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02 卷 第七章 立体几何与空间向量《真题模拟卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．如图，在圆锥 中， ， 为底面圆的两条直径， ，且
， ， ，异面直线 与 所成角的正切值为（
）
A． B． C． D．
2．在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为 的中点，若
， ， ，则用基底 表示向量 为（ ）
A． B． C． D．3．已知点 ， ， ，又点 在平面 内，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 、 、 三点共线，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．已知 ， ，则 （ ）．
A．
B．
C．
D．
6．点 在空间直角坐标系中的位置是（ ）．
A．在 轴上
B．在 平面内
C．在 平面内
D．在 平面内
7．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．8．平行六面体 的各棱长均相等， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列命题，其中为假命题的是（ ）
A．已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 ，则
B．已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 ，则
与 所成角为
C．若三个向量 ， ， 两两共面，则向量 ， ， 共面
D．已知空间的三个向量 ， ， ，则对于空间的任意一个向量 ，总存在实数
使得
10．在平行六面体 中， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 的长度为
B．异面直线 夹角的余弦值为
C．对角面 的面积为
D．平行六面体 的体积为
11．定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1） ， ，且 ､ 和 构成右手系(三个向量的方向依
次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2） 的模 ( 表
示向量 ､ 的夹角).如图所示，在正方体 中，有以下四个结论中，
不正确的有（ ）
A． 与 方向相反
B．
C． 与正方体表面积的数值相等
D． 与正方体体积的数值相等
12．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若 ，则必有 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段
B．若 ，则 是钝角
C．若 ，则 与 一定共线
D．非零向量 ､ ､ 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 ､ ､ 必共面
13．下列命题中不正确的是（ ）.
A．若 ､ ､ ､ 是空间任意四点，则有
B．若 ，则 ､ 的长度相等而方向相同或相反
C． 是 ､ 共线的充分条件D．对空间任意一点 与不共线的三点 ､ ､ ，若 (
)，则 ､ ､ ､ 四点共面
14．在正方体 中，点 在线段 上运动，下列说法正确的是（
）
A．平面 平面 B． 平面
C．异面直线 与 所成角的取值范围是 D．三棱锥 的体积不
变
15．如图1，在边长为2的正方形 中， ， ， 分别为 ， ， 的
中点，沿 ､ 及 把这个正方形折成一个四面体，使得 ､ ､ 三点重合于 ，
得到四面体 (如图2).下列结论正确的是（ ）
A．四面体 的外接球体积为
B．顶点 在面 上的射影为 的重心
C． 与面 所成角的正切值为
D．过点 的平面截四面体 的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
16．如图，正方体 的棱长为1，P是线段 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B． 的最小值为
C． 平面
D．异面直线 与 ，所成角的取值范围是
17．已知梯形 ， ， ， ， 是线段
上的动点；将 沿着 所在的直线翻折成四面体 ，翻折的过程中
下列选项中正确的是（ ）
A．不论何时， 与 都不可能垂直
B．存在某个位置，使得 平面
C．直线 与平面 所成角存在最大值
D．四面体 的外接球的表面积的最小值为18．如图，棱长为 的正方体 中， 、 分别为棱 、 的
中点， 为面对角线 上一个动点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．存在 线段 ，使平面 平面
C． 为 中点时，直线 与 所成角最小
D．三棱锥 的外接球半径的最大值为
第II卷（非选择题）
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三、解答题
19．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ，
平面 ， ．
（1）证明： 平面 ；（2）若 ， 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小．
20．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角
形，底面 为直角梯形， ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度．
21．在三棱台 中， ， ， ， ，
且 平面 .设P､Q､R分别为棱AC､FC､BC的中点.
（1）证明：平面 平面PQR；
（2）求二面角 的正弦值.22．如图，在多面体 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
四边形 为正方形， ，且 ， ， 分别为 ，
的中点．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）作平面 与平面 的交线，记该交线与直线 交点为 ，直接写出
的值．
23．请从下面两个条件中只任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①
；② 与平面 所成的角为 .
