文档内容
专题 15 平面向量与复数
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
平面向量与复数近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第3题,5分 用坐标运算求向量模长
2022年全国乙（文科），第2题,5分 复数相等，复数的乘法运算
2022年全国乙（理科），第3题,5分 已知模求向量的数量积
2022年全国乙（理科），第1题,5分 复数相等，共轭复数的概念及计算
2022年全国甲（文科），第13题,5分 向量垂直的坐标表示
复数的模计算，复数的乘法运算，共轭
2022年全国甲（文科），第3题,5分
复数的概念及计算
用定义求向量的数量积，数量积的运算
2022年全国甲（理科），第13题,5分
律
复数的除法运算，共轭复数的概念及计
2022年全国甲（理科），第1题,5分
算
2023年全国乙（文科），第6题,5分 复数的模计算，复数的乘方
复数的除法运算，共轭复数的概念及计
2023年全国乙（理科），第1题,5分
算
2023年全国乙（理科），第12题,5分 向量的数量积，向量与几何求最值 辅助角公式
2023年全国甲（文科），第2题,5分 复数的除法运算
向量夹角的计算，数量积的坐标表示，
2023年全国甲（文科），第3题,5分
向量模的坐标表示
2023年全国甲（理科），第2题,5分 复数相等，复数的乘法运算
向量加法的几何应用，数量积的运算
2023年全国甲（理科），第4题,5分 二倍角的余弦公式
律，夹角的计算
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本小节为高考必考点，常以选择题，少量的填空题形式出现，题目难度：容易；
2.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范
围；
3.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意
义
【备考策略】1.了解平面向量及相关概念；
2.掌握平面向量的加、减、数乘运算及几何意义；
3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量共线的充要条件及应用.
4.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
5.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
6.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断垂直关系.
7.会用向量方法解决简单的平面几何与力学问题.
8.理解复数的相关概念及几何意义.
9.掌握复数的四则运算.
10.了解复数的三角形式.
【命题预测】1.考查向量求模长，求夹角，向量的数量积，向量的垂直和平行，通过向量数量积求取值范
围；
2.考查复数的基本概念，复数相等，复数的模长，复数的四则运算，复平面，复数的几何意
义
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2知识讲解
一、向量的有关概念
名称 定义 备注
既有大小又有方向的量,向量的大小叫作
向量 平面向量是自由向量
向量的长度(或称模)
零向量 长度为零的向量,其方向是任意的 记作
a
单位向量 长度等于1个单位长度的向量 ±
|a|
与非零向量a共线的单位向量为
平行向量
方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线
(共线向量)
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不相等,不能比较大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0
二、向量的线性运算
向量
定义 法则(或几何意义) 运算律
运算
交换律:
求两个向量和的运
a+b=b+a
；
加法
算 结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3求a与 b 的相反向
减法 a−b=a+(−b)
量−b
的和的运算
|λa|=|λ||a|
λ(μa)=(λμ)a
求实数 λ 与向量a
当λ>0时， λa 与a的方向 ；
数乘 的积的运算 ; (λ+μ)a=λa+μa ；
当λ<0时， λa 与a的方向 λ(a+b)=λa+λb
;当λ=0时，
λa=0
一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即 ⃗A A +
1 2
⃗A A +⃗A A +…+⃗A A =⃗A A (n≥2).特别地,对于一个封闭图形,首尾连接而成的向量的和为零向量.
2 3 3 4 n-1 n 1 n
三、共线向量定理
向量
a（a≠0）与 b
共线的充要条件是存在唯一的实数
λ
,使得
b=λa
.
有关平面向量概念的注意点:
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.
(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
a a a
−
|a| |a| |a|
(4)非零向量a与 的关系: 是与a方向相同的单位向量, 是与a方向相反的单位向量.
(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.
(6)两平行向量所在的直线平行或重合.
三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时,常
选用三角形法则;当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则.
1.解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减
法相互转化.
2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则,三角形法则及三角形中位线,
相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.
利用向量线性运算求解参数的思路:(1)利用向量的线性运算得到相关向量的线性表示;(2)对比向量等式
求出参数或建立方程(组)求解.
四、平面向量基本定理
e e λ
如果 1, 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 1,
λ a=λ e +λ e λ
2,使 1 1 2 2, 2.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4e e {e ，e }
若 1, 2不共线,我们就把 1 2 叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.
1.若a与 b 不共线,且 λa+μb=0 ,则 λ=μ=0 .
