思维突破 / 初二 / 秋季
第 1 讲 函数初步
例题练习题答案
例1
C =2πr
(1)在圆的周长公式 中，变量是（ ）．
A： π和C
B： r和C
C： π和r
D： π、r、C
(2)当甲给乙打电话时，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（ ）
A： 甲
B： 电话费
C： 时间
D： 乙
(3)下列关于常量和变量的说法正确的是（ ）
A： 在不同的问题中，常量和变量可以转换
B： 只有常数才是常量
C： 变量永远不可能转变为常量
D： 变量的变化没有任何限制
例2 求下列函数x的取值范围：
x3
y =2x−1 y =
（1） ； （2） ；
(x+1)(x−1)
−−−−− −−−−− 1
y =√4−x+√x+1 y =1+
（3） ； （4） ．
1+ 1
1+x
例3
y x
(1)下列关系式中， 是 的函数的是________________.
1
y = x y =2x2 y2 =x
① 2 ； ② ； ③ ；
3
y =|x| x2 +y2 =1 y =
④ ； ⑤ ； ⑥ x；
|2y|=x y =−2x+1
⑦ ； ⑧ ．(2)下列图形不能体现y是x的函数关系的是_______________．
例4 下列函数为同一个函数的是________________．
−−−−−−−−−−−−
−−−−− −−−−−
y =√x+1√x−1 √(x+1)(x−1)
① 和
−−
y =x y =√x2
② 和
−−
y =x y =√3 x3
③ 和
(x+3)(x−5)
y = y =x−5
④ 和
x+3
例5 根据题意写出函数表达式：
(1)圆珠笔的单价为4元，铅笔的单价为2元，购买圆珠笔和铅笔的数量分别为a、b，共花费100
元，则b关于a的函数表达式为_____________．（写出a的取值范围）
(2)体校里男生人数是x，男生人数和女生人数的比是 20 :1 ，女生人数y关于x的表达式为
_____________．
(3)某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是
如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种
一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．用函数表达式描述橙子的总产量y与增种橙子树的棵
数x之间的关系．
⎧ 3
例6 − x+3 (x<4)
设 f(x)= ⎩ ⎨ −− 2 −−− ，求：（1） f(4) ； （2） f(−3) ； （3） f[f(7)] ．
√x−3 (x≥4)
例7 画出下列函数的图象：
y =−x y =|x|
（1） ； （2） ；
1
−−
（3）
y =√x
； （4）
y =
．
x
例8 (1)某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回了b km（ b<a ），再
前进c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）．
A：B：
C：
D：
(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，
当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点．用
S 1、 S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象与故事情节相吻合的是
（ ）
A：
B：
C：
D：
例9 (1)为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要
进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工
进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与
时间x（天）的函数关系的大致图象是（ ）
A：B：
C：
D：
(2)四个容量相同的容器形状如图所示．以同一流量的水管分别注水到这四个容器，所需时间都
相同，图中显示注水时，容器水位h与时间t的关系．请把图象序号与相应的容器搭配起来．
例10 下图描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地P的距离s（km）和行驶时间
t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）汽车到达B点时，距离出发地________km，此时已经行驶了________h；
（2）汽车在BC段处于__________状态；
t=
（3）汽车在整个行驶过程中离出发地最远距离是________km，在 ______h时到达；
4.5
（4）汽车自出发后3h至 h之间的行驶方向是__________．
（5）汽车从C点到D点的速度为___________km/h；
4.5
（6）汽车在0至 h的过程中，共行驶了_________km．
1 如图，在长方形ABCD中， AB =1 ， AD=2 ，M是CD的中点，点P在长方形的边上沿
A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A：
B：
C：
D：
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第 1 讲 函数初步
自我巩固答案
1 有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中的任
何时刻，有一个容器的水面高度如图所示，图中 PQ 为一线段，这个容器的形状是 （ ）
A： A
B： B
C： C
D： D
2 画出下列函数的图象：（1） y =−x+1 ；（2） y =|x| ；（3） y =x2 ．
2x3 −|x|(x<0)
3 f(x)={ f(−1)−f(2)
已知 −3x2 −2(x≥0) ，求 ．4 如图，在半径为10厘米的圆面上，从中心挖去一个半径为x厘米的空洞，剩下的面积是y平方厘
米，写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围．
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第 1 讲 函数初步
课堂落实答案
−−−−−
x2 +3 √x+4
1 y = y =
求下列函数自变量的取值范围：（1） x+1 ； （2） x−5 ．
|1−x| 2
2 已知 y = x+2 ，求：（1） x=3 时y的值；（2） x=0 时y的值；（3） x=− 3时y的
值．
3 某容器的容积为5升，重量为1千克．如果每立方米的水重1吨，试求总重量y（千克）与盛水的体
积x（升）之间的函数关系，并指出x的取值范围．
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第 2 讲 一次函数（一）
例题练习题答案
例1 (1)下列函数中，是正比例函数的是（ ）
y =2x
A：
1
B： y =
2x
y =x2
C：
y =x3
D：
y =(m−2)x|m−1|
(2)如果函数 是正比例函数，那么（ ）
m=2 m=0
A： 或
m=2
B：
m=0
C：m=1
D：
(3)判断：若 y−1 与x成正比例，则y是x的正比例函数．（ ）
2 x
例2 (1)下列函数：① y =x−6 ；② y = x；③ y = 8；④ y =7−x ；⑤ y =x2 −2x ；其
中，y是x的一次函数的是_______________．
(2)已知函数 y =(m+1)x+(m2 −1) ，当m满足什么条件时，y是x的一次函数？当m满
足什么条件时，y是x的正比例函数？
例3 (1)正比例函数 y =kx 过一三象限，则k的取值范围为____________．
(2)正比例函数 y =mx 图象从右到左下降，则m的取值范围为____________．
(3)正比例函数 y =(a−4)x 中，y随x增大而减小，则a的取值范围为_________．
例4 已知正比例函数的图象在第二、四象限，它的解析式为 y
=(2m+1)xm2−2
，求 m 的值．
例5 (1)已知一次函数 y =−3x+2 ，它的图象不经过第_____象限．
(2)一次函数 y =(a+5)x+6−3a 经过一、二、四象限，a的取值范围为________．
例6 如 图 ， 其 中 ， l 1 :y =k 1 x+b 1； l 2 :y =k 2 x+b 2； l 3 :y =k 3 x+b 3；
l :y =k x+b
4 4 4．
k k k k
(1) 1、 2、 3、 4与0由小到大为_________________；
b b b b
(2) 1、 2、 3、 4与0由小到大为_________________．
例7 (1)正比例函数 y =kx 的图象经过点 A(−1,2) ，则此函数的解析式为________________．
y =kx+b A(0,−2) B(3,2)
(2)已知一次函数 的图象经过点 和点 ，此函数解析式为
____________．
(1,8) (−1,2)
(3)已知一次函数图象过点 ， ，求此函数的解析式；
(2,1) (6,−1)
(4)已知一次函数图象过点 ， ，求此函数的解析式．
例8 (1)若一次函数 y =kx+6 与坐标轴围成的面积为9，求该一次函数的解析式．
(2)已知一次函数的图象经过点 A(3,4) ，与y轴负半轴交于B点，且 OA =OB ，求该一次函数
的解析式．3
例9 (1)已知直线 y =−
2
x+6 和x轴、y轴分别交于点P、Q，求交点P、Q的坐标；
(2)已知直线 y =x+4 和直线 y =−2x−5 交于点 A ，求交点A的坐标；
1
(3)已知直线 y =x+4 和直线 y =− 2 x−1 交于点 B ，求交点B的坐标；
1
(4)已知直线 y =− 2 x−1 和直线 y =−2x−5 交于点 C ，求交点C的坐标．
