文档内容
4.1 因式分解
教学内容 4.1 因式分解 课时 1
1. 经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
核心素养 2. 经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
目标 3. 了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系. 感受因式分
解在解决相关问题中的作用.
1.了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
知识目标 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
教学重点 了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
教学难点 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 设计意图：通过把一个数
教师活动：教师提出问题，学生思考并回答. 式分解成几个数的积的形
式，从而为下面类比993
问题：993 - 99能被100整除吗? 你是怎样想的
- 99的因数分解引出 a3
呢？ - a 的因式分解做好铺
垫.
学生尝试计算，交流讨论，最后教师用课件出示
小明的方法：
993 - 99 = 99×992 - 99×1
=99×(992 - 1)
=99×9800
=98×99×100
所以993 -99能被100整除
追问：我们一起来看看小明是怎样计算的？
预设答案：小明是先提出了一个公因数99，然后
再计算.
【思考】说一说，小明的方法的基本思想.
预设答案 ：先将 993 -99（算式）变形为
98×99×100
（几个数的乘积形式），变形后的式子就很直观
的看到是100的倍数，所以肯定能被100整除.
追问：还能被哪些正整数整除？
二、探究
预设答案1：还能被98、99整除.
新知
预设答案2：因为98=1×98=2×49=7×14，所以993
-99还能被1、2、7、14、49整除.
预设答案 3：因为 99=1×99=3×33=9×11，所以
993-99还能被3、9、11、33、整除.
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：全等三角形的判定和性质
1教师活动：通过类比数式的分解，对多项式进行
分解，从而引出因式分解的概念.
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式
吗?与同伴交流.
师生活动：
设计意图：通过类比993
教师提示：类比 993 - 99 的因数分解
- 99将多项式a3 - a 进
学生尝试分解，并交流反馈，得
行分解，经历由因数分解
a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1)
到因式分解的类比过程，
感受因式分解的形式，发
展学生的符号意识.
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
设计意图：以拼图前后面
积不变的方式，丰富学生
对因式分解的理解，形象
地说明因式分解是整式的
恒等变形，有助于发展学
生的几何直观，对学生的
思维发展具有实际价值.
学生通过观察，给出填空
的答案，可能有不同的形
式，只要合理都应给予鼓
励，要注意的是，这里拼
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么 图前后的数量关系主要指
区别和联系？ 向面积，教师要适当引
联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形 导.
式. 上面“议一议”环节
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把 关注的是如何类比，而本
多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反 环节关注的是代数思维与
的. 几何思维的互相促进，以
几何直观来解释因式分解
的意义，从另一个角度理
问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分
解因式分解，
解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解
吗？
师生活动：教师引导学生观察上列等式与图片，
然后讨论问题1，在做问题2时引出总结：
归纳总结：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变
形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
设计意图：明确因式分解
的概念.
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分
解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx （ × ）
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 （ × ）
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) （ √
）
2D. ax + by + c = x(a + b) + c （ ×
）
E. 2a3b = a2 • 2ab （ × ）
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （ × ）
师生活动：学生举手回答问题.
做一做
计算下列各式：
(1) 3x(x - 1) = 3 x 2 - 3 x
(2) m(a+b - 1) = m a + m b - m
设计意图：通过这组练
(3) (m+4)(m - 4) = ___ _ m 2 - 16
习，可以渗透整式乘法与
(4) (y - 3)2 = _____ y 2 - 6 y + 9
因式分解的关系，感受因
式分解是否正确可以用整
根据左边的算式进行因式分解： 式乘法来检验.
(1) 3x2 - 3x = ( 3x )( x - 1 )
(2) ma+mb-m = ( m )( a+b - 1 )
(3) m2 - 16 = ( m+4 )( m - 4 )
(4) y2 - 6y+9 = ( y - 3 )( y - 3 ) 或 (y - 3)2
师生活动：按照左边右边是什么形式，自由的说
一说.
知识点二：因式分解与整式乘法的关系
想一想：
由 a(a + 1)(a - 1) 得到a3 - a的变形是什么运
算？
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什
么不同？
答：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整
设计意图：体会因式分解
式乘法，由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形
与整式乘法的互逆变形的
与上面的变形互为逆过程.
联系，为因式分解提供检
验方法.
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系?
师生活动：教师提出问题，学生小组交流探讨，
小组代表发言，教师适时引导并整理板书.
是互为相反的变形，即
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
三、当堂
因式分解等式的特征：
练习，巩
左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
固所学
3典例精析：
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为
a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解
答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适
当点拨，最终教师展示答题过程.
解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3)= ax2 +
ax - 6a，
设计意图：通过例题的解
∴ a = 1，b = -6a = -6.
答，既检测了学生对因式
分解概念的掌握程度，又
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式 让学生感受到应用所学知
乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后 识解决问题的乐趣！
的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比
较，使其分别相等即可.
三、当堂练习，巩固所学
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
( )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab -a
B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b)
D. 2x + 1 = x(2 + )
2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x
设计意图：通过课堂练习
+ n)，则 m + n 的值为 ．
及时巩固本节课所学内
容，并考查学生的知识应
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗? 用能力，培养独立完成练
习的习惯.
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 需要注意的是，因式分解
2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值. 是整式范畴的概念，因此
诸如 2 + 这样的代数式
变形不能称之为因式分
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲
解，但可以认为是因式分
看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了
解在代数式变形中的拓广
a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.
应用.
4.1 因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为
分解因式.
板书设计
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
4因式分解等式的特征：
左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
课后小结
因式分解是北师大版八年级下册第四草第一节的内容. 本章的学习是后续
学习分式和分式方程的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的
应用，有着重要的地位和作用. 在学习本章之前学生已经学习了整式乘法，因
式分解是整式乘法的互逆恒等变形. 通过本节课的学习有助于学生提高对这两
者之间联系的认识. 本节课学习中所使用的类比分析问题和数形结合分析问题
教学反思
的方法，是数学学习中常用的数学思想方法. 因此，通过本节课的学习可以进
一步发展学生的这些能力.
在学习本章之前，学生已经学习了因数分解和整式乘法. 但是通过对学生
预习情况的调查，学生对于构造乘法对加减法分配律的逆运算形式存在问
题，对于恒等变形缺乏认识.
5
