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中考数学几何专项练习：相似模型--母子型相似
一、解答题
1．如图， 中，点 在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出 ，
代入AC、AD的值可求出AB的长，再根据BD=AB-AD即可求出结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键．
2．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
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【答案】(1)见解析
(2)AC的长为 ．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴AC= (负值已舍)．
∴AC的长为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形
相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
3．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，
▱
BE＝3，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD= ．
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，即可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE•BC，求出BC，则可求出AD．
【详解】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
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∴AC2=AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵∠BFE=∠A，
∴∠BFE=∠C，
又∵∠FBE=∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴ ，
∴BF2=BE•BC，
∴BC= = = ，
∴AD= ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，正确掌握相似三角
形的判定方法是解题关键．
4．在 中， ， 垂直平分 ，分别交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得 ，再由线段垂直平分线的性质可得 ，
从而得到 ，进而得到 ，即可求证；
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（2）先证明 ，从而得到 ，再由 ，即可求证．
(1)
证明： ，
，
垂直平分 AB ，
，
，
，
，
；
(2)
证明：由（1）知 ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌
握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
5．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上， 于点G， 于点F，
．
(1)求证： ；
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(2)若 ， ，求CD的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直的定义推出 ， ，再由
即可推出 ，最后根据 ，即可证明 ；
（2）由相似三角形的性质得到 ，由此求出AB的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
6．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，
(1)求证：△DAC∽△ABC；
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(2)求△ACD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)△ACD的面积为5
【分析】（1）由∠DAC＝∠B， 即可证明△DAC∽△ABC；
（2）设△ACD的面积为S，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△DAC∽△ABC；
（2）设△ACD的面积为S，
∵△ABD的面积为15．
∴△ABC的面积为15+S，
∵△DAC∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
解得S=5，
∴△ACD的面积为5．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
7．如图，在菱形 中， 为边 延长线上一点，连接 分别交 和 于 和 两点．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)已知 ， ．求当该菱形 改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
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【分析】（1）只需证明 即可得到 ．
（2）想证明 ，通过观察 为比例中项，只需证明 ，即可到得答案．
（3）根据学过的知识，出现比例中项的只有在三角形相似这个章节，所以只要证明 即可
到得答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ，
又 ，
，
；
（2）证明： 四边形 是菱形，
， ，
，
，
又 ，
，
，
；
（3）该菱形 改变为正方形时，
由（2）知： ，
， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
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在 中，由勾股定理可得正方 的边长 ．
【点睛】本题考查了三角形全等、相似的内容，熟练掌握三角形全等及相似的证明方法是解决此题的关键．
8．如图，点P是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长交 于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 的长为 ．
【分析】（1）根据菱形的性质，利用 即可证明 ；
（2）根据菱形的性质，全等三角形的性质推出 ，即可证明 ；
（3）根据相似三角形的性质结合条件可求得 ，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形，相似三角形，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性
质，相似三角形的判定及性质，是解题的关键．
9．（1）【基础模型】：
如图1，在 中， 为 上一点， ．求证： ．
（2）【尝试应用】：
如图2，在平行四边形 中， 为 上一点， 为 延长线上一点， ，若 ，
，求 的长．
（3）【更上层楼】：
如图3，在菱形 中， 是 上一点， 是 内一点， ， ，
， ，请直接写出菱形 的边长．
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【答案】（1）见解析；（2）9；（3）
【分析】（1）直接利用两个角对应相等证明 即可得到结论；
（2）首先说明 ，得 ，求出 的长，再利用平行四边形的性质可得 的长；
（3）延长 交于 ，利用两组对边分别平行可得四边形 是平行四边形，得
，在利用 ，得 ，代入化简即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
；
（2） 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示，延长 交于 ，
四边形 是菱形，
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，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的边长为 ．
【点睛】本题考查了相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定
与性质，熟练掌握共边共角三角形相似是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD＝∠ECA．
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（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出 ，得 ，进而求出 ，
再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由 可证 ，进而得出 ，再由（1）可证 ，由此即可得
出线段之间关系．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即： ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出 是
解题关键．
11．解答下列各题：
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（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，
求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝ ∠BAD，AE＝
3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）5
【分析】（1）证明 ，利用对应边相似求解．
（2）证明 ，设 ，利用对应边关系列出方程求解．
（3）延长 ，交于点 ，证明 ，表示对应关系 ，再利用
．
【详解】解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
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设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
