文档内容
专题 23 矩形的性质与判定
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：矩形的性质与判定............................................................................................................................2
考点二：矩形的折叠问题解题思路................................................................................................................2
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：矩形的性质与判定............................................................................................................................4
题型一：利用矩形的性质求角度......................................................4
题型二：利用矩形的性质求线段长....................................................6
题型三：利用矩形的性质求面积......................................................8
题型四：求矩形在坐标系中的坐标...................................................10
题型五：根据矩形的性质证明.......................................................13
题型六：矩形的判定定理的理解.....................................................16
题型七：添加一个条件使四边形是矩形...............................................17
题型八：证明四边形是矩形.........................................................19
题型九：根据矩形的性质与判定求角度...............................................21
题型十：根据矩形的性质与判定求线段长.............................................23
题型十一：根据矩形的性质与判定求面积.............................................25
题型十二：根据矩形的性质与判定解决多结论问题.....................................27
题型十三：与矩形有关的新定义问题.................................................30
题型十四：与矩形有关的规律探究问题...............................................32
题型十五：与矩形有关的动点问题...................................................33
题型十六：矩形与一次函数综合.....................................................35
题型十七：矩形与反比例函数综合...................................................37
题型十八：矩形与二次函数综合.....................................................40
考点二：矩形的折叠问题..............................................................................................................................42
题型一：沿对角线翻折（模型一）...................................................42
题型二：将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）...................................43
题型三：将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）.....................................44
题型四：矩形短边沿折痕翻折（模型四）.............................................46
题型五：通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）.....................................47
题型六：将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）...................................48
题型七：将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）...............................49
题型八：其它.....................................................................51专题 23 矩形的性质与判定
模块一：基础知识
考点一： 矩形的性质与判定
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质：
（1）矩形具有平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对
称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
3.推论
（1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
4.矩形的判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
5.解题思路
要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有
一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
考点二： 矩形的折叠问题 解题思路
矩形的折叠问题的常用解题思路：
（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各
相等的边或角；
（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．
（3）折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.
（4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通
过勾股定理/相似三角形知识求解.
模型一： 思路：
模型二： 思路：模型三： 思路：
尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解
模型四： 思路：
模型五： 思路：
模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思
路：模型七：点A’为BC中点 思路： 过点F作FH⊥AE，垂足为点
H
设AE=A’E=x，则BE=8-x
17
由 勾 股 定 理 解 得 x=
4
15
∴BE=
4
由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G
34 16 26
∴A’G= CG= GD’=
15 15 15
13
DF=D’F=AH= HE=1 EF=√17
4
模块二：题型分类
考点一 ： 矩形的性质与判定
题型一：利用矩形的性质求角度
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是
（ ）
A．130° B．65° C．50° D．25°
2．两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α−90° B．α−45° C．180°−α D．270°−α3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是
（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
4.如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
5.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、
解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，
∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．50° D．60°
6.如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若
∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ）α α
A．α B．45°+ C．45°− D．90°−α
2 27.如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，则∠2的度数为（ ）
A．34° B．46° C．56° D．66°
8.如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α，
则∠BFE的度数为（ ）
3 1
A．90°− α B．90°− α C．α D．90°−α
2 2
9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，以AB为边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接
CF，则∠DFC的度数为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
题型二：利用矩形的性质求线段长
1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，
则BD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2.如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB=12，BC=16，
则EF的长为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．24
3.如图，矩形ABCD中，点E，点F分别在边AB,BC上，线段AF与线段DE相交于点G，若
AB=4,BC=6,AE=BF=3，则FG的长度为 ．
4.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，
若AB=2，BC=4，则AE等于（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
5.在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的
最小值为2，则BC的长为 ．
6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE
交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为
．7.如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连接
OP
EF交OB于点P，那么 = ．
PB
8.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足
PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为 ．
9.如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，
点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
9 3
A． B．2√5 C．3√2 D． √10
2 2
10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若AC=10，则四边形
