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2026-04-11 15:45:27
2026-04-11 15:21:55
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文档内容
思维突破 / 初二 / 秋季
第 1 讲 函数初步
例题练习题答案
例1
C =2πr
(1)在圆的周长公式 中，变量是（ ）．
A： π和C
B： r和C
C： π和r
D： π、r、C
(2)当甲给乙打电话时，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）
A： 甲
B： 电话费
C： 时间
D： 乙
(3)下列关于常量和变量的说法正确的是（ ）
A： 在不同的问题中，常量和变量可以转换
B： 只有常数才是常量
C： 变量永远不可能转变为常量
D： 变量的变化没有任何限制
例2 求下列函数x的取值范围：
x3
y =2x−1 y =
（1） ； （2） ；
(x+1)(x−1)
−−−−− −−−−− 1
y =√4−x+√x+1 y =1+
（3） ； （4） ．
1+ 1
1+x
例3
y x
(1)下列关系式中， 是 的函数的是________________.
1
y = x y =2x2 y2 =x
① 2 ； ② ； ③ ；
3
y =|x| x2 +y2 =1 y =
④ ； ⑤ ； ⑥ x；
|2y|=x y =−2x+1
⑦ ； ⑧ ．(2)下列图形不能体现y是x的函数关系的是_______________．
例4 下列函数为同一个函数的是________________．
−−−−−−−−−−−−
−−−−− −−−−−
y =√x+1√x−1 √(x+1)(x−1)
① 和
−−
y =x y =√x2
② 和
−−
y =x y =√3 x3
③ 和
(x+3)(x−5)
y = y =x−5
④ 和
x+3
例5 根据题意写出函数表达式：
(1)圆珠笔的单价为4元，铅笔的单价为2元，购买圆珠笔和铅笔的数量分别为a、b，共花费100
元，则b关于a的函数表达式为_____________．（写出a的取值范围）
(2)体校里男生人数是x，男生人数和女生人数的比是 20 :1 ，女生人数y关于x的表达式为
_____________．
(3)某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是
如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种
一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．用函数表达式描述橙子的总产量y与增种橙子树的棵
数x之间的关系．
⎧ 3
例6 − x+3 (x<4)
设 f(x)= ⎩ ⎨ −− 2 −−− ，求：（1） f(4) ； （2） f(−3) ； （3） f[f(7)] ．
√x−3 (x≥4)
例7 画出下列函数的图象：
y =−x y =|x|
（1） ； （2） ；
1
−−
（3）
y =√x
； （4）
y =
．
x
例8 (1)某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回了b km（ b
”、“
≤ ≥
”、“ ”或 “=”）．
(3,m) (−2,n) y =kx+b m>n
(3)已知点 、 是直线 上的两点，且 ，则（ ）
k>0
A：
k<0
B：
b>0
C：
b<0
D：
(4)已知一次函数 y =(6+3m)x+(m−4) ，y随x的增大而增大，函数的图象与y轴的交点
在y轴的负半轴上，则m的取值范围是___________．
2 已知函数 y
=(m−4)xm2−15+n
是一次函数，且过点 (1,−5) ，求其解析式．
3 已知一次函数图象经过 A(10, 4) 和 B(24, 5) 两点，求此一次函数的解析式．
4 若函数 y =−x−4 与x轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，求点M的坐标．思维突破 / 初二 / 秋季
第 2 讲 一次函数（一）
课堂落实答案
1 如图所示，若 kb<0 ，且 b−k>0 ，则函数 y =kx+b 的大致图象是（ ）．
A：
B：
C：
D：
1 1
2 直线l与 y =−
3
x+2 的交点在y轴上，与 y =
2
x−5 的交点在x轴上，求直线l的解析式．
3 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x (kg)与其运费 y (元)由如图所示的一次函数图象确
定，求旅客可携带的免费行李的最大质量．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 3 讲 一次函数（二）
例题练习题答案
例1y =2x−1
(1)求直线： ，向下平移4个单位后的解析式；
y =2x−1
(2)求直线： ，向左平移3个单位后的解析式；
y =3x−1
(3)求直线： ，向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的解析式；
y =−2x−1
(4)求直线： ，向右平移5个单位，再向上平移2个单位后的解析式．
例2 (1)直线 y =2x−3 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为____________．
3
(2)直线 y =−
5
x+6 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为
____________．
(3)直线 3x+y =5 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为____________．
例3 已知点 A(3,5) ， B(2,−3) ， C(−3,−1) ．
