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专题 05 一次方程（组）及其应用
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：一次方程(组)定义.............................................................................................................................2
考点二：等式的性质........................................................................................................................................2
考点三：解一元一次方程的一般步骤............................................................................................................2
考点四：解二元一次方程组的方法................................................................................................................2
考点五：方程(组)与实际问题..........................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................3
考点一：等式的基本性质................................................................................................................................3
题型一：等式的性质辨析............................................................3
题型二：利用等式的性质求解........................................................3
考点二：一元一次方程....................................................................................................................................4
题型一：判断一元一次方程..........................................................4
题型二：解一元一次方程............................................................5
题型三：一元一次方程的特殊解题技巧................................................6
题型四：错看或错解一元一次方程问题................................................7
考点三：二元一次方程（组）........................................................................................................................9
题型一：二元一次方程（组）的概念..................................................9
题型二：解二元一次方程组..........................................................9
题型三：二元一次方程组特殊解法...................................................10
题型四：错看或错解二元一次方程组问题.............................................13
题型五：构造二元一次方程组.......................................................15
题型六：解三元一次方程组.........................................................15
考点四：一次方程（组）的应用..................................................................................................................16
题型一：利用一元一次方程解决实际问题.............................................16
题型二：利用二元一次方程解决实际问题.............................................23专题 05 一次方程（组）及其应用
模块一：基础知识
考点一：一次方程 ( 组 ) 定义
定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，
它的一般形式是 。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形
式是 。
定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的
方程组叫做二元一次方程组。
定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
考点二：等式的性质
性质1：若a=b，则a±c=b±c。等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a=b，则ac=bc； (c≠0)。等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍
相等。
考点三：解一元一次方程的一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
考点四：解二元一次方程组的方法
①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代
入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两
边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加
减法。
考点五：方程 ( 组 ) 与实际问题
解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程(组)。根据题中各个量的关系列出方程(组)。
第4步：解方程(组)。根据方程(组)的类型采用相应的解法。
第5步：答。模块二：题型分类
考点一：等式的基本性质
题型一：等式的性质辨析
1.设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x= y，则x+c=c−y B．若x= y，则c−x=c−y
x y x y