1
⃗GA ⃗GB ⃗GC ⃗AG ⃗AB ⃗AC
3
2.若G是△ABC的重心,则 + + =0, = ( + ).
3.三点共线定理
若
⃗OA
,
⃗OB
是平面内不共线的向量,且存在实数
λ
1,
λ
2使得
⃗OC
=λ
⃗OA
+λ
⃗OB
,则当
λ
1
+λ
2
=1
时,A,B,C三
1 2
1
λ =λ =
1 2 2
点共线.特别地,当 时,C是线段AB的中点.
五、平面向量的坐标运算
1.向量的加法、减法、数乘及向量的模
a=(x ,y ) b=(x ,y )
设 1 1 , 2 2 ,则
a+b=
,
a−b=
,
λa=
,
|a|
=
√x
1
2+ y
1
2
.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即向量的坐标.
(2)设
A=(x
1
,y
1
)
,
B=(x
2
,y
2
)
,则
⃗AB
=( ),|
⃗AB
|=
√(x
2
-x
1
)2+(y
2
- y
1
)2
.
六、平面向量共线的坐标表示
x y
a//b⇔ 1 = 1
若
a=(x
1
,y
1
)
,
b=(x
2
,y
2
)
,则
a//b⇔
=0.特别地,若
x
2
≠0
,
y
2
≠0
,则
x
2
y
2.
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)运用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数
乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式,再通过向量的运算来解决.
提示:在基底未给出的情况下,合理地选取基底能给解题带来方便.另外,要熟练地运用平面几何的一些性质及
定理.
平面向量坐标运算的技巧：
(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减或数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐
标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减
去向量始点的坐标.
(2)在解题过程中,常利用“若向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.
与平面向量共线的坐标表示有关问题的常见类型及解题策略
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5a=(x ,y ) b=(x ,y )
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的值时,利用“若 1 1 , 2 2 ,
a//b x y =x y
则 的充要条件是 1 2 2 1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求一个与已知向量a共线的向量时,可设所求向量为
λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
七、平面向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a与 b ,它们的夹角为θ,则数量 叫作a与 b 的数量积(或内积),记作
a⋅b=|a||b|⋅cosθ
a⋅b
,即 .规定零向量与任一向量的数量积为0,即
0⋅a=0
.
2.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和 b ,如右图,作⃗OA=a, ⃗OB= b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a与 b 的夹角,记作
.
(2)当θ=0°时,a与 b ;
当θ=180°时a与 b ;
当θ=90°时,a与 b .
3.投影向量
设a, b 是两个非零向量, ⃗AB=a, ⃗CD= b ,过⃗AB的起点A和终点B,分别作⃗CD所在直线的垂线,垂足分别为
A,B,得到⃗A B ,这种变换称为向量a向向量 b 投影, ⃗A B 叫作向量a在向量 b 上的投影向量.
1 1 1 1 1 1
注:|a|cos称为向量a在向量 b 方向上的投影数量.
向量a, b 的夹角为锐角 ⇔a⋅b>0 且a, b 不共线;
向量a, b 的夹角为钝角 ⇔a⋅b<0 且a, b 不共线.
八、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a=(x 1 ,y 1 ) , b=(x 2 ,y 2 ) ,θ为向量a, b 的夹角,则
a⋅b=|a||b|⋅cosθ=x x +y y
(1) 1 2 1 2;
|a|=√a⋅a= √x2 +y2
(2) 1 1;
cosθ=
a⋅b
=
x
1
x
2
+y
1
y
2
|a||b| √x2 +y2 ⋅√x2 +y2
(3) 1 1 2 2;
a⋅b=0⇔x x +y y =0
(4) 1 2 1 2 ;
(5)
|a⋅b|≤|a||b|
(当且仅当
a//b
时等号成立)
⇔|x
1
x
2
+y
1
y
2
|≤ √x
1
2 +y
1
2 ⋅ √x
2
2 +y
2
2
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6九、平面向量数量积的运算律
1.
a⋅b=b⋅a
(交换律).
λa⋅b=λ（a⋅b）=a⋅(λb)
2. (数乘结合律).
3.
（a+b）⋅c=a⋅c+b⋅c
(分配律).
平面向量数量积的运算公式
（a+b）⋅（a−b）=a2 −b2
(1) ;
（a+b）2 =a2 +2a⋅b+b2
(2) ;
（a−b）2 =a2 −2a⋅b+b2
(3) .
