文档内容
专题 2.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、二次函数的判断
1．下列函数：① ，② ，③ ，④ ， 是 的反比例函数的
个数有（ ）．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D．
3．设y＝y﹣y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
1 2 1 2
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
4．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图分别表示变量之间的关系，将下面的（a）、
（b）、（c）、（d）对应的图像排序（ ）
（1） （2） （3） （4）
（a）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）
（b）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A地的距离与时间的关
系）
A．（3）（4）（1）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（4）（3）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）
知识点二、根据二次函数定义求参数
5．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是二次函数，则（ ）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
6．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
7．如果函数 是二次函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． ＝﹣2 D． 为全体实数
8．若y=（m＋1） 是二次函数，则m= （ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
知识点三、列二次函数解析式
9．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（ ）
①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b与这个人的年龄a之
间的关系为b＝0.8（220－a）；
②圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为V＝ πr2h（h为定值）；
③物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为h＝ gt2（g为定值）；
④导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流I之间的关
系为Q＝RI2（R为定值）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．用一根长 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积 与它的一边长 之间
的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
11．二次函数 的图像与 的图像形状相同,开口方向相反,且经过点 ,则
该二次函数的解析式为( )
A． B． C． D．
12．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售
为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（
）A． B．
C． D．
二、填空题
知识点一、二次函数的判断
13．二次函数 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___
14．下列各式：
；其
中 是 的二次函数的有________（只填序号）
15．下列函数中属于一次函数的是_____，属于反比例函数的是______，属于二次函数的是
______
A．y＝x(x＋1) B．xy＝1 C．y＝2x2－2(x＋1)2 D．
16．二次函数y＝3x2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．
知识点二、根据二次函数定义求参数
17．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足__．
18．若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数，则m满足_____．
19．函数 是关于x的二次函数，则m=___
20．若函数 是二次函数，则 ________．
知识点三、列二次函数解析式
21．矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边长 之间的函数关系式
为____.
22．在△ABC中，已知BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1，则三角形的面积
y与x之间的关系为__________．
23．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是______．
24．用一根长为10m的木条，做一个长方形的窗框，若长为xm，则该窗户的面积y
（m2）与x（m）之间的函数表达式为_____．三、解答题
25．已知函数y=-(m+2) (m为常数),求当m为何值时:
(1)y是x的一次函数?
(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.
26．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩
形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化
带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2 ， 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围．
27．如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去
x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)上述函数是什么函数?
(3)自变量x的取值范围是什么?28．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售 件，每件赢利 元．为了扩大销售，增加
赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降
价 元，商场每天可多售出 件．
如果每件衬衫降价 元，商场每天赢利多少元？
如果商场每天要赢利 元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？
用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？参考答案
1．A
【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到
答案．
解： 是一次函数，故选项①不符合题意；
是反比例函数，故选项②符合题意；
是二次函数，故选项③不符合题意；
是二次函数，故选项④不符合题意；
∴ 是 的反比例函数的个数有：1个
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反
比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．
2．B
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
解：A、y＝﹣4x+5是一次函数，故选项A不合题意；
B、y＝x（2x﹣3）是二次函数，故选项B符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项C不合题意；
D、 不是二次函数，故选项D不合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
3．C
【分析】设y＝kx，y＝kx2，根据y＝y﹣y 得到y＝kx﹣k x2，由此得到答案．
1 1 2 2 1 2 1 2
解：设y＝kx，y＝kx2，
1 1 2 2
则y＝kx﹣k x2，
1 2
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．【点拨】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据每个类别的数量关系，判断函数图像的变化规律，选择正确结论．
解：根据题意分析可得：
（a）面积为定值的矩形，其相邻两边长的关系为反比例关系，对应图像为（3）；
（b）运动员推出去的铅球，铅球的高度随时间先增大再减小，对应图像为（4）；
（c）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物，弹簧长度随所挂重物质量增大而增大；对应图像为
（1）；
（d）某人从A地到B地后，停留一段时间，然后按原速返回，对应图像为（2）．
故选：A．
【点拨】本题考查了函数图像，主要利用了反比例函数图像，抛物线，一次函数图像，分
析得到各小题中的函数关系是解题的关键．
5．A
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数的定义得到 ，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案
解：由题意 ，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有 =100种，
故选：B
【点拨】此题考查二次函数的定义 ，有理数的乘法运算，根据题意得
到a、b、c的选法是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次函数定义可得m-2≠0， ，再解即可．解：由题意得：m-2≠0， ，
解得：m=-2，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，
a≠0）的函数，叫做二次函数．
8．B
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
解：由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故选：B．
【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．
9．C
解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得
②③④是二次函数，故选C．
10．C
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的
面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，
矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x（0
＜x＜30）．
故选：C．
【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边
长的关系是解题的关键．
11．D
【分析】根据二次函数y=ax2+c的图像与y=2x2的图像形状相同,开口方向相反,得到a=−2,然
后把点(1,1)代入y=−2x2+c求出对应的c的值，从而可得到抛物线解析式.