C．若x= y，则 = D．若 = ，则2x=3 y
c c 2c 3c
2.下列运用等式变形错误的是（ ）
A．由a＝b，得a+6＝b+6 B．由a＝b，得
C．由 ，得a＝b D．由﹣2a＝﹣2b，得a＝﹣b
3.下列等式变形正确的是（ ）
x y
A．若x= y，则 = B．若ac=bc，则a=b
z z
a b
C．若x2=4x，则x=4 D．若 = ，则a=b
c c
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．若ac=bc，则a=b B．若a2=b2，则a=b
a b 1
C．若 = ，则a=b D．若− x=6，则x=2
c c 3
5.如果x＝y，那么根据等式的性质下列变形正确的是（ ）
x 5
A．x＋y＝0 B． = C．x﹣2＝y﹣2 D．x＋7＝y﹣7
5 y
6 1
6.若a，b，c为互不相等的实数，且 a+ c=b，则下列结论正确的是( )
7 7
A．a−c=6(b−a) B．a−b=7(a−c)
C．a−b=6(b−c) D．a−c=7(a−b)
题型二：利用等式的性质求解
U
1.在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I= 去分母得
R
IR=U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
2.若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的条件是（ ）
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．无法确定3.有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中同一种物体的质量都相等．下列四个天平中只有一个
天平没有处于平衡状态，则该天平是（ ）
A． B．
C． D．
4.能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）
B．如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a−c=b−c，那么a=b（a，b，c均不为0）
D．如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）
(2021 2022)
5.已知 − +x=0，则x的值是( )
2022 2021
2022 2021 2022 2021 2022 2021 2022 2021
A． + B．− + C． − D．− −
2021 2022 2021 2022 2021 2022 2021 2022
考点二：一元一次方程
题型一：判断一元一次方程
1.下列方程中，是一元一次方程的是
A． B．
C． D．
2.请写出一个解为2的一元一次方程，这个方程可以为 ．
3.关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x-2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ．
2
4.下列各式：①−2+5=3；②3x−5=x2+3x；③2x+1=1；④ =1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元
x
一次方程的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.关于 的方程 如果是一元一次方程，则其解为_____．6.关于 的一元一次方程 的解为 ，则 的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
7.已知关于x的方程(k2−4)x2+(k−2)x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．-1
8.已知(k−1)x|k|+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 ．
9.若方程(k+2)x|k+1|+6=0是关于x的一元一次方程，则k+2023= ．
题型二：解一元一次方程
1.若代数式x+2的值为7，则x等于（ ）
A．9 B．−9 C．5 D．−5
2.解方程：
x−2 2x−1
3.解方程：x− =1+ ．
2 3
4.解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．
( 1)
5.若4 x+ 的值与x−7互为相反数，则x的值为（ ）
2
13
A．1 B． C．3 D．−3
10
1
6.如果单项式−x yb与 xay3 是同类项，那么关于x的方程bx+a=0的解为（ ）
2
1 1
A．x= B．x=− C．x=3 D．x=−3
3 3
2x−1
7.代数式 与代数式3−2x的和为4，则x= ．
3
2x−1 1+x
8.规定一种新的运算：a∗b=2−a−b，求 ∗ =1的解是 ．
3 2
a b c
9.若实数a，b，c满足 = = =k，且a+2b+3c=40，则k= ．
2 3 4
10.幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个
三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字
之和都是15，则a的值为 ．题型三：一元一次方程的特殊解题技巧
【类型 一 】分子、分母为整数的一元一次方程
技巧 1 巧用拆分法
3x−1 5x−7
1.解方程： =
4 6
x−1 2x−3 6−x
2.解方程： − = ．
2 6 3
x x x x
3.解方程： + + + =1．
2 6 12 20
x x x x
4.解方程： + + +⋯+ =2008．
2 6 12 2008×2009
技巧 2 巧通分
x+3 x+2 x+1 x+4
1.解方程： − = − ．
7 5 6 4
【类型 二 】含括号的一元一次方程
技巧 1 利用倒数关系去括号
6 5
1.解方程： [ (2x+1)+5]−1=4x
5 6
3[2 x ]
2.解方程：解方程 ( −1)−2 −x=2
2 3 4
技巧 2 整体合并去括号
1 1 1
1.解方程：x− [x− (x+10)]= (x+10)；
3 3 9
1[ 1 ] 1
2.解方程：x− x− (x−3) = (x−3)+1．
2 3 6
技巧 3 整体合并去分母
1 2
1.解方程： (x−5)=3− (x−5)．
3 3
1 3
2.解方程： (x−2)−5=3− (x−2)．
4 4
技巧 4 由外向内去括号
1[1 1 ]
1.解方程：解方程： ( x−1)−6 +2=0．
3 4 3
技巧 5 由内向外去括号[4 2 1 ] 3
1.解方程：2 x−( x− ) = x．
3 3 2 4
[1 3 ] 1
2.解方程：4 x− (x−1) = (5+x)．
2 4 3
【类型 三 】分母含小数的一元一次方程
技巧 1 巧化分母为 1
0.6x+0.5 0.03x+0.2 x−9
1.解方程： − =
0.2 0.06 3
0.3x-0.5 0.12-0.05x
2.解方程： - =x．
0.2 0.03
技巧 2 巧化同分母
x 0.16−0.5x
1.解方程： − =1．
0.6 0.06
技巧 3 巧约分去分母
x−4 x−3
1.解方程： −10=
0.2 0.05
0.3x−1 0.4x−8
2.解方程： − =1