OCED的周长是______．
11.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是
______．
题型三：利用矩形的性质求面积
1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则
图中阴影部分的面积为______．1 1
2.如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE= AB，BF= BC，
3 3
1 1
CG= CD，DH= DA，若矩形ABCD面积为9，则四边形EFGH的面积为( )
3 3
A．3 B．4 C．5 D．6
AB 5
3.如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得 = ，连接CE，若矩形ABCD的面积为
BE 6
20，则△BCE的面积为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA=6，
OC=8．若直线y=2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
A．5 B．2 C．−2 D．−5
5.如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形
纸片的面积都为S ，另两张直角三角形纸片的面积都为S ，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S ，FH
1 2 3
与GE相交于点O．当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A．S =S B．S =S C．AB=AD D．EH=GH
1 2 1 3
6.如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运
动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
3
A． cm B．3cm C．4cm D．6cm
2
7.如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'B'C'D'，且A'D'与CD相交于CD
边的中点E，若AB=4，BC=5，则原矩形ABCD和平行四边形A'B'C'D'重叠部分的面积是 ．
8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上一点，AP=2，连接BD，则图中阴影部
分的面积为 ．
题型四：求矩形在坐标系中的坐标
1.在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为
（ ）
A．(−6,3) B．(3,−6) C．(−6,−3) D．(−3,−6)2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.
若AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ）
A．（3，√3） B．(−3,−√3) C．(√3，3） D．(−√3,−3)3.如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O
顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A．(6,5) B．(5,6) C．(−6,−5) D．(−5,−6)
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若
AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ）
A．（3，√3） B．(−3,−√3) C．(√3，3） D．(−√3,−3)
5.如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的
坐标是（ ）
( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )
A． − ,4 B． − ,4 C． − ,2√5 D． − ,2√5
2 3 2 3
6.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．
若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为（ ）A．(10,3) B．(10,5) C．(6,3) D．(4,3)
1
7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N
2
在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．
8.如图，矩形ABCD的顶点A(1,0)，D(0,2)，B(5,2)，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点
C的坐标为（ ）
A．(4,−2) B．(4√2,−2√2) C．(4√2,−2) D．(2√6,−2√2)
9.如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使
点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，√3） B．（√3，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）10.如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A(6,0)，C(0,4)，经过点D的反比例函数的图象交AB于点
P，则点P的坐标为 ．
题型五：根据矩形的性质证明
1.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：
尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
2.如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，连接DE，BF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB=3，BC=4，求BE的长；
(3)求证：BE2=AE⋅EC．3.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
3
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
5
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是OA上一点，连接BE并延长至点F，使得
∠ADF=∠ADB．
(1)求证：DF∥AC；
(2)若OE=1，求DF的长．
5.已知，矩形ABCD中，E、F为对角线AC上两点，连接BE、DF，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
(1)如图1，求证：AE=CF；
(2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE时，请直接写出图中面积为△ABE面积3倍的所有三
角形．6.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F，
AD
G．设 =m．
DC
(1)求证：△BGC∽△BAE；
(2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求m的值；
(3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若
DH⋅CB=3√2，求EH的长．
7.如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
8.如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线．(1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接
DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)小亮判断点F为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，
从而得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的
填空：
证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC，
∵AB∥DC，
∴①___________，
∵∠EAB=∠ACD，
∴∠EAB=∠BAC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°，
∴②___________，
∴AE=AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴③___________，
∵AD=BC，
∴AD=BE，
∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE，
∴④___________(AAS)，
∴EF=FD，
∴点F为ED的中点．
题型六：矩形的判定定理的理解
1.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D
2.如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现
提供了如下两种检验方法：下列说法正确的是（ ）
A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行
C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行
3.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等
4.下列图形一定为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
5.要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
6.如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据
是（ ）
A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2 D．OD=4
7.如图所示，△ABC中，D是BC中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接
BF．请从以下三个条件：①AB=AC；②FB=AD；③E是AD的中点，选择一个合适作为已知条件，
使四边形AFBD为矩形．
(1)你添加的条件是 ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形AFBD为矩形．
题型七：添加一个条件使四边形是矩形
1.在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD
2.如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA．请你添加一
个条件 ，使得四边形AMCN是矩形．
3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件
可以是 ．
4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，
DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即
可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
6.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件
即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．题型八：证明四边形是矩形
1.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．
2.如图，在平行四边形 ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接
DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数．
4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交
OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
