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§7.5 空间向量及其应用
考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及
其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向
量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中
有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0 的向量 0
单位向量 长度(模)为1 的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
表示空间向量的有向线段所在的直线互
共线向量 a∥b
相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，
使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b
的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直
记作a⊥b.
②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．
1 2 3 1 2 3
向量表示 坐标表示
数量积 a·b ab ＋ ab ＋ ab
1 1 2 2 3 3
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a ＝ λ b ， a ＝ λ b ， a ＝ λ b
1 1 2 2 3 3
a·b＝0
垂直 ab ＋ ab ＋ ab ＝ 0
1 1 2 2 3 3
(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角余
cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
弦值
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线
的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量
直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法
向量有无数个，它们是共线向量．
(3)
位置关系 向量表示
l∥l n∥n⇔n＝λn
1 2 1 2 1 2
直线l，l 的方向向量分别为n，n
1 2 1 2
l⊥l n⊥n⇔n·n＝0
1 2 1 2 1 2
l∥α n⊥m⇔n·m＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l⊥α n∥m⇔n＝λm
α∥β n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
微思考
1．基向量和基底一样吗？0是否能作为基向量？
提示 不一样．基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因为0与其他两个非
零向量共面，所以0不能作为基向量．2．用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？
提示 需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量
间的关系．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.( × )
(2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．( √ )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．( × )
题组二 教材改编
2．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量
是( )
A．{a，a＋b，a－b}
B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}
D．{a＋b，a－b，a＋2b}
答案 C
解析 对于A，因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以a，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除
A；对于B，因为(a＋b)－(a－b)＝2b，所以b，a＋b，a－b共面，不能构成基底，排除B；
对于D，a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，所以a＋b，a－b，a＋2b共面，不能构成基底，排除D；
对于C，若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(λ＋μ)a＋(λ－μ)b，则a，b，c共
面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故c，a＋b，a－b可以构成空间向量的一组基底．
3.如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为
BC的中点，则MN＝________.
答案 －a＋b＋c
解析 如图，连接ON，MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.4．设直线 l ，l 的方向向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l⊥l ，则 m＝
1 2 1 2
________.
答案 10
解析 ∵l⊥l，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，
1 2
∴m＝10.
题组三 易错自纠
5．向量m是直线l的方向向量，向量n是平面α的法向量，“m⊥n”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由l∥α，得m⊥n，所以m⊥n是l∥α的必要条件；而由m⊥n不一定有l∥α，也可
能l⊂α，故m⊥n不是l∥α的充分条件．
6．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足OM＝OA＋OB＋
BC，则点M________(填“属于”或“不属于”)平面ABC.
答案 属于
解析 ∵OM＝OA＋OB＋BC＝OA＋OB＋(OC－OB)＝OA＋OB＋OC，
∵＋＋＝1，
∴M，A，B，C四点共面．
即点M∈平面ABC.
题型一 空间向量的线性运算
1．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量
OA，OB，OC表示OG，则下列表示正确的是( )
A.OA＋OB＋OC
B.OA＋OB＋OC
C．－OA＋OB＋OC
D.OA＋OB＋OC
答案 D
解析 MG＝MA＋AG＝OA＋AN＝OA＋(ON－OA)
＝OA＋＝－OA＋OB＋OC.
OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC＝OA＋OB＋OC.
2．在正方体ABCD－ABC D 中，点P是C D 的中点，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，则实数
1 1 1 1 1 1x＋y的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 AP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝，y＝1，所以x
＋y＝.
3．在正方体ABCD－ABC D 中，点M，N分别是面对角线AB与BD 的中点，若DA＝
1 1 1 1 1 1 1
a，DC＝b，DD1＝c，则MN等于( )
A.(c＋b－a) B.(a＋b－c) C.(a－c) D.(c－a)
答案 D
解析 MN＝MA1＋A1N＝BA1＋A1C1＝(BA＋AA1)＋(A1B1＋B1C1)＝(－b＋c)＋(b－a)＝
(c－a)．
4．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC′＝xAB＋yBC＋2zCC′，则x＋y＋z等于(
)
A. B．2
C. D.
答案 A
解析 由空间向量的线性运算，得AC′＝AC＋CC′＝＋CC′，
由题意知，AC′＝xAB＋yBC＋2zCC′，
则x＝1，y＝1,2z＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝1＋1＋＝.
