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专题02 逻辑用语与命题100题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）命题： ， 的否定是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【详解】
解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即 ， ，
故选：A．
2．（河南省名校大联考2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）命题“ ，
”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
由特称命题的否定求解即可
【详解】
命题“ ， ”的否定为：
， ，故选：B
3．（北京市朝阳区2022届高三上学期期中质量检测数学试题）设 ，则“ ”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
求出 为纯虚数时 的值，与 比较，判断出结果
【详解】
，复数 为纯虚数，则 ，解得： ，所以则
“ ”是“复数 为纯虚数”的充要条件
故选：C
4．（江苏省常州市田家炳高级中学2021-2022学年高一10月份调研数学试题）“ ”是“ ”的（
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当 时， 成立，即充分性成立，
当 时，满足 ，但 不成立，即必要性不成立，
则“ “是“ “的充分不必要条件，
故选：A．
5．（广东省梅州市梅江区嘉应中学2021届高三上学期第一次（9月）月考数学试题）设命题 ：， ： ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
先解不等式，再根据不等式的解集和充分条件和必要条件的定义可得结论
【详解】
因为 ： ， ： ，而 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
6．（北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题）已知命题 ， 则 是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
由全称命题的否定是特称命题即可得结果.
【详解】
由全称命题的否定是特称命题知： ， ，
是 ， ，
故选：C.
7．（广东省佛山市南海区狮山高级中学2021-2022学年高一上学期阶段一（月考）数学试题）王昌龄《从
军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】
根据诗句的含义及充分条件、必要条件的定义可得正确的选项.
【详解】
“不破楼兰终不还”指“不攻破楼兰”不回家，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，
但“返回家乡”一定“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（三）数学试题）“ ”是“ 且 ”成立
的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【分析】
根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.
【详解】
当 且 时，显然 成立，但是 且 ”不成立，
当 且 时，显然 且 成立，但是 不成立，
因此“ ”是“ 且 ”成立的既非充分也非必要条件，
故选：D.
9．（四川省眉山市彭山区第一中学2021-2022学年高三上学期10月月考文科数学试题）若定义域为R的
函数f(x)不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)
C．∃x
0
∈R，f(－x
0
)≠f(x
0
) D．∃x
0
∈R，f(－x
0
)≠－f(x
0
)
【答案】D
【分析】
利用奇函数的定义，结合命题的否定，即可得到结论.
【详解】
解：定义域为R的函数f(x)是奇函数，则∀x∈R， 恒成立.定义域为R的函数 不是奇函数
，
故选：D.
10．（考前信心增强卷（考前舒心）-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用））“
”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.
【详解】
解：因为 ，根据三角函数的基本关系式，可得 ，
反之：若 ，根据三角函数的基本关系式，可得 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C.
11．（重庆市2022届高三上学期第二次质量检测数学试题）“ 为第二象限角”是“ ”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
结合三角函数、充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
若“ 为第二象限角”，则 ，即 .
若 ，如 ，但 是第三象限角.
所以“ 为第二象限角”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
12．（甘肃省嘉谷关市第一中学2020-2021学年高三上学期三模考试数学（文）试题）已知 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则 的一个充分条件是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】
利用充分条件结线面关系的判定和性质逐个分析判断
【详解】
对于A，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以A错误，
对于B，由 ， ，可得 ，所以B正确，
对于C，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直， 可能在 内，所以C错
误，
对于D，由 ， ，可得 与 可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D错误，
故选：B.
13．（江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二下学期第三次调研考试数学试题）《墨经》上说：“小故，
有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关
系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
【答案】A
【分析】
读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解
【详解】
由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.
故选：A.
14．（江苏省连云港市海头高级中学2020-2021学年高一上学期10月质量检测数学试题）必修一课本有一
段话：当命题“若 ，则 ”为真命题，则“由 可以推出 ”，即一旦 成立， 就成立， 是 成立
的充分条件.也可以这样说，若 不成立，那么 一定不成立， 对 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不
能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.
【详解】
因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
15．（安徽省池州市东至县第二中学2020-2021学年高二下学期4月期中理科数学试题）某个与正整数有
关的命题：如果当 时命题成立，则可以推出当 时该命题也成立.现已知 时命题
不成立，那么可以推得（ ）
A．当 时命题成立 B．当 时命题不成立
C．当 时命题成立 D．当 时命题不成立
【答案】D
【分析】
利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
【详解】
解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当 时命题成立，则可以推出当 时该命题也成立，
所以当 时命题不成立，则可以得到当 时命题不成立，
故选：D.
16．（广东省汕头市2021届高三三模数学试题）已知 是数列 的前n项和，则“ 对
恒成立”是“ 是公比为2的等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【分析】
根据等比数列以及充分必要条件的定义即可求解.
【详解】
解：若 ，则 ，即 ，
根据等比数列的定义， 是公比为2的等比数列不成立；
若 是公比为2的等比数列，则 ，即 ，
所以 成立；
所以“ 对 恒成立”是“ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
17．（四川省宜宾市2021届高三二模（文科）试题）若 ， 是平面 外的两条不同直线，且 ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“ ”、“ ”之间的充分、必要关系.
【详解】
∵ ， 是平面 外的两条不同的直线， ，
∴若 ，则推出“ ”；若 ，则 或 与 相交；
∴若 ， 是平面 外的两条不同直线，且 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
18．（2021届青海省西宁市高三一模数学（文）试题）如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，
那么丙是甲的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可得甲=乙，即可得结果.
【详解】
∵甲是乙的充要条件，∴甲、乙等价；
又∵丙是乙的充分不必要条件，∴丙是甲的充分不必要条件.
故选：A.
19．（陕西省咸阳市2021届高三下学期高考模拟检测（三）数学（文）试题）已知命题 三角形是等腰
三角形，命题 三角形是等边三角形，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据充分、必要条件的定义，即可得出结论.
【详解】
等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，
“三角形是等腰三角形”是“三角形是等边三角形”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.
20．（江苏省泰州市泰兴中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知a，b∈R，则“a＞0，b＞
0”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断
【详解】
由 可知 ，
∴“ ”是“ ”的充分条件，
时，取 不等式成立，∴“ ”不是“ ”的必要条件．
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
21．（浙江省台州市、永康市六校（三门中学、黄岩中学、温岭中学、天台中学、台州中学）2021-2022
学年高三上学期11月期中联考数学试题）已知 ， 为单位向量，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据向量数量积的运算以及充分条件和必要条件的定义判断即可求解.