例10 证明：不论a取什么值，直线 y =(1−a)x−(a−1) 都经过一个定点．
1 一次函数 y =kx−k 的图象与两个坐标轴围成的直角三角形面积为3，求此函数的解析式．
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第 2 讲 一次函数（一）
自我巩固答案
1 回答下列问题
(1)如果一次函数 y =(a−1)x+(a+5) 不经过第一象限，那么实数a的取值范围是
_________．
(2)如果直线
y =ax+b
不经过第四象限，那么
a_____0，b_____0（填“ <
”、“
>
”、“
≤ ≥
”、“ ”或 “=”）．
(3,m) (−2,n) y =kx+b m>n
(3)已知点 、 是直线 上的两点，且 ，则（ ）
k>0
A：
k<0
B：
b>0
C：
b<0
D：
(4)已知一次函数 y =(6+3m)x+(m−4) ，y随x的增大而增大，函数的图象与y轴的交点
在y轴的负半轴上，则m的取值范围是___________．
2 已知函数 y
=(m−4)xm2−15+n
是一次函数，且过点 (1,−5) ，求其解析式．
3 已知一次函数图象经过 A(10, 4) 和 B(24, 5) 两点，求此一次函数的解析式．
4 若函数 y =−x−4 与x轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，求点M的坐标．思维突破 / 初二 / 秋季
第 2 讲 一次函数（一）
课堂落实答案
1 如图所示，若 kb<0 ，且 b−k>0 ，则函数 y =kx+b 的大致图象是（ ）．
A：
B：
C：
D：
1 1
2 直线l与 y =−
3
x+2 的交点在y轴上，与 y =
2
x−5 的交点在x轴上，求直线l的解析式．
3 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x (kg)与其运费 y (元)由如图所示的一次函数图象确
定，求旅客可携带的免费行李的最大质量．
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第 3 讲 一次函数（二）
例题练习题答案
例1y =2x−1
(1)求直线： ，向下平移4个单位后的解析式；
y =2x−1
(2)求直线： ，向左平移3个单位后的解析式；
y =3x−1
(3)求直线： ，向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的解析式；
y =−2x−1
(4)求直线： ，向右平移5个单位，再向上平移2个单位后的解析式．
例2 (1)直线 y =2x−3 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为____________．
3
(2)直线 y =−
5
x+6 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为
____________．
(3)直线 3x+y =5 ，关于x轴对称的直线为____________；关于y轴对称的直线为____________．
例3 已知点 A(3,5) ， B(2,−3) ， C(−3,−1) ．
(1)求点A、B、C关于原点顺时针旋转
90∘
所得的点的坐标；
(2)求点A关于点 (−1,−1) 逆时针旋转 90∘ 所得的点的坐标；
(3)求点B关于点 (−1,−1) 顺时针旋转 90∘ 所得的点的坐标．
例4 一次函数y=2x+1的图象绕原点顺时针旋转90°，求旋转后的函数解析式．
例5 求一次函数 y =−2x−1 的图象关于原点对称直线的函数解析式．
例6 如图为一次函数 y =kx+b 的图象，则
kx+b=0
（1） 的解为___________；
kx+b≥0
（2）不等式 的解集为___________；
kx+b<0
（3）不等式 的解集为___________；
kx+b≥3
（4）不等式 的解集为____________．
8
例7 (1) y =3x+9 (− ,1) 3x+9 =1
一次函数 的图象经过 3 ，则方程 的解为_______．
y =x−2 y =−2x+4 (2,0)
(2)一次函数 与 的图象的交点坐标是 ，则二元一次方程组
x−y =2
{
2x+y =4的解是___________．
例8 (1)如图，已知函数 y =x+b 和 y =ax+3 的图象交点为P，则不等式 x+b>ax+3 的解
集为__________．(2)如图，已知函数 y =x+3 和 y =kx+b 的图象交点为Q，则不等式 x+3 >kx+b 的
解集为__________．
例9 (1)已知不等式 −x+5 >3x−3 的解集是 x<2 ，则直线 y =−x+5 与 y =3x−3 的交
点坐标是_________．
ax+b>x−5 x<−1 y =ax+b y =x−5
(2)已知不等式 的解集是 ，则直线 与 的交点
坐标是_________．
例10 直线 经过 ， 两点，求不等式 的解集．
1 求一次函数 y =kx+b 的图象关于x轴对称，向上平移3个单位长度，向右平移4个单位长度，并
1 5
y = x+
绕原点顺时针旋转90°则变为 ，求此时直线的函数解析式．
3 3
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第 3 讲 一次函数（二）
自我巩固答案
1 （1）一次函数 y =2x+3 的图象向上平移5个单位后，一次函数的解析式变为____________；
y =2x+3
（2）一次函数 的图象向右平移5个单位后，一次函数的解析式变为_____________；
（3）与一次函数 y =2x+3 的图象关于y轴对称的一次函数的解析式为______________；
（4）与一次函数 y =2x+3 的图象关于x轴对称的一次函数的解析式为_______________；
2 如图，已知一次函数 y =kx+b 的图象：
（1）关于x的方程 kx+b=0 的解为_____________；
（2）关于x的不等式 kx+b<0 的解集为_____________；
（3）关于x的不等式 kx+b≤2 的解集为_____________；4 4 4 4 4
3 直线 y =− 3 x+4 与y轴交于A点，与直线 y = 5 x+ 5交于B点，且直线 y = 5 x+ 5与x
轴交于点C，求△ABC的面积．
4 已知直线 y =−x−4 与 y 轴交于点 A ，该直线上有一点 M ，若△ AOM 的面积为 8 ，求点 M 的坐
标．
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第 3 讲 一次函数（二）
课堂落实答案
3 3
1 y = x−2 y = (x+4)
要把直线 2 的图象变为直线 2 的图象，则下列平移方法正确的是（ ）
A： 向上平移8个单位
B： 向下平移8个单位
C： 向上平移6个单位
D： 向下平移6个单位
4
2 已知一次函数 y 1 =x−3 和反比例函数 y 2 = x的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当
y
1
>y 2时，求x的取值范围．
1
3 已知两直线 y 1 =kx+b 与 y 2 =− 3 x+2 的交点在y轴上，并且它们与x轴所围成的三角形的
y
面积是7，求 1的解析式．
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第 4 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1 下列y与x的函数中，哪个函数不是反比例函数（ ）
3
A： y =−
x−3
B： y =
2x
1
C： y =−
x−1
2
D： y =
x
例2 画出下列反比例函数的图象：
1 2
y = y =−
（1） x （2） x．
2a−3
例3 (1)如果反比例函数 y =
x
的图象经过第二、第四象限，则a的取值范围是_________．
k2
(2) y = (k≠0)
反比例函数 x 的图象的两个分支分别位于（ ）
A： 第一、二象限
B： 第一、三象限
C： 第二、四象限
D： 第一、四象限
1
(3)已知反比例函数 y = x，下列结论不正确的是（ ）
• • •
(1,1)
A： 图象经过点
B： 图象在第一、三象限
x>1 0 <y <1
C： 当 时，
D： 当 x<0 时，y随着x的增大而增大
k
例4 y = A(−2,3)
已知反比例函数 x的图象经过点 ．
（1）求出这个反比例函数的解析式；
B(2,−3) C(−1,−6) D(2,3)
（2）判断下列哪些点在图象上，哪些点不在： 、 、 、
E(−6,1)
．
例5
k−1
(1)若反比例函数 y =
x
的图象在每一个象限内，y都随着x增大而减小，则k的取值范围为
___________．−k2 −1
(2) (a ,b ) (a ,b ) (a ,b ) y =
若 1 1 、 2 2 、 3 3 都 在 反 比 例 函 数 x 图 象 上 ， 且
a <0 <a <a b b b
1 2 3，则 1， 2， 3从大到小顺序为___________．
a
例6 (1)若正比例函数 y =kx 与反比例函数 y =− x交于A、B两点，此时A点坐标为 (2,−3) ，则B
点坐标为____________．
a
(2)若正比例函数 y =kx 与反比例函数 y =− x交于A、B两点，此时 OA =6 ，则AB长度为
____________．
1
例7 (1)A、C是函数 y = x的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂
线，垂足为D，记Rt△AOB的面积为S 1，Rt△COD 的面积为S 2，则（ ）
S >S
A： 1 2
S <S
B： 1 2
S =S
C： 1 2
S S
D： 1和 2的大小关系不能确定
3
