文档内容
专题08 用列举法、树状图或列表法求概率及概率的应用
考点一 已知概率求数量 考点二 几何概率
考点三 列举法求概率 考点四 列表法、树状图求概率
考点五 用概率判断游戏的公平性 考点六 概率在转盘抽奖中的应用
考点七 用频率估计概率及应用
考点一 已知概率求数量
例题：（2021·黑龙江哈尔滨·九年级期末）春节前夕，小丽的奶奶给孩子们准备了一些红包，这些红包的
外观相同，其中有 个红包装的是 元，有 个红包装的是 元，剩下的红包装的是 元．若小丽从中
随机拿出一个红包，里面装的是 元的红包的概率是 ，则装有 元红包的个数是______________．
【变式训练】（2022·山东淄博·七年级期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑
三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是 ．
(1)求盒子中球的个数；
(2)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(3)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为 ．若能，请写出如何调整白
球数量；若不能，请说明理由．
考点二 几何概率
例题：（2022·山东威海·七年级期末）如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖
（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．【变式训练】（2022·山东青岛·七年级期末）如图，飞镖游戏中的每一块正方形除颜色外都相同，若某人
向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______．
考点三 列举法求概率
例题：（2022·广东深圳·八年级期末）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，
把第一个数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是
______．
【变式训练】（2022·吉林大学附属中学八年级期中）从 ， ，3三个数中任取两个不同的数，作为点
的坐标，则该点在第三象限的概率等于______．
考点四 列表法、树状图求概率
例题：（2022·辽宁鞍山·中考真题）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行
了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用 ， 表示）和八年级的两名学生（用 ，
表示）获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名
来自七年级、一名来自八年级的概率．
【变式训练】（2022·辽宁朝阳·中考真题）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很
多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队
等候．(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
考点五 用概率判断游戏的公平性
例题：（2022·黑龙江黑河·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，
5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于
7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【变式训练】（2022·湖南湘西·九年级期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动
时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字
外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；
(3)如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问
这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．
考点六 概率在转盘抽奖中的应用
例题：（2021·山东烟台·七年级期末）新冠疫情以来，各地政府为活跃消费市场，释放消费潜力，各商家
采取各种促销以此来对冲疫情影响．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均
匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指
针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券（若指向边
界则重转），凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．
（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；
（2）某顾客在此商场购物220元，通过转转盘获得购物券和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合
算？谈谈你的理由．【变式训练】（2022·山西大附中一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，
凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．考点七 用频率估计概率及应用
例题：（2022·山东烟台·七年级期末）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．
小亮做摸球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率
0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【变式训练】（2022·山东枣庄·七年级期末）下面是某学校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物
种子发芽率进行研究时所得到的数据：
300
试验的种子数n 500 1000 1500 2000 4000
0
285
发芽的粒数m 471 946 1425 1898 3812
3
0.942 0.946 0.949 0.953
发芽频率
(1)求表中 ， 的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率约是多少？（精确到0.01）
(3)若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育．一、选择题
1．（2021·湖北咸宁·九年级阶段练习）有4条线段长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任意取三条线
段能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·陕西西安·七年级期末）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针
落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级课时练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没
有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到
黄球的频率是0.3，则估计口袋中红球约有（ ）
A．12个 B．14个 C．18个 D．20个
4．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、
“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放
回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞
镖落在白色区域的概率是____．6．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级阶段练习）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜
色外都相同，摇匀后从中随机摸出一个球， 若摸到白球的概率为 ，则盒子中原有的白球的个数为
_________个．
7．（2022·浙江杭州·九年级开学考试）在六张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、菱形、等边三角形、
直角三角形、正六边形，现从中随机抽取一张卡片，既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是_____．
8．（2022·山西·九年级专题练习）2022年2月4日，北京冬奥会在北京一张家口隆重开幕，在北京冬奥会
举办期间，小亮想到现场观看两场比赛，于是搜集了如图所示编号为A，B，C，D的四张图片（四张图片
除正面图案不同外，图片大小、材质都相同），他将四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取其中的两张，到
现场观看抽中图片上所对应的比赛，则小亮抽中短道速滑和花样滑冰双人滑的概率是 _____．
三、解答题
9．（2021·河南·温县黄庄镇第一初级中学九年级期中）小明和小颖一起做游戏，他们把形状和大小完全相
同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中
随机抽取一张．
(1)请用画树状图（或列表法）求抽取的两张卡片数字之和为奇数的概率；
(2)若抽取的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若抽取的两张卡片数字之和为偶数；则小颖胜．试分析
这个游戏是否公平，若不公平，谁获胜的可能性较大．10．（2021·云南玉溪·一模）小明和小红做游戏：在一个不透明的盒子中放入三张卡片，每张卡片上写着
一个实数，分别为 ， ， 每张卡片除数字不同外其余均相同），游戏规则：小明先从盒子中取出
一张卡片，记下卡片上的数字，放回摇匀后小红再取出一张卡片，如果取出的两数之积是有理数，小明赢；
反之小红赢．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)这个游戏规则公平吗？为什么？
11．（2022·江苏徐州·一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是
一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指
针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次
棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进
2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
12．（2022·浙江金华·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的
数量，九（2）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将15个与红球大小形状完全相同的白球装入
袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各
小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到红球的频数n 63 123 247 365 484 603
0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a
摸到红球的频率
(1)a＝______．
(2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近______（精确到0.01）；请推测：摸到红球的概率
是______（精确到0.1）．
(3)求口袋中红球的数量．
