﹣y）2，
x y
∴ +
y x
x2+ y2
=
xy
(x−y) 2+2xy
=
xy
2xy+2xy
=
xy＝4．
故选：D．
总结升华：本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2 2
2．（2022春•封丘县期末）若x+y＝3，xy＝﹣3，则 + 的值是（ ）
x y
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
思路点拨：将所求式子变形，再整体代入即可得到答案．
解：∵x+y＝3，xy＝﹣3，
2 2
∴ +
x y
2(x+ y)
=
xy
2×3
=
−3
＝﹣2，
故选：C．
总结升华：本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和整体思想的应用．
【模块二】分式的拆分
题型一 分式的拆分
典例7（2022春•驿城区校级期末）请仿照例子解题：
M N 1−3x
+ = 恒成立，求M、N的值．
x+1 x−1 x2−1
M N 1−3x
解：∵ + = ，
x+1 x−1 x2−1
M(x−1)+N(x+1) 1−3x Mx−M+Nx+N 1−3x
∴ = ，则 = ，
(x+1)(x−1) x2−1 (x+1)(x−1) x2−1
(M+N)x−M+N −3x+1 {M+N=−3
即 = ，故 ，
(x+1)(x−1) x2−1 −M+N=1
{M=−2 M N x−8
解得： ，请你按照上面的方法解题：若 + = 恒成立，求M、N的值．
N=−1 x+2 x−2 x2−4思路点拨：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据分式相等的条件列出方程组，求
出方程组的解即可得到M与N的值．
M(x−2)+N(x+2) x−8
解：已知等式整理得： = ，
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
∴M（x﹣2）+N（x+2）＝x﹣8，
整理得：（M+N）x﹣2M+2N＝x﹣8，
{ M+N=1 {M+N=1①
∴ ，即 ，
−2M+2N=−8 M−N=4②
①+②得：2M＝5，
5
解得：M= ，
2
①﹣②得：2N＝﹣3，
3
解得：N=− ，
2
5
{ M=
∴ 2 ．
3
N=−
2
总结升华：此题考查了分式的加减法，以及解二元一次方程组，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
针对训练
M N 1−5x
1．若 + = 恒成立，求M、N的值．
x+1 x−1 x2−1
M N (M+N)x+(N−M)
思路点拨：将 + 通分可得到 ；然后根据对应项相等得到关于M和N的
x+1 x−1 x2−1
方程组，由此即可解答本题．
M N
解： +
x+1 x−1
M(x−1) N(x+1)
= +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
(M+N)x+(N−M)
=
x2−1
1−5x
= ，
x2−1
∴M+N＝﹣5，N﹣M＝1，∴M＝﹣3，N＝﹣2．
总结升华：本题考查了分式的加减法和解二元一次方程组，解题的关键是利用等式的性质，对应项相等．
3x2−7x+2 A B
2．（丰台区校级期中）已知： =3+ + 恒成立，其中A，B为常数，求4A﹣2B的
(x−1)(x+1) x−1 x+1
值．
思路点拨：已知等式右边利用同分母分式的加法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，即可
确定出4A﹣2B的值．
3x2−7x+2 3(x+1)(x−1)+A(x+1)+B(x−1)
解： = ，
(x−1)(x+1) (x+1)(x−1)
可得3x2﹣7x+2＝3x2+（A+B）x+A﹣B﹣3，
{A+B=−7
∴ ，
A−B=5
解得：A＝﹣1，B＝﹣6，
则4A﹣2B＝﹣4+12＝8．
总结升华：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型二 分离常数
典例8（2022•南京模拟）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数
高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一
个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，
此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：
x2−2x+3 x(x−1)+x−2x+3 −(x−1)+2 2
= =x+ =x−1+ ，这样，分式就拆分成一个分式
x−1 x−1 x−1 x−1
2
与一个整式x﹣1的和的形式．
x−1
根据以上阅读材料，解答下列问题．
x+6 2
（1）假分式 也可化为带分式 1+ 形式；
x+4 x+4
（2）利用分离常数法，求分式2x2+5的取值范围；
x2+15x2+9x−3
（3）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
x+2
1
5m−11+ ，则m2+n2+mn的最小值为 2 7 ．
n−6
x+6
思路点拨：（1）按照阅读材料方法，把 变形即可；
x+4
3 3
（2）用分离常数法，把原式化为2+ ，由0＜ ≤3即可得答案；
x2+1 x2+1
1
（3）用分离常数法，把原式化为5x﹣1− ，根据已知用x的代数式表示m、n和m2+n2+mn，配方
x+2
即可得答案．
x+6 (x+4)+2 2
解：（1） = =1+ ，
x+4 x+4 x+4
2
故答案为：1+ ；
x+4
（2）2x2+5 2(x2+1)+3 3 ，
= =2+
x2+1 x2+1 x2+1
∵x2+1≥1，
3
∴0＜ ≤3，
x2+1
∴2 2x2+5 5；
＜ ≤
x2+1
5x2+9x−3 5x(x+2)−(x+2)−1 1
（3）∵ = =5x−1− ，
x+2 x+2 x+2
5x2+9x−3 1
而分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+ ，
x+2 n−6
