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专题三 《逻辑用语》讲义
知识梳理 . 逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再
对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则 p 是 q 的充分条件 ；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则 p 是 q 的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合 .
题型一 . 真假命题
1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：该方程两根之和为2；
乙：该方程两根异号；
丙：x＝1是方程的根；
丁：x＝3是方程的根．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若x C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复∈数z
1
，z
2
满足z
1
2+z
2
2＝0，则z
1
＝z
2
＝0
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1
3．给出下列命题：
①若空间向量→，→满足|→|＝|→|，则→ →；
a b a b a=b
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量→，由→ → → →，则→ →；
c a⋅c=b⋅c a=b
④在向量的数量积运算中 → → → → → → ．
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知m，n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（
） α β γ
A．若m⊥ ，n⊥ ，且 ⊥ ，则m⊥n
B．若m∥α，n∥β，且mα β，n ，则 ∥
C．若m∥α，n∥α，则m⊂∥βn ⊂β α β
D．若 ⊥α， ⊥α，则 ∥
5．给出下α列命γ题β： γ α β
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）设a，b，c为实数，若a＞b，则ac2＞bc2；
π π π
（3）设0＜α＜β＜ ，则 ﹣ 的取值范围是(− ， )．
2 2 2
α β
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列五个命题：
①在某项测量中，测量结果 服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若 在（0，2）内取
ξ ξ值的概率为0.4，则 在（0，+∞）内取值的概率为0.8；
②集合A＝{x Z|x2+ξ2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；
③命题“若x2 ∈﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；
1
④若(2x− ) n的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为
√x
80；
⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次
2
抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ．
3
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二 . 量词与命题的否定
1．命题“ n N*，f（n） N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A． n N*，f∀（∈n） N*且f（∉n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∀ ∈ ∉ 且f（n ）＞n
∃n ∈N∗，f(n )∉N∗ 0 0
0 0
D． 或f（n ）＞n
∃n ∈N∗，f(n )∈N∗ 0 0
0 0
π
2．已知f（x）＝sinx﹣x，命题P： x （0， ），f（x）＜0，则（ ）
2
∀ ∈
π
A．P是假命题，￢P：∀x∈(0， )，f(x)≥0
2
π
B．P是假命题，￢P：∃x ∈(0， )，f(x )≥0
0 2 0
π
C．P是真命题，￢P：∀x∈(0， )，f(x)＞0
2
π
D．P是真命题，￢P：∃x ∈(0， )，f(x )≥0
0 2 0
3．对于下列四个命题，其中的真命题是（ ）
1 x 0 1 x 0
p ： x （0，+∞），（ ） ＜（ ） ；
1 0
2 3
∃ ∈
p ： x （0，1），log x＞log x ；
2 0 1 0 1 0
2 3
∃ ∈p
3
： x （0，+∞），（
1 ）x＞log
1x；
2 2
∀ ∈
p
4
： x （0，
1
），（
1 ）x＜log
1x．
3 2 2
∀ ∈
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
1 3 1 4 2 3 2 4
4．若命题“ x R，使得 x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为
． ∃ ∈
题型三 . 充分必要条件
1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面 ，则“l⊥m”是“l∥ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．α必要而不充分条件 α
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设a R，则“a＞1”是“a2＞a”的（ ）
A．充∈分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设a，b都是不等于1的正数，则“log 3＞log 3＞1”是“3a＜3b”的（ ）
a b
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
b a
4．设a，b是实数，则“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
a b c
5．在△ABC中，设命题p： = = ，命题q：△ABC是等边三角形，那么命
sinC sinA sinB
题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设点 A，B，C 不共线，则“ → 与 → 的夹角为锐角”是“| → → |＞| → |”的
AB AC AB+AC BC
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知“x2﹣x﹣2＞0”是“2x+p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是 ．8．设命题p：|4x﹣3|≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不
充分条件，则实数a的取值范围是 ．
题型四 . 存在问题、恒成立问题
1．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x R恒成立的充要条件是m ．
π ∈ ∈
2．若“对任意实数x∈[0， ]，sinx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ．
2
3．已知命题p： x R，使得ex≤2x+a为假命题，则实数a的取值范围是 ．
∃ ∈ 1
4．已知函数f（x）＝log x，g（x）＝2x+a，若存在x ，x ∈[ ，2]，使得f（x ）＝g
2 1 2 2 1
（x ），则a的取值范围是（ ）
2
A．[﹣5，0] B．（﹣∞，﹣5]∪[0，+∞）
C．（﹣5，0） D．（﹣∞，﹣5）∪（0，+∞）