(1)求点A、B、C关于原点顺时针旋转
90∘
所得的点的坐标；
(2)求点A关于点 (−1,−1) 逆时针旋转 90∘ 所得的点的坐标；
(3)求点B关于点 (−1,−1) 顺时针旋转 90∘ 所得的点的坐标．
例4 一次函数y=2x+1的图象绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的函数解析式．
例5 求一次函数 y =−2x−1 的图象关于原点对称直线的函数解析式．
例6 如图为一次函数 y =kx+b 的图象，则
kx+b=0
（1） 的解为___________；
kx+b≥0
（2）不等式 的解集为___________；
kx+b<0
（3）不等式 的解集为___________；
kx+b≥3
（4）不等式 的解集为____________．
8
例7 (1) y =3x+9 (− ,1) 3x+9 =1
一次函数 的图象经过 3 ，则方程 的解为_______．
y =x−2 y =−2x+4 (2,0)
(2)一次函数 与 的图象的交点坐标是 ，则二元一次方程组
x−y =2
{
2x+y =4的解是___________．
例8 (1)如图，已知函数 y =x+b 和 y =ax+3 的图象交点为P，则不等式 x+b>ax+3 的解
集为__________．(2)如图，已知函数 y =x+3 和 y =kx+b 的图象交点为Q，则不等式 x+3 >kx+b 的
解集为__________．
例9 (1)已知不等式 −x+5 >3x−3 的解集是 x<2 ，则直线 y =−x+5 与 y =3x−3 的交
点坐标是_________．
ax+b>x−5 x<−1 y =ax+b y =x−5
(2)已知不等式 的解集是 ，则直线 与 的交点
坐标是_________．
例10 直线 经过 ， 两点，求不等式 的解集．
1 求一次函数 y =kx+b 的图象关于x轴对称，向上平移3个单位长度，向右平移4个单位长度，并
1 5
y = x+
绕原点顺时针旋转90°则变为 ，求此时直线的函数解析式．
3 3
思维突破 / 初二 / 秋季
第 3 讲 一次函数（二）
自我巩固答案
1 （1）一次函数 y =2x+3 的图象向上平移5个单位后，一次函数的解析式变为____________；
y =2x+3
（2）一次函数 的图象向右平移5个单位后，一次函数的解析式变为_____________；
（3）与一次函数 y =2x+3 的图象关于y轴对称的一次函数的解析式为______________；
（4）与一次函数 y =2x+3 的图象关于x轴对称的一次函数的解析式为_______________；
2 如图，已知一次函数 y =kx+b 的图象：
（1）关于x的方程 kx+b=0 的解为_____________；
（2）关于x的不等式 kx+b<0 的解集为_____________；
（3）关于x的不等式 kx+b≤2 的解集为_____________；4 4 4 4 4
3 直线 y =− 3 x+4 与y轴交于A点，与直线 y = 5 x+ 5交于B点，且直线 y = 5 x+ 5与x
轴交于点C，求△ABC的面积．
4 已知直线 y =−x−4 与 y 轴交于点 A ，该直线上有一点 M ，若△ AOM 的面积为 8 ，求点 M 的坐
标．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 3 讲 一次函数（二）
课堂落实答案
3 3
1 y = x−2 y = (x+4)
要把直线 2 的图象变为直线 2 的图象，则下列平移方法正确的是（ ）
A： 向上平移8个单位
B： 向下平移8个单位
C： 向上平移6个单位
D： 向下平移6个单位
4
2 已知一次函数 y 1 =x−3 和反比例函数 y 2 = x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当
y
1
>y 2时，求x的取值范围．
1
3 已知两直线 y 1 =kx+b 与 y 2 =− 3 x+2 的交点在y轴上，并且它们与x轴所围成的三角形的
y
面积是7，求 1的解析式．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 4 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1 下列y与x的函数中，哪个函数不是反比例函数（ ）
3
A： y =−
x−3
B： y =
2x
1
C： y =−
x−1
2
D： y =
x
例2 画出下列反比例函数的图象：
1 2
y = y =−
（1） x （2） x．
2a−3
例3 (1)如果反比例函数 y =
x
的图象经过第二、第四象限，则a的取值范围是_________．
k2
(2) y = (k≠0)
反比例函数 x 的图象的两个分支分别位于（ ）
A： 第一、二象限
B： 第一、三象限
C： 第二、四象限
D： 第一、四象限
1
(3)已知反比例函数 y = x，下列结论不正确的是（ ）
• • •
(1,1)
A： 图象经过点
B： 图象在第一、三象限
x>1 0 S
A： 1 2
S x y y
已知反比例函数 x上有两点 1 1 、 2 2 且满足 1 2，则 1与 2的大小关系
是（ ）
y >y
A： 1 2
y 40
C：
x<40
D：
例3 已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小
时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
例4 将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间
k
S =
是反比例函数关系 a（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以每千米平均耗油0.1