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．故答案为：27．
总结升华：本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所
求分式变形．
针对训练
1．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往
往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或
整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法
在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
x2−x+3
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
x2−x+3 x(x+1)−2(x+1)+5 x(x+1) 2(x+1) 5 5
解： = = − + =x−2+ ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
x2−x+3 5
这样，分式 就拆分成一个整式x﹣2与一个分式 的和的形式．
x+1 x+1
x2+6x−3
（1）将分式 拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 x +1 3
x−1
10
+ ．
x−1
2x2+5x−20
（2）已知整数x使分式 的值为整数，则满足条件的整数x＝ 2 或 4 或﹣ 1 0 或 1 6 ．
x−3
思路点拨：（1）将分子x2+6x﹣3化为x（x﹣1）+7（x﹣1）+4，依据题意可得；
（2）将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得．
x2+6x−3 x(x−1)+7(x−1)+4 x(x−1) 7(x−1) 4 10
解：（1） = = + + =x+13+ ；
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
10
故答案为：x+13+ ；
x−1
2x2+5x−20 2x(x−3)+11(x−3)−13 13
（2） = =2x+11+ ，
x−3 x−3 x−3
2x2+5x−20
∵分式 的值为整数，
x−3
13
∴ 为整数，
x−3
∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13，解得：x＝2或4或﹣10或16，
故答案为：2或4或﹣10或16．
总结升华：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
2．（2021春•泰兴市校级期末）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子
的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整
式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分
离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
x2−2x+3 x(x−1)+x−2x+3
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如： = =x
x−1 x−1
−(x−1)+2 2 2
+ =x﹣1+ ，这样，分式就拆分成一个分式 与一个整式x﹣1的和的形式．
x−1 x−1 x−1
根据以上阅读材料，解答下列问题：
x−4
（1）如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值；
x−2
3x2+7x−2
（2）若分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：
x+2
4
3m+7+ ，则m2+n2+mn的最小值为 3 ．
n−2
（3）利用分离常数法，求分式2x2+3的取值范围．
x2+2
2
思路点拨：（1）将分式化为1− ，由分式值为整数得到x的值；
x−2
4
（2）将分式化为3x+1− ，继而得到m，n关于x的表达式，代入即可得出结论．
x+2
1 1 1 1
（3）将分式化为2− ，根据− ≥− 和 ＞0即可求解．
x2+2 x2+2 2 x2+2
x−4 x−2−2 2 x−4
解：（1）由分离常数法可得： = =1− ，若 值为整数，
x−2 x−2 x−2 x−2
2 2
即1− 为整数，亦即 为整数，
x−2 x−2
故x﹣2＝±1，±2，
即x可取0、1、3、4；3x2+7x−2 3x2+7x+2−4 (x+2)(3x+1)−4 4
（2）∵ = = =3x+1− ，
x+2 x+2 x+2 x+2
∴3m+7＝3x+1，n﹣2＝﹣x﹣2，
∴m＝x﹣2，n＝﹣x，
∴m2+n2+mn＝（x﹣2）2+x2﹣x2+2x
＝x2﹣2x+4
＝（x﹣1）2+3，
∴m2+n2+mn的最小值为3．
故答案为：3．
（3）2x2+3 2x2+4−1
=
x2+2 x2+2
1
＝2− ．
x2+2
∵x2+2≥2，
1 1
∴− ≥− ，
x2+2 2
1 3
∴2− ≥ ；
x2+2 2
1
∵ ＞0，
x2+2
1
∴2− ＜2，
x2+2
3 1
∴ ≤2− ＜2，
2 x2+2
即3 2x2+3 2．
≤ ＜
2 x2+2
总结升华：本题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，不等式，理解并能运用“分离常数法”是解题
的关键．第二部分 专题提优训练
(2a) 2 1 a b
⋅ − ÷
b a−b b 4
1． 计算：
4a2 1 a 4 4a2 4a 4a2 4a(a−b)
⋅ − ⋅ = − = −
解：原式=
b2 a−b b b b2 (a−b) b2 b2 (a−b) b2 (a−b)
4a2 −4a2 +4ab 4ab 4a
= =
=
b2 (a−b) b2 (a−b) ab−b2
总结升华：分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结
果要化为最简分式或整式.