【详解】
由 可得 即 ，
因为 ， 为单位向量，所以 ，
所以 ，可得： ，所以 ，故充分性成立，
若 ，则 ，可得 即 ，故必要性成立，
所以 ， 为单位向量，则 是 的充要条件，
故选：C.
22．（浙江省2022届高考模拟卷数学试题（五））已知直线 R，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】
结合两直线的位置关系以及充要条件的概念即可判断.
【详解】
或 ，由于 ，所以 ，
由充要条件的概念可知选C.
故选：C．
23．（浙江省绍兴市诸暨市2018-2019学年高三上学期期末数学试题）等比数列 的首项 ，前
项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】
采用列举法即可求解
【详解】
当 时， ，但 ，故充分性不成立；反之，当 时， ，但 ，故必要性不
成立，“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
24．（北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
根据充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解.
【详解】
若 ，则当 时，有 ，即 推不出 ，
若 ，则当 时，有 ，即 也推不出 ，
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选：D.
25．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2021-2022学年高三上学期10月联考数学理科试题）已知命题
： 中，如果 ，那么 ；命题 ： 中，如果 ，那么 ，则下列命
题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先判断命题 与命题 的正误，再根据逻辑联结词判真假的方法进行逐一判断即可.
【详解】
命题 ： 中，如果 ， 或 ，所以命题 错误， 正确；
命题 ： 中，如果 ，那么 正确，所以 错误；
所以 错误， 错误， 错误， 正确.
故选：D.
26．（海南省东方市琼西中学2022届高三9月第一次月考数学试题）“ ”是“ ”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用对数函数单调性，举反例判断
【详解】
故 则 成立，反之，当 ，对数无意义
故“ ”是“ ” 充分而不必要条件
故选：A.
27．（安徽省合肥市第九中学2021-2022学年高三上学期第一次阶段测验文科数学试题）下列说法中，正
确的个数为（ ）（1）若 ， 是非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件；
（2）命题“在 中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
（3）已知命题 ： ， ，则它的否定是 ： ，
（4）若“ 且 ”与“ 或 ”均为假命题，则 真 假．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
由 ，可得 ， ， ，从而判断（1）；由正弦定理及边角关系可判断（2）；由特称命题
的否定形式可判断（3）；利用复合命题真假的判定法则可判断（4）．
【详解】
解：对于（1），若 ， 是非零向量， ，则 ， ， ， 与 的夹角不一定为锐角，故
（1）错误；
对于（2），在 中， ，其中 为 外接圆的
直径，
故命题“在 中，若 ，则 ”为真命题，所以其逆否命题为真命题，故（2）正确；
对于（3），命题 ， ，其否定是 ， ，故（3）错误；
对于（4），若“ 且 ”为假命题，则 与 中必有一个为假命题，
若“ 或 ”为假命题，则 与 都为假命题，即 为真命题， 为假命题，故（4）正确．
故选：B．
28．（海南省农垦中学2022届高三10月第1次月考数学试题）若条件 ，条件 ，则
p是q的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
先求解两个不等式，根据充分条件，必要条件的定义判断即可
【详解】由题意，条件 或
条件 或
故条件 ，
则p是q的既不充分也不必要条件
故选：D.
29．（四川省巴中市2021-2022学年高三上学期“零诊”数学（文科）试题）已知命题 是
的充要条件，命题 ， .下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
判断出命题 与 的真假，再根据真值表可得结果.
【详解】
由不等式的性质知 ，故命题 为真命题；
取 知 ，故 为假命题，
所以 为真命题，从而 为真命题.
故选：C.
30．（河南省大联考2021-2022学年上学期高中毕业班阶段性测试（二）理科数学试题）已知命题
， ；命题 当 时，函数 在 上存在最小值.则下列命题中
的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断出命题 的真假，利用二次函数的基本性质可判断命题 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
因为当 时, ，所以命题 为真命题；
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时， 取得最小值，故命题 为真命题.
所以 为真命题， ， ， 均为假命题.
故选：A.
二、多选题
31．（江苏省宿迁市沭阳县修远中学2021-2022学年高三上学期第一次阶段考试数学试题）下列说法正确
的有（ ）
A． ，
B． ，
C．若 ， ，则 ，
D．若 ， ，则 ，
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法可判断AB选项的正误；利用全称命题、特称命题的否定可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，取 ，则 ，A错；
对于B选项，取 ，则 成立，B对；
对于C选项，由特称命题的否定可知，若 ， ，则 ， ，C对；对于D选项，由全称命题的否定可知，若 ， ，则 ， ，D错.
故选：BC.
32．（专题1.2常用逻辑用语-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区））下列命题中
的真命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据指数，二次函数，对数，三角函数的性质，逐项判断即可.
【详解】
A. ，根据指数函数值域知 正确；
B. ，取 ，计算知 ， 错误；
C. ，取 ，计算 ，故 正确；
D. ， 的值域为 ，故 正确；
故选：ACD.
33．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2021届高三下学期第四次模拟数学试题）已知命题 ，
， ，则（ ）
A． 是真命题 B． 是真命题
C． 是真命题 D． 的否定为“ ， ”
【答案】ACD
【分析】
首先判断 的真假性，由此判断ABC选项的正确性，根据全称量词命题的否定的知识判断D选项的正确
性.
【详解】对于命题 ， ，所以 为真命题，
对于命题 ， 在 上递减，所以 为假命题.
则 为真命题，
的否定为“ ”,正确.
故选：ACD.
34．（江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考数学试题）给出下列命题，其中假命题为
（ ）
A． ， ；
B． ， ；
C． ， ；
D． 是 的充要条件.
【答案】ABC
【分析】
. ，所以该命题是假命题；
.当 时， 所以该命题是假命题；
.举例说明该命题是假命题；
.利用充要条件的定义判断该命题是真命题.
【详解】
. ，所以该命题是假命题；
.当 时， 所以该命题是假命题；
.当 时，左边 ，右边 ，所以该命题是假命题；
. 时 ， 时 ，所以 是 的充要条件，所以该命题是真命题.故选：ABC.
【点睛】
本题主要考查全称命题和特称命题的真假判断，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌
握水平.
35．（海南省农垦中学2022届高三10月第1次月考数学试题）对于实数a，b，c，下列命题是真命题的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】
根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.
A考查可乘性，要判断 的符号；
B考查可乘性，显然 ，故B正确；
C考查可乘性，分两次运用；
D由已知变换出 的大小.