思维升华 用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
题型二 共线向量定理、共面向量
定理的应用
例1 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋
OC)．
(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)由题知OA＋OB＋OC＝3OM，
所以OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，
即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，
所以MA，MB，MC共面．(2)由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
思维升华 证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)MP＝xMA＋yMB；
(2)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；
(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．
跟踪训练1 如图所示，已知斜三棱柱ABC－ABC ，点M，N分别在AC 和BC上，且满足
1 1 1 1
AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
解 因为AM＝kAC1，BN＝kBC，
所以MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC
＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB＝kB1A＋AB
＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB)
＝(1－k)AB－kAA1，
所以由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
题型三 空间向量数量积及其应用
例2 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是
AB，AD，CD的中点，计算：
(1)EF·BA；
(2)EG·BD.
解 设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，
EF·BA＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)EG·BD＝(EA＋AD＋DG)·(AD－AB)＝·(AD－AB)
＝·(AD－AB)
＝·(c－a)
＝.
已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱
长是2，则PM·PN的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设正方体内切球的球心为O，则OM＝ON＝1，
PM·PN＝·＝PO2＋PO·＋OM·ON，
∵MN为球O的直径，
∴OM＋ON＝0，OM·ON＝－1，
∴PM·PN＝PO2－1，
又P在正方体表面上移动，
∴当P为正方体顶点时，最大，最大值为；当P为内切球与正方体的切点时，最小，最小值
为1，
∴PO2－1∈，
即PM·PN的取值范围为.
思维升华 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b
的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四
面体ABCD中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求EF的模长；
(2)求EF，GH的夹角．
解 (1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，
AB＝a，AC＝b，AD＝c，
所以BE＝BC＝(AC－AB)＝(b－a)，AF＝AD＝c.
所以EF＝EB＋BA＋AF＝－(b－a)－a＋c＝(c－a－b)，
所以|EF|2＝(c－a－b)2＝(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)＝(1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°)＝，
故|EF|＝.
(2)在正四面体ABCD中，EF＝(c－a－b)，|EF|＝.
同理，GH＝(b＋c－a)，|GH|＝.
所以cos〈EF，GH〉＝＝
＝[(c－a)2－b2]＝(c2＋a2－2c·a－b2)
＝(1＋1－2×1×1×cos 60°－1)＝0，
所以EF与GH的夹角为90°.
题型四 向量法证明平行、垂直
例3 如图，已知AA⊥平面ABC，BB∥AA ，AB＝AC＝3，BC＝2，AA ＝，点E和F分别
1 1 1 1
为BC和AC的中点．
1
(1)求证：EF∥平面ABBA；
1 1
(2)求证：平面AEA⊥平面BCB.
1 1
证明 因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA⊥平面ABC，AA∥BB，
1 1 1
所以过E作平行于BB 的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，
1
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝3，BE＝，
所以AE＝2，
所以E(0,0,0)，C(，0,0)，A(0，2,0)，B(－，0,0)．A(0,2，)，则F.
1
(1)EF＝，AB＝(－，－2,0)，
AA1＝(0，0，)．
设平面AABB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
则
所以取
所以n＝(－2，，0)．
因为EF·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0，
所以EF⊥n.
又EF⊄平面ABBA，
1 1
所以EF∥平面ABBA.
1 1
(2)因为EC⊥平面AEA，
1
所以EC＝(，0,0)为平面AEA 的一个法向量．
1
又EA⊥平面BCB，
1
所以EA＝(0,2,0)为平面BCB 的一个法向量．
1
因为EC·EA＝0，
所以EC⊥EA，
故平面AEA⊥平面BCB.
1 1
思维升华 (1)利用向量法证明平行问题
①线线平行：方向向量平行．
②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．
③面面平行：两平面的法向量平行．
(2)利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定
线面垂直问题
理转化为证明线线垂直
两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明
面面垂直问题
线面垂直
跟踪训练3 如图正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点
G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
证明 如图，
取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，
故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)．
BC＝(－2，－2,0)，CF＝(1,0，)，BF＝(－1，－2，)，AD＝(－2，－2,0)，AF＝(－3,0，)．
(1)设平面BCF的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则即
取z＝1，得n＝(－，，1)．
又四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF＝(－1，－2，)，
∴AE＝AD＋DE＝BC＋BF
＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)
＝(－3，－4，)，
∴AE·n＝3－4＋＝0，∴AE⊥n，
又AE⊄平面BCF，
∴AE∥平面BCF.