升的速度行驶，可行驶500千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
例5 已知如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点
–
√3
G，反比例函数 y = x （ x>0 ）经过线段DC的中点E，若 BD=4 ，则AG的长为（ ）
–
4√3 –
√3+2
A． 3 B．
–
– 3√3
2√3+1 +1
C． D． 2
–
4√3
A：
3
–
√3+2
B：
–
2√3+1
C：
–
3√3
D： +1
2
k
例6 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线 y = (x>0) 上，BC与x轴交于点
x
D．若点A的坐标为 (1,2) ，求点B的坐标．
m n
例7 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 y = x 与 y = x (x>0,0
2
) ，将线段CA绕点C逆时针旋转至CB使
k
AB∥y轴，反比例函数 y =
x
(x>0) 的图象经过点C．
（1）在图1中画出△ABC，若 S △OAC =4 ，求k的值；k
（2）如图2，反比例函数 y = x (x>0) 交AB于D．若 BD=BC ，求OC的长；
k
（3）过B 点作射线BF∥AC 交反比例函数 y = x (x>0) 的图象于E ，交x 轴于F ，
EF 1
= k=
BE 2，则 _____________．
图1 图2
2
1 A B P P P P y = x>0 A
如图，正方形 1 1 1 2的顶点 1、 2在反比例函数 x （ ）的图象上，顶点 1、
B 1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P 2 P 3 A 2 B 2，顶点P 3在反比例函数
2
y =
x
（ x>0 ）的图象上，顶点A 2在x轴的正半轴上，求点 P 3的坐标．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 5 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
1 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．设每天组装的空调数量为y（台/
天），组装的时间为x（天）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完
成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
4
2 如图，已知 A(2,y 1 ) 与 B(−2,y 2 ) 是反比例函数 y = x 上的两点，现由点B向x、y轴作垂线，
分别交x、y轴于C、D两点，求△ACD的面积．思维突破 / 初二 / 秋季
第 5 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
1 某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗3吨，可用80小时．由于技术革新，实际生产能力
有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x（单位：
吨），库存的原料可使用的时间为y（单位：小时）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）若恰好经过40小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
m
2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y =kx+b 的图象与反比例函数 y = 的图象交于
x
A(−2,1) B(1,n)
、 两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 6 讲 函数综合（一）
例题练习题答案
例1
A(10, 4) B(24, 5)
(1)求过点 和 的一次函数表达式；
(2)一次函数 y =2x+b 过点 A(4, 5) ，且过点 B(2, a) ，求B点的坐标；
l (−1,3) (2,6) l l (1,4) (3,a) a
(3)已知直线 1过点 和 ，直线 2与 1平行，并且经过点 和 ，求 ．例2 已知直线 y =mx−3 、 y =−1 、 y =3 、 x=1 所围成的四边形的面积是12，求m的值．
例3 如图，直线 y =kx+6 与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为 (−8,0) ，点A的坐标为
(−6,0)
．
（1）求k的值；
（2）点 P (x,y) 是第二象限内的直线上的一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）若点 P (x,y) 在直线 y =kx+6 上，当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积
27
为 8 ．
例4 已知函数 y =(m+5)x|m|−6 是反比例函数．
（1）求m的值．
（2）当 x=4 时，求y的值．
(x ,y ) (x ,y ) x >x y y
（3）已知 1 1 ， 2 2 是反比例函数图象上的两点，且 1 2，比较 1， 2的大小．
2
例5 y = (x>0) P ,P ,P ,P ,
如右图，在反比例函数 x 的图象上，有点 1 2 3 4 它们的横坐标依次为
x y
1,2,3,4.分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S ,S ,S , S +S +S
1 2 3 则 1 2 3=____________.