【详解】
A若 时，则原式不对，所以A错；
B由 ，则 ，两边同乘以 ，所以 ，故B正确；
C由 ，同乘以负数 ， 得 ， ，所以 ．故C正确；
D由 ，所以 ，所以 故D正确；
故选：BCD.
36．（广东省深圳市南山外国语学校2021-2022学年高一上学期9月统考数学试题）“关于x的不等式
对 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
由关于x的不等式 对 恒成立，可求得 ，再由真子集关系，即可得到答案；
【详解】
由题意得： ，
所选的正确选项是 的必要不充分条件，
是正确选项应的一个真子集，
故选：BD.
37．（上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（二）数学试题）假设“物理好数学就好是真命题”，
那么下面哪句话成立（ ）
A．物理好数学不一定好 B．数学好物理不一定好
C．数学差物理也差 D．物理差数学不一定差
【答案】BCD
【分析】
按照互为逆否的两个命题等价即可判断答案.
【详解】
设p:物理好，q:数学好，由题意，“若p，则q”为真命题，
所以“若 ，则 ”为真命题，C正确；
而其它形式的命题（否命题，逆命题）无法判定真假，则B,D正确.
故选：BCD.
38．（湖南省邵阳市邵东市第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考数学试题）下列判断不正确的
是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．函数 的最小值为2
C．当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
【答案】ABD
【分析】
结合对数、充分不必要条件、基本不等式、全称量词命题的否定等知识确定正确答案.
【详解】
A选项， 时， 不成立，所以A错误.
B选项， ，但 无解，所以B错误.
C选项， ，但 ，所以“ ”是“ ”的充分
不必要条件，C正确.
D选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，注意到是否定结论，不否定条件，所以D错误.
故选：ABD.
39．（2021·全国·高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．“ 且 ”是“ ”的充要条件
B．方程 有一正一负根的充要条件是
C．命题“若 ，则 .”的逆否命题为真命题
D．命题 ：“ ，使得 ”，则非 ：“ ， ”
【答案】BCD
【分析】
A. 利用基本不等式和特殊值判断； B.利用根的分布判断；C.由原命题与其逆否命题等价判断；D. 利用
含有量词的命题的否定的定义判断.
【详解】
A. 因为 且 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故充分，当时， ，故不必要；故错误；
B.若方程 有一正一负根，则 ，故正确；
C.命题“若 ，则 ，即 ，解得 ，因为原命题与其逆否命题等价，故正确；
D. 命题 ：“ ，使得 ”，则非 ：“ ， ”，故正确；
故选：BCD.
40．（2021·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
B．命题“ x<1，x2<1”的否定是“ x<1，x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【答案】ABD
【分析】
由充分必要条件可判断ACD，由全称命题的否定可判断B.
【详解】
对于选项A：“a>1”可推出“ <1”，但是当 <1时，a有可能是负数，所以“ <1”推不出“a>1”，
所以“a>1”是“ <1”的充分不必要条件，故A正确；
对于选项B：命题“∀x<1，x2<1”的否定是“∃x<1，x2≥1”，故B正确；
对于选项C：当x=-3，y=3时，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且
y≥2”，所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
对于选项D： “a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必
要而不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题41．（河南省中原名校2021-2022学年高三上学期第二次联考数学（文）试题）已知命题 ，
，若命题 是假命题，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
对 进行分类讨论，结合判别式求得 的取值范围.
【详解】
当 时， ，命题 是假命题，符合题意；当 时，若命题 是假命题，则 恒成
立，则 ，解得 .综上可得 .
故答案为： .
42．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知命题p：“
∈[1，2]，a< ”，若p为真命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】 /
【分析】
由题意可知 ∈[1，2]时， ，进而可以求出结果.
【详解】
由p为真命题，有 ，
而函数 在 ∈[1，2]上单调递增，所以
故答案为： .43．（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期段一测试理科数学试题）已知命题 ：“
， ”，若 为假命题，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
由于 为假命题，所以命题 为真命题，只要利用基本不等式求出 的最小值即可
【详解】
因为 为假命题，所以命题 为真命题，
，当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以取不到等号，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
44．（山东省2021-2022学年高三10月“山东学情”联考数学试题A）已知命题 ： ，命题 ：
，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________．
【答案】 /（4，6]
【分析】
根据充分不必要条件定义，结合解分式不等式、绝对值不等式的解法进行求解即可.
【详解】
解析： 移项整理可得 ，解得 ．
得 ．
由题意得： 且 ，从而得出 ．
故答案为： .45．（安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学试题）已知 “ ”，
“ ”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】
先求出命题p和命题q对应的集合，根据集合包含关系可得.
【详解】
对于命题p：由 可解得 ，
对于命题q：由 可解得 ，
p是q的充分不必要条件， ，
，解得 .
故答案为： .
【点睛】
结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2）若 是 的充分不必要条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4）若 是 的既不充分又不必要条件，则 对应的集合与 对应集合互不包含．
46．（北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）若“ ，使得 .”为假命题，则实
数a的最大值为___________.
【答案】3
【分析】
根据题中条件，得到 恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，进而可求出结果.
【详解】
由“∃x
0
>1，使得 .”为假命题，可知，“ ”为真命题，恒成立，
由 ，当且仅当 时取等号，
即a的最大值为3.
故答案为：3.
47．（安徽省马鞍山市二中外国语学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题）“ ”是“
”的_________________条件．
【答案】充分不必要
【分析】
根据定义分别判断充分性和必要性即可.
【详解】
充分性：若 ，则 ，故充分性成立；
必要性：若 ，当 时， 不成立，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
48．（陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学（理）试题）已知集合
， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范
围为________.
【答案】
【分析】
根据题意得 ，由于 是 的充分不必要条件，故 ，再根据集合的关系求范
围即可得答案.
【详解】解：根据指数函数的性质得 ，
因为 是 的充分不必要条件，
所以 ，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围为
故答案为： .
【点睛】
本题考查根据充分不必要条件求参数范围，指数不等式，是中档题.
49．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 是 的必要
不充分条件，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
分别求出关于 成立的 的范围，根据集合的包含关系判断即可．
【详解】
，则 解得： ，
所以 ，
，即 ，所以 ，
若 是 的必要不充分条件，则 为 的真子集，即 ，解得： .
故答案为： .50．（2022·全国·高三专题练习（理））命题 ：已知 ，且满足对任意正实数 ，总有 成
立.命题 ：二次函数 在区间 上具有单调性.若“ 或 ”与“ ”均为真命题，
则实数 的取值范围为_________；
【答案】 或
【分析】
依据题意知p， 均为真命题，再计算p， 为真命题时 的取值范围，求公共解即得结果.
