文档内容
2012年贵州省黔西南州中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a4•a3＝a7 B．a4•a3＝a12 C．（a4）3＝a12 D．a4+a3＝a7
3．（4分） 在实数范围内有意义，则a的取值范围（ ）
A．a≥3 B．a≤3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
4．（4分）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为
（ ）
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
5．（4分）袋子里有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个
球，取出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（ ）
⊙
A．40° B．30° C．50° D．60°
7．（4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪
CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为
60°，楼AB的高为（ ）
第1页（共28页）A． B． C． D．
8．（4分）如图， O的半径为2，点A的坐标为（2，2 ），直线AB为 O的切线，B为切点．
则B点的坐标⊙为（ ） ⊙
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ，1） C．（﹣ ， ） D．（﹣1， ）
9．（4分）已知一次函数y ＝x﹣1和反比例函数 的图象在平面直角坐标系中交于A、B
1
两点，当y ＞y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＞2 B．﹣1＜x＜0 C．x＞2，﹣1＜x＜0 D．x＜2，x＞0
10．（4分）如图，抛物线y＝ x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），
点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）在2011年，贵州省“旅发大会”在我州召开，据统计，“万峰林”风景区招待游客
的人数一年大约为30.1万人，这一数据用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差S2＝ ．
13．（3分）计算： ﹣|2﹣ |＝ ．
π
14．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为 ．
15．（3分）已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图的扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心
第2页（共28页）角的度数是 ．
16．（3分）已知﹣2xm﹣1y3和 xnym+n是同类项，则（n﹣m）2012＝ ．
17．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，
△AOD的面积为3，则△BOC的面积为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，
CE＝4，则四边形ACEB的周长为 ．
19．（3分）分解因式：a4﹣16a2＝ ．
20．（3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为
EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．
三、（本题有两个小题，每小题7，共14分）
21．（14分）（1）计算：﹣2sin30°﹣ + ﹣ +（﹣1）2012
（2）解方程： ．
第3页（共28页）四、（本大题10分）
22．（10分）如图，△ABC内接于 O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧 的中点，
连接PA、PB、PC、PD，当BD⊙的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并
加以证明．
五、（本大题12分）
23．（12分）近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随机调查了九
年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请你根据
图中的信息解答下列问题：
（1）m＝ ；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角 ＝ ；
（3）请补全条形统计图； α
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
第4页（共28页）六、（本大题14分）
24．（14分）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
七、（本大题14分）请阅读下列材料：
第5页（共28页）25．（14分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1＝0
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，
则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次
方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
八、（本大题16分）
26．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），
第6页（共28页）抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度
为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共28页）2012 年贵州省黔西南州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】17：倒数．
【分析】先化为假分数，再根据乘积是1的两个数互为倒数解答．
【解答】解：﹣1 ＝﹣ ，
∵（﹣ ）×（﹣ ）＝1，
∴﹣1 的倒数是﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查了互为倒数的定义，是概念题，注意先把带分数化为假分数．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a4•a3＝a7 B．a4•a3＝a12 C．（a4）3＝a12 D．a4+a3＝a7
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项分析判断后利用排除法
求解．
【解答】解：a4与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a4•a3＝a4+3＝a7，故本选项错误；
C、（a4）3＝a4×3＝a12，故本选项正确；
D、a4与a3是加法、不是乘法，不能利用同底数幂相乘的运算法则运算，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方的运算，合并同类项，熟记运算性质，理清指数的变化是
解题的关键．
3．（4分） 在实数范围内有意义，则a的取值范围（ ）
A．a≥3 B．a≤3 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
第8页（共28页）【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3﹣a≥0，
解得a≤3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
4．（4分）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21＝0的解，则第三边的长为
（ ）
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．
【专题】11：计算题．
【分析】将已知的方程x2﹣10x+21＝0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少
有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用
三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得：x ＝3，x ＝7，
1 2