(2)∵AF＝(－3,0，)，CF＝(1,0，)，
由(1)知AE＝(－3，－4，)，
∴CF·AF＝－3＋3＝0，
CF·AE＝－3＋3＝0，
∴CF⊥AF，CF⊥AE，
即CF⊥AF，CF⊥AE，
又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，
∴CF⊥平面AEF.课时精练
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A. B．2 C. D．1
答案 A
解析 因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝，
又ka＋b与2a－b互相垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，
即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
即4k＋k－2－5＝0，所以k＝.
2.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，
且BM＝2MC′，则下列向量中与OM相等的向量是( )
A．－AB＋AD＋AA′
B．－AB＋AD＋AA′
C.AB＋AD＋AA′
D.AB－AD＋AA′
答案 C
解析 因为BM＝2MC′，所以BM＝BC′，
在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，
OM＝OB＋BM＝OB＋BC′＝DB＋(AD＋AA′)＝(AB－AD)＋(AD＋AA′)
＝AB＋AD＋AA′.
3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．不确定
答案 B
解析 如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝
0.
4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，
则B，D两点间的距离是( )
A. B. C．1 D.
答案 D
解析 ∵BD＝BF＋FE＋ED，
∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，
故|BD|＝.
5．(多选)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为( )
A．17 B．－17
C．－1 D．1
答案 AC
解析 由已知a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，
＝＝，
＝＝，
∴cos 120°＝＝＝－，
解得λ＝17或λ＝－1，故选AC.
6．(多选)已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则( )
A.AB与AC是共线向量
B.AB的单位向量是(1,1,0)
C.AB与BC夹角的余弦值是－
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)
答案 CD
解析 由题意，对于A，AB＝(2,1,0)，AC＝(－1,2,1)，所以AB≠λAC，则AB与AC不是共线
向量，所以不正确；对于B，因为AB＝(2,1,0)，所以AB的单位向量为或，所以不正确；
对于C，向量AB＝，BC＝，
所以cos〈AB，BC〉＝＝－，所以C正确；
对于D，设平面ABC的一个法向量是n＝(x，y，z)，因为AB＝(2,1,0)，AC＝(－1,2,1)，所以
⇒令x＝1，
所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，－2,5)，所以正确，故选CD.
7.(2021·西安模拟)如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，
E为AD的中点，则OE＝________________(用a，b，c表示)．
答案 a＋b＋c
解析 OE＝OA＋AE＝OA＋AD
＝OA＋(OD－OA)＝OA＋OD
＝OA＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c.
8．若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则与a＋b同方向的单位向量是____________．
答案
解析 与a＋b同方向的单位向量是(0,1,2)＝.
9．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(x，y,15)三点共线，则xy＝________.
答案 2
解析 由三点共线得向量AB与AC共线，
即AB＝kAC，
(3,4，－8)＝k(x－1，y＋2,4)，＝＝，
解得x＝－，y＝－4，∴xy＝2.
10．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，
则折叠后A，B两点间的距离为________．
答案 2
解析 在直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角
后，A(－1,6)在平面Oxy上的射影为C，
作BD⊥x轴，交x轴于点D，
所以AB＝AC＋CD＋DB，
所以AB2＝AC2＋CD2＋DB2＋2AC·CD＋2CD·DB＋2AC·DB
＝62＋42＋82－2×6×8×＝68，
所以AB＝2.
11.如图，已知在直三棱柱ABC－ABC 中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB.
1 1 1 1
(1)求证：BC ⊥AB；
1 1
(2)求证：BC ∥平面CA D.
1 1
证明 如图，以C 为原点，C A，C B，C C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角
1 1 1 1 1 1
坐标系．
设AC＝BC＝BB＝2，
1
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C (0,0,0)，D(1,1,2)．
1 1 1
(1)连接AB，
1
∵BC ＝(0，－2，－2)，
1
AB ＝(－2,2，－2)，
1
∴BC ·AB ＝0－4＋4＝0，
1 1∴BC ⊥AB ，即BC ⊥AB.