解得 （舍去）．
∴ ，即 ；
（3）如图，延长 ，交于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ∥ ， ，
∵ ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
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∴ ．
∴菱形 的边长为5．
【点睛】本题考查了相似三角形的运用以及菱形的性质，利用相似比求解即可．
12．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与 C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到
△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．
（1）求证：△APF∽△EPC；
（2）求证：PA2＝PG•PF
（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AG= ．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）证明△APG∽△FPA，即可解决问题．
（3）如图2中，设正方形的边长为2a．想办法用a表示AG，EG，GP，证明AG2=GP•GE，由此构建方程求出
a，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
由旋转的性质可知，AF=AE，∠FAE=90°，
∴∠AFP=∠ECP=45°，
∵∠APF=∠EPC，
∴△APF∽△EPC；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
∵∠AFE=45°，
∴∠PAG=∠AFP，
∵∠APG=∠FPA，
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∴△APG∽△FPA，
∴ ，
∴PA2=PG•PF；
（3）解：如图2中，设正方形的边长为2a．
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=180°，
∴F，B，C共线，
∵DE=EC=BF=a，BC=2a，
∴CF=3a，EF= ，
∵BG∥EC，
∴BG：EC=FB：CF=FG：FE=1：3，
∴BG= a，AG= a，GE= ，
∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，
∴△AGP∽△EGA，
∴ ，
∴AG2=GP•GE，
∴（ a）2=（ a－1）• a，
∴a= ，
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∴AG= × = ．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，
平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
13．如图， ， ， ， ．点 从点 出发，以 的速度沿 向点
匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点 匀速运动，当一个点到达终点时，另一
个点随之停止．
（1）求经过几秒后， 的面积等于 面积的 ？
（2）经过几秒， 与 相似？
【答案】（1）经过3秒后， 的面积等于 面积的 ；（2）经过 秒或 秒时， 与
相似
【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用 列出方程求解；
（2）设运动时间为 秒， 与 相似，当 与 相似时，则有 或 ，
分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）设经过x秒， 的面积等于 面积的 ，
，
解得： ，
答：经过3秒后， 的面积等于 面积的 ；
（2）设经过t秒， 与 相似，
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因为 ，所以分为两种情况：
① ，
，解得： ，
② ，
，解得： ，
答：经过 秒或 秒时， 与 相似．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题
目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连
接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：△AEG∽△FAG；
（3）若GE•GF＝9，求CG的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝3
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推
出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性
质得到∠DAG＝∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB−∠DAG＝∠DCB−∠DCG，推出∠BCF＝
∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，
（3）根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
又AD＝CD，
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在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB−∠DAG＝∠DCB−∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
（3）∵△AEG∽△FAG，
∴ ，即GA2＝GE•GF，
∴GA＝3或GA＝−3（舍去），
根据（1）中的结论AG＝CG，
∴CG＝3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结
合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，联结DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E
交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先证明 ，结合 证明 可得结论；
（2）证明 得 ，由 可得 从而可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）在 中，点D是斜边 的中点
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）得
∴
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∴
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明 是解答本题的关键．
16．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且
DE＝DC．
（1）请证明∠ACD＝∠BDE；
（2）若AB＝mAD，求 的值（用含m的式子表示）
（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角性质即可证得 ；
（2）过点E作 交AB于点F，先证明 ，由此可得 ，再根据 即可
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证得 ；
（3）设 ， ，则 ，先证明 ，由此可得 ，再根据
等腰三角形的性质以及翻折的性质可得 ， ，由此可得 ，由此计算即可
求得答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）如图，过点E作 交AB于点F，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ；
（3）设 ， ，则 ，
由（1）可知 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍负），
∵ ，
∴ ，
由题意可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： （舍负），
∴
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角
形的判定与性质以及翻折的性质，熟练掌握它们的基本性质是解决本题的关键．
17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
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(1)求证：AF＝CF；
(2)求证：AF2＝EF•GF；
(3)若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】(1)先由菱形的性质得到AB=BC，∠ABF=∠CBF，然后结合BF=BF，得到△ABF≌△CBF，进而得到
AF=CF；
(2)先由菱形得到∠BAD=∠BCD，AD//BE，从而得到∠DAF=∠DCF，∠DAF=∠FEC，再结合∠CFG=∠EFC，得
到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性质得到CF2=EF×GF，最后结合AF=CF，得到AF2=EF×GF；
(3)先由∠BAD=120°，得到∠DCE=60°，然后结合菱形边长为2得到CD的长，进而利用DE⊥BC，得到
CE、AE的长，然后通过证明△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，进而得到AF、AG的长，最后得到FG的长．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABF=∠CBF，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD，AD//BE，
∴∠DAF=∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴∠GCF=∠CEF，