(2)如图，点A、B是双曲线 y = 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若
x
S =1 S +S =
阴影 ，则 1 2 __________．
k
例8 (1)如图，已知 A(−1,2) 是反比例函数 y = x上一点，分别作它关于x轴、y轴及原点对称的
点，求△CBG的面积．
k
(2)如图，A是反比例函数 y = x上一点，分别作它关于x轴、y轴及原点对称的点，若△ACG的
面积为2，求此函数解析式．例9 点A是反比例函数图象上的一点，过A作AB⊥y轴于B点，若△ABO面积为2，求反比例函数解析
式．
2
例10 已知 A(1,y) 与 B(x,4) 是反比例函数 y = x上的两点，求△AOB的面积．
3
1 如图，已知点A，B分别是函数 y = x图象上两个不同的点，过A点作y轴的垂线交y轴于点C，过B
点作x轴的垂线交x轴于点D，求证：AB∥CD．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 4 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
6
1 y =− (x ,y ) (x ,y ) x >x y y
已知反比例函数 x上有两点 1 1 、 2 2 且满足 1 2，则 1与 2的大小关系
是（ ）
y >y
A： 1 2
y <y
B： 1 2
y =y
C： 1 2
D： 无法确定
2 已知反比例函数的图象经过点 (3,2) 和 (m,−2) ，则 m 的值是__________．
3
3 反比例函数 y =− x的图象上有三点 (−2,a) 、 (−1,b) 、 (1,c) ，比较a、b、c大小．
4 已知y与 x−1 成反比例，并且 x=−2 时 y =7 ，求：
(1)y与x之间的函数关系式；
(2)当 x=8 时，求y的值；
(3)当 y =−2 时，求x的值．
思维突破 / 初二 / 秋季第 4 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
S
1 在公式 t= v中，当路程S一定时，时间t与速度v之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A：
B：
C：
D：
1
2 若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 3，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是
____________．（不考虑x的取值范围）
k
3 如图，点 A(1,2) 是反比例函数 y = x上一点，过A作AB⊥y轴于B点，则△ABO的面积为
__________．
k
4 y =x−1 y = (2,m)
已知一次函数 的图象与反比例函数 x的图象交于点 ，求反比例函数的解
析式．
思维突破 / 初二 / 秋季第 5 讲 反比例函数综合
例题练习题答案
例1 春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍
采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿
舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的
持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反
比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ ）
A： 经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3
B： 室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C： 当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病
毒．此次消毒完全有效
D： 当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空中的含药量达到
2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内
例2 随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤，通常情况下，某段高架桥上车辆的行驶速度
y（km/h）与高架桥上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当 x≥10 时，y与x成反比
例函数关系，当车行驶速度低于20km/h，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米
拥有车的数量x应该满足的范围是（ ）
x≤40
A：
x≥40
B：
x>40
C：
x<40
D：
例3 已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小
时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
例4 将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间
k
S =
是反比例函数关系 a（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以每千米平均耗油0.1
升的速度行驶，可行驶500千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
例5 已知如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点
–
√3
G，反比例函数 y = x （ x>0 ）经过线段DC的中点E，若 BD=4 ，则AG的长为（ ）
–
4√3 –
√3+2
A． 3 B．
–
– 3√3
2√3+1 +1
C． D． 2
–
4√3
A：
3
–
√3+2
B：
–
2√3+1
C：
–
3√3
D： +1
2
k
例6 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线 y = (x>0) 上，BC与x轴交于点
x
D．若点A的坐标为 (1,2) ，求点B的坐标．
m n
例7 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 y = x 与 y = x (x>0,0 <m<n) 的图
象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P，已知点B的横坐标为4．
m=4 n =20
（1）当 ， 时，
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m、n之间的数量关系；若不能，试说明理由．k
例8 如图，一次函数 y =2x−2 与反比例函数 y = x的图象相交于点C，E，与x轴相交于点D，过点
D作DA⊥x轴交反比例函数的图象于点A，过点C作CB⊥x轴于点B．
CB
（1）若点A与点E关于原点对称，求 的值；
AD
（2）连接AC，若
∠CAD=45∘
，求点C的坐标．
k
例9 如图，反比例函数 y = x与 y =mx 交于A，B两点，设点A、B的坐标分别为A(x 1 ,y 1 ) ，B
3 4
(x ,y ) S =|x y | =
2 2 ， 1 1 ，且s−1 s，
（1）求k的值；
(m2 −1)x y 2x y
（2）当m变化时，代数式 (m+1)2 1 2 + m+ 2 1 1 是否为一个固定的值？若是，求出其
值，若不是，请说理由；
3
（3）点C在y轴上，点D的坐标是 (−1,
2
) ，若将菱形ACOD沿x轴负方向平移m个单位，在
平移过程中，若双曲线与菱形的边AD始终有交点，请直接写出m的取值范围．
3 3
例10 如图，已知A (a,0) 、C (a−
2
,2)(a>
2
) ，将线段CA绕点C逆时针旋转至CB使
k
AB∥y轴，反比例函数 y =
x
(x>0) 的图象经过点C．
（1）在图1中画出△ABC，若 S △OAC =4 ，求k的值；k
（2）如图2，反比例函数 y = x (x>0) 交AB于D．若 BD=BC ，求OC的长；
k
（3）过B 点作射线BF∥AC 交反比例函数 y = x (x>0) 的图象于E ，交x 轴于F ，
EF 1
= k=
BE 2，则 _____________．
图1 图2
2
1 A B P P P P y = x>0 A
如图，正方形 1 1 1 2的顶点 1、 2在反比例函数 x （ ）的图象上，顶点 1、
B 1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P 2 P 3 A 2 B 2，顶点P 3在反比例函数
2
y =
x
（ x>0 ）的图象上，顶点A 2在x轴的正半轴上，求点 P 3的坐标．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 5 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
1 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调．设每天组装的空调数量为y（台/
天），组装的时间为x（天）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完
成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？
4
2 如图，已知 A(2,y 1 ) 与 B(−2,y 2 ) 是反比例函数 y = x 上的两点，现由点B向x、y轴作垂线，
分别交x、y轴于C、D两点，求△ACD的面积．思维突破 / 初二 / 秋季