【详解】
若“ 或 ”与“ ”均为真命题，则p， 均为真命题.
若命题 为真命题，即 ，且满足对任意正实数 ，总有 成立，
而 ，当且仅当 时等号成立，故 ，则 .
若命题 为真命题，即二次函数 在区间 上具有单调性，
由对称轴 ，故 或 ，故 或 .
由p， 均为真命题，知 ，且 或 ，
故 或 .
故答案为： 或 .任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（河南省名校大联考2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）已知函数
，则“ 在 上单调递增”是“ 在 上单调递增”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
利用二次函数的单调性进行充分条件与必要条件的判断，必要性判断的时候利用非 是非 的充分条件，
则 是 的必要条件.
【详解】
解：
若 在 上单调递增，则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增，既充分性成立．
若 在 上不是单调递增，则 ，
，易知 有零点 和 ， 有一正一负两个零点，且正零点
不等于 ，于是 在 上有两个零点，所以 在 上不可能单调递增，所以必要
性也成立．
综上所述：“ 在 上单调递增”是“ 在 上单调递增”的充要条件.
故选：C.
2．（江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
利用特殊值法，结合基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
解：充分性：由于 ， ，且 ，取 ， ，则 成立，但 ，
所以充分性不成立.
必要性：由于 ， ，且 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，所以
，解得 ，即 ，所以由“ ”能推出“ ”，所以必要性成立.
所以，当 ， 时，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（福建省宁德市部分达标中学2022届高三上学期期中联合考试数学试题）若“ ”为真
命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的性质，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以由“ ”为真命题，可得： ，
故选：D.
4．（北京市第十四中学2022解高三上学期期中考试数学试题）有四个关于三角函数的命题：
： x R， + =
: ，
: x ，
:
其中假命题的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
根据平方关系判断 ，利用特殊值判断 与 ，根据二倍角公式判断 ；
【详解】
解： ， ，故 错误；
：存在 ，使 ，故 正确；
， ， ，所以 ，故 正
确．
：当 ， 时， ，此时 ，故 错误；
故选：A．5．（四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据 求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】
解：若 ，
因为函数 的定义域为 ，且在 上递增，
所以 ，解得 ，
又因 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（北京丰台二中2022届高三10月月考数学试题）已知 ，则“ ”是“ ”的（
）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】
当 满足 ，充分性成立；当 满足 ，但 不成立，必要性不成立.
【详解】由题意知，
若 时，则 ，所以 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但 不成立，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：D.
7．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）如果对于任意实数 ， 表示不小于 的最小整
数. 例如 ， ， .那么“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
根据已知给出的定义，可通过举例说明得到结果
【详解】
由题意，若 ,则满足 ，而 ；反之，若 ，则 必须同在
两个相邻整数之间，则必有 .因此“ ”是“ ” 充分非必要条件
故选：A.
8．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三10月高考适应性月考数学（文）试题（二））下列四个命题中：
： 是非零向量，若 ，则 ；
： ；
：已知函数 的定义域与值域都是 ，则实数 ；
：若函数 为奇函数，则 .
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A
【分析】
对于 ：不妨设 判断出 错误；
对于 ：取 ，判断出 错误；
对于 ：直接求出值域，解出b的值，即可判断；
对于 ：取函数 判断出 错误；
【详解】
对于 ：不妨设 是非零向量，满足 ，但是 .故 错
误；
对于 ：取 ，不满足 .故 错误；
对于 ：已知函数 在 上单增，所以值域为 .又值域为
，所以 ，解得 .故 正确；
对于 ：取函数 为奇函数，则 无意义.故 错误；
故选A.
9．（江苏省无锡市南菁高级中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）已知函数
，对于实数a，使 成立的一个必要不充分条件是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先利用导数，结合分段函数的单调性判定方法判定 是单调增函数，进而将已知不等式转化为，解得 的充分必要条件是 ，然后根据充分、必要条件的定
义结合不等式的基本性质进行逐项判定.
【详解】
由 ，可得 ，
又因为 从0的左侧趋近于0时函数 的极限值等于 ,所以 在R上为增.
因为 ，
所以 ,即 ，即 ．
又因为 在R上是增函数，所以等价于 ，解得 ，即 为
的充分必要条件.
根据充分、必要条件的定义可知：A是 的非充分非必要条件；B是 充分必要条件，C是
的必要不充分条件，D是 的充分不必要条件.
故选：C．
10．（专题1.3常用逻辑用语-重难点题型精讲-2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专
用））命题 ：存在 且 ，对于任意的 ，使得 ；
命题 ： 单调递减且 恒成立；
命题 ： 单调递增，存在 使得 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．只有 是 的充分条件
B．只有 是 的充分条件
C． ， 都是 的充分条件D． ， 都不是 的充分条件
【答案】C
【分析】
对于命题 ：当 时，结合 单调递减可得出 ，对于命题 ：当
时， ，结合 单调递增可得出
，进而可得 ，由充分条件的定义可判断 ， ，进而可得正确选项.
【详解】
对于命题 ：当 时， ，因为 单调递减，所以 ，因为 恒成立，
所以 ，所以由命题 可得出 成立，所以 是 的充分条件；
对于命题 ：当 时， ， ，因为 单调递增，所以 ，
所以 ，所以由命题 可得出 成立，所以 是 的充分条件；
所以 ， 都是 的充分条件，
故选：C.
11．（百师联盟2022届高三一轮复习联考（一）（全国1卷）文科数学试题）在 中，“
”是“ 为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
化简命题“ ”得 是直角三角形或等腰三角形，再利用必要、充分条件的定义判断得解.
【详解】
化简得
所以 ，
由正弦理可知， ，所以 ，
因为 ， ，
所以 或 或 ，
即 或 或 （舍），
所以 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形，故充分性不成立；
当 时， 为等腰三角形，
但 不成立，故必要性不成立；
由此可知“ ”是“ 为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
12．（山东省济宁市第一中学2021-2022学年高三上学期开学学情考试数学试题）已知 ， 为正实数，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由 ，利用均值不等式，可证明 ；若 ，举反例可知 不一定成立，即得解
【详解】由 ， 为正实数， ，当且仅当 时等号成立
若 ，可得 ，故必要性成立；
当 ，此时 ，但 ，故充分性不成立；
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
13．（河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学（理）试题）已知命题 ，
；命题 ， ，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先判断命题 的真假性，由此判断出正确选项.