5.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．(1)求证：BE=DF；
AC
(2)设 =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
BD
6.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段
AC的垂线，垂足分别为G，F两点．
(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若AB=10，EF=4，求CG的长．
7.如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，
连接DG、DE、FG．
(1)求证： ABE≌ FCE；
(2)若AD=2△AB，求△证：四边形DEFG是矩形．
8.如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，
使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．（1）求证：△BCE≅△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
题型九：根据矩形的性质与判定求角度
1.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB的度数
为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
2.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的
说法正确的是（ ）
A．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60°
3.如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）求证：BE=BC．
（2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数．5.如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC
长的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
6.如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( )
1 1
A．β= 180-α B．β=180°- α C．β=90°-α D．β=90°- α
2 2
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，
DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，
∠EBE'的度数为 ．
8.概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这
个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
(1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)初步应用
在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
(3)深入研究
在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的
度数．9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，
DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时，
∠EBE'的度数为______．
10.如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AD=BC．
(1)在C´D上求作一点E，使得∠AED=∠CDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接DE，CE，AE，若∠ECA=2∠CAB，求∠CAB的大小．
题型十：根据矩形的性质与判定求线段长
1
1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE，连接
2
AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ）
A．√3 B．√5 C．√7 D．2√2
2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从
点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，
则¿+CF的最小值为 ．
4.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘
（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则
EG≈ DE.（精确到0.001）
5.如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC
到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G.
(1)当EC = 4时，求线段BG的长:
(2)设CF = x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:
(3)连接DG，求线段DG的最小值.题型十一：根据矩形的性质与判定求面积
1.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2.如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积
是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
3.如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到 A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为
cm2． △ △ △
4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，CD=2．连接AC，过点B作BE//AC，交DC的延长线于
点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ）
A．√5 B．2√5 C．6 D．2√135.如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF
的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
6.如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，且S =8，则正六边形ABCDEF的面积为
△AOC
（ ）
A．18 B．24 C．30 D．随着点O的变化而变化
4
7.如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝ ，
3
M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为 cm2．
8.矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点
E，连接AE、PC．
(1)若m=6，n=6√3；
①当点E与点B重合时，求线段DP的长；②当EB=EP时，求线段BP的长；
(2)若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)．
题型十二：根据矩形的性质与判定解决多结论问题
1.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①ΔODC是等边
三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S =S ，其中正确结论有（ ）
ΔAOE ΔCOE
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的
速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动
点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD=PM时，t=3s D．当CD=PM时，t=3s或5s
3.如下1图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于
点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(−4,−√2)；④BD=6√3；⑤矩形ABCD的面积为
24√2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.如上右图1，将一张菱形纸片ABCD(∠ADC>90°)沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将
△BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如上右图2所示的△DB'C，
连接AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④
BB'=√3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）5.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为
DE上一动点，PE0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，再
x 1 1 1 1 2 2
过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
2 1 2 2 1 2 3 3
（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
3.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P 、Q 、H 分别在边AB、AC、
1 1 1
BC上，且四边形P Q H B为矩形，P Q :P B=2:3，点P 、Q 、H 分别在边Q H 、CQ 、CH
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1
上，且四边形P Q H H 为矩形，P Q :P H =2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ 的长度为
2 2 2 1 2 2 2 1 2023
．
4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,CB=4，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形
ACC B ，使矩形ACC B 相似于矩形；再连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形
1 1 1 1 1 1
AC C B ，使矩形AC C B 相似于矩形ACC B ；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作
1 2 2 1 2 2 1 1S ，矩形ACC B 的面积记S ，矩形AC C B 的面积记作S ，……，则S 的值为 ．
1 1 1 2 1 2 2 3 20245.如图：顺次连接矩形A B C D 四边的中点得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 四边的中点得
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
四边形A B C D ，…，按此规律得到四边形A B C D ．若矩形A B C D 的面积为24，那么四边形A B C D
3 3 3 3 n n n n 1 1 1 1 n n n n
的面积为 ．
6.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B(3,4)，A在x轴上，C在y轴上，对角线AC、OB交于C ，
1
以OA、OC 为邻边作▱OAB C ，对角线AC 、OB 交于C ，以OA、OC 为邻边作▱OAB C ，
1 1 1 1 1 2 2 2 2
对角线AC 、OB 交于C ，以OA、OC 为邻边作▱OAB C ，对角线AC 、OB 交于C ，…，按上
2 2 3 3 3 3 3 3 4
述规律作下去，B 的坐标为 .