例6 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上， ∠DCO=90∘ ，点D在第
一象限， OC =3 ， DC =4 ，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．
k
例7 y =k x(k ≠0) y = 2(k ≠0) A B
已知正比例函数 1 1 与反比例函数 x 2 的图象交于 、 两点，点
A (2 1)
的坐标为 ， ．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
B
（2）求点 的坐标．
k
例8 y = y =mx+b A(1 3)
如图，反比例函数 x 的图像与一次函数 的图像交于 ， ，
B(n −1)
， 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
x
（2）根据图像回答：当 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
1
例9
如图，一次函数
y =
2
x−2
的图象分别交
x
轴、
y
轴于
A
，
B
，
P
为
AB
上一点且
PC
为
k 3
ΔAOB PC y = (k>0) Q S =
的中位线， 的延长线交反比例函数 x 的图象于 ， ΔOQC 2，则
k Q
的值和 点的坐标分别为______________.
例10
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，
且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
3
例11 如图，一次函数的图象与反比例函数 y 1 =− x (x<0) 的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交
于B、C两点，且 C(2,0) ，当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x>−1 时，一次
函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；a 3
（2）设函数 y 2 = x (x>0) 的图象与 y 1 =− x (x<0) 的图象关于y轴对称，在
a
y
2
=
x
(x>0) 的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四
边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
1 如图，直线 l 1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 l 2与直线 l 1关于x轴对称，已知直线 l 1的解析式
y =x+3
为 ，
l
（1）求直线 2的解析式；
（2）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴
相交与点M，且 BP =CQ ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结
论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 6 讲 函数综合（一）
自我巩固答案
m
1 一次函数 y =kx+b 的图象与反比例函数 y = x 交于两点， A(−2,1) ， B(1,n) ，求反比例
函数和一次函数的关系式．
2 如图，四边形ABCD为菱形，已知 A(0,4) ， B(−3,0) ．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
k
3 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数 y = (x>0) 的图象经过点B．
x
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′
k
分别与函数 y = (x>0) 的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
x
思维突破 / 初二 / 秋季
第 6 讲 函数综合（一）
课堂落实答案
1 若直线 y =(m−1)x+m−5 不经过第二象限，则m的取值范围是多少．
3
2 两个一次函数 y =3x+12 ， y =3− 2 x 的图像与y轴所围成的三角形面积是多少．
k
3 如图，反比例函数 y = x的图象与直线 y =x+m 在第一象限交于点 P (6,2) ，A、B为直线上
的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行
于y轴．
（1）直接写出k，m的值；
（2）求梯形ABCD的面积．思维突破 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列关系式中，表示y与x的正比例函数的是（ ）
x
y =
A：
6
6
B： y =
x
y =x+1
C：
y =2x2
D：
k+1
2 y
=xk2
+2 y = k=
已知 是一次函数， x 为反比例函数，则 （ ）
A： 1
B： -1
C： 1或-1
D： 以上都不对
3 已知正比例函数 y =kx(k≠0) ，当 x=−1 时， y =2 ，则它的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：k
4 y =kx y =
已知函数 1 ， 2 x，则在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A 1、 A 2、 A 3、 A 4、 A 5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时
间t变化的图象大致是（ ）
A：
B：
C：D：
8 1 1
6 下列函数① y =−2x ② y = x ③ y =− x ④ y = 2 x−1 ，其中函数值y随x增大而增大的有
（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①②③
D： ④
7 一次函数 y =2ax−a 的图像一定过的象限是（ ）
A： 一、二
B： 三、四
C： 一、四
D： 二、三
8 点A、B的坐标分别为 (-1,1) 、 (3,2) ，P为x轴上一点，且P到A、B的距离之和最小，则点P的坐
标为（ ）
(1,0)
A：
1
B： ( ,0)
2
1
C： ( ,0)
3
1
D： ( ,0)
4
9 平面直角坐标系中一点P到x轴的距离为3，y轴的距离为5，则P点的坐标为__________.
10 1.直线 y 1 =kx+b 经过第一、二、四象限，则直线 y 2 =bx−k 不经过第__________象限.