【详解】
对于命题 ， ， ， ，
所以 ，所以 为真命题.
对于命题 ， ，所以 对 恒成立，所以 为假命题.
所以 、 、 为假命题， 为真命题.
故选：B.
14．（专题30由递推公式求数列通项-2022年（新高考）数学高频考点 重点题型）已知数列{a}的通项公
n
式为a＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的（ ）
n nA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由递增数列的定义可推出 的取值，然后利用充分不必要条件的概念可得.
【详解】
若数列{a}为递增数列，则有a －a>0，
n n＋1 n
∴
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有 ，
∵由 可推得 ，
但反过来，由 不能得到 ，
因此“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的充分不必要条件.
n
故选：A.
15．（安徽省六校教育研究会2021-2022学年高三上学期第一次素质测试文科数学试题）已知函数
，对 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
首先判断函数为奇函数，且在 上单调递增，再结合充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
因为 定义域为 ，
，所以 是奇函数，
当 时， ，
，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 是奇函数，所以 在 上单调递增，
若 可得 ，所以 ，
可得 ，
反之若 ，则 ，
因为 在 上单调递增，所以 即 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C.
16．（2021·陕西宝鸡·高三月考（文）） 不等式 解集为 ； 在 中，
“ ”是 成立的充分非必要条件，则（ ）
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．P真q假 D．P假q真
【答案】C
【分析】
分别判断命题 ，命题 的真假，再利用复合命题的真假性可得答案.
【详解】：由不等式 ，可得 ，解得： ，故 为真命题；
：在 中，由三角形边长关系结合正弦定理知 ，
故在 中，“ ”是 成立的充要条件，故 为假命题；
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了p或q命题与p且q命题真假的判定，关键是掌握充分条件与必要条件的判断方
法与不等式的解法，属于基础题型.
二、多选题
17．（山东省2021届高考考前热身押题卷数学试题）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程 ，且 ， ，则
D．函数 的图象向左平移 个单位，所得函数图象关于原点对称
【答案】AB
【分析】
选项A. 由指数对数互化可得 ，由均值不等式可判断;选项B. 根据两直线垂直得出 的值，再根
据充分、必要条件的判断方法可判断；选项C. 根据回归直线一定过样本中心点可判断；选项D. 先由函数
图像平移得出平移后的解析式，再判断其奇偶性可判断.
【详解】
A.由 ，得 ， ， ， ， ， ，
所以 (由于 所以等号不成立)，故A正确.
B. 由两直线垂直，可得 ，解得 或 ；所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分条件，故B正确.
C.回归直线一定过样本中心点， ， ；故C不正确.
D.将 的图象向左平移 个单位，可得 ，
函数 ，由 ，所以 ，
所以 不是奇函数，其图像不关于原点对称，所以D不正确.
故选：AB.
18．（双师261高一下）已知 ，函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
求出导函数 ，确定函数的单调性后判断．
【详解】
时， ， 在 上递增， ， ，
所以 时， 恒成立．因此AC错，BD正确．
故选：BD．
19．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高三上学期期中联考数学试题）
下列命题为真命题的是（ ）A．命题 ：“ ， ”的否定为 ：“ ， ”
B．若 ， ， 为实数，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．平面向量 ， 的夹角为锐角的充要条件是
D．若 ， 为实数，则 是 的充要条件
【答案】AB
【分析】
A由特称命题的否定：存在变任意并否定结论，写出否命题即可判断正误；B、D利用充分、必要性的定义，
结合特殊值法判断正误；C注意平面向量夹角为0的特殊情况.
【详解】
A：由特称命题的否定可知：命题 的否定为“ ， ”，故正确；
B：由“ ”，此时 ，故必有“ ”，当“ ”时，若 推不出“ ”，
故正确；
C：非零平面向量 ， 的夹角为0时也有 ，当 ， 的夹角不为锐角，故错误；
D：当 时，由 不能推出 ，故错误.
故选：AB.
20．（湖北省东南联盟2021-2022学年高二上学期10月联考数学试题）下列有关命题的说法正确的是（
）
A．已知两条直线 ， 平行，则
B．已知直线 与 垂直，则 或
C．在 中， ，则 是等腰三角形
D．对于命题 ， ，则 ，
【答案】BD【分析】
利用两直线平行、垂直的判定列方程求参数值，并验证即可判断A、B的正误；应用特殊值法：令
验证即可判断C正误；根据特称命题的否定： 并否定原结论，即可知D的正误.
【详解】
A：两线平行，则 ，解得 或 ，将a代入验证可知均满足题设，故错误；
B：两线垂直，则 ，解得 或 ，将a代入验证可知均满足题设，
故正确；
C：当 时，也满足 ，但 不是等腰三角形，故错误；
D：根据特称命题的否定：“ ， ”的否定形式为“ ， ”，故正
确.
故答案为：BD.
21．（江苏省镇江市女中2021届高三上学期期初数学试题）下列命题中是真命题的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”
C．数据 ， ，…， 的平均数为6，则数据 ， ，…， 的平均数是6
D．对于任意两个集合 ， ，关系 恒成立
【答案】ABD
【分析】
若 ，则 ，反之不成立，故A正确，由全称命题的否定形式知B正确，由平均数的性质知C错误，
分 ， 两种情况讨论均成立，D正确．
【详解】
对于A，若 ，则 ，反之不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故A正确；对于B，命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”，故B正确；
对于C，若数据 ， ，…， 的平均数为6，
则数据 ， ，…， 的平均数是7，故C错误；
对于D，①若 ，则 成立;
②若 ，任取 ，则 且 ，故 ，则有 ．综上，
总成立.故D正确．
故选：ABD．
22．（湖南省郴州市2021届高三下学期3月第三次教学质量监测数学试题）已知函数
的最大值为2．则使函数 在区间 上至少取得两次最大值的充分
不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先利用辅助角法化简函数为 ，由最大值可得 的值，进而可得函数 的解析式，
然后由函数 在区间 上至少取得两次最大值确定 的取值范围即可.
