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专题02 复数（选填题10种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 复数的实部与虚部
【例1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，故复数 的虚部是 .故选：C
【例1-2】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 ，若 的虚部等于实部的两倍，则实数
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
又 的虚部等于实部的两倍，所以 ，解得 .故选：D
【变式】
【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·河南·校联考模拟预测）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 的虚部为3．
故选：B．
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若i是虚数单位，则复数 的虚部等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
复数 的虚部等于 ．
故选：B．
3（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数 ，则 的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 的实部为 .故选：A.
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）设 ，若复数 的虚部为3（其中 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】复数 ，
因为其虚部为3，所以 ，可得 .故选：A.
考法二 共轭复数
【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，所以复数 的共轭复数为 .故选：C
【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复
数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 .故选：B
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
考法三 相等复数
【例3-1】（2023·新疆·统考三模）已知 ，其中 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】 ，则 ，
则 ，解得 ，故选：D.
【例3-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，其中 为虚数
单位，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设复数 ，则 ，
则 ，则 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
故选：C.
【变式】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 ，其中 ， 为实数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】 ，∴ ， ， .
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，解得： ．故选：C.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
考法四 复数的模长
【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由题意有 ，故 ．
故选：B．
【例4-2】．（2023·全国·统考高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】由题意可得 ，则 .故选：C.
【变式】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 ，有 ，
∴ .
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）.
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
则 ，所以 .
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】3（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若复数 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】 ，
故选：A
考法五 在复平面对应的象限
【例5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
所以 ，故z在复平面内对应的点 位于第一象限.
故选：A.
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实
数 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则 ，解得 ，故选：C．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为 ，
则所求复数对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将 整理化简可得 ，
所以复数 在复平面内对应的点坐标为 ，
由点位于第四象限可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
3．（2023·河南开封·统考三模）“ ”是“复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点在第
四象限”的（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，
又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以 ，解得 ，
因此 是 必要不充分条件，
故选：B
考法六 复数的分类
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数 为纯虚数（ ），则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，
在 中，
∵z为纯虚数，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
故选：C．
【例6-2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 ，复数 ， 是实数，则
（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】C
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 ，故 ，解
得 ，故 .
故选：C
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数 为纯虚数，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0或-1 D．0或1
【答案】A
【解析】因为复数 为纯虚数，
所以 ，解得： .
故选：A.
2．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数
（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】
，
要使 为实数，需满足 ，所以 .
故选：B.
3．（2023·河南·统考三模）复数 纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C．4 D．1
【答案】C
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 为纯虚数，
所以 ，故 .故选：C
考法七 在复数的范围内解方程
【例7-1】（2023·山东济南·统考三模）已知复数 是关于 的方程 的两根，则 的值为
（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】D
【解析】解法一：由 ，得 ， ，
所以 ；
解法二：方程 ，由韦达定理可得 .
故选：D
【例7-2】（2023·河南·统考模拟预测）已知 ， 为实数， （i为虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解析】由 是关于 的方程 的一个根，
则 是关于 的方程 的一个根，
则 ， ，
即 ， ，则 ，故选：D.
【变式】
1．（2023·重庆·统考三模）设 ， 是方程 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由方程 得 ，由求根公式得根为 ，
不妨设 ， .
，A错误；
，B错误；
，C错误；
令 ，得 或 ，
所以 ， 也是方程 的两个根，所以D正确.
故选：D.
2．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．9 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的一个根，
则 ，即 ，即 ，
解得 ，故 .
故选： ．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程 有实根
b，且 ，则复数z等于（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由b是方程 ）的根可得 ，
整理可得： ，所以 ，解得 ，
所以 ．故选：A
考法八 与复数相关的轨迹
【例8】．（2023·河北沧州·校考三模）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】复数 满足 ，则 ，∴ ，故选：D
【变式】
1．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数 为虚数单位 为纯虚数，则在复平面内，
对应的点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射线
【答案】D
【解析】由题意可知，复数 在复平面内对应的点 ，
所以 ，
因为 为纯虚数，所以 ，解得 或 ，
故在复平面内， 对应的点 的轨迹为不含端点的4条射线.故选：D.
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知复数 满足 在复平面内对应的点为
，则（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，可知复数 在复平面内对应的点为 到点 的距离为3，
则 ，即 .
故选：C.
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点 ，则
下列为真命题的是（ ）．
A．若 ，则点 在圆上
B．若 ，则点 在椭圆上
C．若 ，则点 在双曲线上
D．若 ，则点 在抛物线上
【答案】D
【解析】 表示点 与 之间的距离，
表示点 与 之间的距离，记 ， ，
对于A， ，表示点 到 、 距离相等，则点 在线段 的中垂线上，故A错误；
或由 ，整理得 ，所以点 在 ，故A错误；
对于B，由 得 ，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若 ， ，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若 ，则 ，整理得 ，为抛物线，故D正确.