0.02 0.5
题型四：错看或错解一元一次方程问题
7x 4x−1
1.小红在解方程 = +1时，第一步出现了错误：
3 6
解：
2×7x=(4x−1)+1
，
……
(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处．
(2)写出你的解答过程．1
2.在做解方程练习时，有一个方程“y− =2y+■”，题中■处不清晰，李明问老师，老师只是说：“■是
5
一个有理数，该方程的解与当x＝2时整式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”依据老师的提示，请
你帮李明找到“■”这个有理数，并求出方程的解．
x+1 x−3
3.以下是圆圆解方程 − ＝1的解答过程．
2 3
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
x−3
4.以下是圆圆解方程x− =1的解答过程．
3
解：两边同乘以3，得3x−x−3=3，
移项，合并同类项，得2x=6，
两边同除以2，得x=3，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
5.下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题．
2x+1 5x−1
解方程： − =1
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(5x−1)=1
……第一步
去括号，得4x+2−5x+1=1……第二步
移项，得4x−5x=1−1−2……第三步
合并同类项，得−x=−2，……第四步
方程两边同除以－1，得x=2．……第五步
(1)以上求解过程中，第三步的依据是_________．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)从第_________步开始出现错误；
(3)该方程正确的解为____________6.计算：(−6)× (2 −■ ) −23 ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
3
(1)如果被污染的数字是
1
，请计算(−6)×
(2
−
1)
−23 ．
2 3 2
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
考点三：二元一次方程（组）
题型一：二元一次方程（组）的概念
1.下列方程：① ；② ；③ ；④ .其中二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列方程，①2x﹣ ＝1；② + ＝3；③x2﹣y2＝4；④5（x+y）＝7（x﹣y）；⑤2x2＝3；⑥2y+1
＝4，其中是二元一次方程的是（ ）
A．① B．①③ C．①④ D．①②④⑥
3.下列4组数中，不是二元一次方程2x+ y=4的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
4.若二元一次方程组¿的解为¿，则a−b= ．
5.若方程7x|m|+(m+1)y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
题型二：解二元一次方程组
1.解方程组
2.解方程组：
3.解方程组：
4.解方程组：¿5.解二元一次方程组： ．
6.解方程组： ．
题型三：二元一次方程组特殊解法
类型 一 换元法
1.解方程组：¿．
2.阅读材料：善于思考的李同学在解方程组¿时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3= y，原方程组可化为¿
解得：¿．∴¿，∴原方程组的解为¿．
(1)若方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组¿．
3.数学方法：
解方程组：¿，若设2x+ y=m，x−2y=n，则原方程组可化为¿，解方程组得¿，所以¿，解方程组得¿，
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组¿，的解为¿，那么关于m、n的二元一次方程组¿的解为：
．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组¿．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组¿的解为¿，
求关于x，y的方程组¿的解．类型 二 引入参数法
解题技巧：当方程组中出现x/a=y/b的形式时，常考虑先用参数分别表示出x，y的值，然后将x，y的
值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解.
1.用代入法解方程组：
¿
2.用代入法解方程组：
¿
类型 三 特殊消元法 - 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
解题技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算
量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用
代入法或加减法求解，更为简便.
1.解方程组：¿．
2.阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：¿
解：①-②，2x+2y=2即x+ y=1③
③×16，得16x−16 y=16④
②-④，得x=−1．
把x=−1，代入③，得−1+ y=1．解得y=2．
所以原方程组的解为：¿
(1)请仿照上面的方法解方程组：¿；
(2)请猜想关于x，y的方程组¿的解，并利用方程组的解加以验证类型 四 特殊消元法 - 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
解题技巧：当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x+y=a;当两式相减时，x和y的系数互为相
反数，化简即可得到-x+y=b.由此达到化简方程组的目的.
1.解方程组：¿．
2.感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问
题：
已知实数x，y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题
用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变
形整体求得代数式的值．
如①-②可得x−4 y=−2①+②×2可得7x+5 y=19．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组¿，则x−y=______，x+ y=______．
(2)解方程组：¿
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、
3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
类型五 同解交换法
解题技巧：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立,求得方程组的解,然后由“方程组的解适合
每一个方程”得到关于a、b 的二元一次方程组,进而确定a、b的值.