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∵∠CFG=∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴ ，
∴CF2=EF×GF，
∵AF=CF，
∴AF2=EF×GF；
（3）∵∠BAD=120°，
∴∠DCE=60°，
∵菱形边长为2，
∴CD=AD=2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE=∠CED=90°，
∴∠CDE=30°，
∴CE= CD=1，DE= ，
∴ ，BE=BC+CE=2+1=3，
∵AD//BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴FG=AG-AF= - = ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30° 角的直角三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与
性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到相关的角相等．
18．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连
接AG．
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(1)求证：AG＝CG；
(2)若GE•GF＝9，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)CG=3．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出
△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性
质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从
而结合图形可利用相似三角形的判定定理即可得到△AEG∽△FAG；再根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中， ，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
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∴△AEG∽△FAG，
∴ ，即GA2=GE•GF=9，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根据（1）中的结论得AG=CG，
∴CG=3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结
合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点
D，CG⊥AD于点G，连接EG．
(1)求证：CD2＝DG•DA；
(2)如图1，若点D是BC中点，求证：CF＝2EF；
(3)如图2，若GC＝2，GE＝2 ，求证：点F是CE中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先证明△ACD∽△CGD，根据相似三角形性质即可证得结论；
（2）如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，运用平行线分线段成比例定理即可证得结论；
（3）根据∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四点共圆，过点E作EM⊥AD于点M，可得△EGM是等腰
直角三角形，再证明△CGF≌△EMF，即可证明F是CE中点．
【详解】（1）证明：∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠CGD＝∠ACB＝90°，
∵∠CDA＝∠CDG，
∴△ACD∽△CGD，
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∴CD：DG＝DA：CD，
∴CD2＝DG•DA；
（2）如图1，过E作EH∥AD交BC于点H，
∵HE∥AD，
∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
∴BE：EA＝1，
∴BH：HD＝BE：EA＝1
∵D为BD的中点
∴CD=BD，
∴CD：HD＝2，
∵EH∥AD
∴CD：HD＝CF：EF＝2
∴CF＝2EF．
（3）∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵CE⊥AB，CG⊥AD，
∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴A、C、G、E四点共圆，
∴∠EGF＝∠ACF＝45°，
过点E作EM⊥AD于点M，
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∴△EGM是等腰直角三角形，
EM＝GE•sin45°＝2 ＝2，
∵CG＝2，
∴CG＝EM，
∵∠CFG=∠EFM，∠CGF=∠EMF=90°，
∴△CGF≌△EMF，
∴CF＝EF ，
即点F是CE中点．
【点睛】∴本题考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质、
勾股定理、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并结合相
关知识进行解题．
20．模型建立：
(1)如图1，在 中， 是 上一点， ，求证： ；
(2)类比探究：如图2，在菱形 中， 、 分别为边 、 上的点，且 ，射线
交 的延长线于点 ，射线 交 的延长线于点 ．
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①求证： ；
②若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）证明 ，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）①连接 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ；
②由①得： ，得出 ，由①可知， ，得出 ，证明 ，
得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
，
，
；
（2）①证明：如图2，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
；
②解：由①得： ，
， ，
，
，
由①可知， ，
，
即 ，
解得： ，
由①得： ，
同理得： ，
，
，
，
由①知， ，
，
，
即 ，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的
关键．
21．已知矩形 ，点E、F分别在 、 边上运动，连接 、 ，记 、 交于点P．
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-
(1)如图1，若 ， ， ，求线段 的长度；
(2)如图2，若 ， ，求 ；
(3)如图3，连接 ，若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据 得出 ，再证明 ，根据相似三角形的性质
即可进行解答；
（2）根据矩形的性质可得 ，得出 ，进而得出 ，则 ，
即可得出结论；
（3）过点A作 于点H，过点P作 于点N，交 于点M，设 ，则 ，
得出 ，根据 ，得出 ，进而得出 ，则 ，
证明 根据 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
解得： ．
（3）解：过点A作 于点H，过点P作 于点N，交 于点M，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
由（2）可得： ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，整理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个
角都为直角，相似三角形对应边成比例．
22．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求 的最小值．
【答案】（1）30°；（2） ；（3）
【分析】（1）如图1，证明△ABF≌△CBF（SAS），得AF＝CF，再证明△FCG∽△DCF，根据相似三角形的
性质可得∠CFE＝∠FDC＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，根据直角三角形30°角的性质得：CE＝1，根据勾股定理
计算DE和AE的长，证明∠AFD∽△ADE，列比例式可得AF和EF的长，证明△AFM∽△EFN，得FN的长，根
据三角形的面积公式可得结论；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，分别计算AE2
和DE2，变形后可得当a＝x时， 有最小值．
【详解】解：（1）如图1，∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
∴ ，
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∵∠FCG＝∠FCG，
∴△FCG∽△DCF，
∴∠CFE＝∠FDC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FDC ∠ADC＝30°，
∴∠CFE＝30°；
（2）如图2，过点F作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
Rt△DCE中，∠DCE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CD＝2，
∴CE＝1，DE ，
Rt△ADE中，AE ，
∵∠ADF＝∠AED，∠FAD＝∠FAD，
∴∠AFD∽△ADE，
∴ ，即 ，
∴AF ，
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∴EF ，
∵AD∥BC，
∴△AFM∽△EFN，
∴ ，
∵MN＝DE ，
∴FN ，
∴S△CEF ；
（3）如图3，过点E作EH⊥CD于H，过点A作AN⊥BC于N，
设菱形ABCD的边长为a，CE＝x，