【详解】
的最大值为2，
∴ ，
解得 或 （舍去），
，当 时，函数 取得最大值，
当 时，取得前两个最大值时， 分别为0和1，
当 时，由 ，
得 ，所以 ，
故选：BCD．
【点睛】
方法点睛：讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
23．（2020·海南·临高县临高中学高三月考）下列说法是正确的是（ ）
A．命题“ ，都有 ”的否定是“ ，都有 ”
B． 中，角 、 、 成等差数列的充分条件是
C．若函数 满足 ，则函数 是周期函数
D．若 ，则实数 的取值范围是
【答案】ABC
【分析】
由全称命题的否定可判断A选项的正误；利用等差中项的性质以及三角形的内角和定理可判断B选项的正
误；推导出 ，可判断C选项的正误；取 可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，命题“ ，都有 ”为全称命题，
该命题的否定为“ ，都有 ”，A选项正确；
对于B选项，在 中，若角 、 、 成等差数列，则 ，
由三角形的内角和定理可得 ， ，
所以，在 中，角 、 、 成等差数列的充分条件是 ，B选项正确；
对于C选项，由于函数 满足 ，则 ，
所以，函数 为周期函数，C选项正确；
对于D选项，取 ，则 无意义，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查命题正误的判断，考查了全称命题的否定、充分条件的判断、周期函数的判断以及不等式的求解，
考查计算能力与推理能力，属于中等题.
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．（重庆市秀山高级中学2022届高三上学期10月月考数学试题）已知命题p：
为真，则实数m的取值范围__________.
【答案】
【分析】
利用换元思想，转化为特定区间内的二次函数的最大值问题，注意三角函数的有界性(值域)，根据全称命
题为真的意义得到实数m的取值范围.
【详解】
，在 开口向上，对称轴为 ，在
时当 时取得最大值为2，
所以实数m的取值范围 ，
故答案为： ,
25．（四川省遂宁市2021-2022学年高三上学期零诊考试文科数学试题）设命题 : ；命题 :关于
的方程 的两个实根均大于0.若命题“ 且 ”为真命题，求 的取值范围为____.
【答案】
【分析】
由命题 为真命题解得 的范围，因为“ 且 ”为真命题，则 ， 都是真命题，则可求出.【详解】
由命题 为真命题，关于 的方程 的两个实根均大于0，
则 ，解得 ，
因为“ 且 ”为真命题，则 ， 都是真命题，
所以 ，得 .
故答案为： .
26．（2.3 全称量词命题与存在量词命题（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教
版2019必修第一册））若“存在x∈[﹣1，1]， 成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
【分析】
转化为 在 上有解，不等式右边构造函数，利用单调性求出最大值即可得解.
【详解】
存在x∈[﹣1，1]， 成立，即 在 上有解，
设 ， ，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以 ，即 ，即 ，
即 ，所以 ，
故答案为： ．【点睛】
关键点点睛：将问题转化为 在 上有解进行求解是解题关键.
27．（陕西师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期数学大练习（一））已知函数 ，
，若对 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据题意可转化为 ，利用单调性求解即可.
【详解】
因为若对 ， ，使得 ，
所以 ，
因为 的对称轴为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以
所以 ，
即
所以
【点睛】
本题主要考查了存在性问题与任意性问题，考查了转化思想，属于中档题.
28．（辽宁省辽阳市东南协作校2019-2020学年高三上学期9月份月考数学理科试题）定义在 上的函数满足 是偶函数， ，且“ ， ”是“ ”
的________条件.
【答案】充要条件
【分析】
先求出对称轴，然后根据 可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性可验
证是充要条件．
【详解】
解： 函数 满足 是偶函数，
，得函数图象关于直线 对称，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时，若 则有 ，
成立，故充分性成立．
当 时，必有 成立，又因为 ，所以 成立，故必要性成立，
故“ ， ”是“ ”的充要条件，
故答案为：充要条件．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系和充分、必要条件的判定．涉及的知识点较
多，综合性较强．
29．（2020·全国·高三专题练习（文））已知命题p：∀x∈R，log
2
(x2＋x＋a)>0恒成立，命题q：
∃x
0
∈[－2，2]， ，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.【答案】
【分析】
先求出命题 成立的等价条件，利用命题“ ”为真命题，确定实数 的取值范围.
【详解】
由题知，命题p：∀x∈R，log
2
(x2＋x＋a)>0恒成立，
即x2＋x＋a－1>0恒成立，所以Δ＝1－4(a－1)<0，解得 ；
命题q：∃x
0
∈[－2，2]，使得 ，则a≤2.
当p∧q为真命题时，须满足 ，
故实数a的取值范围为 .
【点睛】
该题考查的是有关根据命题的真假确定参数的取值范围的问题，解决这类问题时，应先根据题目条件，即
复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假，然后求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据
每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
30．（2020·全国·高三专题练习（理））已知 ， ， 函数
存在零点.若“ ”为真命题，“ ”为假命题，则实数 的取值范围是
____________.
【答案】
【分析】
由参变量分离法得出 ，可得出当命题 为真命题时实数 的取值范围，令 ，可得在 有实根，求得函数 在 上的值域，可得出当命题 为真命
题时实数 的取值范围，由复合命题的真假可知 、 中一真一假，分 真 假和 假 真两种情况讨论，
综合可得出实数 的取值范围.
【详解】
当命题 为真命题时， ，由 ，可得 ，
由双勾函数单调性可知，函数 在区间 上单调递减，
当 时，函数 取得最小值，所以， ；
当命题 为真命题时，设 ，则 ，，
令 得 ，构造函数 ，
则函数 在区间 上单调递增，
所以， ，此时 ，即 .
由于命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，则 、 中一真一假.
①若 真 假，则 ，此时 不存在；
②若 假 真，则 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了二次不等式在区间上恒成立以及利用函数零点个数求参数，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中等题.
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（“8 4 4”小题强化训练（1）集合与常用逻辑用语-2022届高考数学一轮复习（江苏等新高考地区专
用））已知等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由等比数列的通项公式可求得公比 的取值范围，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
由 得 ，即 ，又因为 ，所以 ，解得 ，
当 且 时， ，因为 ，所以 ；
当 时， ， ，
当 时， ，因为 ， ，故充分性不成立；
由 得 ，又 ，解得 ，所以 ，可得 且 ；
当 时， ，因为 ，所以 成立，所以 ，得 ；
当 时， 成立，所以 ，得 ；
故必要性成立，
所以等比数列 中， 时，“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
2．（湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题）已知直线 与
圆 相交于 ， 两点，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
设 ，联立 ，化为 由 可得 ，
根据韦达定理解出 ，进而可得结果.