第 5 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
1 某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗3吨，可用80小时．由于技术革新，实际生产能力
有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x（单位：
吨），库存的原料可使用的时间为y（单位：小时）．
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）若恰好经过40小时才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？
m
2 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y =kx+b 的图象与反比例函数 y = 的图象交于
x
A(−2,1) B(1,n)
、 两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）观察图象，写出一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 6 讲 函数综合（一）
例题练习题答案
例1
A(10, 4) B(24, 5)
(1)求过点 和 的一次函数表达式；
(2)一次函数 y =2x+b 过点 A(4, 5) ，且过点 B(2, a) ，求B点的坐标；
l (−1,3) (2,6) l l (1,4) (3,a) a
(3)已知直线 1过点 和 ，直线 2与 1平行，并且经过点 和 ，求 ．例2 已知直线 y =mx−3 、 y =−1 、 y =3 、 x=1 所围成的四边形的面积是12，求m的值．
例3 如图，直线 y =kx+6 与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为 (−8,0) ，点A的坐标为
(−6,0)
．
（1）求k的值；
（2）点 P (x,y) 是第二象限内的直线上的一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围；
（3）若点 P (x,y) 在直线 y =kx+6 上，当P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积
27
为 8 ．
例4 已知函数 y =(m+5)x|m|−6 是反比例函数．
（1）求m的值．
（2）当 x=4 时，求y的值．
(x ,y ) (x ,y ) x >x y y
（3）已知 1 1 ， 2 2 是反比例函数图象上的两点，且 1 2，比较 1， 2的大小．
2
例5 y = (x>0) P ,P ,P ,P ,
如右图，在反比例函数 x 的图象上，有点 1 2 3 4 它们的横坐标依次为
x y
1,2,3,4.分别过这些点作 轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S ,S ,S , S +S +S
1 2 3 则 1 2 3=____________.
例6 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上， ∠DCO=90∘ ，点D在第
一象限， OC =3 ， DC =4 ，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．
k
例7 y =k x(k ≠0) y = 2(k ≠0) A B
已知正比例函数 1 1 与反比例函数 x 2 的图象交于 、 两点，点
A (2 1)
的坐标为 ， ．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
B
（2）求点 的坐标．
k
例8 y = y =mx+b A(1 3)
如图，反比例函数 x 的图像与一次函数 的图像交于 ， ，
B(n −1)
， 两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
x
（2）根据图像回答：当 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
1
例9
如图，一次函数
y =
2
x−2
的图象分别交
x
轴、
y
轴于
A
，
B
，
P
为
AB
上一点且
PC
为
k 3
ΔAOB PC y = (k>0) Q S =
的中位线， 的延长线交反比例函数 x 的图象于 ， ΔOQC 2，则
k Q
的值和 点的坐标分别为______________.
例10
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，
且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
3
例11 如图，一次函数的图象与反比例函数 y 1 =− x (x<0) 的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交
于B、C两点，且 C(2,0) ，当 x<−1 时，一次函数值大于反比例函数值，当 x>−1 时，一次
函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；a 3
（2）设函数 y 2 = x (x>0) 的图象与 y 1 =− x (x<0) 的图象关于y轴对称，在
a
y
2
=
x
(x>0) 的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四
边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
1 如图，直线 l 1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 l 2与直线 l 1关于x轴对称，已知直线 l 1的解析式
y =x+3
为 ，
l
（1）求直线 2的解析式；
（2）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴
相交与点M，且 BP =CQ ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结
论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 6 讲 函数综合（一）
自我巩固答案
m
1 一次函数 y =kx+b 的图象与反比例函数 y = x 交于两点， A(−2,1) ， B(1,n) ，求反比例
函数和一次函数的关系式．
2 如图，四边形ABCD为菱形，已知 A(0,4) ， B(−3,0) ．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
k
3 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数 y = (x>0) 的图象经过点B．
x
（1）求k的值；
（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′
k
分别与函数 y = (x>0) 的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．
x
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第 6 讲 函数综合（一）
课堂落实答案
1 若直线 y =(m−1)x+m−5 不经过第二象限，则m的取值范围是多少．
3
2 两个一次函数 y =3x+12 ， y =3− 2 x 的图像与y轴所围成的三角形面积是多少．
k
3 如图，反比例函数 y = x的图象与直线 y =x+m 在第一象限交于点 P (6,2) ，A、B为直线上
的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行
于y轴．
（1）直接写出k，m的值；
（2）求梯形ABCD的面积．思维突破 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列关系式中，表示y与x的正比例函数的是（ ）
x
y =
A：
6
6
B： y =
x
y =x+1
C：
y =2x2
D：
k+1
2 y
=xk2
+2 y = k=
已知 是一次函数， x 为反比例函数，则 （ ）
A： 1
B： -1
C： 1或-1
D： 以上都不对
3 已知正比例函数 y =kx(k≠0) ，当 x=−1 时， y =2 ，则它的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：k
4 y =kx y =
已知函数 1 ， 2 x，则在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶 A 1、 A 2、 A 3、 A 4、 A 5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时
间t变化的图象大致是（ ）
A：
B：
C：D：
8 1 1
6 下列函数① y =−2x ② y = x ③ y =− x ④ y = 2 x−1 ，其中函数值y随x增大而增大的有
（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①②③
D： ④
7 一次函数 y =2ax−a 的图像一定过的象限是（ ）
A： 一、二
B： 三、四
C： 一、四
D： 二、三
8 点A、B的坐标分别为 (-1,1) 、 (3,2) ，P为x轴上一点，且P到A、B的距离之和最小，则点P的坐
标为（ ）
(1,0)
A：
1
B： ( ,0)
2
1
C： ( ,0)
3
1
D： ( ,0)
4
9 平面直角坐标系中一点P到x轴的距离为3，y轴的距离为5，则P点的坐标为__________.