n
题型十五：与矩形有关的动点问题
1.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的
中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
2.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将
△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，
BE= y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，AB的长为a，动点D在AB边上从点A向点B
运动，过点D作DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD的长为x，矩形CEDF的面积为y，y随
x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为√3，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.在矩形ABCD中，AB=6，AD=15，点E在边BC上．且∠AED=90°，P是射线ED上的一个动点．
若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 ．
5.如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交
AB于E，连接EF、OB．若OB将△OEF的面积分成1:2的两部分，则BF的长为 ．
6.如图，在矩形ABCD中，已知AB=12√2，BC=16√2，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重
合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N，则
线段MN的最小值为 ．7.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是边BC延长线上一点，过点B作BM⊥DE，垂足为点
M，联结CM，设CE=a(00)的图象经过DC的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并
x
说明理由．1
5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N
2
在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．
6.如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=15√5，把ΔBCE沿折痕EC
向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，
则过点F、点C的一次函数解析式为： ．
题型十七：矩形与反比例函数综合
k DF
1.如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y= 的图象上，则 的值为
x FC
（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
k 1
2.如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的图象于B，D两点，以AB，
x x
5
AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S +S +S = ，
1 2 3 4 2 3 4 2
则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．13.如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，AN与
BM交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的反比例函数的解析式为
．
4.如上2图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D
在边BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达
式是 ．
5.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B在第一象限，反比例函数
k
y= (x>0)的图象交矩形的对角线OB于点D，分别交BC，AB于点E，F，连接DE，DF．若
x
OD=2BD，S =2，则k= ．
四边形EDFB
6.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作
矩形OABC，且S =8√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点C'
矩形OABC
k
落在第四象限，过M点的反比例函数y= (k≠0)，其图象恰好过MN的中点，则点M的坐标为
x
．k
7.如图，矩形AOBC中，OB=3，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE=2，反比例函数y= (x>0)
x
的图象经过D，E两点
(1)请用含k的式子表示点D，C，E的坐标：点D________，点C________，点E________；
(2)利用（1）的结论，求反比例函数的解析式；
(3)连接OD，OE，DE，求△ODE的面积
1 k
8.如图，一次函数y= x+a的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(4，3)，与y轴交于点B．
2 x
(1)求a，k的值；
(2)点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC=AD，连接CB，求△ABC的面积；
(3)点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．
9.如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构
成，其中，A(−4,0)，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE∥x轴且点E的纵
k
坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y= ．点P为双曲线CD上一个动点，
x
过点P作PG⊥y，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上．
(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；
(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．题型十八：矩形与二次函数综合
2√3
1.如图1，抛物线y= x2+bx+c过B(3,0)，C(0,−3√3)两点，动点M从点B出发，以每秒2个单
3
位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
2√3
(1)求抛物线y= x2+bx+c的表达式；
3
(2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时
针旋转180°得到△GMF．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F
的坐标．
2.如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图像交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图像于另一点B（点
1
B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且CD= BD．点E是线段AB上的动点（
3
B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB'E．
(1)当∠BED=60°时，若点B'到y轴的距离为√3，求此时二次函数的表达式；
(2)若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．3.如图，若二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩
形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S =S ，求点D的坐标；
△ABD △ABC
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩
形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5.对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)称为这两
个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上
的点B(−1,n)，请完成下列任务；
【尝试】判断点A是否在抛物线E上．
【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______．
【应用】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的
三点，求出所有符合条件的t的值．
考点二 ： 矩形的折叠问题
题型一：沿对角线翻折（模型一）
1.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E，
连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F．
（1）求证：△AFE≌△CDF；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，
则cos∠ADF的值为（ ）
8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
4.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
题型二：将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）