【详解】
设 ，联立 ，化为 ，
，解得 ，
，
因为 ，所以 ，
，
，，解得 ，符合 ，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高三上学期开学考试理科数学试题）一个至少有3项的数列
中，前 项和 是数列 为等差数列的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
利用 与 的关系和等差数前n项和的公式，结合充分性和必要性的定义即可得出答案．
【详解】
解：若 ，则当 时， ，
两式相减得， ，
即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
，
数列 为等差数列， 充分性成立，
若数列 为等差数列，则 显然成立， 必要性成立，
前 项和 是数列 为等差数列的充要条件，
故选：C．4．（浙江省山水联盟2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题）已知 ，设 展开
式中 的系数为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
先由二项式的展开式求出 ，再由充分条件和必要条件的定义结合同角三角函数基本关系即可求
解.
【详解】
展开式通项为
令 ，可得 ，
若 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以充分性成立，
当 时，因为 ，所以 或 ，
当 时 ，此时 ，
当 时 ，此时 ，
由“ ”不一定得出“ ”，所以必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.5．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021-2022学年高三上学期返校考试数学试题）已知a，
，则“ ”是“函数 存在最小值”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
由题意 是连续的函数，可得在 内必有最大值和最小值，只考虑 或 时 有最小值，
进而求出 ，结合 和 的关系即可得出答案.
【详解】
因为 是连续的函数，所以在 内必有最大值和最小值，
所以只需考虑 或 时是否有最小值即可.
由题意得， ，
若 有最小值，则当 时必有 ，否则 单调递减，无最小值；
同理，当 时必有 即 ，否则 单调递增，无最小值，
所以 存在最小值 ，又 是 的必要不充分条件，
所以 是“ 存在最小值”的必要不充分条件.
故选：C.
6．（上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题）定义
，设 、 、 是某集合的三个子集，且满足 ，则
是 的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】
作出示意图，由 可知两个阴影部分均为 ，根据新定义结合集合并集的运算以及充
分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
如图，由于 ，
故两个阴影部分均为 ，
于是 ，
（1）若 ，则 ， ，
而 ，
成立；
（2）反之，若 ，
则由于 ， ，
，
，
，
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.
7．（重庆市南开中学2018-2019学年高二下学期期末考试理科数学试题）给出下列四个说法：
①命题“ ，都有 ”的否定是“ ，使得 ”；
②已知 、 ，命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题；
③ 是 的必要不充分条件；
④若 为函数 的零点，则 .
其中正确的个数为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式
，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数 ，得出 ，根
据零点的定义和函数 的单调性来判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；
对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；
对于命题③，解不等式 ，得 或 ，所以， 是 的充分不必要条件，命题③为假命
题；
对于命题④，函数 的定义域为 ，
构造函数 ，则函数 为增函数，
又 ，
为函数 的零点，则 ，， ，则 ，命题④为真命题.
故选C.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推
理能力，属于中等题.
8．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数
，方程 有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合 ，则“函数
有两个零点”是“ ”的．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
作出函数 的图象，得到 ，把函数 有零点转化为 与 在
（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判
断．
【详解】
作出函数 的图象如图，由图可知， ，
函数 有2个零点，即 有两个不同的根，
也就是 与 在 上有2个交点，当过点 时，则 值为 ；
设过原点的直线与 的切点为 ，斜率为 ，
则切线方程为 ，
把 代入，可得 ，即 ，∴切线斜率为 ，
∴k的取值范围是 ，
∴函数 有两个零点”是“ ”的充分不必要条件，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研
究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
9．（河北省定州中学2017届高三下学期第二次月考（4月）数学试题）已知 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当 ， ，所以后不能推前，又
，所以前推后成立，所以是充分不必要条件，故选A.10．（上海市大同中学2021届高三三模数学试题）已知数列 满足 ，若 ，则
“数列 为无穷数列”是“数列 单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由已知可得 ，设 ，若存在正整数 ，当 时，有 ，此时数列
为有穷数列；若 恒不为0，由 ，有 ，此时 为无穷数列，由此根据充分条件、必要条
件的定义进行分析即可得结论．
【详解】
解：令 ， ，
由 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为1，
所以 ，
设 ，则数列 是单调递增的等差数列，
若存在正整数 ，当 时，则有 ，此时数列 为有穷数列；
若 恒不为0，由 ，有 ，数列 就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时 为无穷数列.
（1）若 恒不为0，则 为无穷数列，由递推关系式有 ，
取 ， 时， ，则 ， ， ， ，此时数列 不是单调数列；
（2）当数列 为有穷数列时，存在正整数 ，当 时，有 ，
此时数列 为 ， ， ， ， ， ，
由 ，若数列 单调，则 ， ， ， ， 全为正或全为负，
由 ，则 ， ， ， ， 全为正，而 ，
这与 单调递增矛盾，所以当数列 为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列 单调时，数列 一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列 单调时，数列 一定有无穷多项等价转化为论证数列
为有穷数列时，数列不可能单调.
二、多选题
11．（江苏省无锡市第一中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学试题）下列命题错误的是（ ）
A． ，则
B．若 ，则
C．使不等式 成立的一个充分不必要条件是 或
D．若 是全不为0的实数，则“ ”是“等式 和
解集相同”的充分不必要条件【答案】AD
【分析】
对于A当 时， 可得A错误；对于B，根据不等式的性质可得选项正确；对于C，可
先得到不等式 的解为 或 ， 或 或 ，进而得到C
是正确的；对于D，应为必要不充分条件.
【详解】
对于A，根据均值不等式得到当 时，满足 ，故A错误；
对于B， ，可得到
成立，故B正确；
对于C，不等式 ，整理得 ，解得 或 ，由于 或
或 ，故不等式 成立的一个充分不必要条件是 或 ，因此C正确；
对于D，若 ， ， 是全不为0的实数，则 ， ，
不等式 和
解集相同；当 和原不等式解集不同；
反之，若两者的解集相同，设两根为 ，
则
，可得到不等式的系数对应成比例，
故 是“等式 和 解集相同”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AD.