∵三角形的第三边是x2﹣10x+21＝0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选：A．
【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用
因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，
两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．
5．（4分）袋子里有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个
球，取出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
第9页（共28页）【分析】先求出总球数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：因为3个红球，2个蓝球，一共是5个，从袋子中随机取出一个球，取出红球的
概率是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（ ）
⊙
A．40° B．30° C．50° D．60°
【考点】K7：三角形内角和定理；M5：圆周角定理．
【分析】根据等边对等角及圆周角定理求角即可．
【解答】解：∵OA＝OB
∴∠OAB＝∠OBA＝50°
∴∠AOB＝80°
∴∠ACB＝40°．
故选：A．
【点评】此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理．
7．（4分）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪
CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为
60°，楼AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m
第10页（共28页）即为这幢教学楼的高度AB．
【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，
∴FG＝ ＝ ，
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，
∴CG＝ ＝ AG．
又∵CG﹣FG＝30m，
即 AG﹣ ＝30m，
∴AG＝15 m，
∴AB＝（15 +2）m．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用
两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
8．（4分）如图， O的半径为2，点A的坐标为（2，2 ），直线AB为 O的切线，B为切点．
则B点的坐标⊙为（ ） ⊙
A．（﹣ ， ） B．（﹣ ，1） C．（﹣ ， ） D．（﹣1， ）
【考点】D5：坐标与图形性质；MC：切线的性质．
【专题】16：压轴题．
第11页（共28页）【分析】先利用切线AC求出OC＝2＝ OA，从而∠BOD＝∠AOC＝60°，则B点的坐标即
可求出．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵ O的半径为2，点A的坐标为（2，2 ），即OC＝2，
∴⊙AC是圆的切线．
∵点A的坐标为（2，2 ），
∴OA＝ ＝4，
∵BO＝2，AO＝4，∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝4，OC＝2，
∴sin∠OAC＝ ，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∴OD＝1，BD＝ ，即B点的坐标为（﹣1， ）．故选D．
【点评】本题综合考查了圆的切线长定理和坐标的确定，是综合性较强的综合题，关键是
根据切线长定理求出相关的线段，并求出相对应的角度，利用直角三角形的性质求解．
9．（4分）已知一次函数y ＝x﹣1和反比例函数 的图象在平面直角坐标系中交于A、B
1
两点，当y ＞y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＞2 B．﹣1＜x＜0 C．x＞2，﹣1＜x＜0 D．x＜2，x＞0
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】16：压轴题．
第12页（共28页）【分析】因为一次函数和反比例函数交于A、B两点，可知x﹣1＝ ，解得x＝﹣1或x＝2，
进而可得A、B两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x＞2时，以及当﹣
1＜x＜0时，y ＞y ．
1 2
【解答】解：解方程x﹣1＝ ，得
x＝﹣1或x＝2，
那么A点坐标是（﹣1，﹣2），B点坐标是（2，1），
如右图，
当x＞2时，y ＞y ，以及当﹣1＜x＜0时，y ＞y ．
1 2 1 2
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函
数的图象，并能根据图象解决问题．
10．（4分）如图，抛物线y＝ x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），
点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】H3：二次函数的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
第13页（共28页）【分析】首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线
C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值，再利用相似三角形的判定和性质求
解即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝ x2+bx﹣2上，
∴ ×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，
∴b＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2，
∴顶点D的坐标为（ ，﹣ ），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴m＝ ．
故选：B．
第14页（共28页）【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性
质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）在2011年，贵州省“旅发大会”在我州召开，据统计，“万峰林”风景区招待游客
的人数一年大约为30.1万人，这一数据用科学记数法表示为 3.01×1 0 5 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于30.1万有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：30.1万＝301 000＝3.01×105．
故答案为：3.01×105．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
12．（3分）已知一个样本﹣1，0，2，x，3，它们的平均数是2，则这个样本的方差S2＝ 6 ．
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
【分析】先由平均数公式求得x的值，再由方差公式求解．
【解答】解：∵平均数＝（﹣1+2+3+x+0）÷5＝2
∴﹣1+2+3+x+0＝10，x＝6
∴方差S2＝[（﹣1﹣2）2+（0﹣2）2+（2﹣2）2+（6﹣2）2+（3﹣2）2]÷5＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查方差的定义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
之也成立．
13．（3分）计算： ﹣|2﹣ |＝ ﹣ 1.1 4 ．
π
【考点】2C：实数的运算．
【分析】先判断3.14﹣ 和2﹣ 的符号，然后再进行化简，计算即可．
π π
【解答】解： ﹣|2﹣ |
π
＝ ﹣3.14+2﹣
＝π﹣1.14． π
故答案为：﹣1.14．
【点评】此题主要考查实数的运算，其中有二次根式的性质和化简，绝对值的性质，是一道
基础题．
14．（3分）已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为 ﹣ 3 ．
第15页（共28页）【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】11：计算题．