1.已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该
三角形的形状，并说明理由．2.若关于x，y的二元一次方程组¿，和¿有相同的解．
(1)求这两个方程组的解；
(2)求代数式(2a+b) 2022的值．
类型六 主元法
解题技巧：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未
知数的式子去表示另外两个未知数.
xy+2yz
1.已知¿（x，y，z均不为0），求 的值．
x2+ y2−z2
x+3 y
2.实数x,y,z满足3x+7 y+z=1,4x+10 y+z=2018．则 = ．
2017x+2017 y+2017z
题型四：错看或错解二元一次方程组问题
x−3 y=5①
1.用消元法解方程组{ 时，两位同学的解法如下：
4x−3 y=2②
解法一： 解法二：由②，得3x+(x−3 y)=2，③
由①-②，得3x=3． 把①代入③，得3x+5=2．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误?若有误，请在错误处打“×”．
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答．
2.解方程组：¿．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得y=5+x③……（1）
把③代入①，得：3x−2x+5=6……（2）
解得：x=−1……（3）
把x=−1代入③，得y=4……（4）
∴此方程组的解为¿……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．3.下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
¿解方程组：
解：①×3，得3x−6 y=3．③…第一步
②−③，得−5 y=−5．…第二步
y=1．…第三步
y=1代入①，得x=3．…第四步
所以，原方程组的解为¿．…第五步
填空：
①以上求解步骤中，第一步的依据是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填
序号）；
A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论
③小彬同学的解题过程从第 步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解： ．
4.下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：¿
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
2
第三步：解得y=
3
7
第四步：将y=1代入③，解得x= ；
3
第五步：所以原方程组的解为¿
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．5.在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为¿，乙看错了方程组中的b，得到的解
为¿．则原方程组的解（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
题型五：构造二元一次方程组
1.若(2x+ y−5) 2+√x+2y+4=0，则x−y的值是 ．
2.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为
．
1
3.如果单项式−3ax−2yb2与 b2x+ya3 是同类项，那么3x−y的值为 ．
4
4.请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题．
我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a◎b=ax+by．例如：3◎2=3x+2y．
(1)如果x=−5，2◎4=−18，求y的值；
(2)1◎1=8，4◎2=20，求x，y的值．
题型六：解三元一次方程组
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么
a+b+c的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．t
2.已知方程组¿的解满足x＋y＝3，则k的值为( )．
A．10 B．8 C．2 D．－8
ab 2 ca 3 bc 6
3.已知： = ， = ， = ．求代数式a＋b＋c的值．
a+b 3 c+a 4 b+c 5考点四：一次方程（组）的应用
题型一：利用一元一次方程解决实际问题
题组一：单价数量问题
1.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具
与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该
商场最多可以购置多少个A玩具？
题组二 ： 配套问题
1.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是
调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为
使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
2.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每
天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
3.某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母64个或螺栓22
个．若分配x名工人生产螺栓，其它工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程
中正确的是（ ）
A．22x=64(27−x) B．64x=22(27−x)
C．2×22x=64(27−x) D．2×64x=22(27−x)
4.制作一张方桌要用1个桌面和4条桌腿，若1m3木材可制作20个桌面或400条桌腿，现有12m3木材，
要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，求应安排多少木材用来制作桌面．题组三 ： 工程问题
1.某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、
乙一共用x天完成，则可列方程为（ ）
x+10 10 10 x−10 x−10 10 x+10 10
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
20 25 25 20 25 20 25 25
2.某工人在规定的时间内做完一批零件，若每小时做10个就可以超额完成3个，若每小时做11个就可以提
前1h完成，则这批零件一共有多少个？设这批零件一共有x个，则根据题意得到的正确方程是（ ）
x x x 10 x
A． −3= +1 B． − = −1
10 11 10 3 11
x 3 x x 3 x
C． + = −1 D． + = +1
10 10 11 10 10 11
3.整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用2h整理，随后又增加5人和他们一
起又做了3h，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么一共安排整理的人员有多少？
题组四 ： 等积变形
1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内水的高度为
10cm．（1）如图1，容器内水的体积为______ （结果保留 ）．
（2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求
水面上升的高度是多少？
（3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？
3.两个圆柱体容器如图所示,它们的直径分别为 和 ,高分别为 和 把容器一倒满水,然后
将 容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面离容器口有多少厘米．
题组五 ： 增长率问题
1.一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ）
A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元
2.受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件的原售价
可表示为（ ）
92 108
A． B． C．92(1−a%) D．108(1−a%)
1−a% 1−a%
题组六 ： 销售利润问题
1.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，
仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元 B．100元 C．80元 D．60元
2.一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买
卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
3.某种商品进价为200元，标价为300元．现打折销售，要使利润率为5%．则需打几折？题组七 ： 比赛积分问题
1.全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有