10 1.直线 y 1 =kx+b 经过第一、二、四象限，则直线 y 2 =bx−k 不经过第__________象限.
11 如右图，P是双曲线上一点，PQ垂直于y轴于Q，△OPQ的面积为3，则此反比例函数的解析式为
_____________.
1
−−−−−
12 y =√2−x+
函数 x−1自变量的取值范围为___________.
13 一次函数 y =(m−1)x+m−5 的图像不经过第二象限，则m的取值范围是____________.14 如果直线 y =2x+3 上一点到x轴的距离为5，则这点的坐标是___________.
15 已知 2y−3 与 3x+1 成正比例，且 x=2 时， y =5 ，则y与x之间的函数关系式为_________.
16 一次函数的图像与直线 y =6−x 交于点A(5,k) ，且与直线 y =2x−3 无交点，则此一次函数
的截距为___________.
17 已知，一次函数图像与x轴交点A的横坐标为2，且经过点(-1,-6)，求此函数解析式、画出图像，并
求出函数图像与坐标轴围成的三角形面积.
36
18 在直角坐标系中，原点为O，点P是反比例函数 y =
x
图像上一点，点A在x轴上，△AOP是等腰
直角三角形，求点A的坐标.
19 已知,两个一次函数 y 1 =2x+3 、 y 2 =−x+b ，试回答下列问题：
(1)若这两个一次函数的图像有交点，且交点的横坐标为2，求b的值；
(2)若这两个一次函数的图像的交点的横纵坐标相等，求此时b的值；
y =2ax−a+4
(3)已知，另一条直线的解析式为 3 （这三条直线互不重合），且这三条直线
交于一点，求b的值.
20 我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以
户为单位分段计费的办法收费，即一月用水在10吨以内（包括10吨）的用户，每吨水费为a元；对
于一月用水超过10吨的用户，10吨水部分仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，则按每吨b元（
b>a ）收费，设一户居民月用水量为x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示.
(1)求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？
(2)求b的值，并写出当 x>10 时，y与x之间的函数关系式？
(3)已知，居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共交水费46元，求他们上月分别用水多少吨？
m
21 如图,已知 A(−4,n) , B(2,−4) 是一次函数 y =kx+b 的图象和反比例函数 y = x 的图象的两
个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式
AB x C △AOB
(2)求直线 与 轴的交点 的坐标及 的面积
m
kx+b− =0
(3)求方程 x 的解(请直接写出答案)
m
kx+b− <0
(4)求不等式 x 的解集(请直接写出答案)
22 求在平面直角坐标系中 y =3−|x| 的图像与x轴围成的面积.
23 设直线 l 1 :y =kx+k−1l 2 :y =(k+1)x+k （k为正整数）及x轴围成的三角形面积为
S S +S +⋅⋅⋅+S
k，求 1 2 2015的值.
思维突破 / 初二 / 秋季
第 8 讲 函数综合（二）
例题练习题答案
例1 已知某服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装
共80套．已知做一套M型号的时装需要用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N
型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这
批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？
例2 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后
卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货物相遇．已知货车
的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所
示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为 (3.75,75) ；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，以上4个结论正确的是__________．
例3 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发
时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小
时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图象所提
供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
例4 在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向
C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为 y 1、 y 2（km）， y 1、
y 2与x的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为________km， a= ________；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
例5 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为
x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下
探究:（1）甲、乙两地之间的距离为________km；
（2）请解释图中点B的实际意义；
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30
分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
例6 已知：如图，矩形ABCD中， AB =5 ， AD=3 ，E是CD上一点（不与C、D重合）连接AE，
过点B作BF⊥AE，垂足为F．
AE =x,BF =y
（1）设 ．
y x x
① 求 关于 之间的函数关系式，写出自变量 的取值范围；
② 问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？并说明理由．
（2）当△AEB为等腰三角形时，求BF的长．
例7 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC， ∠A =90∘ ， AB =6 ， BC =8 ， AD=14 ，E为
AB上一点， BE =2 ，点F在BC边上运动，以FE为一边的菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G
落在四边形ABCD内或其边上．若 BF =x ，△FCG的面积为y．
（1）当 x= ______时，四边形FEHG为正方形；
（2）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形，并求出△FCG面积的最
大值和最小值；
（4）△FCG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为________．
例8 已知函数 y =kx+b 的图像经过点 A(4,3) ，且与一次函数 y =x+1 的图像平行，点
B(2,m) y =kx+b
在一次函数 的图像上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点 P (x,0) 到定点 A(4,3) 、 B(2,m) 的距离分别为 PA 和 PB ，当点P
PA =PB
的横坐标为多少时， ．例9 已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 A(4,0) ， B(0,−4) ，P为y轴上B点下
方一点， PB =m(m>0) ，以AP为边作等腰直角△APM，其中 PM =PA ，点M落在第四
象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示点M的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理
由．
1 在平面直角坐标系xOy中，直线 y =x+10 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若BC⊥AB交x轴于C，求△ABC的面积；
（2）如图，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰△BDE，且 ∠BDE =90∘ ．连接
EA，求直线EA的解析式；
（3）点E是y轴正半轴上一点，且 ∠OAE =30∘ ，AF平分 ∠OAE ，点M是射线AF上一动
点，点N是线段AO上一动点，请判断是否存在这样的点M、N，使得 OM +NM 的值最
小，若存在，请写出其最小值，并简要说明理由．思维突破 / 初二 / 秋季
第 8 讲 函数综合（二）
自我巩固答案
1 小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系如图所示．
（1）根据图象提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间；
（2）求点N坐标．
2 如图，直线 y =−x+2 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段AB上（不含端点A、B）．
（1）求A、B两点坐标；
（2）若 S △OAC :S △OBC =3 :2 ，求点C的坐标；
（3）若BD∥OA交直线OC于D，AE⊥OC于E，交OB于F，P为AB的中点，当点C在线段BP
BD+BF
上滑动时，求证： 的值不变．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 8 讲 函数综合（二）
课堂落实答案
1 某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距
