专题02整式与因式分解（原卷版）_中考数学一轮复习word_原卷版

专题 02 整式与因式分解 目录 模块一：基础知识....................................................................................................................................................4 考点一：代数式................................................................................................................................................4 考点二：整式的相关概念................................................................................................................................4 考点三：整式加减运算....................................................................................................................................4 考点四：幂运算................................................................................................................................................4 考点五：整式乘法运算....................................................................................................................................4 考点六：因式分解............................................................................................................................................5 模块二：题型分类....................................................................................................................................................5 考点一：代数式的相关概念............................................................................................................................5 题型一：列代数式..................................................................5 题型二：代数式的实际意义..........................................................6 考点二：整式的相关概念................................................................................................................................8 题型一：判断单项式的系数、次数....................................................8 题型二：与单项式有关的规律题......................................................9 题型三：判断多项式的项、项数、次数...............................................11 考点三：整式的运算......................................................................................................................................12 题型一：判断同类项...............................................................12 题型二：合并同类项...............................................................13 题型三：添（去）括号.............................................................14 题型四：整式的加减...............................................................14 题型五：整式加减的应用...........................................................16 题型六：幂的基本运算.............................................................20 题型七：幂的逆向运算.............................................................24 题型八：幂的混合运算.............................................................26 题型九：整式的乘法...............................................................27 题型十：整式的除法...............................................................29 题型十一：利用乘法公式计算.......................................................30 题型十二：通过对完全平方公式变形求值.............................................31 题型十三：乘法公式的应用.........................................................36 考点四：整式化简求值..................................................................................................................................39 题型一：整式化简-直接代入法......................................................39 题型二：整式化简-间接代入法......................................................40 题型三：整式化简-整体代入法......................................................40 题型四：整式化简-赋值法..........................................................42 题型五：整式化简-隐含条件求值....................................................43 题型六：整式化简-利用“无关”求值................................................45 题型七：整式化简-配方法..........................................................46 题型八：整式化简-平方法..........................................................46 题型九：整式化简-特殊值法........................................................47 题型十：整式化简-设参法..........................................................48 题型十一：整式化简-利用根与系数关系求值..........................................49 题型十二：整式化简-消元法求值....................................................50 题型十三：整式化简-倒数法求值....................................................50考点五：因式分解..........................................................................................................................................51 题型一：判断因式分解.............................................................51 题型二：提公因式法分解因式.......................................................52 题型三：运用公式法分解因式.......................................................53 题型四：选用合适的方法因式分解...................................................54 题型五：与因式分解有关的探究题...................................................55 题型六：数式规律探究.............................................................59 题型七：数式中的新定义问题探究...................................................62专题 02 整式与因式分解 模块一：基础知识 考点一：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数 式。 