4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0
分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛．如表是某次小组赛的积
分表：
排名 球队 积分
1 甲 6
2 乙 4
3 丙 4
4 丁
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一
场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．
已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持
连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．
题组八 ： 方案选择问题
1.A、B两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同，A旅
行社的优惠办法是：全家有一人购全票，其余的人半价优惠；B旅行社的优惠办法是：全家每人均按6折
票价优惠．请问当家庭的人数是多少时，两家旅行社的费用相同？2.现需运送一批货物，有甲、乙两种型
号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：
起步价/元 限定里程/km 超限定里程（元/km）
甲 108 80 3
乙 180 100 2
租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费，租
用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费，设
里程为x千米．
（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用；
（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？题组九 ： 数字问题
1.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一
个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条
对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，
若能构成一个广义的三阶幻方，则mn=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
2.一个两位数的个位数字与十位数字都是x，如果将个位数字与十位数字分别加2和1，所得的新数比原数
大12，则可列的方程是（ ）
A．2x+3=12 B．10x+2+3=12
C．(10x+x)−10(x+1)−(x+2)=12 D．10(x+1)+(x+2)=10x+x+12
题组十 ： 日历问题
1.在一张挂历上，任意圈出同一列上的三个数的和不可能是( )
A．4 B．33 C．51 D．27
2.将连续的偶数2，4，6，8，…排成下图所示，若将十字框上下左右移动，可框住五个数，这五个数的
和可能等于（ ）
A．123 B．115 C．240 D．400
3.2023年4月的日历上圈出了相邻的三个数a、b、c，并求出了它们的和为36，这三个数在日历中的排
布不可能是（ ）A． B． C． D．
题组十一 ： 几何问题
1.如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b互为相反数，若AB=8，则点A表示的数为
（ ）
A．8 B．4 C．0 D．−4
2.学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），
再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为30cm，宽为18cm，AD=2AB，则该纸盒的容积为
（ ）
A．960cm3 B．800cm3 C．650cm3 D．648cm3
3.如图，把一块长AB为40cm的长方形硬纸板的四角剪去四个边长为5cm的小正方形，然后把纸板沿虚线
折起，做成一个无盖长方体纸盒，若纸盒的体积是1500cm3，则长方形硬纸板的宽为多少？
题组 十 二 ： 和差倍分问题
1.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车 4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还
空10个座位．求该客车的载客量．
2.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译
文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可
乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
x+2 x x x−9 x x+9 x−2 x
A． = −9 B． +2= C． −2= D． = +9
3 2 3 2 3 2 3 2
3.“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学
校这次共买了多少棵树苗？
4.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿
多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每
人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为（ ）
A．6x+14=8x B．6(x+14)=8x C．8x+14=6x D．8(x−14)=6x
5.我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若
每人9两，还差8两．问银子共有几两？设银子共有x两，则可列方程为（ ）
x+4 x−8 x−4 x+8
A．7x+4=9x−8 B．7x−4=9x+8 C． = D． =
7 9 7 9
6.《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人
出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
题组 十 三 ： 行程问题
1.野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．现野鸭与大雁分别从南海和北海同
时起飞，问经过多少天相遇？设野鸭与大雁经过x天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A．
x x x x
+ =1B． − =1 C．(7+9)x=1 D．(9−7)x=1
7 9 7 9
2.船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小
时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．(36+4)x+(36−4)(9−x)=1 B．(36+4)x=9
x x x x
C． + =9 D． + =9
36 4 36+4 36−4
3.我国元朝数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道问题，大意是：跑得快的马每天走240里，跑
得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果设快马x天可以追上慢马，那么
根据题意可列方程为（ ）
A．240x=150(x+12) B．240x=150x+12
C．240(x−12)=150x D．240x=150(x−12)
1
4.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了 的
2
路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶
家的距离是多少千米？
5.A、B两地相距300千米，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地．已知两车同时出发，乙车的速度是甲车的1.5倍．
(1)若2小时后两车还未相遇，此时两车相距100千米，求甲车的速度；
(2)若乙车中途因故停留了75分钟，从而与甲车同时到达目的地，求甲车的速度．
题型二：利用二元一次方程解决实际问题
题组一：单价数量问题
1.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具
与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该
商场最多可以购置多少个A玩具？
2.学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175
元；购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于
560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
3.列方程（组）或不等式（组）解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．
（1）根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
（2）学校准备用5300元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的3倍，请问