离A地的路程 y （单位：千米）与所用时间 x （单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时
出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1
小时．
（1）请在下图中画出货车距离A地的路程 y （千米）与所用时间 x (时)的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
2 设矩形 ABCD 中， AB =CD=4 ， AD=BC =8 ， E 为 AD 上的定点， AE =4 ．动点
P D C B A P x △APE
从 出发，沿着矩形的周界依次经过 、 ，最后到达 ，设点 走过的距离为 ， 的
y
面积为 ，
y x
（1）把 表示成 的函数；
y =6 P
（2）当 时，点 走过的距离是多少？
思维突破 / 初二 / 秋季
第 9 讲 平行线与比例线段
例题练习题答案
例1 已知直线 l 1∥ l 2∥ l 3，两直线分别与 l 1、 l 2、 l 3相交于点A、B、C和D、E、F，已知 AB =3 ，
AC =5 ， DF =12 ，求DE、EF的长．
AD AE
例2 如图，已知：DF∥BE，EF∥BC．求证：DE = EC．例3 如图，已知四边形ABCD，E、F、G分别为AC、AD、AB上的点，EF∥CD，EG∥BC．求证：
FG∥DB．
例4 如图，在 △ABC 中， DE//BC ， DF//AC ， DG//BE ， AE =10 ， EC =5 ，
AD=8 ， BC =14 ．求BD、AG、CF的长．
例5 如图，已知点D为 △ABC 的边AC的中点， AE//BC ，ED交AB于G，交BC的延长线于F，已知
BG:GA =3 :1 ， BC =8 ，求AE的长．
例6 如图所示，已知□ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC与P、Q两点，则
AP :PQ:QC =
______________．
例7 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于P、
Q．求 BP :PQ:QR 的值．
1
例8 如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点， AF = FD ，EF与AC相交于G．求 AG:AC 的
2
值．例9 如图，在 △ABC 中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，求证： BE =3EF ．
例10 在四边形ABCD中， AC 、 BD 相交于O，直线 l// BD ，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线
PM ⋅PN =PR⋅PS
分别相交于M、N、R、S、P．求证： ．
1 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于Y，XY∥AB交AD于X．
1 1 1
+ =
求证： ．
AB CD XY
思维突破 / 初二 / 秋季
第 9 讲 平行线与比例线段
自我巩固答案
1 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且 AD:DB =3 :2 ， AE :EC =1 :2 ，直线ED
和CB的延长线交于点F，求 FB :FC ．2 已知：如图 ∠ACB =90∘ ， AC =BC ， CE =CF ， EM⊥AF ， CN⊥AF ．求证：
MN =NB
．
3 已知梯形ABCD中， AD//BC ，E、F分别在AB、CD上，且 ED//BF ，求证： AF//CE ．
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第 9 讲 平行线与比例线段
课堂落实答案
1 在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点．
AP =PQ=QC
求证： ．
2 如图所示，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且 AF :FD=1 :5 ，连接CF并
延长交AB于点E，求 AE :EB 的值．
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第 10 讲 相似三角形（一）例题练习题答案
例1 如图，已知图中的两个四边形ABCD和
A′B′C′D′
相似，试求线段CD、
B′C′
的长度，以及
∠A′ ∠C′
、 的度数．
例2 两个相似三角形对应边的比为 2 :3 ，则它们的相似比为________；对应中线的比为________；对应
角平分线的比为_________；周长比为________；面积比为________．
例3 如图，D在△ABC的边BC所在直线上，过D、B分别作AB、AC的平行线交于E点，求证：
△ABC∽△EDB．
例4 如图，每个小正方形的边长均为1，求证：△ABC∽△DEF．
例5 已知D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证：△ABC∽△DEF．
例6 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上， BC =6 ， AB =8 ， AE =4 ， AD=3.5 ，
AC =7
．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)求DE的长．
例7 如图，在△ABC中， AB =AC ， BC =BD ．求证：△ABC∽△BDC，且 CB2 =CD⋅CA ．
例8 如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的点， EF⊥DE 交BC于点F．求证：△ADE∽△BEF．
例9 如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，求证： AD2 =BD⋅DC ， AB2 =BD⋅BC ，
AC2 =CD⋅CB
．
例10 已知直角三角形ABC， ∠A =90∘ ，AD为斜边上的高， AD=4 ， AB =6 ，求BD、CD和AC
的长．
1 如图，点 A 1、 A 2、 A 3、 A 4在射线OA上，点 B 1、 B 2、 B 3在射线OB上，且 A 1 B 1∥ A 2 B 2∥
A B A B A B A B A B B A B B
3 3， 2 1∥ 3 2∥ 4 3．若△ 2 1 2、△ 3 2 3的面积分别为1、4．求三个阴影
三角形的面积的和．
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第 10 讲 相似三角形（一）
自我巩固答案
1 在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ，CD是斜边上的高，已知 CD=60 ， AD=80 ，求BC的长．
1
2 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F， DE = 2 CD ．若
S △EFD =2 ，求 □ABCD的面积．
3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB，BC上，且 AD=BE ，AE、CD相交于点
M，求证：△CME∽△ACE．思维突破 / 初二 / 秋季
第 10 讲 相似三角形（一）
课堂落实答案
– –
1 两个相似三角形，相似比为 √3:√2 ，其中较小三角形的面积是6，则较大三角形面积是
__________．
2 两个相似三角形周长的和等于36cm，对应高的比为 4 :5 ，则这两个三角形的周长各是
__________．
3 已知：在△ABC中， ∠C =90∘ ，D是AC边上一点， DE⊥AB 于E，求证：
AD⋅AC =AE⋅AB
．
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第 11 讲 相似三角形（二）
例题练习题答案
BD AB
例1 如图，AD为△ABC的一条角平分线．求证： = ．
DC AC
BD AB
例2 如图，AD为△ABC的一条外角平分线．求证：DC = AC．例3 如图，在Rt△ABC中， ∠C =90∘ ， AB =4AC =3 ，AD为 ∠A 的平分线，求△ABD的面积．
AD AB
例4 已知△ABC中， ∠AEC =∠ADB =90∘ ，求证： = ．
AE AC
例5 已知△ABC中， ∠B =∠ACD ，求证： AC2 =AB⋅AD ．
例6 已知△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且满足 AD⋅AC =AE⋅AB ，求证：
∠ABD=∠ACE
．
例7 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，对角线AC⊥BD，垂足为E， AD=BD ，过E
的直线EF∥AB交AD于F．
(1)求证：△BCE∽△ACB；
AF2 =AE⋅EC
(2)求证： ．
例8 如图，已知点B是线段CD中点， AC⊥CD ， DE⊥CD ， AB⊥BE ，求证：
Rt△ACB∽Rt△BDE∽Rt△ABE．
例9 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF =60∘ ．(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)当 BD=1 ， FC =3 时，求BE的长．
例10 在Rt △ABC 中， ∠BAC =90∘ ， AB =AC =2 ，点 D 在 BC 所在的直线上运动（异于B、
C），作 ∠ADE =45∘ （A，D，E按逆时针方向）．若点 D 在线段 BC 上运动， DE 交 AC 于
E
．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
△ADE AE
(2)当 是等腰三角形时，求 的长．
1 已知在梯形ABCD中，AD∥BC， AD<BC ，且 AD=5 ， AB =CD=2 ．
（1）如图，P为AD上的一点，满足 ∠BPC =∠A ，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（与A、D不重合），且满足 ∠BPE =∠A ，PE交直线BC于点E，
同时交直线DC于点Q，当 CE =1 时，写出AP的长．
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第 11 讲 相似三角形（二）