1 1 1 1
(2)取AC的中点E，连接DE，
1
∵E(1,0,1)，∴ED＝(0,1,1)，
又BC ＝(0，－2，－2)，∴ED＝－BC ，
1 1
且ED和BC 不重合，则ED∥BC .
1 1
又ED 平面CA D，BC ⊄平面CA D，
1 1 1
故BC 1⊂ ∥平面CA 1 D.
12.在平行六面体ABCD－ABC D 中，点E，F分别在棱BB，DD上，且BE＝BB ，DF＝
1 1 1 1 1 1 1
DD .
1
(1)求证：A，E，C ，F四点共面；
1
(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．
(1)证明 连接AC (图略)，
1
∵AC1＝AB＋AD＋AA1
＝AB＋AD＋AA1＋AA1
＝＋
＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.
∴A，E，C ，F四点共面．
1
(2)解 ∵EF＝AF－AE
＝AD＋DF－(AB＋BE)
＝AD＋DD1－AB－BB1
＝－AB＋AD＋AA1，
又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，
∴x＝－1，y＝1，z＝.
∴x＋y＋z＝－1＋1＋＝.
13．(多选)已知向量a·b＝b·c＝a·c，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，下列等式中正确的是(
)
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2D.＝
答案 BCD
解析 由题意知b·c＝－3＋0＋3＝0，
所以a·b＝b·c＝a·c＝0，
(a·b)c＝0，b·c＝0，不相等，所以A选项错误；
(a＋b)·c－a·(b＋c)＝a·c＋b·c－a·b－a·c＝0，
所以(a＋b)·c＝a·(b＋c)，所以B选项正确；
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝a2＋b2＋c2，所以C选项正确；
(a－b－c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2b·c－2a·c＝a2＋b2＋c2，
即(a＋b＋c)2＝(a－b－c)2，|a＋b＋c|＝|a－b－c|，所以D选项正确．
14.如图，已知四棱柱ABCD－ABC D 的底面ABC D 为平行四边形，E为棱AB的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
AF＝AD，AG＝2GA ，AC 与平面EFG交于点M，则＝________.
1 1
答案
解析 由题图知，设AM＝λAC1(0<λ<1)，
由已知AC1＝AB＋AD＋AA1＝2AE＋3AF＋AG，
所以AM＝2λAE＋3λAF＋AG，
因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋＝1，
解得λ＝.
15.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点
P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．
答案
解析 由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，－1,0)，M ，
设P(x，y,0)，
∴MA＝，
MP＝，
由AM⊥MP得MA·MP＝0，解得y＝，
∴点P的轨迹方程为y＝.
根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为
2＝.
16.(2020·桂林模拟)如图，棱柱ABCD－ABC D 的所有棱长都等于2，∠ABC和∠AAC均
1 1 1 1 1
为60°，平面AAC C⊥平面ABCD.
1 1
(1)求证：BD⊥ AA；
1
(2)在直线CC 上是否存在点P，使BP∥平面DAC ，若存在，求出点P的位置，若不存在，
1 1 1
请说明理由．
(1)证明 设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接AO，
1
在△AAO中，AA＝2，AO＝1，∠AAO＝60°，
1 1 1
所以AO2＝AA＋AO2－2AA·AOcos 60°＝3，
1 1
所以AO2＋AO2＝AA，
1
所以AO⊥AO.
1
由于平面AAC C⊥平面ABCD，
1 1
且平面AAC C∩平面ABCD＝AC，
1 1AO⊂平面AAC C，
1 1 1
所以AO⊥平面ABCD.
1
以OB，OC，OA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A(0,0，)，C (0,2，)．
1 1
因为BD＝(－2，0,0)，AA1＝(0,1，)，
AA1·BD＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以BD⊥AA1，即BD⊥AA.
1
(2)解 假设在直线CC 上存在点P，使BP∥平面DAC ，
1 1 1
设CP＝λCC1，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)，
即x＝0，y＝λ＋1，z＝λ.
从而有P(0,1＋λ，λ)，BP＝(－，1＋λ，λ)．
设平面DAC 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1 1 3 3 3 3
则
又A1C1＝(0,2,0)，DA1＝(，0，)，
则取n＝(1,0，－1)，
3
因为BP∥平面DAC ，
1 1
所以n⊥BP，
3
即n·BP＝－－λ＝0，
3
解得λ＝－1，
即点P在C C的延长线上，且CP＝CC .
1 1
