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第二章 一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·河南驻马店·九年级期末）关于x的方程x（x﹣5）＝3（x﹣5）的根是( )
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x＝﹣5；x＝3 D．x＝5；x＝3
1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：∵x（x﹣5）﹣3（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（x﹣3）＝0，则x﹣5＝0或x﹣3＝0，
解得x＝5或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（2021·河南洛阳·九年级期末）方程 的根为( )
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程．
【详解】
解：故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程
的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．11 B．21 C．11或21 D．11或1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出方程 的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．
【详解】
解：由 可得 ，
∴ 或 ，
解得x＝1或x＝11，
当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；
当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0
B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1
C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3
D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0
【答案】A
【解析】
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．
【详解】
A：等式右边为0，分解正确，符合题意；
B：等式右边≠0，不符合题意；
C：等式右边≠0，不符合题意；
D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0；
故答案为：A
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于
0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．
5．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的
值为（ ）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
把 代入一元二次方程 中即可得到关于m的方程，解此方程即可求出m的值．
由 即 得到 从而得到答案．
【详解】
解： 是一元二次方程 的一个根，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．
6．（2022·广西贵港·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
【答案】B
【解析】
【分析】
直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】
解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
二、填空题
7．（2022··八年级期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，那么这个长方形
的面积是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解一元二次方程即可，然后问题可求解．
【详解】解：
，
解得： ，
∴这个长方形的面积为2×3=6；
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．
【详解】
解：1+22x-3x2＝25
解得： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别
是_____ 或_____．
【答案】 x﹣4y＝0 x+2y＝0
【解析】
【分析】
把x2﹣2xy﹣8y2＝0看作是关于x的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x﹣4y）（x+2y）＝0，于
是得到两个一次方程：x﹣4y＝0或x+2y＝0．【详解】
解：∵x2﹣2xy﹣8y2＝0，
∴（x﹣4y）（x+2y）＝0，
∴x﹣4y＝0或x+2y＝0．
故答案为：x﹣4y＝0；x+2y＝0．
【点睛】
本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然
后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
10．（2022·山东聊城·九年级期末）关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则二
次三项式 可分解因式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知，x−1及x−2是 的两个一次因式，从而可得 的因式分解结果．
【详解】
∵关于 的一元二次方程 的两个根为 ，
∴x−1及x−2是 的两个一次因式
∵ 的二次项系数为a
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程与二次三项式因式分解的关系，即 、 是一元二次方程的两个解，则 、
是 的两个一次因式，因而 ，掌握此关系是解题的关键．
三、解答题11．（2022·山东菏泽·九年级期末）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
解： ，
∴ ，
解得： ；
(2)
解： ，
整理得： ，
∴ ，
解得：
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方
法、公式法是解题的关键．
12．（2022·山东泰安·八年级期末）按照指定方法解下列方程：
(1) （公式法）；
(2) （配方法）；(3) （因式分解法）．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
【解析】
【分析】
（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程．
（1）解： ， ， ， ， ，
；
（2）解：方程整理得： ，配方得： ，即 ，开方得：
，解得： ， ；
（3）解：方程整理得： ，分解因式得： ，可得 或 ，
解得： ， ．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
提升篇一、填空题
1．（2022·安徽安庆·八年级期末）若方程 有两个相等的根，则方程
的根分别是_________．
【答案】 ， ## ，
【解析】
【分析】
根据根的判别式求得a＝﹣3，b＝0，把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x＝0，x＝3
1 2
即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝ ＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x＝0，x＝3．
1 2
故答案为：x＝0，x＝3．
1 2
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a，b的值是解
题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是___________．
【答案】7
【解析】
【分析】
换元法，令 ，将原方程化为t（t－1）＝42（t ）， 求解一次方程即可．
【详解】
令 （t ），
∴原方程化为t（t－1）＝42，解得t＝7，或t＝－6（舍），
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际
应用，是解题关键．
3．（2022·浙江台州·二模）已知关于x的一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ），此方
程的解为 ， ．则关于x的一元二次方程 的解为______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】
将 和 分别代入 ，可求得 ， ， 之间的等量关系，代入一元二次方程
即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【详解】
解： 一元二次方程 的解为 ， ，
，解得 ，
一元二次方程 可化为 ，
，
，
解得 ， ．
一元二次方程 的解为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得 ， ，
之间的等量关系，从而代入求解．
4．（2022·全国·九年级课时练习）若 时，代数式 的为0，则代数式 ________．
【答案】 或 ##2或-6
【解析】
【分析】
把 代入， =0，先求解m的值，再分情况代入代数式求值即可．
【详解】
解： 时，代数式 的为0，
解得：
当 时，
当 时，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．
5．（2022·广西梧州·八年级期末）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该
菱形的面积为________．
【答案】24
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程得到x=3，x=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱
1 2
形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．
【详解】
解：x2-8x+15=0，
（x-3）（x-5）=0，
x-3=0或x-5=0，∴x=3，x=5，
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∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∵菱形的另一条对角线长=2× =6，
∴菱形的面积= ×6×8=24．
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简
便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．
二、解答题
6．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的
两个根，求n的值．
【答案】 的值为8或9
【解析】
【分析】
当4为腰长时，将x=4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小
两边之和大于第三边可得出n=8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式
=0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合
题意．
【详解】
当4为腰长时，将 代入 ，得： ，
解得： ，
当 时，原方程为 ，解得： ， ，
∵2+4＞4，
∴ 符合题意；
当4为底边长时，关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得： ，
当 时，原方程为 ，
解得： ，
∵3+3＞4，
∴ 符合题意．
∴ 的值为8或9．
【点睛】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分4为腰长及4为
底边长两种情况讨论是解题的关键．
7．（2021·河南周口·九年级期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数 的值．
【答案】(1)见详解
(2)1或
【解析】
【分析】
（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；
（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m．
(1)
证明： ，
∵ ≥0，
∆
∴方程总有两个实数根；
(2)
解： ，
∴（x-1）（x-m-2）=0，
∴x=1，x=m+2，
1 2
∵方程两个根的差是2，
∴若 ，则 ；若 ，则 ．
∴实数 的值为1或 ．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知
识是解题的关键．
8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程 （m为常数）．
(1)若它的一个实数根是关于x的方程 的根，求m的值；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程 的根，求证： ．
【答案】(1)m的值为-1或1
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）由 得到 ，代入 求解m即可；
（2）由 得到 ，代入 得到m、n的关系式，进而利用配方法和平
方式的非负性求解即可．
(1)
解：由 得到 ，
将 代入 中，得：
，即 ，
解得：m=-1或m=1，
故m的值为-1或1；
(2)
证明：由 得到 ，
将 代入 中，得：
，整理得： ，
∴ = ，
即 ．
【点睛】
本题考查含参数的一元二次方程的解、一元一次方程的解、配方法和平方式的非负性，利用消元思想，将
问题转化为学过的一元二次方程是解答的关键．