平面向量数量积的三种计算方法
a⋅b=¿a//b/cos¿¿
(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 .
a=(x ,y ) b=(x ,y ) a⋅b=x x +y y
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 1 1 , 2 2 ,,则 1 2 1 2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
平面向量垂直问题的类型及求解方法：
(1)判断两向量垂直:第一,计算出这两个向量的坐标;第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向
量的数量积为0即可.
(2)已知两向量垂直求参数:根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
求向量夹角问题的方法：
(1)当a, b 是非坐标形式时,要求a与 b 的夹角θ,需求出 a⋅b 及 ¿a/¿¿ , ¿b/¿¿ 或得出它们之间的关系.
x x +y y
cos= 1 2 1 2
a=(x ,y ) b=(x ,y ) √x2 +y2 ⋅√x2 +y2
(2)若已知 1 1 与 2 2 ,则 1 1 2 2.
¿a,b>∈[0,π]
提醒: .
求平面向量的模的常用方法：
1.若向量a是以坐标形式出现的,可直接利用公式
¿a/¿ √x 2 +y 2
求向量a的模.2.若向量a, b 是以非坐
¿a/ 2 ¿a2 =a⋅a ¿a±b/ 2 ¿(a±b) 2 =a2 ±2a⋅b+b2
标形式出现的,可运用公式 或 求向量的模,即先求向
量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.
利用向量的数量积求最值与范围问题常常有两种思路:
(1)基底法:利用一组基底,通过向量的运算,转化为求最值或范围,此时应注意几何特征的应用;
(2)坐标法:建立合适的平面直角坐标系,通过向量的坐标运算,转化为关系变量的最值或范围问题,常常利
用函数的单调性或基本不等式求解.
平面几何中的向量问题,主要是注意平面图形中的数量关系、角度大小,然后利用向量的相关知识求解
即可.
用平面向量方法解决物理问题的步骤：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7十、复数的基本概念
1.虚数单位i:i叫作虚数单位,它的平方等于-1,即i2=-1.
2.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,记作z=a+bi(a,b∈R).
其中a叫作复数的 ,b叫作复数的 ,i是虚数单位.全体复数所构成的集合叫作 ,用字母
C表示.
3.复数的分类
对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则a+bi为实数;若 ,则a+bi为虚数;若 ,则a+bi为纯虚数.
分类如下:
z=a+bi(a,b∈R)
{
实数(b=0),
{纯虚数( a=0),
虚数( b≠0)
非纯虚数( a≠0).
十一、复数相等的充要条件
两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别对应相等,那么我们就说这两个复数相等.
{ a=c ,
也就是若a,b,c,d∈R,则a+bi=c+di
b=d .
特别地,a+bi=0 . ⇔
十二、共轭复数
当两个复数的实⇔部相等,虚部互为 时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫作共轭虚数.
−
通常记复数z的共轭复数为 z.
十三、复数的四则运算
1.加法、减法运算法则
设z=a+bi,z=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
1 2
z+z =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
1 2
z-z =(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.
2 1
对任意z,z,z∈C,加法运算律满足
1 2 3
z +z =z +z
①交换律: 1 2 2 1;
（z +z ）+z =z +(z +z )
②结合律: 1 2 3 1 2 3 .
2.乘法、除法运算法则
z =a+bi z =c+di(a,b,c,d∈R)
设 1 , 2 ,我们规定:
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8z⋅z =(a+bi）(c+di)=（ac−bd）+(bc+ad)i
1 2 ;
z
1 =
a+bi
=
(a+bi)(c−di)
=
ac+bd
+
bc−ad
i(c+di≠0）
z c+di (a+bi)(c+di) c2 +d2 c2 +d2
2 .
z z z ∈C
对任意 1, 2, 3 ,乘法运算律满足
z z =z z
①交换律: 1 2 2 1;
(z z )z =z (z z )
②结合律: 1 2 3 1 2 3 ;
z (z +z )=z z +z z
③分配律: 1 2 3 1 2 1 3.
十四、复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴
如图所示,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点 表示,这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫作复平
面,也叫高斯平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.
2.复数集与复平面内点或向量的对应关系
按照复数的几何表示法,每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应;反过来,在复平面内的每一个点,有
唯一的一个复数和它对应.
复数集C和在复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的,即这是复数的一种几何意义.