解：∵二次函数y=ax2+c的图像与y=2x2的图像形状相同，开口方向相反，
∴a=−2，
∴二次函数是y=−2x2+c，∵二次函数y=ax2+c经过点(1,1)，
∴1=−2+c，
∴c=3，
∴抛该二次函数的解析式为y=−2x2+3；
故选：D.
【点拨】此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解.
12．B
【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．
解：每件的利润为（x-21），
∴y=（x-21）（350-10x）
=-10x2+560x-7350．
故选B．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等
量关系，注意先求出每件商品的利润．
13． -2x , 1
【解析】
【分析】函数化简为一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2
叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常
数项．
解：∵y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c
是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
∴ 中，二次项系数为 ，一次项是-2x，常数项是1.
故答案是： ; -2x;1.
【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且
a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次
项系数，一次项系数，常数项．
14．②⑤⑥
【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．故答案是：②，⑤，⑥．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，
x是未知数）．
15．C B A
解：根据题意可知y=x（x+1）=x2+x，可由二次函数的定义，可知是二次函数；根据xy=1
是反比例关系，所以是反比例函数；而y＝2x2－2(x＋1)2= y＝2x2－2(x2+2x+1)=-4x-2，是一
次函数；函数 是带二次根号的函数.
故答案为C、B、A.
16．3 0
【解析】
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
解：二次函数y＝3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．
故答案是：3；0．
【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，
所以一次项系数看做是0．
17．k≠2
【分析】利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可．
解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
18．m≠﹣1
【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可；
解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键；
19．2
【分析】根据二次函数的定义可得 ，求解即可．解：∵函数 是关于x的二次函数，
∴ ，解得 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的定义，注意二次项系数不能为0．
20．4
【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
解：由题意得： ，且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最
高次项系数不为0．
21．
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【点拨】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式．
22．y=x2+ x
【解析】
【分析】根据已知得出三角形的高，进而利用三角形面积公式求出即可．
解：∵BC边长为x(x>0)，BC边上的高比它的2倍多1，
∴这条边上的高为：2x+1，
根据题意得出：y= x（2x+1）=x2+ x．
故答案为：y=x2+ x．
【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据三角形面积公式得出是解
题关键．23．y=x2+4x
【分析】增加的面积 新正方形的面积 原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
解：新正方形的边长为 ，原正方形的边长为2．
新正方形的面积为 ，原正方形的面积为4，
，
故答案为 ．
【点拨】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．
24．y＝﹣x2+5x
【解析】
【分析】直接利用根据实际问题列二次函数解析式关系式，正确表示出长方形的宽是解题
关键．
解：设长为xm，则宽为（5﹣x）m，根据题意可得：
y＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x．
故答案是：y＝﹣x2+5x．
【点拨】考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出长方形的宽是解题关键．
25．(1) m=± ;(2) m=2, 纵坐标为-8的点的坐标是(± ,-8).
【分析】（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，
从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的
坐标.
解：(1)由y=-(m+2) (m为常数),y是x的一次函数,得 解得m=± ,当m=±
时,y是x的一次函数.
(2)由y=-(m+2) (m为常数),y是x的二次函数,得 解得m=2,m=-2(不符合题意
的要舍去),当m=2时,y是x的二次函数,当y=-8时,-8=-4x2,解得x=± ,故纵坐标为-8的点的坐标是(± ,-8).
【点拨】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次
函数的定义．
26．y=﹣ x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．
解：试题分析：由矩形的性质结合BC的长度可得出AB的长度，再根据矩形的面积公式即
可找出y与x之间的函数关系式.
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，BC=x
∴AB= ．
根据题意得： ，因为墙长25米，所以 ．
27．(1) y＝x2－9x＋20；(2) 二次函数;(3) 0＜x＜4.
解：试题分析：（1）根据长方形的面积公式，根据图示求解即可得到函数关系式；
（2）通过二次函数的定义可判断；
（3）根据x取值不能大于原方程的长方形的宽进行分析.
试题解析：(1)根据长方形的面积公式，得y＝(5－x)·(4－x)＝x2－9x＋20，所以y与x的函
数关系式为y＝x2－9x＋20．
(2)上述函数是二次函数．
(3)自变量x的取值范围是0＜x＜4．
点拨：此题主要考查了根据题意列函数的解析式，熟悉掌握根据题意列函数关系式是解决
此题的关键.
28．（1）如果每件衬衫降价 元，商场每天赢利 元； 每件衬衫应降价 元．
每件衬衫降价 元时，商场平均每天盈利最多．
【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意
可得利润表达式，（1）把x＝5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w＝1200时x的
值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
解：（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w＝（40−x）（20＋2x）＝−2x2＋60x＋800＝−2（x−15）2＋1250当x＝5时，w＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元）
答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；；
当 时， ，
解之得 ， ．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价 元．
答：每件衬衫应降价 元．
商场每天盈利 ．
所以当每件衬衫应降价 元时，商场盈利最多，共 元．
答：每件衬衫降价 元时，商场平均每天盈利最多．
【点拨】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是
此题的关键．