考点二：整式的相关概念 1.单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式 的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3.单项式与多项式统称整式。 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 5.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并 前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 考点三：整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c； （2）a-(b+c)=a-b-c 考点四：幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 (a m ) n amn 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 = (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 ( abm ) n anbmn 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 = （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点五：整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 (ab)(ab)a2 b2 ①平方差公式： ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： ② （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连 同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点六：因式分解模块二：题型分类 考点一：代数式的相关概念 题型一：列代数式 1.2024长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开 始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336 代数式表示）2.若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）． 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336 题型二：代数式的实际意义 1.代数式-7x的意义可以是（ ）A． -7与x的和 B．-7与x的差 C．-7与x的积 D．-7与x的商 2.下列说法不正确的是( ) A．2a是2个数a的和 B．2a是2和数a的积 C．2a是单项式 D．2a是偶数 3.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两 种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读 本x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元 4.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动 规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖 列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学 的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ． 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 13723366289 1372336 16 7 4 5.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老 汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你 也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定考点二：整式的相关概念 题型一：判断单项式的系数、次数 1.单项式−5ab的系数为 ． πx y3 2.单项式− 的系数是 ． 2 3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ） A．−2x y2 B．3x2 C．2x y3 D．2x3 题型二：与单项式有关的规律题 1.按一定规律排列的单项式： ，第n个单项式是（ ）A．√n B． C． D． 2.按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A．(2n-1)xn B．(2n+1)xn C．(n-1)xn D．(n+1)xn 4 8 16 32 3.按一定规律排列的代数式：2，− ， ，− ， ，……，第n个单项式是（ ） x2 x4 x6 x8 2n 2n 2n 2n A．(−1) n B．(−1) n−1 C．(−1) n−1 D．(−1) n−1 x2n−2 x2n−2 x2n x2n−2 4.按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2， ，11a8b2，…，第8个单项式是（ ） A．17a14b2 B．17a8b4 C．15a7b14 D．152a14b2 5.一组按规律排列的单项式：−4x，7x2， ，13x4，−16x5，…，根据其中的规律，第12个单项 式是（ ） A．−31x12 B．34x12 C．37x12 D．−40x11 题型三：判断多项式的项、项数、次数 1.多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是( )A．6，3B．6，−3 C．3，−3 D．3，3 2.下列说法正确的是（ ） A．2πmn的系数是2π B．−82ab2的次数是5次 C．x y3+3x2y−4的常数项为4 D．11x2−6x+5是三次三项式 1 3.多项式ab− πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ． 3考点三：整式的运算 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全 平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别 是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差 公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 题型一：判断同类项 1.下列整式与ab2为同类项的是（ ）A．a2bB．−2ab2 C．ab D． 2.下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ） 3 A．7a2b和3ab2 B． x2y和−2x2y C．x2yz和x2y D．3x2和3 y2 7题型二：合并同类项 1.计算： ．2.计算 的结果是（ ） A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2 题型三：添（去）括号 1.关于−a−b进行的变形或运算：①−a−b=−(a+b)；②(−a−b) 2=(a+b) 2；③|−a−b|=a−b；④ (−a−b) 3=−(a−b) 3． 其中不正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2.等号左右两边一定相等的一组是（ ） A．−(a+b)=−a+b B．a3=a+a+a C．−2(a+b)=−2a−2b D．−(a−b)=−a−b 题型四：整式的加减 1.下列计算正确的是（ ） A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2 C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2 2.