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D.
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，且 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【解析】设 ，
因为 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
当 时， 有最大值为2．故选：D．
【变式】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】复数 满足 ，
则复数z对应的点的轨迹为以 为焦点，长轴长 的椭圆，
则椭圆短半轴长为 ，椭圆方程为 ，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， 取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， 取值小值 ；
故 的取值范围为 ，
故选：D
2．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小值
【淘宝店铺：向阳百分百】为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设复数 在复平面内对应的点为 ，
因为复数 满足 ，
所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 ，
又 表示点 到点 的距离，
所以问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值，
当 为 时，到定点 的距离最小，最小值为1，
所以 的最小值为1，故选：A．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设 且 ，满足 ，则 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】设 ，
，则 ，
所以 ，
，所以 ，
即 对应点 在以 为圆心，半径为 的圆 上.
， 对应点为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】与 关于 对称，
所以点 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
表示 与 两点间的距离，
圆 与圆 相交，圆心距为 ，如图所示，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
考法十 复数的综合运用
【例10】（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）（多选）设复数 ，且 ,其中
为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若 ，则 是实数
B．若 ，则存在唯一实数对 使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若 ，则
【答案】ACD
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对于A中，若 ，因为 ，则 ，可得 ，
设 ，则 ，所以A正确；
对于B中，由A得 ，设 ，若 ，
则 ，
只要 或 ，选项B就不正确；
例如： ，此时 ，
可表示为 或 ，
所以表示方法不唯一，所以B错误.
对于C中，若 ，则 ，可得 ，
则 ，所以 且 ，
设 ，则 ，其中 ，
则复数 对应的向量与复数 对应的向量方向共线，且长度是 倍，
故 在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与 方向共线），所以C正确.
对于D中，若 ，可得 ，同理 ，
由 ，即 ，可得 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 成立，
所以 成立，所以D正确.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023秋·辽宁抚顺）（多选）若复数 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 在第二象限
B．若 为纯虚数，则 在虚轴上
C．若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
D．若 ， 互为共轭复数，则 是实数
【答案】BD
【解析】对于A项，因为 ，则 ，
所以 在坐标轴上，故A项错误；
对于B项，若 为纯虚数，则 （ ），则 （ ）在虚轴上，故B项正确；
对于C项，设 （ ），因为 ，所以 ，即 ，
则点 的集合所构成的图形是圆心为 ，半径为3的圆及其内部，
所以点 的集合所构成的图形面积为 ，故C项错误；
对于D项，设 ，则 ，所以 ，故D项正确．
故选：BD.
2．（2023春·河北石家庄）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
【淘宝店铺：向阳百分百】B．若复数 满足 ，则
C．若 ，则复数 一定为实数
D．若复数 满足 ，则 最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，由于 ，
根据复数相等的知识可知 ，A选项正确.
B选项，若 ，则 ，但 ，B选项错误.
C选项，设 ，
由 得 ，
则 ，解得 ，所以 为实数，C选项正确.
D选项，由于 ，所以 对应点的轨迹是以 为圆心，
半径为 的圆，而 表示圆上的点到原点的距离，
所以 最大值为 ，D选项正确.
故选：ACD
3．（2023秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）（多选）已知复数z， ， ， 是z的共轭
复数，则下列说法正确的是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，设 ，则 ，故A正确；
对于B，令 ，满足 ，故B错误；
对于C，设 ， ，则
，所以
，故C正确；
对于D，设 ，则 ，
即 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到 的距离，故 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由共轭复数的定义可知， .故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】 故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
7．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
8．（2021·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
9．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
.
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B.
10．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限， ， ，
若 ，则z的虚部为（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】A
【解析】由题意得 ，
所以 ，解得 或 ，
因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以 舍去，
故 ，虛部为-3．
故选：A.
11．（2023·海南·统考模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数 是最小的纯虚数
B．在复数范围内，模为1的复数共有 和 四个
C． 与 是一对共轭复数
D．虚轴上的点都表示纯虚数
【答案】C
【解析】虚数不能比大小，故A错误；
对于复数 ，但凡满足 ，其模均为1，显然不仅四个，比如 时，
，故B错误；由共轭复数的定义可知C正确；
原点 也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.故选：C
12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）欧拉公式 由瑞士数学家欧拉发现，其将自
然对数的底数 ，虚数单位 与三角函数 ， 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 ，
则z的虚部为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
因为 ，所以z的虚部为 .
故选：D.
