文档内容
10.2 平面向量的数量积（精讲）
一．向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量 和 ，O是平面上的任意一点，作OA＝ ，OB＝ ，则∠AOB＝θ叫做向量
与 的夹角．
2.范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角
二．向量的数量积
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，把数量| |·| |·cos θ叫做向量 与 的数量积(或内积)，记作
· ，即 · ＝| || |cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
三．投影向量
如图，在平面内任取一点O，作
⃗OM＝
，
⃗ON＝
，过点M作直线ON的垂线，垂足为M
1
，则
⃗OM
1
就
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】⃗OM
1
是向量a在向量b上的投影向量，记为 ＝
四．向量数量积的运算律
· ＝ · .
(λ )· ＝λ( · )＝ ·(λ )．
( ＋ )· ＝ · ＋ · ．
五．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 ＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模
| |＝ | |＝
夹角 cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件 · ＝0 x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |x x ＋y y |≤
| · |≤| || | 1 2 1 2
一．求非零向量 ， 的数量积的3种方法
方法 适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求
基底法
数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；
坐标法
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二．求平面向量模的2种方法
公式法
利用| |＝ 及( ± )2＝| |2±2 · ＋| |2，把向量模的运算转化为数量积运算
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利
几何法
用余弦定理等方法求解
三．求平面向量夹角的2种方法
当 ， 是非坐标形式，求 与 的夹角θ时，需求出 · 及| |，| |或得出它们之间
定义法
的关系，由cos θ＝ 求得
坐标法
若已知 ＝(x，y)与 ＝(x，y)，〈 ， 〉∈[0，π]则cos 〈 ， 〉＝
1 1 2 2
考点一 平面向量的数量积运算
【例1-1】（2023·江西景德镇·统考三模）若向量 与向量 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
， ，
.
故选：B.
【例1-2】．（2022秋·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 （ ）
A．10 B． C．14 D．
【答案】B
【解析】 ，故 .
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若向量 ， ，则
（ ）
A． B． C．40 D．46
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ．故选：D
2．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）平面向量 ， ， ，则
与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 与 的夹角为 ，
则 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 .故选：D
3．（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知 ， ，则 的值为（ ）．
A． B．3 C． D．2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由 得， .
，∴ ．
故选：A.
4．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）设向量 ，则向量
与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 .故选：D.
考点二 平面向量数量积的应用
【例2-1】（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量 ， ，且 在 方向上的投影数
量是 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 在 方向上的投影数量是 ，
所以 ，即 ，显然 ，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故答案为：
【例2-2】（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知点 ，则 在 上的投
影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ， ，则 ， ， ，
，则 在 上的投影向量为
.故选：C
【例2-3】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上
的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：B
【例2-4】（2023·上海嘉定·校考三模）已知 ， 与 垂直， ，且 与 的夹角是钝
角，则 在 方向上的投影为 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，因为 ， 与 垂直，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 与 的夹角是钝角，所以 ，所以 ，
则 在 方向上的投影为 .
故答案为： .
【例2-5】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知向量 ， ，则 与 的夹角为 .
【答案】
【解析】由向量 ， ，得 ，
则 ， ， ，
因此 ，而 ，所以 .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知向量 ， ，且 在 方向上的投影是 ，则
.
【答案】
【解析】依题意， （其中 ），解得 .故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知 ，则 在
上的投影为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
设向量 与 的夹角为 ， ，
那么 在 上的投影为
|故答案为： .
3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）若向量 ， ，且 ，则
与 的夹角为 .
【答案】
【解析】将 两边平方可得 ，又 ，解得 ；
所以 ，又 ，
则 与 的夹角的余弦值为 ，
则 与 的夹角为 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023春·江苏无锡）（多选）下列选项中正确的是（ ）
A．设向量 ， ，若 ， 共线，则
B．已知点 ，向量 ，点 是线段 的三等分点，则点 的坐标是
C．若 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量 ， 满足 ，则 的最大值是5
【答案】ACD
【解析】对于A，由 共线，则 ，解得 ，故A正确；
对于B，由向量 ， ，则 ，
设 ，则 ，由 是线段 的三等分点，则 或 ，
可得 或 ，解得 或 ，故B错误；
对于C，设 与 的夹角为 ，
在 方向上的投影向量 ，
其坐标为 ，故C正确；
对于D， ，
设 与 的夹角为 ，由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
当 时， 取得最大值为 ，故D正确.
故选：ACD.
考点三 平面向量的综合运用
【例3-1】（2023秋·江苏南通·高三校考开学考试）（多选）在 中， ，点
在线段 上，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 是中线，则
C．若 是角平分线，则
D．若 ，则 是线段 的三等分点
【答案】BC
【解析】对于A， 在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
又 ， ，故A错误；
对于B：若 是中线， ，即 ，
，故B正确；
对于 ：若 是角平分线，则 ，
即 ，解得 ，故C正确；
对于D：若 为线段 的三等分点，
则 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 或 ，
，或 ，
或 ，故D错误．
故选：BC．
【例3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面非零向量 满足 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】设非零向量 ， 的夹角为 .
，所以 ，
由 两边平方得： ，
，
，
即 ，
即 ，
， ，即当 时， 取得最小值，最小值为8.
故选：C．
【例3-3】（2023·江西九江·统考一模）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，则 ，
，
则 ，
令 ，因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，
所以向量 与 夹角的最大值为 ．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）正六边形 的边长是2，则 （ ）
A． B． C． D．12
【答案】D
【解析】 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，
故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
2．（2023秋·山东临沂·高三校考阶段练习）在 中，已知向量 ，
，则 的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由向量 ， ，
可得 ，
，
且 ，
所以 .
故选：C.
3．（2024秋·贵州·高三统考开学考试）设 为 的外心， ， ，则 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【【解析】如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
则 在 方向上的投影向量为 ， 在 方向上的投影向量为 ，
因为 为 的外心，所以
， ，
， ，
所以 ．
故答案为： .
4．（2023·江西九江·统考一模）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，
，
则 ，
令 ，因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取等号，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，所以 ，
所以向量 与 夹角的最大值为 ．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，且 ，则函数
的最小值为 .
【答案】3
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
则 ，由于 ，则 ，
故 ，
当且仅当 即 时取等号，
∴函数 的最小值为3.
故答案为：3
6．（2023·福建三明·统考三模）在平面直角坐标系中， 、 、
，当 时.写出 的一个值为 .
【答案】 （满足 或 的其中一值）
【解析】由题意可得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，同理可得 ，
则
，
所以， 或 ，
解得 或 ，
故答案为： （满足 或 的其中一值）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