复数集C与在复平面内所有以原点O为起点的向量所构成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应),即
这是复数的另一种几何意义.
3.复数的模
向量⃗OZ的模 r 叫作复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,则|z|=|a+bi|=r=√a2+b2(r≥0,r∈R),即复数
a+bi(a,b∈R)的模表示点Z(a,b)与原点O的距离.
特别地,当b=0时,z=a+bi(a,b∈R)是实数a,此时|z|=|a|.
解决复数概念问题的方法及注意事项:(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与
虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可;(2)解题时,
一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
复数代数形式的乘除运算问题的解题策略
(1)复数的乘法:复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含
有i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
复数的几何意义及应用:
(1)复数z与复平面上的点Z及向量⃗OZ相互联系,即z=a+bi(a,b∈R) Z(a,b) ⃗OZ=(a,b);
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题
⇔ ⇔
时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9ax2 +bx+c=0(a≠0)
1.实系数一元二次方程 在复数范围内求根
(1)求根公式:
-b± √b2-4ac
{ Δ>0:一对实根x = .
1,2 2a
-b
Δ=0:一对相等的实根x = .
1,2 2a
-b±√-(b2-4ac)i
Δ<0:一对共轭虚根x = .
1,2 2a
b
{x +x =− ,
1 2 a
c
x x = .
1 2 a
(2)韦达定理:
ax2 +bx+c=0(a≠0)
2.虚系数一元二次方程 在复数范围内求根时,只能设出复数x的代数形式或是三
角形式,利用复数相等求解.
a b b
r=|z|= √a 2 +b 2 cosθ=
r
sinθ=
r
tanθ=
a
(a≠0)
在如图所示的复平面中, , , , .
z=a+bi（a,b∈R） z=r(cosθ+isinθ)
任 何 一 个 复 数 都 可 以 表 示 成 的 形 式 . 我 们 把
r(cosθ+isinθ)
叫作复数的三角形式.
复数乘、除运算的三角表示:
z =r (cosθ +isinθ ) z =r (cosθ +isinθ )
已知复数 1 1 1 1 , 2 2 2 2 ,则
z⋅z =r r [cos(θ +θ )+isin(θ +θ )]
1 2 1 2 1 2 1 2 ;
z r
1 = 1[cos(θ −θ )+isin(θ −θ )]
z r 1 2 1 2
2 2 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10考点一、平面向量基本定理
类型一：（线性运算）
1．（2022年全国新高考I卷数学试题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题（海南卷））在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））在△ 中， 为 边上的中
线， 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2003年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））O是平面上一定点，A、B、C是平面上
不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
类型二：坐标运算
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））在矩形ABCD中，AB=1，
AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 = + ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（大纲卷Ⅱ））设 为抛物线 的焦点，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11为该抛物线上三点．若 ，则 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
1．（2020年山东省春季高考数学真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图
所示），设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年山东省春季高考数学真题）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么
能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 123．已知非零向量 和 满足 ，且 ，则 为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形
考点二、平面向量的模长问题
类型一：线性运算
1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设非零向量 ， 满足
，则（ ）
A． ⊥ B．
C． ∥ D．
类型二：坐标运算
1．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量
，则|⃗a− ⃗b|（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）若向量 满足 ，则 .
1．（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 132．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知向量 ，则
（ ）
A． B．2
C．5 D．50
3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则
=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
考点三、平面向量的夹角问题
类型一：线性运算
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023年福建省联考数学试题）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
向量夹角为钝角
3．（2023年广东省联考数学试题）已知向量 ，若 与 的夹角为 ；若 与 的夹
角为钝角，则 取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
类型二：坐标运算
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14A． B． C． D．
2．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
向量夹角为锐角
3．（2023年河南省名校联考数学试题）已知平面向量 ， .
(1)当实数m为何值时， 与 垂直；
(2)若 与 所成的角为锐角，求实数k的取值范围.
1．（2023年安徽省教学质量统测数学试题）已知向量 满足 ，且（⃗a− ⃗b）⊥ ⃗b，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知 为单位向量，且 =0，若
，则 .
3．（2023年天津市联考数学试题）已知 .求：
(1) 与 的夹角；
(2) ；
(3)若 与 夹角为钝角，求 的取值范围.
4．（2023年河北省联考数学试题）已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15B．当 时，
C． 与 夹角为钝角时，则 的取值范围为
D．当 时， 在 上的投影向量为
5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知向量 ，则
.
