文档内容
专题 04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特
性以解析函数性质问题
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................8
题型一：函数单调性的合应用 8
题型二：函数的奇偶性的综合应用 10
题型三：已知f(x)=奇函数+M 11
题型四：利用轴对称解决函数问题 12
题型五：利用中心对称解决函数问题 14
题型六：奇偶性对称偏移 15
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 17
题型八：双对称与周期性 18
题型九：双函数与对称性 20
题型十：类周期与倍增函数 21
重难点突破：函数性质与导数 23从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
预计 2025 年高考中，题
目将更倾向于以小题（如选择
2024年新高考I卷第8题，5分 题或填空题）的形式来考察学
生，这些小题将可能融合在解
2024年新高考II卷第11题，6分
答题的解答过程中，作为一个
2023年新高考II卷第4题，5分 相对独立的考察点。具体来
说，可以预见的是：
掌握函数性质， 2023年新高考I卷第4题，5分
函数的性质
熟练解题应用 2022年乙卷第12题，5分 （1）题目将采用选择题或填
空题的形式，旨在检验学生的
2022年新高考II卷第8题，5分
综合逻辑推理和解析能力。
2021年甲卷第12题，5分
（2）考试的热点将聚焦于函
2021年新高考II卷第8题，5分 数的单调性、奇偶性以及对称
性这三个特性的综合应用和分
析。1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记 ， ，则 ．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 ．
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 的定义域为R， ，且当
时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 的定义域为 ，
，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则 ．6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的定义域为R，且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若 是奇函数，则 ， ．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为
奇函数，则（ ）A． B． C． D．
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
题型一：函数单调性的合应用
【典例1-1】若函数 在区间 内不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函数 是 上的偶函数，对任意 ，且 都有
成立．若 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或
定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。【变式1-1】定义域为 的函数 满足条件：①对任意的 ，恒有 ；
② ；③ ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知函数 是偶函数，当 时， 恒成立，设
， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
1．已知函数 ，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， 是定义域为R的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足
，若对任意的 ，都有 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
题型二：函数的奇偶性的综合应用
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，若不等式 成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
函数的奇偶性是一个强大的工具，它能帮助我们简化计算，快速求解问题。通过验证函数是否满足奇
函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，
奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使
我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
【变式2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数 为定义在R上的奇函数，且在 上单调递
减，满足 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在 上的函数 ，若
，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
1．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 是 上的奇函数，则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知 为定义在R上的偶函数，则函数 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：已知 f(x)=奇函数+M
【典例3-1】[新考法]已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为 ，则
的最小值为 .【典例3-2】已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则
．
已知 奇函数 ， ，则
（1）
（2）
【变式3-1】[新考法]函数 的最大值为 ，最小值为 ，若
，则 ．
【变式3-2】已知函数 ，若 ，则 ．
1．设函数 的最大值为M，最小值为m，则 .
2．若关于x的函数 的最大值和最小值之和为4，则 ．
3．函数 的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则
．
题型四：利用轴对称解决函数问题
【典例4-1】已知偶函数 的定义域为 ，对任意的 满足 ，且 在区间 上单调递减，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·辽宁·一模）已知函数 为偶函数，且当 时， 若
，则（ ）
A． B．
C． D．
轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均
值来找出对称轴。
(1)已知函数 满足 ,则 的对称轴为直线 .
(2)已知函数 满足 ,则 的对称轴为直线 .
(3)已知函数 满足 ,则 的对称轴为直线 .
