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第 12 讲 多边形和圆的初步认识（4 个知识点+6 种题型+过关检测）
知识点1．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形
都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者
悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边
形．
知识点2．多边形的对角线
1
学科网（北京）股份有限公司（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边
形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，
故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
知识点3．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点
O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
⊙
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的
两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点4．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
π
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
2
学科网（北京）股份有限公司③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
题型一、平面图形形状的识别
1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任
一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用
“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形 去掉 后，剩下的新图形是 边形．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应的数值，探究计
数的方法并解答下面的问题．
3
学科网（北京）股份有限公司图形 ① ② ③ ④
顶点数V 7
边数E 9
区域数F 3
(1)数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，将结果填入上表；
(2)根据表格，猜想平面图形的顶点数、边数和区域数之间的关系；
(3)如果一个平面图形有 个顶点和 个区域，那么这个平面图形有几条边？
题型二、多边形的概念与分类
4．（24-25七年级上·全国·课后作业）连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 ．
5．（22-23·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（ ）
①等腰三角形是正多边形；
②等边三角形是正多边形；
③长方形是正多边形；
④正方形是正多边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，你能数出多少个不同的四边形？
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学科网（北京）股份有限公司题型三、平面镶嵌
7．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，有两块形状大小完全相同的三角板，把它们相等的边靠在一起，可以拼
出许多图形，其中形状不同的四边形的种数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（22-23七年级上·河南南阳·期末）若一个正多边形的每个外角都等于 ，则用这种多边形能铺满地面吗？写出
一种铺满地面的方法 ．
9．（22-23七年级·山西吕梁·阶段练习）下面是小明设计的由大小相同的正六边形、正方形、正三角形三种地砖铺满
小路地面的图案，请观察图案，根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第6个图案中有正六边形 个，正方形 个，正三角形 个．
(2)若铺设这条小路用去n块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为 ，正三角形地砖的数量为 ．（用含n的代数式表
示）
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学科网（北京）股份有限公司(3)若这条小路计划铺2021块正方形地砖，问该小路需要铺正六边形地砖和正三角形地砖各多少块？
题型四、圆的基本概念辨析
10．（2022七年级·全国·专题练习）我们熟悉的平面图形中的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形、圆等，它
们是由若干条 的线段首尾顺次相连组成的 图形．
11．（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
12．（21-22七年级上·全国·单元测试）学过圆之后，我们知道了圆有很多的优点，比如在相等周长的情况下，圆形的
物体面积最大．其实自然界的很多植物都很好地利用了这种优点，比如树干都是圆柱形的，说说你的理由？
题型五、圆的周长和面积问题
13．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）在一个半径为 的大圆上，挖去9个半径为 的小圆，当 ，
时，剩余部分的面积为 （结果保留 ．
6
学科网（北京）股份有限公司14．（22-23七年级上·山东临沂·开学考试）周长是 的圆，面积是（ ）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
15．（22-23七年级·陕西榆林·阶段练习）将一根底面半径是5厘米的圆柱体木料锯成三段（每段都是圆柱体），其表
面积增加了多少平方厘米？（ 取3.14）
题型六、圆心角概念辨析
16．（22-23七年级上·四川达州·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．顶点在圆心的角叫做圆心角
B． 等于
C．各边相等的多边形叫做正多边形
D．在数轴上，与表示 的点的距离为3的数有2和 ．
17．（20-21七年级上·河南郑州·期末）若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ．
18．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
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学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．已知 是 的弦， 的半径为r，下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，用对角线长为4的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．
则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
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学科网（北京）股份有限公司5．在学校“文明学生”表彰会上，6名获奖者每两位都相互握手祝贺，则他们一共握了多少次手（ ）
A．6 B．8 C．13 D．15
6．用形状相同的多边形进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠地铺成一片，这就是一种密铺平面图形．下列图形中
不能进行密铺的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．等边三角形
7．小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖进行地面铺设，若在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，
则还需一个正（ ）边形瓷砖才能铺成平整无缝隙的地面．
A．十二 B．十三 C．十四 D．十五
8．下列说法正确的有（ ）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接 、 两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线
最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤ 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出
条对角线，这些对角线把这个 边形分成了 个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
9．如图，在 中， ， ，若以点 为圆心， 的长为半径的圆恰好经过 的中点 ，则
的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少
需要绳子（ ）cm．（π取3.14）
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学科网（北京）股份有限公司A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325
二、填空题
11．一个八边形的对角线共有 条．
12．一根绳子长 ，用这根绳子在操场上围出一块地，则所围地的最大面积是 ．
13．下图中，长方形有 个．
14．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是 ．
15．如图，四边形 去掉 后，剩下的新图形是 边形．
16．如图，直线DE将 ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则 ABC的周长为 ．
△ △
17．如图，CD是 的直径，A为 延长线上一点，点E在 上， ， 交 于点B，且 ，
则 的度数是 ．
18．小于半圆的弧（如图中的 ）叫做 ；
大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做 ．
【注意】
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学科网（北京）股份有限公司1）弧分为是优弧、劣弧、半圆．
2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论．
三、解答题
19．计算阴影部分的面积．
20． 中， ．求证： 三点在同一个圆上．
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学科网（北京）股份有限公司21．学科某校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环（即每两个班举行一场比赛）积分制，那么一共需要进行
多少场比赛？
22．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规，按下列要求作图：
（1）在射线 上作线段 ，使它们分别与线段a相等；
（2）在射线OD上作线段 ，使 与线段b相等；
（3）连接 ．
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．
23．如图，长方形 的长 厘米，宽 厘米．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ，一个半径为 的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；
(2)如图2，E，F 分别为 ， 上的点，且 ， ，一个半径为 厘米的圆在长方形外侧连续地
从 经过点 ， 滚动到点 ，求圆滚过的面积．（结果保留 ）
24．剪图与拼图．（本题要求画出裁剪线，并画出拼接成的图形的示意图）如图1，在边长为2的正方形纸片上，以
它的中心为圆心，以1为半径作半圆；再分别以 、 为圆心，以1为半径作 圆，剪去图1中阴影部分，得到图2．
(1)图3是图2的纸片，请你剪2刀，再将剪成部分拼成一个正方形：
(2)图4是两个图2的纸片，请你在每个图形上各剪1刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（要求画出两种拼法）．
25．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB为直径作半圆，C是圆弧上一点，（不与A、B重合），以
AC、BC为直径分别作半圆，围成两个月牙形1、2（阴影部分）．已知直径AC为4，直径BC为3，直径AB为5．
（1）分别求出三个半圆的面积（结果保留π）；
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学科网（北京）股份有限公司（2）请你猜测，这两个月牙形的面积与三角形ABC的面积之间有何等量关系，请写出你的猜想，并通过计算说明．
26．某中学原计划修一个半径为10米的圆形花坛，为使花坛修得更加美观，决定向全校征集方案，在众多方案中最
后选出两种方案：
方案A如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；
方案B如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两
个圆形花坛；（花坛指的是图中实线部分）
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学科网（北京）股份有限公司(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是 ．（保留π）
(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？（保留π）
(3)如果按照方案B修，学校要求在5天内完成，甲工人承包了此项工程，甲每天能完成工程的 ，他做了1天后，
发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的速度是甲的2倍，乙加入后，甲的速度也提高了 ，结果正好按时完成任务，
若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲，乙各得到多少钱？（π取3）
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学科网（北京）股份有限公司