考点四、平面向量中的共线问题
1．（2023年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量 为平面向量的一组基底，且
，若 三点共线，则实数 应该满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020年江苏省高考数学试题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，
使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是 ．
3．（2023年四川省模拟数学（文科）试题）已知向量 ，若 三点共
线，则实数 （ ）
A． B． C．4 D．5
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 161．（2023年黑龙江省模拟数学试题）设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与向量
共线，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．（2023年江西省水平测试数学试题）已知 ， ，如图，在 中，点 ， 满足
， ， 是线段 上靠近 的三等分点，点 为 的中点，且 ， ， 三点共
线．
(1)用 ， 来表示 ；
(2)求 的最小值．
考点五、平面向量的平行与垂直
类型一：线性运算
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列
向量中，与 垂直的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知非零向量 满足 ，且
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））设向量 ， 不平行，向量 与
平行，则实数 ．
类型二：坐标运算
1．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）已知向量 ．若 ，则
．
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量
，若⃗a//⃗b，则
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 173．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知向量 ．若 ，则
．
1． 是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与
垂直，则k= .
3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知向量 ，若 ，则
．
4．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知向量 ， ， ．若 ，则
．
5． 是 所在平面上一点，若 ，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
考点六、平面向量的数量积
1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
2．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ，|
⃗b|=3
，则
．
3．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知向量 ， ， ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 181．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））在如图的平面图形中，已知
, 则 的值为（ ）
A． B．
C． D．0
3．已知四边形ABCD是边长为2的菱形， ，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q．
(1)若 ， ，求x，y的值；
(2)求 最小值．
考点七、投影及投影向量
1．（2023年贵州省教学质量监测试题）已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知平面向量 满足 .记向
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
1．（2023年安徽省教学质量统测数学试题）向量 ， ，则 在 上的投影向量为 ．
2．（2023年广西联合调研测试数学试题）已知点 是直角 斜边 的中点，且 ，则向
量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
考点八、平面向量在物理上的应用
1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为 ，
所受的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，则以下结论不正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的范围为
C．当 时， D．当 时，
2．长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20|⃗v |= 10km /h
航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度 的大小为 ，水流的速度 的大小为
1
|⃗v |=4km /h
，设 和 所成的角为 ，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，
2
则 （ ）
A． B．
B．C． D．
1．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 米，一艘船从河岸的 地出发，向河对岸航行．已知船的
速度 的大小为 ，水流速度 的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度为 ，那么
当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为
分钟
2．（2023年江苏省模拟数学试题）某人在静水中游泳的速度为 ，河水自西向东的流速为 ，此
人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（ ）
A． B． C． D．
考点九、平面向量的综合应用
1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与
交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 212．（2022年北京市高考数学试题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若
，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
4．（2023年吉林省阶段性考试数学试题）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点
P满足 ，则△ACO与△CBP面积比为（ ）
A．5:6 B．3:4 C．2:3 D．1:2
5．（2023年河北省联考数学试题）设向量 与 的夹角为 ，定义 ．已知向量 为
单位向量， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知 是边长为2的等边三角
形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B． C． D．
2．平行四边形 中， ， ， ，点 在边 上，则 的取值范围是
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22A． B． C． D．
3．（2020年天津市高考数学试题）如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为 ，若 是线段 上的动点，且 ，则
的最小值为 ．
4．已知 为 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
5．设非零向量 与 的夹角为 ，定义 与 的“向量积”： 是一个向量，它的模 ，
若 ， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．1
考点十、复数的基本概念
1．下列三个命题：①若 且 ，则 是纯虚数；②复数 的充要条件是 ；
③若 ，则 ；正确个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
共轭复数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 232．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
复数为实数
3．（2020年浙江省高考数学试卷）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
复数为纯虚数
4．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i)
复数的虚部
5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
复数的实部
6．（2020年江苏省高考数学试题）已知 是虚数单位，则复数 的实部是 .
关于虚轴对称
7．在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于虚轴对称，则 等于（ ）
A． B． C． D．
1．已知 （ ， 是虚数单位）， ，定义： ， ，给
出下列命题：
①对任意 ，都有 ；
②若 是复数 的共轭复数，则 恒成立；
③ ，则 ；
④对任意 ，结论 恒成立；
则其中真命题是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．①③
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z=i(2+i)，则 =（ ）
A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））若复数 满足 ，其中i是虚数单
位，则 的实部为 ．
4．（2023年云南省模拟数学试题）若复数 满足 ，则关于复数 的说法正确的是（ ）
A．复数 的实部为 B．复数 的虚部为
C．复数 的模长为 D．复数 对应的复平面上的点在第一象限
5．若复数 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数 的取值集合为
.