自我巩固答案
1 如图，梯形ABCD中， AB ∥ DC ， ∠B =90∘ ，E为BC上一点，且 AE⊥ED ， 若
BC =12DC =7 ，且 BE :EC =1 :2 ，求AB的长．
2 如图，等腰△ABC中， AB =AC ，高AD、BE交于点H．求证： 4DH ⋅DA =BC2 ．3 在Rt△ABC中， ∠ABC =90∘ ，M为BC中点， BN⊥AM 于N，求证：
∠NCM =∠MAC
．
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第 11 讲 相似三角形（二）
课堂落实答案
1 如图：已知四边形ABCD中， AB =AD ，AE，AF分别平分 ∠BAC 和 ∠CAD ．求证：
EF∥BD．
AD AE CF
2 如图，在△ABC中， DE ∥ BC ， DF ∥ AC ，求证： = = ．
DB EC FB
3 已知：如图，在△ABC中， AD=DB ， ∠BDE =∠CAD ，求证：△ABC∽△EAD．
思维突破 / 初二 / 秋季第 12 讲 圆初步
例题练习题答案
例1 (1)下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；
②弧是半圆；
③过圆心的直线是直径；
④半圆不是弧．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)下列说法正确的有_________________（填序号）．
①直径是弦；
②半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；
⑥两个半圆是等弧．
例2 (1)下列结论错误的是（ ）
A： 圆是轴对称图形
B： 圆是中心对称图形
C： 半圆不是弧
D： 同圆中，等弧所对的圆心角相等
(2)以点O为圆心，可以作（ ）圆；
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 无数个
(3)过圆内一点A可以作出（ ）圆的最长弦．
A： 1条B： 2条
C： 3条
D： 1条或无数条
例3 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A： 点P
B： 点Q
C： 点R
D： 点M
例4 已知在⊙O中：
(1)若弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O的半径；
(2)若弦AB的长为6，⊙O的半径为5，求圆心O到AB的距离；
(3)如图，已知半径OD垂直弦AB于C， AB =8 ， CD=2 ，求⊙O的半径．
例5 如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度 AB 为 60 米，拱高 18 米．当洪水泛滥到跨度只有 30 米
4 PN =4
时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有 米，即 米时是否要采取紧急措施？
例6 已知一圆的半径是25，一劣弧所对弦长是48，试求这弧的一半所对的弦长．
例7 在⊙O中，半径长为5，AB∥CD， AB =6 ， CD=8 ，求AB，CD之间的距离．
例8 (1)已知P为⊙O内一定点，⊙O的半径为r．求证：过P点的最短的弦垂直于OP；
(2)已知P为⊙O内一点，⊙O的半径为5， OP =2 ，求过P点最短的弦的长度．
例9 如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果 MN =3 ，求BC
的长度．例10 如图，已知直线l和⊙O相交于点P、Q，AB是 ⊙O 的一条直径，AC⊥l于C、BD⊥l于D．
DP =CQ
求证： ．
1 如图，⊙O的直径 MN =20 ，弦 AB =16 ． MC⊥AB 于C， ND⊥AB 于D．若弦AB位置不
变，直径MN绕圆心O旋转，且M、N在AB两侧．在这个过程中已知线段MC、ND的长度总满足
一个不变的数量关系，试找出这个关系．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 12 讲 圆初步
自我巩固答案
1 如图，⊙O的直径 AB 垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点， CD=6cm，求直径AB的长度．
2 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，求拱高CD．– –
3 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为P，且CD＝ 2√2 ，BD＝ √3 ，求AB的长度．
4 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部， ∠BAC =90∘ ， OA =1 ，
BC =6
，
求⊙O的半径．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 12 讲 圆初步
课堂落实答案
1 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，
0），则点B的坐标为___．
2 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4D： 5
3 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，
求此输水管道的直径．
4 如图，已知大小两圆有公共圆心O，大圆的弦AB交小圆于C、D．求证： AC =BD ．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 13 讲 圆中的角
例题练习题答案
例1 利用圆周角定理计算下列各题：
(1) 1 ABC O AB // CO ∠B =22∘ ∠A =
如图 ，点 在⊙ 上， ， ，则 __________．
(2) 2 O △ABC ∠B =60∘ ∠ACO=
如图 ，⊙ 是 的外接圆，已知 ，则 _________．
(3) 3 ABCD O ∠AOC =130∘ ADCB
如图 ， 是⊙ 的两条互相垂直的弦，圆心角 ， 的延长
P ∠P =
线相交于 ， __________．
例2 （1）如图1，在⊙O中，直径AB与弦CD相交， ∠BAD=20∘ ，则 ∠ACD= _______；
–
（2）如图2，在⊙O中，弦AB⊥BC， AB =√5 ， BC =2 ，则⊙O的半径为_________；
⌢
（3）如图3，在△ABC中， AB =AC ，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，已知 DE 的度数
40∘ ∠A =
为 ，则 ________；
（4）如图4，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若
∠ADB =100∘ ∠ACB =
，则 _________．例3 （1）如图1，⊙O的直径MN⊥AB于P， ∠BMN =30∘ ，则 ∠AON = _______；
⌢
（2） 如图2，AB为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB ，E为 BC 上一点，若 ∠CEA =28∘ ，则
∠AOD=
_______；
⌢
（3）如图3，E是 BC 的中点，D到AB的距离为3，则D到AC的距离为_______．
例4 已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且 AB =BC =CD ， DE =EF =FA ．求证：
∠BAF =∠CDE =120∘
．
例5 （1）如图1，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分 ∠ACB ，若 AB =2 ，
∠CBA =15∘ ，则CD的长为_________；
（2）一个圆形人工湖如图2所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角
∠ACB =45∘ AD=
，则这个人工湖的直径 _________ m．
例6 (1)⊙O的半径为1，弦AB所对的圆心角 ∠AOB =90∘ ，则 AB = _________．
(2)⊙O的半径为1，弦AB所对的圆心角 ∠AOB =120∘ ，则 AB = __________．
– –
(3)⊙O的半径为 r=√2 ，AB是⊙O的一条弦，且 AB =√6 ，则弦AB所对圆周角的度数为
_________．
例7 如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆外一点， ∠ACB =60∘ ，CA，CB分别交⊙O于D，E．求
证：△ODE是等边三角形．– –
例8 已知⊙O的半径是1，AB，AC均为⊙O的弦， AB =√3 ， AC =√2 ，求 ∠BAC 的度数．
⌢
例9 如图，BC是半圆的直径，D是半圆上任意一点，A是 BD 的中点，AE⊥BC于E，求证：
BD=2AE
．
例10 如图，已知⊙O内接△ABC，AD平分 ∠BAC 交⊙O于D，AH⊥BC于H．求证：AD平分∠OAH．
1 四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若 AE ∥ BC ，
AE =EC =7 ， AB =6 ，（1）求AD的长；（2）求AC的长．
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第 13 讲 圆中的角
自我巩固答案
1 已知⊙O是△ABC的外接圆， ∠ABO=40∘ ， ∠ACB = __________．
2 如图，⊙O为△ABC的外接圆， ∠B ， ∠C 的平分线交于O，则 ∠A = ________．3 在⊙O中，弦AB⊥直径MN于P，半径为4， ∠M =30∘ ，则 BM = _________．
4 如图，已知ABCD是圆内接四边形，如果 ∠AEB =∠BFD=30∘ ，则 ∠A = _________．
5 点D为边AC上一点，点O为边AB上一点， AD=DO .以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC
于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若 ∠BAC =22∘ ，求 ∠EFG 的度数．
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第 13 讲 圆中的角
课堂落实答案
1 如图, OB 是 ⊙O 的半径,点 C 、 D 在 ⊙O 上, ∠DCB= 27∘ ,则 ∠OBD= ___度.