化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ） A．2b B．﹣2b C．4a D．-4a 3.如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式． 【例题】先去括号，再合并同类项： 2(A)−3(B) 解：原式=4x−6−9x−15= ________________ (1)二项式A为________，二项式B为________． (2)当x为何值时，A与B的值相等？ 4.已知：整式A=(2x−3)+(3x+5)． (1)化简整式A； (2)若2A+B=5x+6， ①求整式B； ②在“ ”的“□”内，填入“+，−，×，÷”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次 项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．题型五：整式加减的应用 1.若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这个多项式为 ．2.已知有2个 完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示 放置在大长方形中，小明经过推事得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一 个量即可，则要知道的那个量是（ ） A．a B．b C．m D．n 3.如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m﹣n等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示， “优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ． 5.如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）， 得到大小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？ 6.三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b． (1)用代数式表示三角形的周长； (2)当a=3，b=2时，求三角形的周长． 题型六：幂的基本运算 1.下列计算正确的是（ ）A．a4+a4=a8B．a4 ⋅a4=a16 C．(a4) 4 =a16D． 2.计算(2a2) 3 的结果是（ ） A． B． C． D．8a6 3.下列计算中，结果正确的是（ ） A．(−pq) 3=p3q3 B．x⋅x3+x2 ⋅x2=x8 C．√25=±5 D．(a2) 3 =a6 4.计算 (1 x3) 2 的结果正确的是（ ） 2 1 A．x6 B． x6 C． D． 4 5.若a≠0，下列计算正确的是（ ） A．(−a) 0=1 B．a6÷a3=a2 C．a−1=−a D． 6.下列各式计算结果为a5的是（ ） A．(a3) 2 B．a10÷a2 C． D． 7.下列各式中，计算结果等于a2的是（ ） A．a2 ⋅a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5−a0 1 1 8.若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy= ； + = ． x y 9.若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这个多项式为 ． 10.当a+b=3时，代数式2(a+2b)−(3a+5b)+5的值为 ．题型七：幂的逆向运算 1.已知3x= y，则3x+1=（ ）A．y B．1+ y C．3+ y D．3 y 2.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从 乙袋中取出(2x+2y )个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 2x+y的值等于（ ） A．128 B．64 C．32 D．16 3.若3m=4，9n=7，则3m−2n= ． 4.若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+ y之间关系是 ． 5.已知2x=8，则2x−3的值为 ． 题型八：幂的混合运算 1.化简a4 ⋅(−a) 3的结果是（ ）A．a12 B． C． D．−a7 2.计算：(x2) 3 ⋅x−3=（ ） A． B．x3 C． D．−x18 3.(a3) 2 ÷(a⋅a3)+a2= ． 题型九：整式的乘法 1.计算： （ ）A．3x4 y5 B．−3x4 y5 C．3x3y6 D．−3x3y6 2.计算：（3m﹣1）（m+5）． 3.计算题 (1)(3ab2−2ab)⋅ab (2)(x−2y)(x2−xy+4 y2)4.计算(2x﹣3)(3x+4)的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A．−7x+4 B．−7x−12 C．6x2−12 D．6x2−x−12 5.计算(x+ y)(x2−xy+ y2 )．6.已知长方形的面积为18x3y4+9x y2−27x2y2，长为9xy，则宽为( ) A．2x2y3+ y+3xy B．2x2y2−2y+3xy C．2x2y3+2y−3xy D．2x2y3+ y−3xy 7.若(x+4)(x−2)=x2+px+q，则p、q的值是（ ） A．2，−8 B．−2，−8 C．−2，8 D．2，8 题型十：整式的除法 1.若 ，则括号内应填的单项式是( )A．a B．2a C．ab D．2ab 2.计算：8x3y÷(2x) 2= ． 3.计算： ( 4x4−x3+ 2 x2) ÷(−2x2)． 3 4.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请 写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例先去括号，再合并同 类项：m（A）−6(m+1)． 解：m（A）−6(m+1)=m2+6m−6m−6= ． 题型十一：利用乘法公式计算 1.计算：(x+2y)(x−2y)−y(3−4 y)．2.计算：(2a−3) 2−(a+5)(a−5)． 3.计算 的结果为 ． 4.计算：（a+1）2﹣a2= ． 题型十二：通过对完全平方公式变形求值 1.若m+n=10，mn=5，则 的值为 ． 2.已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ． 3.若a+b=3， ，则ab等于（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 1 4.已知x+ ＝3，求下列各式的值： x 1 1 (1)（x﹣ ）2；(2)x4+ ． x x4题型13 乘法公式的几何验证 1.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：① (a+b) 2=a2+2ab+b2 ②(a−b) 2=a2−2ab+b2 ③ ④(a−b) 2=(a+b) 2−4ab 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M． (1)用含a，M的代数式表示A中能使用的面积___________； (2)若 ，a−b=5，求A比B多出的使用面积． 3.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕 “几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的 逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式， （下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd 公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 公式③：(a−b) 2=a2−2ab+b2 公式④：(a+b) 2=a2+2ab+b2 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写 出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点 重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG 与△CEG的面积之和为S ，△ABD与△AEH的面积之和为 ． 1S 1 ①若E为边AC的中点，则 的值为_______； S 2 ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理 由． 题型十三：乘法公式的应用 1.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为 11，则该菱形的边长为（ ） A．√3 B．2√3 C．√14 D．2√14 2.已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ． 3.若实数m满足(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025，则(m−2023)(2024−m)= ． 4.