考点十一、复数相等
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，其中 为实数，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25A． B． C． D．
4．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
1．（2022年浙江省高考数学试题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C．
a=−1,b=−3
D．
2．（2023年广东省模拟数学试题）已知复数 为纯虚数（ ， 是虚数单位），且
，则（ ）
A． 且 B． 且 C． 或 D． 或
3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点十二、复数的模长
1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
2．（2022年北京市高考数学试题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 261．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设 ，则 =（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设 ，则
A． B． C． D．
3．（2019年浙江省高考数学试题）复数 （ 为虚数单位），则 .
考点十三、复平面
1．（2020年北京市高考数学试题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2023年福建省模拟数学试题）已知 ，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023年上海市模拟数学试题）在复平面中，复数 （ 为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点十四、复数的四则运算
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题） （ ）
A． B．1 C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 272．（2023年新高考天津数学高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题） （ ）
A． B． C． D．
3．（2022年高考（天津卷）数学真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
考点十五、复数的几何意义
1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设复数 ， 满足 ， ，
则 = .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 282．复数 、 满足 ， ， ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023年广西教学质量监测数学试题）若复数 （其中 为虚数单位）在复平面内所
对应的向量分别为 和 ，则 的面积为 .
2．（2023年河南省模拟数学试题）如图，向量 对应的复数是 ，则复数 的虚
部为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年内蒙古模拟数学试题）对于给定的复数 ，若满足 的复数对应的点的轨迹是圆，则
的取值范围是 .
【基础过关】
1．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点 ，向量
，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 292．（2023年北京市模拟数学试题）已知向量 ，则下列向量中与 平行的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全国统一高考数学（理科）（新课标Ⅰ））设 为单位向量，且 ，则
.
4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若
，则m= .
5．（2021年北京市高考数学试题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．
若网格纸上小正方形的边长为1，则
； .
6．（2020年北京市高考数学试题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
； ．
7．（2008年高考广东卷理科数学试题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中
点，AE的延长线与CD交于点F，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021年全国新高考II卷数学试题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30A．0 B．1 C． D．2
11．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z满足 ，z在复平面内对应的
点为(x，y)，则（ ）
A． B． C． D．
12．复数 满足 ，则下列四个判断中，正确的个数是（ ）
① 有且只有两个解； ② 只有虚数解；
③ 的所有解的和等于 ； ④ 的解的模都等于 ；
A． B． C． D．
13．（2021年天津高考数学试题） 是虚数单位，复数 ．
14．复数 的虚部为 “ ”是虚数单位
【能力提升】
1．已知 ， |，且 ，则 与 的夹角θ的取值范围是 .
2．（2023年新高考天津数学高考真题）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为
的中点，若设 ，则 可用 表示为 ；若 ，则 的最大值为
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 313．（2022年高考天津卷数学真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用 表
示 为 ，若 ，则 的最大值为 .
4．（2023年海南模拟数学试题）如图，在 中， 是 的中点， 与 交
于点 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2022年浙江省高考数学试题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
6．如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， .设
， ，则 的最值为 .
√2
7．（2023年山东省模拟数学试题）若
⃗AB= (⃗a+5⃗b),⃗BC=−2⃗a+8⃗b,C⃗D=3(⃗a− ⃗b)
，则共线的三点是
2
.
9．一条东西方向的河流两岸平行，河宽 ，河水的速度为向东2 .一艘小货船准备从河南岸的
码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250 的码头C处卸
货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 ，则当小货船的航程最短时，小货船航行的
速度大小是 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3210．（2023年湖北省联考数学试题）若 为 的垂心， ，则 ＝ ，
．
11．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2023年河北省联考数学试题）已知 为实数， （ 为虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z满足 ，z在复平面内对应的
点为(x，y)，则
A． B． C． D．
14．（2023年广西教学质量监测数学试题）已知复数 ，其中 为虚数单
位.
(1)当实数 取何值时，复数 是纯虚数；
(2)若复数 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围.
【真题感知】
1．（2023年北京高考数学真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（全国甲卷理科数学）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 333．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
5．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2022年全国新高考II卷数学试题） （ ）
A． B． C． D．
9．（2022年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34