⌢
2 如图,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心, ∠AOC = 108∘ ,点 D 在 AB 延长线上, BD= BC ,则
∠D=
___.
3 如图，⊙O内相等的两条弦AB，CD相交于点E，连接AC，BD．求证： EB =EC ．⌢ ⌢
4 如图，已知圆内两条弦AB，CD相交于P，E为圆周上一点且 AE =AC ．BE交AD于F，求证：
AD⋅AF =AB⋅AP
．
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第 14 讲 与圆有关的位置关系
例题练习题答案
1
例1 如图，在△ABC中， ∠C =90∘ ， ∠A =30∘ ，O为AB上一点， BO=m ，⊙O的半径为 ．
2
(1)当m为何值时，直线BC与⊙O相切？
(2)当m在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离？相交？
例2 如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且
∠OBA =40∘ ∠D
．求 ．
例3 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于P， AC =PC ，
∠COB =2∠PCB ．求证：PC是⊙O的切线．
例4 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D， ∠AOB =60∘ ， BC =4cm ，则切
AB =
线 _____cm．例5 如果一个圆在三角形内部，且三角形各边所在直线，都和这个圆相切，我们就称这个圆为三角形
的内切圆．已知△ABC中， AB =3 ， BC =4 ， AC =5 ．
(1)求三个顶点到内切圆的切线长；
(2)求内切圆的半径．
例6 已知AC⊥BC于C， BC =a ， CA =b ， AB =c ，求下列四种图形中⊙O的半径．
例7 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB =90∘ ，以 AC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D ，点 E 是 BC 的中
点，OB，DE相交于点F．
(1)证明： DE 是⊙O的切线；
–
AC =4 BC =4√3 EF :FD
(2)若 ， ，求 的值．
例8 如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A是切点，M是弧AB的中点．求证：AM平分
∠BAC
．
例9 (1)两圆半径分别为4cm和9cm，圆心的距离为3cm，那么这两圆的位置关系是_________．(2)有两个圆，它们的圆心的距离是5cm，一个圆的半径 R =4 cm，则另一个圆的半径r满足
_________时，这两个圆外离．
(3)相切两圆的圆心距为5cm，其中一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径是________．
(4)内切两圆的圆心距为2cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径是________．
例10 如图， ⊙A ， ⊙B 相交于C，D两点，证明：AB垂直平分CD．
1 如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AB =AC ，过点 A 作 AP ∥ BC ，交 BO 的延长线于点 P ．
(1) AP O
求证： 是⊙ 的切线．
(2) O R =5 BC=8 AP
若⊙ 的半径 ， ，求线段 的长．
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第 14 讲 与圆有关的位置关系
自我巩固答案
–
1 如图，点A、B、C在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，若 ∠A =30∘ ， CD=2√3 ．
求⊙O的半径．
2 如图，在Rt△ABC中，
∠C=90∘
，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
3
（2）如果⊙O的半径为2， ED=2 ，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，延长EO交⊙O于F，连结DF，AF，求△ADF的面积．3 如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
思维突破 / 初二 / 秋季
第 14 讲 与圆有关的位置关系
课堂落实答案
1 如图AB，AC是⊙O的两条弦， ∠A =30∘ ，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则
∠D=
________．
2 已知直线l和圆 ⊙O 相切于点P，AB是 ⊙O 的一条直径，且A，B到l的距离各为2.3cm和1.5cm，则
⊙O的直径为_________．
3 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，
过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．思维突破 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
⌢
1 如图，已知在 ⊙O 中，C为 AB 的中点，半径OC与弦AB交于D， AD=24 ， CD=18 ，则半
径长为（ ）
A： 25
–
2√7
B：
C： 30
–
4√2
D：
2 已知相似三角形面积比为 9 :4 ，那么这两个三角形的周长之比为（ ）
9 :4
A：
3 :2
B：
4 :9
C：
81 :16
D：
3 如图，在△ABC中， AB=2 ， AC =1 ,以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长
为（ ）
–
2√5
A：
5
–
4√5
B：
5
–
2√3
C：
5
–
4√3
D：
54 如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦长AB
的取值范围是（ ）
A： 8＜AB＜10
B： AB≥8
C： 8＜AB≤10
D： 8≤AB≤10
AC AB
5 如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ = ；④AC2＝
CD BC
AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
m
6 函数y＝x＋m与 y = （m≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
x
A：
B：
C：
D：7 如图，△ABC中，D、E、F分别在各边上，DE∥BC，EF∥AB，下列各式中正确的是（ ）
AD DE
A： =
DB BC
DE EF
B： =
BC AB
CE BF
C： =
AE FC
AD BF
D： =
AB BC
8 如图，△ABC是等腰直角三角形， AB =BC =a ，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、
BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长
为（ ）
–
2√2-1
A： a
2
–
2√2+1
B： a
2
–
√2a
C：
−−1
D： (√2- )a
4
9 如图，已知 ∠BAD=∠C ， BD=4 ， CD=2 ，则 AB = _________．
10 已知在半径为2的⊙O中，圆内接△ABC的边 ，则∠C的度数为________．
11 如图，⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点， ∠DOB =73 ∘,∠DOE =120 ∘ ，
∠DOF = ∠C = ∠A =
________， ___________, __________.
∘
12 在Rt△ABC中， ∠C =90 ， AC =12 cm， BC =5 cm，以点C为圆心，4.5cm长为半径的圆
与直线AB的位置关系是______________.13 1.如图，在△ABC中 BD=7.5,BC =15,AD=12.5 ，DE∥BC，求DE的长.
14 1.如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、
CE交于点E，连接DE，求证：△ABC∽△DBE.
1 k
15 y = x y =
如图，已知直线 与双曲线 （k＞0）交于点A，B两点，点A的横坐标为4．
2 x
（1）求k的值；
k
y =
（2）若双曲线 （k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
x
k
y =
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线 （k＞0）于P、Q两点（P在第一象限），若由点
x
A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，点P的坐标为__________________．
16 1.如图,AB是半圆O的直径，点C、D在弧AB上，且AD平分∠CAB，已知 AB =10,AC =6 ，求
AD的长.
17 1.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与
⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线;
BC =2OC BP :PE
(2)若 ，求 的值.
18 圆内接四边形ABCD，其中 AB =AD ，且其对角线AC、BD相交于点E，点F在线段AC上，使得
BE
∠BFC =∠BAD ∠BAD=2∠DFC
，若 ，求DE的值.
