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马鞍山市第八中学 2025 年中考一模
数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：D．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确幂的乘方的计算法则．根据幂的乘方可以
解答本题．
【详解】解： ，
故选：A．
3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人
口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：4500000000=4.5×109，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．
根据俯视图的定义即可得到答案．
【详解】解：俯视图是：
，
故选：D．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，若点 在函数
的图象上，则 的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，过点 C作 轴于点D，根据
得到 ，即可得到 ， ，求出点C的坐标，代入解析式计算
即可．
【详解】解：过点C作 轴于点D，
则 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点C的坐标为 ，
代入解析式得 ，
故选：C．6. 如图， 为圆O的直径，弦 与 交于点E， 为等腰三角形， 为底， ，
求圆弧 所对的圆心角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接 ， ，根据圆周角定理可得
， 再 由 ， 可 得 ， 从 而 得 到
，再由圆周角定理可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ 为等腰三角形， 为底， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴圆弧 所对的圆心角为 ．
故选：A
7. 如果 是 的一个因式，则 的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解，根据题意可知 是方程 的一个根，然后代入解题即可．
【详解】解：∵ 是 的一个因式，
∴当 时， ，
解得： ，
故选：B．
8. 如图， 是等腰直角三角形， ， 为 延长线上一点， 为 上一点，连接
交 于点 ，作 交直线 于点 ，若 ， ， ，则 （
）
A. B. 3 C. D.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰直角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，过点 E作 于
点M，作 于点N，根据正弦的定义求出EM和NE的长，然后证明 ，利用对应
边成比例解题即可．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
过点E作 于点M，作 于点N，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
故选：D．9. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴为 ，它与x轴的一个交点的横坐标为 ，
则一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数图像开口向下可得 ，根据二次函数图像的对称轴可知 ，然后由二
次函数图像经过y轴正半轴可知 ，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再
利用排除法即可求解．
【详解】解：∵二次函数 图像开口向下，
∴ ，
∵二次函数 图像对称轴为 ，∴ ，
∵次函数 图像经过 轴正半轴，
∴ ，
由 ， 可知：直线 经过第一、二、四象限，由 可知：反比例函数 图像经
过第一、三象限，
∵二次函数 图像过 ，
∴ ，即 ，
令 ，即 ，
∵ ，
∴一次函数 与反比例函数 有交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关
键是熟练掌握以上函数图像与性质．
10. 如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一动点，点 、 分
别是点 、 关于直线 的对称点，连接 交 于点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】本题考查矩形和折叠，勾股定理，垂线段最短，连接 ， 先根据折叠得到点E在 上，
即当 时， 最小，然后根据勾股定理得到 长，再利用面积法求出 的最小值即可．
【详解】解：连接 ， ，
由折叠得 ，
∴点B、E、D共线，即点E在 上，
∴当 时， 最小，这时，
∵ 是矩形，
∴ ,
，
又∵ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
.
11 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根，先计算立方根，再计算加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 如图，菱形 中， ， ，则 边上的高 _____．【答案】
【解析】
【分析】 本题考查菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质求出 长，然后根据
解题即可．
【详解】解：∵ 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 班长邀请 ， ， ， 四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，则 ， 两位同学座位相
邻的概率是_____．【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】本题主要考查了画树状图求概率，采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最
后运用概率公式解答即可．
【详解】画树状图可得：
由上表可知共有 中可能，满足题意的情况数为 种则，
， 两位同学座位相邻的概率是 ．
14. 设直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，与直
线 相交于点 ．
（1）当 时， _____；
（2）若 ，则 的取值范围是_____．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键．
（1）联立方程组消去 得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可；
（2）解方程组求出 的值，然后借助图象得到 的值小于抛物线 与直线
的交点横坐标解题即可．【详解】解：（1）当 时，方程组 消去y可得 ，
∴ ，
为
故答案 ：8；
（2）方程组 消去y可得 ，
，且 ，
又∵ ，
∴ ，
解方程组 得到 或 ，
当直线 过 时，
∵ ，
∴借助图象可得 ，解得 ；
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解不等式，去分母，去括号，移项，合并，系数化1进行求解即可．
【详解】解：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16. 人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学
科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．
某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，
“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，
“致远号”才行驶到全程的 ，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度．
【答案】“致远号”的行驶速度为 米/秒
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为 米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的 ”列出分式方程，解方
程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设“致远号”的行驶速度为 米/秒，则“领航号”的行驶速度为 米/秒，
由题意可得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：“致远号”的行驶速度为 米/秒．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，我们把小正方形的顶点叫做格点．如图1、图
2中， 的顶点均为格点，请按要求完成下列问题：
（1）画出图1中 向右平移4个单位，向下平移3个单位后对应的 ；
（2）画出图1中 关于直线 对称的 ；
（3）仅用无刻度的直尺在图2中的 上找一点 ，使得 平分 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质作图即可得解；
（2）根据轴对称的性质作图即可得解；（3）取格点 、 、 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，作射线 交 于 ，点
即为所求．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图： 即为所求，
；
【小问3详解】
解：如图：取格点 、 、 ，连接 ， ， ， 与 交于点 ，作射线 交 于 ，
点 即为所求，
，
由勾股定理可得 ， ，则
由图可得四边形 为矩形， 、 、 在同一直线上，
∴ ，
∴由等腰三角形 的性质可得： 平分 ，即 平分 ．
【点睛】本题考查了作图—平移变换、作图—轴对称变换、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
18. 观察以下等式：
① ；
② ；
③ ；
……．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式______；
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去
十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是______；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理．
【答案】（1）
（2）①9；②见解析
【解析】
【分析】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理．
（1）模仿示例写出结果即可；
（2）①试值进行计算，可求得此题结果；②由题意用a、b列式进行计算推理，
【小问1详解】
解： ；
故答案为：
【小问2详解】
解：①取数字92，由题意得： ，
∴王老师猜的结果是9；
故答案为：9
②由（1）得： ，
∵原两位数的十位数字是a，个位数字是b，∴原两位数可表示为 ，减去十位数字和个位数字后得 ．
∵ ，
∴ 可以表示为 ，
∴其十位数字为 ，个位数字为 ，
∴ ，
∴不论开始的两位数是多少，最后结果均为9．
五、（本大题共2小题.每小题10分，满分20分）
19. 华为手机自带 测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法．
如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶
部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者 与浮雕像 垂直于地面 ，若
手机显示 ， ， ，求浮雕像 的高度．（结果精确到 ，参考
数据 ， ， ， ）
【答案】浮雕像 的高度约为2.0米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，将解直角三角形与实际问题结合，需要构造合适的直角三角形．
过点 于F点，在 中，求出 ，即可得到 ，再利用勾股定理即可求出 ．
【详解】.解：过点 于F点，在 中， ， ，
， ，
，
∴在 中，
.