【分析】此题可根据反比例函数图象上点的横纵坐标是一个定值即可求解．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），
∴k＝xy＝﹣2×3＝﹣6，
∴2m＝﹣6，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单，容易掌握．
15．（3分）已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图的扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心
角的度数是 120 ° ．
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长＝2 •10＝20 ，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，
扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的π半径为圆π锥的母线长得到弧长为20 ，半径为
30，然后利用弧长公式得到方程，解方程即可． π
【解答】解：∵底面半径为10cm，
∴圆锥的底面圆的周长＝2 •10＝20 ，
π π
∴20 ＝ ，
π
∴ ＝120°．
故α答案为120°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆
的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
16．（3分）已知﹣2xm﹣1y3和 xnym+n是同类项，则（n﹣m）2012＝ 1 ．
【考点】34：同类项．
【专题】11：计算题．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程求出m，n的值，
再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵﹣2xm﹣1y3和 xnym+n是同类项，
∴m﹣1＝n，3＝m+n，
第16页（共28页）解得m＝2，n＝1，
所以（n﹣m）2012＝（1﹣2）2012＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了同类项的定义，注意同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次
方程组求字母的值．
17．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，
△AOD的面积为3，则△BOC的面积为 2 7 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】15：综合题．
【分析】先判定出△AOD和△BOC相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列
式计算即可得解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴ ＝（ ）2，
∵AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴△BOC的面积＝9×3＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似
比的平方的性质，根据平行判定出两个三角形相似是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，
CE＝4，则四边形ACEB的周长为 10+ 2 ．
第17页（共28页）【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】121：几何图形问题．
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义
可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝ ＝2 ，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4 ，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得AB＝ ＝2 ，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC＝4．
∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2 ，
故答案为：10+2 ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和
EB的长的方法和途径．
19．（3分）分解因式：a4﹣16a2＝ a 2 （ a + 4 ）（ a ﹣ 4 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】16：压轴题．
【分析】先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解．
【解答】解：a4﹣16a2，
第18页（共28页）＝a2（a2﹣16），
＝a2（a+4）（a﹣4）．
故答案为：a2（a+4）（a﹣4）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，注意提取公因式后还可以利用平方差
公式继续分解因式，因式分解一定要彻底．
20．（3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为
EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是 5. 1 cm2．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据折叠的性质知：AE＝A′E，AB＝A′D；可设AE为x，用x表示出A′E和DE
的长，进而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的长；进而可求出△A′ED和梯
形A′EFD的面积，两者的面积差即为所求的△DEF的面积．
【解答】解：设AE＝A′E＝x，则DE＝5﹣x；
在Rt△A′ED中，A′E＝x，A′D＝AB＝3cm，ED＝AD﹣AE＝5﹣x；
由勾股定理得：x2+9＝（5﹣x）2，解得x＝1.6；
∴ S△DEF ＝S梯形A′DFE ﹣S△A′DE ＝ （A′E+DF）•A′D﹣ A′E•A′D
①
＝ ×（5﹣x+x）×3﹣ ×x×3
＝ ×5×3﹣ ×1.6×3＝5.1（cm2）；
或 S△DEF ＝ED•AB÷2＝（5﹣1.6）×3÷2＝5.1（cm2）．
故②答案为：5.1
【点评】此题考查了图形的折叠变换，能够根据折叠的性质和勾股定理求出AE、A′E的长
是解答此题的关键．
三、（本题有两个小题，每小题7，共14分）
第19页（共28页）21．（14分）（1）计算：﹣2sin30°﹣ + ﹣ +（﹣1）2012
（2）解方程： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；B3：解分式方程；T5：特殊角的
三角函数值．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）分别求出每一部分的值：sin30°＝ ， ＝9， ＝1， ＝
2，（﹣1）2012＝1，再代入求出即可；
（2）方程的两边乘以（x+2）（x﹣2）得出方程（x﹣2）（x﹣2）﹣3＝x2﹣4，求出方程的解，在
代入（x+2）（x﹣2）进行检验即可．
【解答】（1）解：原式＝﹣2× ﹣9+1﹣2+1，
＝﹣1﹣9+1﹣2+1，
＝﹣10；
（2）解：方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）（x﹣2）﹣3＝x2﹣4，
解这个方程得：x2﹣4x+4﹣3﹣x2+4＝0，
﹣4x＝﹣5，
x＝ ，
∵检验：把x＝ 代入（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝ 是原方程的解．
【点评】本题考查了负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，解分式方程等知识点的应
用，解（1）的关键是求出每一部分的值，解（2）的关键是把分式方程转化成整式方程，题目
都较好，但是（1）小题是一道比较容易出错的题目．
四、（本大题10分）
22．（10分）如图，△ABC内接于 O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧 的中点，
连接PA、PB、PC、PD，当BD⊙的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并
第20页（共28页）加以证明．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；M2：垂径定理；M4：圆心