12．（专题3.5—函数的单调性2-2022届高三数学一轮复习精讲精练）已知函数
，以下四个命题中真命题是（ ）A． ，有
B． ， 且 ，有
C． ， ，有
D． ，
【答案】ABCD
【分析】
求出 可判断A；由 得 在区间 上单调递增可判断B； 在 单调递增可判断
C；设 得 在 单调递增， ；由奇函数性质可判断D．
【详解】
，且其定义域为 ，
，
，有 ，故A是真命题；
，由 ，
可知 在区间 上单调递增，
即 ， 且 ，有 ，故B是真命题；
在 单调递增， ， ，
有 ，故C是真命题；
设 ，则当 时， ，所以 在 单调递增，所以当 时，，即 ；由奇函数性质可知， ， ，故D是真命题．
故选：ABCD．
13．（2020届山东省枣庄市高三模拟考试（二调）数学试题）对 ， 表示不超过 的最大整数．
十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下
列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．函数 的值域为
D．若 ，使得 同时成立，则正整数 的最大值是5
【答案】BCD
【分析】
由取整函数的定义判断，由定义得 ，利用不等式性质可得结论．
【详解】
是整数， 若 ， 是整数，∴ ，矛盾，∴A错误；
， ，∴ ，∴ ，B正确；
由定义 ，∴ ，∴函数 的值域是 ，C正确；
若 ，使得 同时成立，则 ， ， ，
， ， ，
因为 ，若 ，则不存在 同时满足 ， ．只有 时，存在 满
足题意，
故选：BCD．【点睛】
本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于
难题．
14．（江苏省南通市启东中学2019-2020学年高二下学期期初数学试题）已知函数 ，
．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）
A．若 ，使得 成立，则
B．若 ，使得 恒成立，则
C．若 ， ，使得 恒成立，则
D．若 ， ，使得 成立，则
【答案】ACD
【分析】
对选项A， 在 上的最小值小于 即可；对选项B， 的最小值大于 即可；对选项C， 在
上的最小值大于 的最大值即可；对选项D， ， ， ，
即可.
【详解】
对选项A，只需 在 上的最小值小于 ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故正确；
对选项B，只需 的最小值大于 ，因为 ，
所以 ，所以 ，故错误；
对选项C，只需 在 上的最小值大于 的最大值， ，，即 ， ，故正确；
对选项D，只需 ， ，
，所以 ， ，
时， ，所以 在 上单调递减，
， ，所以 ，
由题意， ，故正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件
的转化，属于中档题.
15．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则“ ”是“ ”的充要条件；
B． ， ；
C． ， ；
D． 中，若 为钝角，则 .
【答案】BD
【分析】
利用基本不等式可知A中充分性成立，利用反例可知A中必要性不成立；
设 ，利用导数求得函数的单调性，化简得到 ，进而得到B中结
论；设 ，利用对号函数性质可知 单调性，结合 可化简得到C
错误；
利用 可得 ，结合 在 上的单调性可确定D正确.
【详解】
对于A，若 ，则 （当且仅当 时取等号），
又 ， ， ，充分性成立；
， ，
若 ， ，则 ，必要性不成立，A错误；
对于B，设 ，则 ， 在 上单调递减，
，则 ，
即 ， ， ，B正确；
对于C，设 ，则 单调递增.
设 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，
当 时， ， ，
又 ， ，， ，C错误；
对于D， 为钝角， ，即 ， ，
又 在 上单调递减， ，D正确.
故选：BD.
【点睛】
思路点睛：本题考查不等关系的判断，涉及到基本不等式的应用、利用导数求解函数的单调性、对号函数
和三角函数性质等知识；解题基本思路是能够结合选项构造出不同函数，利用函数单调性，根据自变量的
大小关系确定函数值的大小关系，进而整理得到结论.
第II卷（非选择题）
三、填空题
16．（2015届江苏省如东高中高三上学期周练六理科数学试卷（带解析））已知函数
，若命题“ ，且 ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范
围是______.
【答案】 .
【解析】
试题分析：根据题意分析可知，问题等价于命题“ ，且 ，使得 ”是真命题，
当 时，问题等价于 ，设 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，∴ ，
当 时，问题等价于 ，若 ：，∵ ，∴ ，故不等式显然
成立，若 ：则 ，综上实数 的取值范围是 .考点：1.命题及其关系；2.导数的运用；3.恒成立问题.
17．（广东省湛江市2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题）一名法官在审理一起珍宝盗窃案
时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作
案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四
人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.
【答案】乙
【详解】
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说
的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁
没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说
“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.
【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到
解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得
出结论.
18．（2020·宁夏·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设命题 ：函数 在
上是减函数；命题 ： ， .若 是真命题， 是假命题，则实数
的取值范围是________.
【答案】 或
【分析】
由函数 在 上是减函数，可得 ，由 恒成立得，
，由 是真命题， 是假命题，可得 与 同真同假，从而有 或
，进而可求出 的取值范围
【详解】由命题 ：函数 在 上是减函数，所以 ，解得 ；
命题 ： ， ，则 ，
即 ，则 ，解得 ，
若 是真命题， 是假命题，所以 与 一真一假，即 与 同真同假，
所以 或 ，解得 或 ，
则实数 的取值范围是 或 .
故答案为： 或
【点睛】
此题考查由复合命题的真假求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于中档题.
19．（2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试（3月）数学（文）试卷）已知 ，
， 函数 存在零点．若：“ 且 ”为真命题，则实数 的取值范
围是_____．
【答案】
【解析】
由题意得，因为 ，即
当 时， 取得最小值 ，此时 取得最大值，最大值为 ，所以 ；
设 ，则 ，要的是 在 存在零点，
则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
点睛：本题主要考查了含有量词命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，
一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推
理与运算能力，本题的解答中分离参数求解不等式恒成立问题和熟记二次函数的图象与性质是解答的关
键.
20．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理科数学试题）以下四个命题：
①设 ，则 是 的充要条件；
②已知命题 、 、 满足“ 或 ”真，“ 或 ”也真，则“ 或 ”假；
③若 ，则使得 恒成立的 的取值范围为{ 或 }；
④将边长为 的正方形 沿对角线 折起，使得 ，则三棱锥 的体积为 .
其中真命题的序号为________.
【答案】①③④
【分析】
①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令
，转化为 在 恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特
征和椎体的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，①中，当 ，根据对数函数的运算性质，可得 ，
反证，当 时，可得 ，所以“ ”是“ ”成立的充要条件，
所以是正确的；
②中，若命题“ ”或“ 真”，可得命题 中至少有一个是真命题，当 为真命题，则 假命题，
此时若“ 或 ”真，则命题 为真命题，所以“ 或 ”真命题，所以不正确；
③中，令 ，则不等式 恒成立转化为 在
恒成立，则满足 ，即 ，解得 或 ，所以是正确的；
④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，
则 都是等腰直角三角形， ，
其中 也是等腰直角三角形， 平面 ，
为三棱锥 的高，且 ，
所以三棱锥 的体积为 ，所以是正确的，
综上可知真命题的序号为①③④
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒
成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的
能力，属于中档试题.