答：浮雕像 的高度约为 ．
20. 如图， 为 的直径，C为 延长线上一点，D为 上一点，连接 ， ，
于点E，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的判定；
（1）连接 ，证明 ，即可得证；（2）设 ，根据已知得出 是 的中位线，证明 ，根据相似
三角形的性质，得出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
，
．
．
，
．
，
，即 ．
是 的半径，
是 的切线．
【小问2详解】
解：设 ，
，
， ．
．
为 的直径，
．，
．
．
， ．
，
是 的中位线．
．
．
，
．
．
，
解得 ．
．
六、（本大满分12分）
21. 光明学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了“航天知识”竞赛．学校
在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数） 均为整数，
且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A： ，B： ，C： ，D：
，E： ．
其中，八年级B等级中由低到高的10个成绩（分数）为：80，80，81，83，83，84，84，85，85．
两个年级学生“航天知识”竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出 _________， _________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对“航天知识”了解得较好？请说明理
由；（说明一条理由即可）
（3）该校八年级有1800人，九年级有1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分
数不低于80分的学生人数．
【答案】（1）82，30
（2）八年级，理由见解析
（3）1996人
【解析】
【分析】（1）根据中位数是从低到高排列第25和第26位数值的平均数，分别为 等级中的81，83，即
中位数 ，计算求解即可，根据 ，计算求解即可；
（2）通过比较平均数、中位数、众数，进行判断说明即可；
（3）根据 ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：中位数是从低到高排列第25和第26位数值的平均数，分别为 等级中的81，83，
∴中位数 ，，
故答案为：82，30；
【小问2详解】
解：八年级的学生对“航天知识”了解得较好．理由如下：
由题意知，八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数、众数比九年级的高，因此八年级的学生对
“航天知识”了解得较好．（答案不唯一）
【小问3详解】
解： （人）
答：估计该校八、九年级所有学生中，“航天知识”竞赛分数不低于80分的学生人数是1996人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，中位数，平均数，众数，用样本估计总体．解题的关
键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
七、（本大满分12分）
22. 如图，在 中， ， ， 是 延长线上且满足 ， 是
的中点，连接 交 于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）求证： ；
（3）求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取 的中点G，连接 ，即可得到 是 的中位线，然后根据平行线分线段成
比例解题即可；（2）连接 ，过点D作 于点 ，即可得到 ，然后根据平行线分线段成比例得到
，即可证明结论；
（3）过点E作 于点M，设 ，求出 ， 长，然后根据面积法求出 长，
再根据正弦的定义计算解题即可．
【小问1详解】
证明：取 的中点G，连接 ，
则 ，
又∵E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 为 的中点；
【小问2详解】
证明：连接 ，过点D作 于点 ，∵ ，E是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ；
【小问3详解】
解：过点E作 于点M，设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质和解直角三角形，
作辅助线构造直角三角形解题即可．
八、（本大满分14分）
23. 定义：平面直角坐标系 中，点 、 若满足 ，其中 为常数，且
，则称点 与点 互为“ 阶点”，例如点 与点 互为“ 阶点”．
（1）若抛物线 的顶点与点 互为“4阶点”，求 的值；
（2）对于动点 ，若抛物线 上只存在一个点与点 互为“ 阶点”，求
的值；
（3）已知点 、 是抛物线 上的两点，且都与点 互为“ 阶点” ， 是抛
物线的顶点， 是线段 的中点，若 与 互为“ 阶点”，求 的最小值．
【答案】（1）（2） 或
（3） 最小值为
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键．
的
（1）配方得到抛物线 顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可；
（2）设这一点为 ，根据“ 阶点”的定义得到方程 ，然后根据根的
判别式解题即可；
（3）设点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，则可得到 ， 是方程
的两根，即 ， ，然后求出 M 和 N 的坐标，即可得到
，根据t的取值范围确定最值即可．
【小问1详解】
解： ，
∴顶点坐标为 ，
∵顶点与点 互为“4阶点”，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
解：设这一点为 ，根据“ 阶点”的定义得： ，
整理得： ，
∵只存在一个点与点 互为“ 阶点”，
∴ ，
解得： 或 ；
【小问3详解】
解：设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∵点 、 都与点 互为“ 阶点”，
∴ ， ，
整理得 ， ，
∴ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
又∵ ，
∴顶点M坐标为 ，
又∵ 是线段 的中点，
∴点 的坐标为 ，
∵ 与 互为“ 阶点”，
∴ ，整理得 ，
代入得： ，
即 ，
当 时， 随k的增大而增大，
∴当 时， 最小，最小值为 ．