( 5 ) 2m−4 ( x+2 x−1 ) x−4
m+2+ ⋅ − ÷
2． 计算：(1)
2−m 3−m
(2)
x2 −2x x2 −4x+4 x
(m+2)(2−m)+5 2m−4 9−m2 2(m−2)
⋅ = ⋅
解：(1)原式= 2−m 3−m 2−m 3−m
(3−m)(3+m) −2(2−m)
= ⋅ =−2(m+3)=−2m−6
2−m 3−m
[ x+2 x−1 ] x (x+2)(x−2)−(x−1)x x
− ⋅ = ⋅
x(x−2) (x−2) 2 x−4 x(x−2) 2 x−4
(2)原式=
x2 −4−x2 +x 1
= =
(x−2) 2 (x−4) (x−2) 2
( x ) 2 y x 2y2 x+1 ( 2x ) 2 ( 1 1 )
⋅ − ÷ ⋅ − −
2y 2x y2 x x x+1 x−1 x+1
3．计算：(1) (2)
x2 y x x x x2 xy3 4x2 xy3 −4x2
⋅ − ⋅ = − = − =
解：(1)原式=4y2 2x y2 2y2 8y 2y4 8y4 8y4 8y4
x+1 4x2 (x+1)−(x−1) 4x 2 4x2 −4x−2
⋅ − = − =
(2)原式= x (x+1) 2 (x+1)(x−1) x+1 (x+1)(x−1) x2 +1
( x2 −y2 x ) y2
− ÷
4．先化简，再求值：
x2 −2xy+y2 x−y x2 −xy
，其中x＝2y(xy≠0).
x2 −y2 −x(x−y) x(x−y) x2 −y2 −x2 +xy x(x−y) y(x−y) x(x−y) x
解：原式= (x−y) 2 · y2 = (x−y) 2 · y2 =(x−y) 2 · y2 = y2y
y
当x＝2y时，原式= =2.
( 1 ) x2 −x {2−x≤3¿¿¿¿
x−1+ ÷
5.先化简，再求值：
x+1 x+1
，其中x的值从不等式组 的整数解中选取.
(x2 −1 1 ) x(x−1) x2 x+1 1
+ ÷
解：原式= x+1 x+1 x+1 =x+1· x(x−1)=x−1
{2−x≤3¿¿¿¿ 5
−1≤x<
解不等式组 得 2
∴ 不等式组的整数解有-1，0，1，2
∵ 当分式有意义时，x≠±1，0
1
∴ x=2时，原式=2−1=1
1 a2
a+ =5
6．已知 a ，求a4 +a2 +1的值.
1
a+ =5
解：∵ a
( 1) 2 1
a+ =25 a2 +2+ =25
∴
a
，即
a2
1
a2 + =23
∴
a2
a4 +a2 +1 1
=a2 +1+ =23+1=24
∵
a2 a2
a2 1
=
∴ a4 +a2 +1 24
1
x4
+
7.已知x2－4x＋1＝0，求出
x4
的值
1
x−4+ =0
解：由x2－4x＋1＝0得 4
1
x+ =4
∴ x
( 1) 2 1
x+ =16 x2 +2+ =16
∴
x
，即
x2
1
x2 + =14
∴
x2
( x2 + 1 ) 2 =196 x4 +2+ 1 =196
∴
x2
，即
x41
x4 + =194
∴
x4
