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专题 12 圆周角和圆心角的关系
考点一 圆周角概念辨析 考点二 圆周角定理
考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等 考点四 直径所对的圆周角是直角
考点五 90°的圆周角所对的弦是直径 考点六 圆内接四边形对角互补
考点一 圆周角概念辨析
例题：（2022·山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·广东·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
2．（2021·全国·九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？
考点二 圆周角定理例题：（2022秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝50°，则∠A的度数为
__________．
【变式训练】
1．（2022秋·江西新余·九年级新余四中校考阶段练习）如图， 是 的直径， ，则 等
于______．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图， 是 的直径， 上的两点A，B分别在直径 的
两侧，且 ，则 __________．
考点三 同弧或等弧所对的圆周角相等
例题：（2022·广西贵港·中考真题）如图，⊙ 是 的外接圆， 是⊙ 的直径，点P在⊙ 上，若
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图， 是 的两条半径，点C在 上，若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，
则∠ADB的度数为（ ）
A．55° B．64° C．65° D．70°
考点四 直径所对的圆周角是直角
例题：（2022·广西梧州·二模）如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦 ，且
∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（ ）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE
【变式训练】
1．（2022·湖北十堰·三模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若
CD= ，BC=4，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．2 C． D．2
2．（2022·安徽芜湖·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC= ，P为弧AD上一点且AP=1，则
PC=________________．
考点五 90°的圆周角所对的弦是直径例题：（2021·全国·九年级课时练习）如图， 的弦 垂直于 ， ，则 的半
径等于（ ）
A． B． C． D．4
【变式训练】
1．（2022·江西吉安·一模）如图，在矩形 中， ， ， 为矩形内一点， ，
连接 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
2．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC内部的一个动
点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为__________.
考点六 圆内接四边形对角互补
例题：（2022·湖南娄底·模拟预测）如图，点B，C，D在⊙O上，若 ，则 的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．100°
【变式训练】
1．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）在 中，四边形OABC为菱形，点D在 上，则
的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不
与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110° B．115° C．120° D．125°一、选择题
1．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，已知 是 的直径， ， 平分 ，
则 的度数是（ ）
A．110° B．100° C．120° D．130°
2．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）如图，在 中，弦 ， 相交于点 ， ，
，则 的大小是（ ）
A．35° B．45° C．60° D．70°
3．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图， 是 的直径，以点 为圆心，以 长为半径画圆弧
交 于点 ， 为 上一点，连结 ， ， ，则 的大小是（ ）A． B． C． D．
5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图， 是 的直径，C，D是 上的两点，且 平分
， 分别与 ， 相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）如图，四边形 内接于 ， ，则 的大
小为______°．
7．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图， 都是 的半径， ，若
，则 的度数是______．
8．（2022秋·山东威海·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点 在 上， ， 交于点 ，若 ，则 的度数为___________．
9．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，等边三角形 中，D是边 上一点，过点C作 的垂线
段，垂足为点E，连接 ，若 ，则 的最小值是_____________．
10．（2022·浙江宁波·九年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校联考阶段练习）如图，点 坐标是 ， 经过
原点 ，交 轴正半轴于点 ，点 在 上， ，则点 的坐标是________．
三、解答题
11．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期中）如图，在 的内接四边形 中， ， 平分
．(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的半径．
12．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点E， 与
相切于点A，交 的延长线于点F， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的长度．
13．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）现有半圆形纸片，点O是圆心，直径 的长是 ．
(1)如图1，点C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接 、 ，沿 、 剪下 ，则 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)如图2， 是弦，小明将半圆形纸片沿弦 折叠使得点C与圆心O重合，顺次连接O、D、C、E得
四边形 ，试判断四边形 的形状，请说明理由并求出它的边长．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图， 为 的内接三角形， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)延长 交 于 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，求证： ；
(3)在(2)的条件下，连接 并延长交 于 ，连接 ，若 ，求线段 的长．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结
论后进行了如下的探究活动：
(1)如图1，点A、B、C在 上，点D在 外，线段 与 交于点E、F，试猜想
______180°；（请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想；
(2)如图2，点A、B、C在 上，点D在 内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；
若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，凸四边形 中，对角线 长为6， ，则四边形 面积的最大值是
______．
16．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知： 是 的外接圆，且 ，
，D为 上一动点．
(1)如图1，若点D是 的中点，求 的度数．
(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在 上．求证 ．
②若点D在 上，当它从点A向点C运动且满足 时，求∠ABD的最大值．