1.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将
△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结
GF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC
2.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD
上的点A'处，则AE的长为 ．
4.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为
AE，且EF=3，则AB的长为 ．
题型三：将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）
1.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，
连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为（ ）
1 1
A．√5−2 B．√3−1 C． D．
3 2
2.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC
＝5，则tan∠DAE的值为（ ）1 9 2 1
A． B． C． D．
2 20 5 3
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边
上的F处，则CE的长是（ ）
4 3 5
A．1 B． C． D．
3 2 3
4.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求
AB
出的值．
BC题型四：矩形短边沿折痕翻折（模型四）
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC
边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长
为（ ）
5 5 3 3
A． 或2 B． C． 或2 D．
2 2 2 2
2.如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若
CE=3cm，AF=2EF，则AB= cm．
3.如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿 CE折叠，使点B落在矩
形内点F处，则AF的最小值为 ．4.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落
在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段，当图中存在30∘角时，
AE的长为 厘米．题型五：通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）
1.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作
矩形OABC，且S OABC＝2√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点
矩形
k
C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点
x
C'的坐标为 ．
2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．
(1)求证：△PDE≌△CDF；
(2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长．
3.如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．题型六：将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）
1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，
E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的
对应点为G，点C的对应点为C'，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．
2.如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上
点G处，已知BC＝4，则线段EG的长度为 ．
3.【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B' AN
（“≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写
出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将
△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ．4.[问题解决]
（1）如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F
恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
[问题探索]
（2）如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F
在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG；
[拓展应用]
（3）如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F
落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB＝4，求线段FG的长．
题型七：将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）
1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点B，C分别落在点B ,C 的位置．若∠1=α，则∠2=（
1 1
）
A．α B．α−30° C．30°−2α D．2α−90°
2.如图是一张矩形纸片ABCD,AB=4cm，点E为边BC上一点，且EC=2，连接AE，若将其沿AE对折，
使得点B落在边AD上的点B 处，则AD的长为（ ）
1
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折
叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
5 5
A． B． C．2 D．3
6 3
4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9，M是BC上的点，且CM=2．将矩形纸片ABCD沿过点
M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2√5
AB 2
5.如下1图，在矩形ABCD中 = ．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，
BC 3
沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v ，点N运动的速度为v ，
1 2
且v AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A
落在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA'D是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的ΔA'DE为等腰三角形．现将图①中的点A'沿DC向
右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么ΔPQF
还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为
AD
QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则 = ___________．
AB6.如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(−4，0)，点C的坐标为(0，m)(m>0)，
点D(−1，m)在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m=3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的
取值范围．
7.综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接
AB
写出 的值．
BC8.综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形ABCD 按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B'，折
痕为EF，若△CEF为等边三角形．
(1)请解答老师提出的问题：
试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若
∠A=45°,AC=2，
①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；
②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，
使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB=AC=√5，BC=2，∠ACD=45°，请直接写
出线段BD的长．9.【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的A'处，得到折痕DE，然
后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落
在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】：
(1)如图①，四边形AE A'D的形状是 ；
(2)如图②，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
DN
(3)如图②，若AC'=3cm，DC'=6cm，则MC'= ， ＝ ．
EN