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
（ ）
A． 的实部为3 B． 的虚部为1
C． D． 在复平面对应的点在第二象限
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以复数 的实部为 ，虚部为 ，故A、B错误；
复数 在复平面对应的点为 ，位于第一象限，故D错误；
，故C正确.
故选：C
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 （a， ，i为虚数单位），则复数
（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
所以 ．
故选:B．
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知 是关于方程 的一
个根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 是关于方程 的一个根，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：B
16．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知 ，其中a，b为实数，则在复平面内复数 对应
的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解之得 ，则 ，
其在复平面内对应点的坐标为 ，该点位于第四象限.
故选：D
17．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【解析】设 ， ，
， ，
， ，
.
故选：A
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由已知得 ，
．
法二：由已知得 ，故 ，即 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】.
故选：B．
19．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知复数 （其中 为虚数单位）在复
平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
由题意可知 ,解得： ．
故选：D．
20．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知复数 ， ，且z在复平面上对应
的点位于第二象限，则 （ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，解得 ，
又z在复平面上对应的点位于第二象限，所以 ．
故选：B.
21（2023·湖北武汉·统考三模）设复数 满足 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，
则
，
依题意得 ，即 ，
则 .
故选：A
22．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ，
由题意可得：
可得关于 的方程 的根为 ，
故 ，
整理得 ，
即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，可得 ，
且2022为偶数，所以 .
故选：B.
23（2023·重庆·校联考三模）已知方程 在复数范围内有一根为 ，其中i为虚数
单位，则复数 在复平面上对应的点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】：因为方程 在复数范围内有一根为 ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
则复数 在复平面上对应的点在第二象限．
故选：B．
24．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 是关于 的方程 的一个根，
则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为 是关于 的方程 的一个根，
所以方程的另外一个根为 ，
则 ，
所以 ，
所以 在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
25．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程 的两根为 ，则
【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意，在 中，解得： ，∴ ，
故选：C.
26．（2023春·云南）已知复数 ， 和 满足 ，若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【解析】根据题意，得 ，
当 ， ， 时， ，此时 ，
所以 .故选：B.
27．（2023春·河北石家庄 ）复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】 ，∴ ， 对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上，
表示复数 对应点和 对应的点间距离，
又 ，
所以 的最小值是 ，
故选：B．
【淘宝店铺：向阳百分百】28．（2023·山东）设 ，则满足 的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以复数 在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为 到半径为 之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数 在复平面上的对应点构成图形的面积 .故选：C
29．（2023春·宁夏银川 ）设复数 ， 满足 ， ，复数 在复平面内所
对应的点分别为A，B，C，则三角形 的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设 ， ，
则 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ， ，
在 中，过 作 ，垂足为 ，
则 为 中点，即 ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：D.
30．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小
值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设复数 在复平面内对应的点为 ，
因为复数 满足 ，
所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 ，
又 表示点 到点 的距离，
所以问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值，
当 为 时，到定点 的距离最小，最小值为1，
所以 的最小值为1，故选：A．
二、多选题
31．（2023·山西吕梁·统考二模）已知 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．复数 的虚部为
C．若 ， 互为共轭复数，则 D．若复数 为纯虚数，则
【答案】ACD
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】对A，因为 ，A正确；
对B，复数 的虚部为1，B不正确；
对C，令 ， ， ， ，所以 ，故C正确；
对D，若复数 为纯虚数，则 ，且 ，即 ，故D正确．
故选：ACD
32．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 是虚数单位，复数 ，
，则（ ）
A．任意 ，均有 B．任意 ，均有
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
【答案】AD
【解析】根据复数的概念可知 不能与实数比大小，故B错误；
由复数的模长公式可得 ，
易知 ，且不能同时取得等号，故 ，即A正确；
即动点E 到动点F 的距离，显然E在抛物线 上，F在单位圆
上，如图所示，
当 时， ，故D正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】若存在 ，使得 ，则 ，
由上知 ，即上述方程组无解，故C错误；
故选：AD
33．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 ， 为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【答案】AC
【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；
B：取 ， ，满足 ，但 ，故本选项错误；
C：设 ， ， ，由 ，得 ，即 ， ，所以
，即 ，故本选项正确；
D：取 ， ，则 ， ，此时 且 ，故D不正确．
故选：AC
34．（2023·海南·海南中学校考三模）已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
【答案】AB
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由已知 ，其对应点坐标为 ，C错； ，A正确；
由 知 对应的点在以 对应点为圆心，2为半径的圆上， ，
因此 ，B正确； 对应点坐标为 ，因此 ,故D错误，
故选：AB.