如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4． （1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ． 考点四：整式化简求值 题型一：整式化简-直接代入法 1.若x=1，则3x−2= ． 2.已知a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c在数轴上对应的点到原点的距离是6，求 的值． 题型二：整式化简-间接代入法 1.已知a=2+√5，b=2−√5，求代数式a2b+ab2的值． 1 2.先化简，再求值： ，其中a=−3,b= ． 3 3.先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=2021． 题型三：整式化简-整体代入法 1.若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为 ． 2.若x+ y=3，y=2，则x2y+x y2的值是 ． ( 2ab−b2 ) a−b 3.若3ab−3b2−2=0，则代数式 1− ÷ ，的值为 ． a2 a2b 4.已知x2−2x−1=0，则 的值等于 ．题型四：整式化简-赋值法 1.化简： ，若x是−1≤x≤2的整数，请选择一个合适的数求代数式的值． 2.先化简，再求值： （1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2． 2 （2）先化简（1+ ）÷ ，再从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． x−3 题型五：整式化简-隐含条件求值 1.已知单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n= ． 2.若多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn= ． 3.若√7的整数部分是a， 的小数部分是b，求ab+5b的值． 4.若|a−2022|+√b+2022=2，其中a，b均为整数，则|a+b|= ． 题型六：整式化简-利用“无关”求值 1.若(x2+mx+n)(x2−3x+1)的展开式中不含 和x3项，求：(1)m、n 的值． (2)求(m+n)(m2−mn+n2 )的值． 2.已知多项式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值与x的取值无关，求字母a的值． 3.有这样一道题：计算 1 x2− ( 3x2+3xy− 3 y2) + (8 x2+3xy+ 2 y2) 的值，其中x=− 1 ，y=2．甲同学 3 5 3 5 2 1 1 把“x=− ”错抄成了“x= ”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？ 2 2 题型七：整式化简-配方法 1.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．2.已知x2−2x+ y2+8 y+17=0，求(x+ y) 2的值．题型八：整式化简-平方法 1 1 1.已知x+ =6，则x2+ =（ ） x x2 A．38 B．36 C．34 D．32 1 1 2.已知x+ y=7且xy=12，则当x0,c>0)是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为 ； 验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程； ax2+bx+c(a>0,c>0)=a ( x2+ b x ) +c a =a(x+__________) 2+__________ ∵ax2+bx+c是完全平方式， ∴__________，即 ． 解决问题： ①若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，求n的值； ②若多项式9 y2+4加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的 单项式． 4.【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：32−1=______；52−1=______；72−1=______；以上计算结果均______（填 “是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为2n+1（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 题型六：数式规律探究 1.在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动： 对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n−m； 第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活 动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A．m+n B．m C．n−m D．2n 2.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b) n展开式的 系数规律． 1 (a+b) 0=11 1 (a+b) 1=a+b 1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ） A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4 2801714793.观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，…． (1)尝试：132−112=8×___________． (2)归纳：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 280171479 4.观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数： 2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S的式子表示这组数据的和是( ) 280171479 A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2 题型七：数式中的新定义问题探究 1.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优 数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究．若将智 慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 280171479 x y 2.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b= + ．若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是 a b ． 3.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=−1），a称为复数的实部， b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如 (1+3i) 2=12+2×1×3i+(3i) 2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此，(1+3i) 2的实部是﹣8，虚部是 6．已知复数(3−mi) 2的虚部是12，则实部是（ ） 280171479 A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 4.阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指 数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地．若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=log N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 9可以转化为指数式 a 2 3 32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： log (M⋅N)=log M+log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下： a a a设log M=m,log N=n，则M=am,N=an． a a ∴M⋅N=am ⋅an=am+n．由对数的定义得m+n=log (M⋅N) a 又∵m+n=log M+log N a a ∴log (M⋅N)=log M+log N． a a a 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①log 32=___________；②log 27=_______，③log l = ________； 2 3 7 M （2）求证：log =log M−log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)； a N a a （3）拓展运用：计算log 125+log 6−log 30． 5 5 5 280171479