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，且函数
的最小值为1，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【变式4-2】函数 满足：对 ，都有 ，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．31．已知函数 ，且满足 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
2．已知函数 的图象关于直线 对称，则函数 的单调递增区间为
A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1]
3．已知 是方程 的根， 是方程 的根，则
的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
题型五：利用中心对称解决函数问题
【典例5-1】（2024·广东广州·一模）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】[新考法]已知：定义在 上的可导函数 的图象关于点 对称的充要条件是导函数
的图象关于直线 对称.任给实数 ， 满足 ， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点
（即平均值）来确定对称中心的位置。（1）已知函数 满足 ，则 的对称点为点（0，0）．
（2）已知函数 满足 ，则 的对称点为点（a，0）．
（3）已知函数 满足 ，则 的对称点为点（a，b）．
（4）已知函数 满足 ，则 的对称点为点 ．
【变式5-1】（2024·四川宜宾·一模）已知函数 满足 ，若函数
与 图象的交点为 ，则
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函数 ，其中 为函数 的导数，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）设函数 的定义域为D，若对任意的 ，且
，恒有 ，则称函数 具有对称性，其中点 为函数 的对称中
心，研究函数 的对称中心，求
（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．80861．设函数 的定义域为 ，若对于任意 、 ，当 时，恒有 ，
则称点 为函数 图象的对称中心．研究函数 的某一个对称中心，并利用对
称中心的上述定义，可得到 的值为（ ）
A． B．4031 C． D．8062
2．已知函数 ，则 （ ）
A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050
3．若函数 的图象关于原点对称，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：奇偶性对称偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数， 为偶函数．设 ，则
（ ）
A． B． C． D．（1）若 为奇函数，则 ．
（2）若 为奇函数，则 ．
（3）若 为偶函数，则 ．
（4）若 为偶函数，则 ．
【变式6-1】已知 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则
（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式6-3】（多选题）已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且 ，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于点 中心对称 D．
1．设 是定义域 的奇函数， 是偶函数，且当 ， .若
，则 ( )A． B． C． D．
2．奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 （ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例7-1】若 ，且 ，则
（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【典例7-2】已知函数 的定义域为 ， ，且 ，则
（ ）
A．1 B． C．2024 D．
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊
值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性
则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出
函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解
不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
【变式7-1】已知函数 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）若定义在 上的函数 ，满足 ，
且 ，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
1．（多选题）若定义在R上且不恒为零的函数 满足：对于 ，总有
恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． ，则 周期为6
2．（多选题）已知函数 满足： ， ，则（ ）
A． B． 为奇函数 C． 为周期函数 D．
3．（多选题）已知定义在 上的函数 满足 ， ，且对任意
，都有 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是周期为4的奇函数 B． 图象关于直线 对称
C． 在区间 上单调递增 D．
4．（多选题）若定义在 上的函数 满足：对任意 都有 且 ，
则下列结论一定正确的是（ ）A．点 是 图象的一个对称中心B．点 是 图象的一个对称中心
C． 是周期函数 D．
题型八：双对称与周期性
【典例8-1】设定义在 上的函数 的图象关于 对称， 为奇函数，若 ，则
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【典例8-2】已知函数 对称轴为 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
（1）已知函数 关于直线 和直线 对称，则 的周期为 ．
（2）已知函数 关于点（a，0）和点（b，0）对称，则 的周期为 ．
（3）已知函数 关于点（a，0）和直线 对称，则 的周期为 ．
【变式8-1】若函数 的定义域为 ，其图象关于点 成中心对称，且 是偶函数，则