最多能购买多少支羽毛球拍？4.如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨 2000
元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元/（吨•千
米），铁路运价为0.5元/（吨•千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元．
求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？
（2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？
题组二 ： 配套问题
1.一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多
少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
2.工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成
一套包装盒．现有40张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中
符合题意的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
题组三 ： 方案选择问题
1.国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，
班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费 360元．其中毛笔每支15元，围棋
每副20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入 A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B
种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装
满），则不同的分装方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3.某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一
次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货
车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运
输方案，并指出哪种运输方案费用最少．题组四 ： 年龄问题
1.甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
2.一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在
这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是 岁．
3.已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
题组五 ： 几何问题
1.张师傅要制作一个无盖长方体玻璃鱼缸，切割出来的几块玻璃的尺寸如图所示（单位：dm），则其体
积为（ ）
A．60dm3 B．72dm3 C．74dm3 D．94dm3
2.利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位
置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
3.列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．题组六 ： 行程问题
1.甲、乙二人同时同地出发，都以不变的速度在300米环形跑道上奔跑，若反向而行，每隔20s相遇一次，
若同向而行，则每隔300s相遇一次，已知甲比乙跑得快，设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则可列方程
为（ ）
x+ y=300 x+ y=20
A．{ B．{
x−y=20 x−y=300
20x+20 y=300 20x+300 y=300
C．{ D．{
300x−300 y=300 300x−20 y=300
2.作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山
顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山
每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，¿，则答案中
另一个方程应为（ ）
a b 4a+3b 3+4
A．3a+2b=12 B． + =3 C．a−b=1 D． =
4 3 3 2
3.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，
把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y米，y关于x
的函数关系如图所示，则甲车的速度为 （ ）
A．20米/秒 B．25米/秒 C．30米/秒 D．35米/秒
4.甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，
乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．
(1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少．
(2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与
甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？题组七 ： 古代问题
1.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几
何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器
5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y
斛，则可列方程组是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
2.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一
尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩
余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
3.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重
适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金
重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋
比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银
重y两，根据题意得（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七
十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与
鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
根据译文，解决下列问题：
(1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ；
(2)求兽、鸟各有多少．题组八 ： 图表问题
1.一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的
情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（辆） 2 5
乙种货车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主
应付运费多少元？
2.为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和
横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：
产品 展板 宣传册 横幅
1 1
制作一件产品所需时间（小时） 1
5 2
制作一件产品所获利润（元） 20 3 10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．
题组九 ： 工程问题
1.为了打造环湖风光带，现有一段长为88米的河道清淤任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工
程队每天清理10米，乙工程队每天清理8米，共用时10天，则甲乙工程队各清理了几天？
2.计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．
若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成550米施工任务：若甲工程队先单
独施工2天，再由乙工程对单独施工4天，则可以完成420米的施工任务．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？
（2）该河道全长6000米，若两队合作工期不能超过90天，乙工程队至少施工多少天？
