文档内容
专题 17 正多边形和圆（3 个知识点 2 种题型 1 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.正多边形及有关概念（重点）
知识点2.正多边形的有关计算（重点）
知识点3.正多边形的画法
【方法二】 实例探索法
题型1.正多边形的有关计算
题型2.正多边形的旋转问题
【方法三】 仿真实战法
考法. 正多边形的有关计算
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.初步认识正多边形与圆的关系。
2.理解正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，会进行正多边形的有关计算。
3.掌握等分圆周画圆内接正多边形的方法。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.正多边形及有关概念（重点）
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点诠释：
判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱
形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相
似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆
的外切正多边形.
【例1】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°【变式1】．如图1，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=
（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【变式2】如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．
(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．
知识点2.正多边形的有关计算（重点）(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
【例2】如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
【变式】如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为 ．
知识点3.正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。
在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B
为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【例3】（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，
为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：
(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形 ；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形 ．
【方法二】实例探索法题型1.正多边形的有关计算
1．（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数
是（ ） ⊙
A．72° B．60° C．48° D．36°
2．（2022•成华区模拟）如图，正方形ABCD内接于 O，点P在劣弧^AB上，则∠P的度数为（ ）
⊙
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．（2022•宜兴市一模）如图， O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数
是（ ） ⊙
A．108° B．129° C．130° D．144°
4．（2022•达拉特旗一模）如图，在拧开一个边长为 a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 b＝10❑√3
mm，则这个正六边形的面积为（ ）
20❑√3
A． mm2 B．300❑√3mm2 C．150❑√3mm2 D．75❑√3mm2
35．（2022•徐州一模）如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝ °．
6.（2022春•福州期中）如图，在正五边形 ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于
点F，连接DF．则∠FDC的度数是 ．
7.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面
积．
8.如图（1）所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，1
3
求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的 ．
图（1）
9.如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边
1
3
围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的 ．
10．如图，正方形ABCD内接于 O，E是^BC的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE； ⊙
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．题型2.正多边形的旋转问题
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不
可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
12．（2022秋·九年级课时练习）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别
是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆
时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 ，图③中∠APB的度数是 ；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请
说明理由．
13．（2022秋·九年级课时练习）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是
的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在 上逆时针运动．
（1）求图①中 的度数
（2）图②中 的度数是______，图③中 的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出 的度数是______．
【方法三】 仿真实战法
考法. 正多边形的有关计算
1．（2021•徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为
3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
2．（2023•连云港）以正六边形 ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形
A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转 °．3．（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直
线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 ．
【方法四】 成果评定法
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
2．（2023秋•西山区校级月考） O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 ⊙ C． D．2
3．（2022秋•丰顺县校级月考）如图，正五边形ABCDE内接于 O，P为 上的一点（点P不与点D重
⊙
合），则∠CPD的度数为（ ）A．30° B．36° C．60° D．72°
4．（2023秋•仓山区校级月考）若 O的内接正n边形的边长与 O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4 B．5 ⊙ C．6 ⊙ D．7
5．（2023秋•诸暨市校级月考）圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023秋•雨花区校级月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密
合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，
若 O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
⊙
A．12 B． C． D．
7．（2023秋•东湖区月考）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O
重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，
点A的坐标为（ ）
A．（ ，﹣1） B．（﹣1，﹣ ） C．（﹣ ，1） D．（1， ）
8．（2023秋•崇川区校级月考）如图，正五边形ABCDE内接于 O，PD与 O相切于点D，连接OE并
⊙ ⊙延长，交PD于点P，则∠P的度数是（ ）
A．36° B．28° C．20° D．18°
9．（2023秋•诸暨市校级月考）如图，AB，BC和AC分别为 O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，
则n是（ ） ⊙
A．六 B．八 C．十 D．十二
10．（2023秋•高邮市校级月考）如图， O半径为 ，正方形ABCD内接于 O，点E在 上运动，
⊙ ⊙
连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为（ ）
A． ﹣1 B．1 C． ﹣1 D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•五华区校级月考）把一个正多边形绕它的中心旋转 36°后能与原来的位置重合，则这个多边
形的边数至少是 ．
12．（2023秋•仓山区校级月考）正五边形的中心角的度数是 ．
13．（2023秋•栖霞区校级月考）已知边长为 2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为
．
14．（2023 秋•江宁区校级月考）如图，AE 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线，则∠BAE＝
°．15．（2023秋•东台市月考）已知正六边形的半径是2，则这个正六边形的边长是 ．
16．（2023秋•沭阳县校级月考）如图摆放着正五边形 ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线
上，EG∥BF，则∠DEG的度数是 ．
17．（2023 秋•栖霞区校级月考）如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，以 AB 为边在正六边形
ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ °．
18．（2023秋•玄武区校级月考）如图，六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，
AE 长为半径作弧，在 O 外交于点 G，连接 OG．⊙若 O 的半径为 1，则 OG 的长度为
． ⊙ ⊙三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•仓山区校级月考）李师傅要为某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的
度数比一个内角度数的 多12°，请你帮李师傅求出这个正多边形的一个内角的度数和它的边数．
20．（2022秋•响水县校级月考）如图，正方形ABCD内接于 O，P为 上的一点，连接DP，CP．
⊙
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为 的中点时，CP是 O的内接正n边形的一边，求n的值．
⊙
21．（2022秋•下城区校级月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．
（1）求证：AO＝CD；
（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．22．（2022秋•崇川区校级月考）如图，正方形 ABCD的外接圆为 O，点P在劣弧 上（不与C点重
⊙
合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若 O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
⊙
23．（2022秋•长沙期中）明达中学在校园里建了一个读书亭．它的地基是半径为4米的正六边形．
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？24．（2022秋•平潭县校级月考）如图，正方形ABCD是 O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延
长线上，且∠F＝∠BEC，BF交 O于点G，连接DG，⊙交BC于点H．
（1）求证：四边形BECF是平行⊙四边形；
（2）求证：DH＝CE．
25．（2022•安徽二模）如图，正方形ABCD内接于 O，E是 的中点，连接AE，DE，CE．
⊙
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．26．（2022秋•五华区校级期中）（1）已知：如图1，△ABC是 O的内接正三角形，点P为劣弧BC上
一动点．求证：PA＝PB+PC； ⊙
（2）已知：如图2，四边形ABCD是 O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+
⊙
PB．
