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专题 02 函数与嵌套函数的零点问题
难点突破
知识讲解
一、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数 ,把使函数 的值为0的实数 叫作函数 的零点.
2.几个等价关系
方程 有实数根⇔函数 的图象与 有交点⇔函数 有 .
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数 在区间 上的图象是一条不间断的曲线,且 ,那么,函数 在区间
,上有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数 在定义域上是单调函数,则 至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程 的实根.
(5)由函数 (图象是连续不断的)在闭区间 上有零点不一定能推出 ,如图所
示,所以 是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件.
二、二分法对于在区间 上连续不断且 的函数 ,通过不断地把函数 的零点所在的
区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
三、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
判别式符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与 轴的交点 无交点
零点个数 2 1 0
题型一、根据零点存在定理判断函数零点所在区间
1．在区间 上有零点的一个函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）在下列区间中，函数 的零
点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．方程 的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023届广东省二模数学试题）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）A． B． C． D．
6．若用二分法求方程 在初始区间 内的近似解，则第三次取区间的中点
.
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数 在区间 上的图象是否连续,再看
是否有 .若有,则函数 在区间 内必有零点.
题型二、根据函数图象交点判断函数零点所在区间
1．设函数 ,则函数 ( ).
A.在区间 内均有零点
B.在区间 内均无零点
C.在区间 内有零点,在区间 内无零点
D.在区间 内无零点,在区间 内有零点
2．设 , ,则函数 存在的零点所在的区间一定为( ).
A． B． C． D．
3．已知函数 ，若 ，且 ，则 的最大值为 ．
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断.题型三、函数零点个数的判断
1．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．已知函数 ，且 ，则 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．函数 在 上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时， ，已知
，则函数 在 上的零点个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
(1)通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程 有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交
点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
题型四、根据零点所在区间求参数取值范围
1．设 ， 是函数 的两个极值点，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．2．方程 的一根在区间 内，另一根在区间 内，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的零点所在的区间为(k，k+1)，则k = ．
6．（2023年内蒙古模拟考试数学（文）试题）已知函数 在区间 上有
零点，则 ．
7．已知函数 ， ，若存在 ，使得 成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五、根据零点个数求参数取值范围
1．已知函数 ，若 恰有两个零点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．2．已知函数 与函数 的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年辽宁省联考数学（B卷）试题）若函数 有 个不同的零点,则实数 的取值
范围为 .
4．已知函数 与函数 的图象上恰有两对关于 轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六、根据零点为整数求参数取值范围
1．（全国卷2022届高三一轮复习联考（五）文科数学试题）已知关于x的不等式 的解
集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 恰有3个正整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
题型七、多个零点问题1．（2023年河南郑州模拟考试数学试题）已知定义在 上的函数 满足:① , ②
,③在 上表达式为 ,则函数 的零点个数为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
2．函数 的所有零点之和为 .
3.已知函数 是定义在 上且以3为周期的奇函数,当 时, ,则函数
在区间 上的零点个数为（ ）.
A.3 B.5 C.7 D.9
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型八、比较零点大小
1．已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，则 、 、 的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正实数 ， ， 满足： ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大
小顺序为（ ）
A． B． C． D．5．（2023年江苏省模拟数学试题）函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺
序为（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 （ ），其中 ，若方程
恰好有3个不同解 ， ， （ ），则 与 的大小关系为（ ）
A．不能确定 B． C． D．
题型九、求由零点组成代数式的取值范围
1．已知函数 ，若存在 ，使得 ，现给出下列四
个结论：① ，② 的最大值为 ，③ 的取值范围是 ，④ 的取值范围是
．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
2．已知函数 ，若a，b，c互不相等，且 ，则abc的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．3．设函数 ， 有四个实数根 ， ， ， ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若方程 有三个实数根 ， ， ，且 ，则下列
结论不正确的为（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D．不等式 的解集为
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型十、具体函数求零点的和
1．（2023年甘肃省模拟考试（文科）数学试题）定义域在 上的奇函数 ，当 时，
，则关于 的函数 的所有零点的和是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ， 是方程 的五个不等的实数根，则
的取值范围是 ．3．已知函数 ，若方程 的所有实根之和为4，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
5．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数
的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）函数 在 上的所有零点之和为
.
题型十一、抽象函数求零点的和
1．（2023届广东省模拟数学试题）已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，
为偶函数，若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则
.
2．已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则方程 在区
间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．53．（2023届福建省质量监测数学试题）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ．若 与 的图象交于点 、 、 、 ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型十二、嵌套函数零点个数的判断
1．（2024届河南省模拟考试数学试题）已知函数 （ 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知函数 则关于 的函数 的零点的个数为（ ）.
A．8 B．7 C．5 D．2
4．已知函数 则下列关于函数 的零点个数判断正确的是
.
①当 时,有1个零点
②当 时,有4个零点
③无论 取何值,均有2个零点
④无论 取何值,均有4个零点5．已知 则函数 的零点个数是( ).
A．3 B．5 C．7 D．8
6．（2023年江苏省联合调研测试数学试题）已知函数 则函数
的零点个数为 ．
1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤
(1)换元解套,转化为 与 的零点;(2)依次解方程,令 ,求 的值,代入 求出
的值或判断图象交点个数.
2.抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.
题型十三、已知嵌套函数的零点个数求参数
1．已知函数 若关于 的不等式 恰有1个整数解，则实
数 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
2．已知函数 若函数 恰好有5个不同的零点,则
实数 的取值范围是（ ）.
A．(0,1] B．(0,1) C．[1,+∞) D．(1,+∞)3．已知函数 若关于 的方程 有两个不等实根
x1,x2,且 ,则 的最大值是（ ）.
A．0 B．2 C． D．4+2ln 2
4.已知函数 若方程 有六个不等实根,则实数 的取值范围
是 .
5．已知函数 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
．
6．定义域为 的函数 若关于x的函数 有5个不同的零点 、
、 、 、 ，则 等于（ ）．
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（2023届福建省质量检测数学试题）已知函数 ，若函数
恰有5个零点 ，且 ， ，
则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．8．已知函数 是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(3)当 为何值时，讨论关于 的方程 的根的个数．
(1)求解本题抓住分段函数的图象与性质,由 与 的图象,确定 的取值范围,进而由
的图象确定零点的个数.
(2)含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