11 如右图，P是双曲线上一点，PQ垂直于y轴于Q，△OPQ的面积为3，则此反比例函数的解析式为
_____________.
1
−−−−−
12 y =√2−x+
函数 x−1自变量的取值范围为___________.
13 一次函数 y =(m−1)x+m−5 的图像不经过第二象限，则m的取值范围是____________.14 如果直线 y =2x+3 上一点到x轴的距离为5，则这点的坐标是___________.
15 已知 2y−3 与 3x+1 成正比例，且 x=2 时， y =5 ，则y与x之间的函数关系式为_________.
16 一次函数的图像与直线 y =6−x 交于点A(5,k) ，且与直线 y =2x−3 无交点，则此一次函数
的截距为___________.
17 已知，一次函数图像与x轴交点A的横坐标为2，且经过点(-1,-6)，求此函数解析式、画出图像，并
求出函数图像与坐标轴围成的三角形面积.
36
18 在直角坐标系中，原点为O，点P是反比例函数 y =
x
图像上一点，点A在x轴上，△AOP是等腰
直角三角形，求点A的坐标.
19 已知,两个一次函数 y 1 =2x+3 、 y 2 =−x+b ，试回答下列问题：
(1)若这两个一次函数的图像有交点，且交点的横坐标为2，求b的值；
(2)若这两个一次函数的图像的交点的横纵坐标相等，求此时b的值；
y =2ax−a+4
(3)已知，另一条直线的解析式为 3 （这三条直线互不重合），且这三条直线
交于一点，求b的值.
20 我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以
户为单位分段计费的办法收费，即一月用水在10吨以内（包括10吨）的用户，每吨水费为a元；对
于一月用水超过10吨的用户，10吨水部分仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，则按每吨b元（
b>a ）收费，设一户居民月用水量为x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示.
(1)求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
(2)求b的值，并写出当 x>10 时，y与x之间的函数关系式？
(3)已知，居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共交水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
m
21 如图,已知 A(−4,n) , B(2,−4) 是一次函数 y =kx+b 的图象和反比例函数 y = x 的图象的两
个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式
AB x C △AOB
(2)求直线 与 轴的交点 的坐标及 的面积
m
kx+b− =0
(3)求方程 x 的解(请直接写出答案)
m
kx+b− <0
(4)求不等式 x 的解集(请直接写出答案)
22 求在平面直角坐标系中 y =3−|x| 的图像与x轴围成的面积.
23 设直线 l 1 :y =kx+k−1l 2 :y =(k+1)x+k （k为正整数）及x轴围成的三角形面积为
S S +S +⋅⋅⋅+S
k，求 1 2 2015的值.
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第 8 讲 函数综合（二）
例题练习题答案
例1 已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装
共80套．已知做一套M型号的时装需要用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N
型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这
批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？
例2 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后
卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货物相遇．已知货车
的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所
示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为 (3.75,75) ；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，以上4个结论正确的是__________．
例3 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发
时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小
时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图象所提
供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
例4 在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向
C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为 y 1、 y 2（km）， y 1、
y 2与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为________km， a= ________；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
例5 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为
x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下
探究:（1）甲、乙两地之间的距离为________km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30
分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
例6 已知：如图，矩形ABCD中， AB =5 ， AD=3 ，E是CD上一点（不与C、D重合）连接AE，
过点B作BF⊥AE，垂足为F．
AE =x,BF =y
（1）设 ．
y x x
① 求 关于 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范围；
② 问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（2）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．