角、弧、弦的关系．
【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解．
【解答】解：当BD＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．理由如下：
∵P是优弧 的中点，
∴弧PB＝弧PC．
∴PB＝PC．
在△PBD与△PCA中，
∵ ，
∴△PBD≌△PCA（SAS）．
∴PD＝PA，
即BD＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，难度中等．
五、（本大题12分）
23．（12分）近几年我市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果．某校随机调查了九
年级m名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请你根据
图中的信息解答下列问题：
（1）m＝ 4 0 ；
（2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角 ＝ 108 ° ；
第21页（共28页）α（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（1）用其他的人数除以所占的百分比，即为九年级学生的人数m；
（2）职职高所占的百分比为1﹣60%﹣10%，再乘以360°即可；
（3）根据普高和职高所占的百分比，求得学生数，补全图即可；
（4）用职高所占的百分比乘以900即可．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），
（2）（1﹣60%﹣10%）×360°＝30%×360°＝108°；
（3）普高：60%×40＝24（人），
职高：30%×40＝12（人），
如图．
（4）900×30%＝270（名），
该校共有270名毕业生的升学意向是职高．
故答案为：40，108°．
第22页（共28页）【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及用样本来估计总体，是基础知识要熟练
掌握．
六、（本大题14分）
24．（14分）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【考点】8A：一元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，
即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；
（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不
等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；
（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越
大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
【解答】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，于是有
x+3（10﹣x）＝14，
解得：x＝8，
则10﹣x＝10﹣8＝2（件）
所以应生产A种产品8件，B种产品2件；
第23页（共28页）（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，由题意有：
，
解得：2≤x＜8；
所以可以采用的方案有： ， ， ， ， ， ，共6种方案；
（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当 时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26万元．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个
等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然
后求出哪种方案获利最大从而求出来．
七、（本大题14分）请阅读下列材料：
25．（14分）请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1＝0
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，
则所求方程为： y 2 ﹣ y ﹣ 2 ＝ 0 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次
方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所
第24页（共28页）求的方程．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x所以x＝﹣y．
把x＝﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y＝ （x≠0），于是x＝ （y≠0）
把x＝ 代入方程ax2+bx+c＝0，（a≠0），得a（ ）2+b• +c＝0
去分母，得a+by+cy2＝0．
若c＝0，有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
可得有一个解为x＝0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根．
故c≠0，
故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0），（a≠0）．
【点评】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要
熟练掌握．
八、（本大题16分）
26．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），
抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度
为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第25页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式
为y＝a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、
OM＝3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、
5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得
答案；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此
时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与
△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
将点A（0，4）代入上式解得：a＝ ，
即可得函数解析式为：y＝ （x﹣1）（x﹣5）＝ x2﹣ x+4＝ （x﹣3）2﹣ ，
故抛物线的对称轴是：x＝3；
（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO＝4、OM＝3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
第26页（共28页）∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM＝ ＝ ＝5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM＝5，此时点P横坐标为6，即AP＝6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣ x+4；
把x＝t代入y＝﹣ x+4，则可得G（t，﹣ t+4），
此时：NG＝﹣ x+4﹣（ t2﹣ t+4）＝﹣ t2+4t，
∵AM+CE＝CO，
∴S△ACN ＝S△ANG +S△CGN ＝ AM×NG+ NG×CE＝ NG•OC＝ （﹣ t2+4t）×5＝﹣2t2+10t
＝﹣2（t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，△CAN面积的最大值为 ，
由t＝ ，得：y＝ t2﹣ t+4＝﹣3，
∴N（ ，﹣3）．
第27页（共28页）【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及三角形面积的最大值
问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
第28页（共28页）