35．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z， ， 是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BC
【解析】若 ，设 ，所以 ，
则 不一定为 ，故A错误；
若 ，设 ，所以 ，
则 不一定为 ，故B正确；
若 ，设 ， ，
则 ， ，故C正确；
若 ，设 ， ， ，
，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ， 不一定为 ，故D错误；
故选：BC.
36．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
【答案】AD
【解析】A选项，设 ， ，则 ，故 ，
则 ，故A为真命题；
B选项，复数 满足 ，但 ，故命题B为假命题；
C选项，若复数 ， 满足 ，但 ，故命题C为假命题；
D选项，若复数 ，则 ，故D为真命题.
故选：AD
37．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知 为虚数单位，以下四种说法中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第三象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】BCD
【解析】若 ，满足 ，但 不成立，故A错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】若 ，则 ，又 ，则 ，故B正确；
若 ，则 ，
则复平面内 对应的点为 ，位于第三象限，故C正确；
若复数 满足 ，设 ，
则 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点的轨迹为直线 ，故D正确．
故选：BCD．
38．（2023秋·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）若复数 ，则下列命题中
正确的是（ ）
A． 为纯虚数的充要条件是 且 B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A， 为纯虚数的充要条件是 且 ，A正确；
对于B，取 ，则 ，而 ，所以 ，B错误；
对于C， ，所以 ，C正确；
对于D， 表示 对应的点 在以 为圆心，1为半径的圆上， 表示 对应的点 与原点 的
距离，故 ，D正确.
故选：ACD.
【淘宝店铺：向阳百分百】39．（2023·全国·高一专题练习）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 （i为虚数单位），则
B．若复数z满足 ，则
C．若复数 ，则z为纯虚数的充要条件是 且
D．若复数z满足 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
【答案】ACD
【解析】对于A，复数 ， A正确；
对于B，令 ，满足 ，而 ，B错误；
对于C，复数 ，则z为纯虚数的充要条件是 且 ，C正确；
对于D，令复数 ，由 ，得 ，
因此复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，D正确．
故选：ACD
40．（2023秋·辽宁 ）设复数z满足 （其中 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点位于第四象限
C． D．若 ，则
【答案】BC
【解析】由已有 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 的虚部是 ，A错误；
对应点坐标是 ，在第四象限，B正确；
，C正确；
，故 对应点在以 为圆心，2为半径的圆上（含内部）
又 ，所以 的最大值是 ，D错．
故选：BC．
三、填空题
41．（2023·天津·统考高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
【答案】 /
【解析】由题意可得 .
故答案为： .
42．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：
．据此公式，复数 的虚部为 ．
【答案】
【解析】依题意，
，
故所求复数的虚部为 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
43．（2023·四川成都·校联考二模）若复数 满足 ，则复数 的虚部为 ．
【答案】1
【解析】设 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，得 ，
所以复数 的虚部为1．
故答案为：1.
44．（2023·四川·校联考模拟预测）已知 ， 是虚数单位，复数 ， ，若 为纯虚数，
则复数 的虚部为 .
【答案】
【解析】由复数的运算法则，可得 ，因为复数
是纯虚数，则 且 ，解得 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为： .
45．（2023·江西景德镇·统考三模）已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】设 ，
由 的几何意义知： 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】的几何意义为点 到坐标原点 的距离，
.
故答案为： .
46．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）复数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
所以 则 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
故 .
故答案为：
47．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则
.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减得 ，
将以上两式相加即得：
，
故答案为：
48．（2023春·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为Z，且满足 ，
O为原点， ，求 的取值范围 .
【答案】
【解析】设 ，复平面中一点 ，则有
即 在以 为圆心，1为半径的圆周上或圆内，
【淘宝店铺：向阳百分百】设直线AB与圆交于E、F两点，则 ，
而 为 在 上的投影，
由图可知 ，则 ，
，
所以 ，
故答案为：
49（2023·全国·高三专题练习）设复数 满足 的实部与虚部之比为 ，其中 是虚数单位， ，
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】】由于 ，
于是 ，
又 的实部与虚部之比为 ，因此 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】于是复数 所对应的点 在圆 上，圆心 的坐标为 .
令点 的坐标为 ，如图所示，
于是就有 （转化为斜率，代数问题几何化），因此当直线 与圆相切时 最小，
其最小值为 ，因此 的最小值为 .
故答案为： .
50．（2023·全国·高三专题练习）已知三个复数 ，并且 ， 所对应的向量 ，
满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
以向量 ， 的方向分别为复平面内 轴的正方向建立直角坐标系，如图，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，则 ，令复数 对应的点为 ，有 ，
由 ，得复数 对应的点 的轨迹是以原点 圆心，1为半径的圆，
因此 ，当且仅当 反向共线时取等号，
，当且仅当 同向共线时取等号，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】