例7 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC， ∠A =90∘ ， AB =6 ， BC =8 ， AD=14 ，E为
AB上一点， BE =2 ，点F在BC边上运动，以FE为一边的菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G
落在四边形ABCD内或其边上．若 BF =x ，△FCG的面积为y．
（1）当 x= ______时，四边形FEHG为正方形；
（2）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形，并求出△FCG面积的最
大值和最小值；
（4）△FCG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为________．
例8 已知函数 y =kx+b 的图像经过点 A(4,3) ，且与一次函数 y =x+1 的图像平行，点
B(2,m) y =kx+b
在一次函数 的图像上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点 P (x,0) 到定点 A(4,3) 、 B(2,m) 的距离分别为 PA 和 PB ，当点P
PA =PB
的横坐标为多少时， ．例9 已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A(4,0) ， B(0,−4) ，P为y轴上B点下
方一点， PB =m(m>0) ，以AP为边作等腰直角△APM，其中 PM =PA ，点M落在第四
象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理
由．
1 在平面直角坐标系xOy中，直线 y =x+10 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若BC⊥AB交x轴于C，求△ABC的面积；
（2）如图，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰△BDE，且 ∠BDE =90∘ ．连接
EA，求直线EA的解析式；
（3）点E是y轴正半轴上一点，且 ∠OAE =30∘ ，AF平分 ∠OAE ，点M是射线AF上一动
点，点N是线段AO上一动点，请判断是否存在这样的点M、N，使得 OM +NM 的值最
小，若存在，请写出其最小值，并简要说明理由．思维突破 / 初二 / 秋季
第 8 讲 函数综合（二）
自我巩固答案
1 小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系如图所示．
（1）根据图象提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间；
（2）求点N坐标．
2 如图，直线 y =−x+2 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段AB上（不含端点A、B）．
（1）求A、B两点坐标；
（2）若 S △OAC :S △OBC =3 :2 ，求点C的坐标；
（3）若BD∥OA交直线OC于D，AE⊥OC于E，交OB于F，P为AB的中点，当点C在线段BP
BD+BF
上滑动时，求证： 的值不变．
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第 8 讲 函数综合（二）
课堂落实答案
1 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距
离A地的路程 y （单位：千米）与所用时间 x （单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时
出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1
小时．
（1）请在下图中画出货车距离A地的路程 y （千米）与所用时间 x (时)的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
2 设矩形 ABCD 中， AB =CD=4 ， AD=BC =8 ， E 为 AD 上的定点， AE =4 ．动点
P D C B A P x △APE
从 出发，沿着矩形的周界依次经过 、 ，最后到达 ，设点 走过的距离为 ， 的
y
面积为 ，
y x
（1）把 表示成 的函数；
y =6 P
（2）当 时，点 走过的距离是多少？
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第 9 讲 平行线与比例线段
例题练习题答案
例1 已知直线 l 1∥ l 2∥ l 3，两直线分别与 l 1、 l 2、 l 3相交于点A、B、C和D、E、F，已知 AB =3 ，
AC =5 ， DF =12 ，求DE、EF的长．
AD AE
例2 如图，已知：DF∥BE，EF∥BC．求证：DE = EC．例3 如图，已知四边形ABCD，E、F、G分别为AC、AD、AB上的点，EF∥CD，EG∥BC．求证：
FG∥DB．
例4 如图，在 △ABC 中， DE//BC ， DF//AC ， DG//BE ， AE =10 ， EC =5 ，
AD=8 ， BC =14 ．求BD、AG、CF的长．
例5 如图，已知点D为 △ABC 的边AC的中点， AE//BC ，ED交AB于G，交BC的延长线于F，已知
BG:GA =3 :1 ， BC =8 ，求AE的长．
例6 如图所示，已知□ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC与P、Q两点，则
AP :PQ:QC =
______________．
例7 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于P、
Q．求 BP :PQ:QR 的值．
1
例8 如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点， AF = FD ，EF与AC相交于G．求 AG:AC 的
2
值．例9 如图，在 △ABC 中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，求证： BE =3EF ．
例10 在四边形ABCD中， AC 、 BD 相交于O，直线 l// BD ，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线
PM ⋅PN =PR⋅PS
分别相交于M、N、R、S、P．求证： ．
1 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于Y，XY∥AB交AD于X．
1 1 1
+ =
求证： ．
AB CD XY
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第 9 讲 平行线与比例线段
自我巩固答案
