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专题 15 全等与相似模型-手拉手模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本
解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.手拉手模型
【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉
手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
1）双等边三角形型
条件：如图1， ABC和 DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
△ △
图1 图2
2）双等腰直角三角形型
条件：如图2， ABC和 DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
△ △
3）双等腰三角形型
条件： ABC和 DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。
△ △
图3 图4
4）双正方形形型
条件： ABCFD和 CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
△ △
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例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点P为 ABC内一点，连接AP，BP，
△
CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）①60°；②PM＝ ，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB＝AC，∠BAC＝60°，再由由旋转可知：
从而得到 ，可证得 ，即可求解 ；
（2）①由∠BPC＝120°，可得∠PBC＋∠PCB＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC＝60°，从而得
到∠ABC＋∠ACB＝120°，进而得到∠ABP＋∠ACP＝60°．再由 ，可得 ，
即可求解；②延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．可先证得△PCM≌△NBM．从而得到CP＝BN，
∠PCM＝∠NBM．进而得到 ．根据①可得 ，可证得 ，从而得到
．再由 为等边三角形，可得 ．从而得到 ，即可求解．
【详解】解：（1） ．理由如下：在等边三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知： ∴ 即
在 和 ACP中 ∴ ．∴ ．
△
（2）①∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．
∵在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∵ ．∴ ，∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即 ；
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②PM＝ ．理由如下：如图，延长PM到N，使得NM＝PM，连接BN．
∵M为BC的中点，∴BM＝CM．
在 PCM和 NBM中 ∴△PCM≌△NBM（SAS）．
△ △
∴CP＝BN，∠PCM＝∠NBM．∴ ．
∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＋∠PCB＝60°．∴∠PBC＋∠NBM＝60°．即∠NBP＝60°．
∵∠ABC＋∠ACB＝120°，∴∠ABP＋∠ACP＝60°．
∴∠ABP＋∠ABP＇＝60°．即 ．∴ ．
在 PNB和 中 ∴ （SAS）．∴ ．
△
∵ ∴ 为等边三角形，
∴ ．∴ ，∴PM＝ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边
三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．
例2．（2022·黑龙江·中考真题） 和 都是等边三角形．
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(1)将 绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有
（或 ）成立；请证明．(2)将 绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE
相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将 绕点A旋
转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？
直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论： ，证明见解析 (3)图③结论：
【分析】（1）由 ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，
PA=0，即可得出结△论；（2）在BP上截取 ，连接AF，证明 （SAS），得
，再证明 （SAS），得 ， ，然后证明 是等边
三角形，得 ，即可得出结论；（3）在CP上截取 ，连接AF，证明
（SAS），得 ，再证明 （SAS），得出 ， ，然后证
明 是等边三角形，得 ，即可得出结论： ．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，
∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴ 或 ；
(2)解：图②结论：
证明：在BP上截取 ，连接AF，
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∵ 和 都是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ （SAS），∴ ，
∵AC=AB，CP=BF， ∴ （SAS），
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ；
(3)解：图③结论： ，理由：在CP上截取 ，连接AF，
∵ 和 都是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ （SAS），∴ ，
∵AB=AC，BP=CF，∴ （SAS），
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，即 ．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性
质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知 AOB和 MON都是等腰直角三角形(
OA