（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【变式8-2】（2024·贵州黔西·一模）已知函数f (x)的定义域为R， ， 为奇函数，且 ，则 （ ）
A．4047 B．2 C． D．3
1．已知 及其导函数 的定义域为 ， 为偶函数， 的图象关于点 对称，则
（ ）
A． B． C． D．
2．[新考法]已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于直线 对称， 是奇函数，则
下列选项中值一定为0的是（ ）
A． B． C．f (1) D．
3．（多选题）已知定义在 上的函数 分别满足： 为偶函数，
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 为周期函数
B．
C． 的图像关于点 中心对称
D．
4．[新考法]（多选题）已知定义在 上的函数 满足 ，且 是奇
函数，则（ ）A． B．
C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则
题型九：双函数与对称性
【典例9-1】已知函数 ，则下列函数的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例9-2】函数 是定义在 上的奇函数，已知当 时， 图像与 的图像关于直线
对称，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（1）函数 和函数 关于 轴对称．
（2）函数 和函数 关于 轴对称．
（3）函数 和函数 关于 对称．
（4）函数 和函数 关于 对称．
【变式9-1】（2024·上海黄浦·三模）若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，且，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】[新考法]已知函数 为常数， 在 处取得最小值，则
函数 是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点( ，0)对称B．偶函数且它的图象关于点 对称
C．奇函数且它的图象关于点 对称D．奇函数且它的图象关于点( ，0)对称
1．已知函数 与 的定义域均为 ，且它们的图象关于 对称，若奇函数 满足
，下列关于函数 的性质说法不一定正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于点 对称
C． 是 的一个周期 D．
2．已知函数 与 关于直线 对称，则 ．
3．[新考法]已知函数 ，若函数 和 的图象关于点 对称，
且对任意 ， 恒成立，则 ．题型十：类周期与倍增函数
【典例10-1】[新考法]对于函数 ，有下列四个命题
①任取 ， ，都有 ；
② （ 为正整数），对一切 恒成立；
③若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ， ，则 ；
④函数 有5个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例10-2】设函数 的定义域为 ，满足 ，且当x∈ (0,2]时， ，若
对任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1、类周期函数
若 满足： 或 ，则 横坐标每增加 个单位，则函数值
扩大 倍．此函数称为周期为 的类周期函数．
2、倍增函数
若函数 满足 或 ，则 横坐标每扩大 倍，则函数值扩大
倍．此函数称为倍增函数．【变式10-1】已知函数 的定义域为 ，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． （ ）
C． 在区间 内的最大值为4
D．若函数 有三个零点，则实数
【变式10-2】函数 的定义域为 ，满足 ，且 时， ，若
，恒有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ．则下列结论正确
的个数是（ ）
① ；
②若对任意 ，都有 ，则a的取值范围是 ；
③若方程 恰有3个实数根，则m的取值范围是 ．
A．0 B．1 C．2 D．32．设 是定义在 上的函数，若 是奇函数， 是偶函数，函数
，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，其中 ，给出以下关于函数 的结论：
① ②当 时，函数 值域为 ③当 时方程 恰有四个实根④当
时，若 恒成立，则 ．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
重难点突破：函数性质与导数
【典例11-1】已知可导函数 的定义域为 ， 为奇函数，设 是 的导函数，
若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A．-1012 B．-506
C．506 D．1012
【典例11-2】[新考法]（多选题）已知函数 ， 均是 上的连续函数， ， 分别为函数
和 的导函数，且 ， ，若 为奇函数，则（ ）
A． 是周期函数 B． 为奇函数
C． 关于 对称 D．存在 ，使（1）若函数 关于直线 对称，则导函数 关于点（a，0）对称．
（2）若函数 关于点（a，b）对称，则导函数 关于直线 对称．
（3）若函数 为奇函数，则导函数 为偶函数；若函数 为偶函数，则导函数
为奇函数．
（4）若导函数 为奇函数，则函数 为偶函数；若导函数 为偶函数，则函数
不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
【变式11-1】已知函数 及其导函数 的定义域都为R，且 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，记 的导函数
为 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．1．（多选题）已知定义域为 的函数 满足 ，f'(x)为 的导函数，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数
B．
C．
D．对 ， ，
2．（多选题）已知函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 和 都是奇函数，
，则下列说法正确的是（ ）
A． 关于点 对称 B．
C． D．
3．（多选题）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .若 ，
均为奇函数，且 ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 对称
C． 的周期为4 D．
4．（多选题）已知定义在 上的函数 ， ，其导函数分别为 ， ，
， ，且 为奇函数，则（ ）A． 的图象关于 对称
B．
C．
D．