如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正三角形， ，平面
平面 ， 是线段 的中点，__________.（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值.
24．如图，四棱锥 的底面 是菱形， 平面 ，
， ， 点是棱 上一点．
（1）求证： ；
（2）当 是 的中点时，求二面角 的余弦值．
25．在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，平面 底面
， ．
（1）求证： ；
（2）点 ， 分别在棱 ， ， ， ，求平面 与平
面 所成角的正弦值．
26．设空间两个不同的单位向量 ， 与向量 的夹角都等于 ．
（1）求 和 的值；
（2）求 的大小．
27．已知 ， ．
（1）求 ；
（2）求 与 夹角的余弦值；
（3）求确定 、 的值使得 与 轴垂直，且 ．
28．如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 是底面的内接正三角形，
为底面直径.已知 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
29．如图，正方形 所在平面与等边 所在平面互相垂直，设平面 与
平面 相交于直线 .（1）求 与 所成角的大小；
（2）求二面角 的余弦值.
30．如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ，
， ，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦
值.
31．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， 为
中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置（ 平面
）.（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值.
32．如图，正三棱锥 中， 与底面 所成角正切值为 ．
（1）证明： 面 ；
（2）设 为 的中心，延长 到点 使得 ，求二面角
的平面角的大小．
33．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点，连接PO.
（1）求证：AC⊥PB；
（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为 ，求 的取值范围.
34．如图，在七面体 中，四边形 是菱形，其中 ，
为等边三角形，且 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
35．已知正方体 中， 分别为棱 的中点.
（1）求证； 四点共面；
（2）求二面角 的余弦值.
四、填空题
36．在正四棱锥 中， ， ， 分别是 ， 的中点，设异面
直线 与 所成角的大小为 ，则 __________．
37．正方体 中， 与平面 所成角的正弦值为___________.38．已知二面角 为 ，在 与 的交线上取线段 ，且 ，
分别在平面 和 内，它们都垂直于交线 ，且 ， ，则 的长
为_________.
39．已知 ， ， ，若点 满足 ，则
点 的坐标为________．
40．在空间直角坐标系中， 、 ，若 ，则 的值为
________．
41．已知 、 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，
则向量 的坐标为________．
42．在空间直角坐标系中，已知向量 与向量 共线且满足方程
，则向量 的坐标为________．
43．已知点 关于坐标平面 的对称点为 ，点 关于坐标平面 的
对称点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，则点 的坐标为________．
44．点 在 平面内的射影为 ，则 ________．
五、双空题
45．边长为2的正方体 内（包含表面和棱上）有一点 ， 、
分别为 、 中点，且 （ ， ）．
（1）若 （ ），则 ______．
（2）若 （ ），则三棱锥 体积为______．46．已知正四面体 内接于半径为 的球 中，在平面 内有一动点
，且满足 ，则 的最小值是___________；直线 与直线 所成
角的取值范围为___________.
47．如图，在直角梯形 中， ， .已知
.将 沿直线 翻折成 ，连接 .当三棱锥
的体积取得最大值时，异面直线 与 所成角的余弦值为___________；
若此时三棱锥 外接球的体积为 ，则a的值为___________.
48．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代
数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发
展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程 在一维空间中，表示
一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点
且法向量为 的平面的方程是______．
49．已知正方体 的棱长为1，则三棱锥 外接球的表面积
为_______，二面角 的余弦值为________．
50．在空间四边形ABCD中，若 ，点E、F分别是线段
BC、AD的中点，则 _______， 的坐标为___________．51．已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC 的中点，则
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二面角C﹣AM﹣N的余弦值为__．若动点P在正方形BCC B（包括边界）内运动，且
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PA∥平面AMN，则线段PA 的长度范围是__．
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