1 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且 AD:DB =3 :2 ， AE :EC =1 :2 ，直线ED
和CB的延长线交于点F，求 FB :FC ．2 已知：如图 ∠ACB =90∘ ， AC =BC ， CE =CF ， EM⊥AF ， CN⊥AF ．求证：
MN =NB
．
3 已知梯形ABCD中， AD//BC ，E、F分别在AB、CD上，且 ED//BF ，求证： AF//CE ．
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第 9 讲 平行线与比例线段
课堂落实答案
1 在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点．
AP =PQ=QC
求证： ．
2 如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且 AF :FD=1 :5 ，连接CF并
延长交AB于点E，求 AE :EB 的值．
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第 10 讲 相似三角形（一）例题练习题答案
例1 如图，已知图中的两个四边形ABCD和
A′B′C′D′
相似，试求线段CD、
B′C′
的长度，以及
∠A′ ∠C′
、 的度数．
例2 两个相似三角形对应边的比为 2 :3 ，则它们的相似比为________；对应中线的比为________；对应
角平分线的比为_________；周长比为________；面积比为________．
例3 如图，D在△ABC的边BC所在直线上，过D、B分别作AB、AC的平行线交于E点，求证：
△ABC∽△EDB．
例4 如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC∽△DEF．
例5 已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：△ABC∽△DEF．
例6 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上， BC =6 ， AB =8 ， AE =4 ， AD=3.5 ，
AC =7
．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)求DE的长．
例7 如图，在△ABC中， AB =AC ， BC =BD ．求证：△ABC∽△BDC，且 CB2 =CD⋅CA ．
例8 如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的点， EF⊥DE 交BC于点F．求证：△ADE∽△BEF．
例9 如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，求证： AD2 =BD⋅DC ， AB2 =BD⋅BC ，
AC2 =CD⋅CB
．
例10 已知直角三角形ABC， ∠A =90∘ ，AD为斜边上的高， AD=4 ， AB =6 ，求BD、CD和AC
的长．
1 如图，点 A 1、 A 2、 A 3、 A 4在射线OA上，点 B 1、 B 2、 B 3在射线OB上，且 A 1 B 1∥ A 2 B 2∥
A B A B A B A B A B B A B B
3 3， 2 1∥ 3 2∥ 4 3．若△ 2 1 2、△ 3 2 3的面积分别为1、4．求三个阴影
三角形的面积的和．
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第 10 讲 相似三角形（一）
自我巩固答案
1 在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ，CD是斜边上的高，已知 CD=60 ， AD=80 ，求BC的长．
1
2 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F， DE = 2 CD ．若
S △EFD =2 ，求 □ABCD的面积．
3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB，BC上，且 AD=BE ，AE、CD相交于点
M，求证：△CME∽△ACE．思维突破 / 初二 / 秋季
第 10 讲 相似三角形（一）
课堂落实答案
– –
1 两个相似三角形，相似比为 √3:√2 ，其中较小三角形的面积是6，则较大三角形面积是
__________．
2 两个相似三角形周长的和等于36cm，对应高的比为 4 :5 ，则这两个三角形的周长各是
__________．
3 已知：在△ABC中， ∠C =90∘ ，D是AC边上一点， DE⊥AB 于E，求证：
AD⋅AC =AE⋅AB
．
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第 11 讲 相似三角形（二）
例题练习题答案
BD AB
例1 如图，AD为△ABC的一条角平分线．求证： = ．
DC AC
BD AB
例2 如图，AD为△ABC的一条外角平分线．求证：DC = AC．例3 如图，在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ， AB =4AC =3 ，AD为 ∠A 的平分线，求△ABD的面积．
AD AB
例4 已知△ABC中， ∠AEC =∠ADB =90∘ ，求证： = ．
AE AC
例5 已知△ABC中， ∠B =∠ACD ，求证： AC2 =AB⋅AD ．
例6 已知△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且满足 AD⋅AC =AE⋅AB ，求证：
∠ABD=∠ACE
．
例7 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E， AD=BD ，过E
的直线EF∥AB交AD于F．
(1)求证：△BCE∽△ACB；
AF2 =AE⋅EC
(2)求证： ．
例8 如图，已知点B是线段CD中点， AC⊥CD ， DE⊥CD ， AB⊥BE ，求证：
Rt△ACB∽Rt△BDE∽Rt△ABE．
例9 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF =60∘ ．(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)当 BD=1 ， FC =3 时，求BE的长．
例10 在Rt △ABC 中， ∠BAC =90∘ ， AB =AC =2 ，点 D 在 BC 所在的直线上运动（异于B、
C），作 ∠ADE =45∘ （A，D，E按逆时针方向）．若点 D 在线段 BC 上运动， DE 交 AC 于
E
．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
△ADE AE
(2)当 是等腰三角形时，求 的长．
1 已知在梯形ABCD中，AD∥BC， AD
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