在Rt△CEH中，∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH x，EH x，
∴DH＝a x，
在Rt△DEH中，DE2＝DH2＋EH2
＝ +
＝a2﹣ax＋x2，
在Rt△ABN中，∠B＝60°，AB＝a，
∴∠BAN＝30°，
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∴BN a，AN a，
∴CN＝BC﹣BN a，
∴EN＝EC＋CN a＋x，
Rt△ANE中，AE2＝AN2＋EN2
＝ +
＝a2＋ax＋x2，
∴ （a＞0，x＞
0），
∴当 时，即x＝a时， 有最小值，
则此时 ，
∴ ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线
的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解题的关键．
23．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
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（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝ GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝ ，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的
性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相
似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD
的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．
【详解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．
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∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE， ，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ ，即DF2=FO•AF．
∵ ，
∴ ；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵ ，
∴ ，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴ ，即 ，
∴ ．
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∴ ．
【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和
性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题
（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．
24．在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点
F．
(1)求证：△AEF∽△BAF；
(2)如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
(3)如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠DBE=∠DEB，由∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，推出
∠AEF=∠BAF，再由∠BFA=∠AFE，即可证明△AEF∽△BAF；
（2）先求出BD=DE=12，AD=AE+DE=18，由勾股定理求出 ， ，根据相似三角形的性质
可得 ，则 ，设 ，则 ， ，则
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，由此求解即可；
（3）如图所示，过点A作AG∥BC交BF延长线于G，先证明BC=BF，设 ，则 ，由（2）
可知 ，则 ， ，进而推出 ；证明△AFG∽△CFB，
△AEG∽△DEB，得到 ， ，推出 ，再证明AE=DE=BD=AG，
得到 ，则 ， ，得到 ；证明
△ABC∽△BFC，推出 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，∠DBE=∠BAC，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠BFA=∠AFE，
∴△AEF∽△BAF；
（2）解：∵AE=6，DE=12，
∴BD=DE=12，AD=AE+DE=18，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴ ，
∵△AEF∽△BAF，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
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∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
（3）解：如图所示，过点A作AG∥BC交BF延长线于G，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
又∵∠FBC=∠BAC，
∴∠BFC=∠C，
∴BC=BF，
设 ，则 ，
由（2）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∵△AEF∽△BAF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，△AEG∽△DEB，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵AD=2BD，BD=DE，
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∴AE=DE=BD=AG，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠C=∠C，∠CBF=∠CAB，
∴△ABC∽△BFC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性
质与判定条件是解题的关键．
25．在△ABC中，P为边AB上一点．
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(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证： ＝AP•AB；
(2)若M为CP的中点，AC＝4．
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝7﹣x，根据三角形的中位线的性质得到MG
AC，由平行线的性质得到∠BGM＝∠A，根据相似三角形的性质得到即 ，即可得到结论；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，解直角三角形得到 根据勾股定理
得出 ，相似三角形的性质得到 列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴ ，
∴ ；
（2）①如图2，取AP在中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x， ，
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∵M是PC的中点，
∴MG AC，
∴∠BGM＝∠A，
∵∠ACP＝∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴ ，
即 ，
∴x＝ ，
∵AB＝7，
∴AP＝ ，
∴PB＝ ；
②如图3，过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，
设BP＝x．
∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，
∴CH＝ ，
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∵ ，
∵PB＝BE，PM＝CM，
∴BM CE，
∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，
∵∠E＝∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，正确
作出辅助线是解题的关键．
26．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1) 为 的理想点,理由见解析
(2) 或
【分析】（1）由已知可得 ，从而 ， ，可证点 是 的“理想点”；
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（2）由 是 的“理想点”，分三种情况：当 在 上时， 是 边上的高，根据面积法可求
长度；当 在 上时， ，对应边成比例即可求 长度； 不可能在 上．
（1）
解：点 是 的“理想点”，理由如下：
是 中点， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
点 是 的“理想点”；
（2）
① 在 上时，如图：
是 的“理想点”，
或 ，
当 时，
，
，
，即 是 边上的高，
当 时，同理可证 ，即 是 边上的高，
在 中， ， ， ，
，
48 试卷第页，共3页 资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
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，
，
② ， ，
有 ，
“理想点” 不可能在 边上，
③ 在 边上时，如图：
是 的“理想点”，
，
又 ，
，
，即 ，
，
综上所述，点 是 的“理想点”， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
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