文档内容
特训01 丰富的图形世界（难点，压轴）
一、单选题
1．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
2．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要 个小立方块，最少要 个
小立方块，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，每个小立方体的棱长为1，按如图所示的视线方向看，图1中共有1个1立方体，其中1个
看得见，0个看不见；图2中共有8个立方体，其中7个看得见，1个看不见；图3中共有27个小立方体，
其中19个看得见，8个看不见；…，则第11个图形中，其中看得见的小立方体个数是（ ）
A．271 B．272 C．331 D．332
二、解答题
4．一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所
示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？
5．在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，
小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图
2）
1（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是___________；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影
表示出其余缺失部分，并标出边的长度．
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是________cm；请你在图方格中画出小刘的
模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形．
6．如图1所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为a，图2中几何体的表面积为b，那么a与b的大小关系是 ；
A．a＞b；B．a＜b；C．a＝b；D．无法判断．
（2）小明说“设图1中大正方体的棱长之和为m，图2中几何体的各棱长之和为n，那么n比m正好多出
大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图3是图2几何体的表面展开图吗？如有
错误，请予修正．
7．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
2面数（ ） 顶点数（ ） 棱数（ ）
图1
图2
图3
（2）猜想三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
8．如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个
无盖的长方体盒子．请回答下列问题：
（1）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为 ；
（2）如果设原来这张正方形纸片的边长为 ，所折成的无盖长方体盒子的高为 ，那么，这个无盖
长方体盒子的容积可以表示为 ；
（3）如果原正方形纸片的边长为 ，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取
时，计算折成 的无盖长方体盒子的容积得到下表，由此可
以判断，当剪去的小正方形边长为 时，折成的无盖长方体盒子的容积最大
剪去的小正方 形的边长
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
折成的无盖长
方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0
9．如图①是一张长为18 ，宽为12 的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为 的小正方
形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
3（1）折成的无盖长方体盒子的容积 ；（用含 的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当 取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
1 2 3 4 5
160 ________ 216 ________ 80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出 的值；如果不是正方
形，请说明理由．
10．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系
式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:
多面体 项点数(V) 面数(F) 棱数(F)
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个
顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
11．如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边长为 ，高为 的小长方体达成了
一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭的几何体恰好
可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方体时将其中一个几何体翻转，且假定组成每个几
何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
4（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
12．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图．
(1)当组成这个几何体的小正方体的个数为8个时，几何体有多种形状．请画出其中两种几何体的左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的最小值和最大值；
(3)主视图和俯视图为下面两图的几何体有若干个，请你画出其中一个几何体．
13．观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题.
（1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有___个面，共有___个顶点，共有____条棱.
（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为____棱柱.
（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有____个侧面，共有___个面，共有____个顶点，共有
_____条棱.
（4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式．
14．某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板
制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．
【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b
5（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．
【问题解决】
(1)若 ， ，则长方体纸盒的底面积为___________；
【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b
（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．
【拓展延伸】
(2)若 ， ，该长方体纸盒的体积为___________；
(3)现有两张边长a均为 的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，
若 ，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？
15．综合与实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是 ．
(3)如图3，有一张边长为50 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖
长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为6 的小正方形，这个纸盒的容积．
16．阅读材料，解决下面的问题：
柏拉图体
柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形．
正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正
八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体．
（注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边
形…）
(1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体．
6①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为
，若原正方体的棱长为 ，该正多面体的体积为______ ：
(2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何
体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方
体，他新搭几何体的表面积最小是______；
(3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小
华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______．
17．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．
(1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是（单选） ；
A． B． C． D．
(2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则
下列平面图形中，可能是该长方体表面展开图的有（多选） （填序号）；
(3)下图是题(2)中长方体的一种表面展开图，它的外围周长为52，事实上，题（2）中长方体的表面展开图
还有不少，请聪明的你写出该长方体表面展开图的最大外围周长为 ．
718．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀
展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所
学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，
你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是
880cm，求这个长方体纸盒的体积．
19．如图（1），一个正方体的三个面上分别写有1、2、3，与它们相对的三个面上依次写有6、5、4．这
个正方体的每一条棱处各嵌有一根金属条，每根金属条的质量数（单位：克）等于过该棱的两个面上所写
数的平均数．
(1)这个正方体各棱上所嵌金属条的质量总和为多少克？
(2)沿这个正方体的某些棱（连同嵌条）剪开，得到图（2）所示的展开图，其周边棱上金属条质量之和的
最小值为多少克？在图（2）中把这个正方体的六个面上原有的数字写出来（注：写字的这一面是原正方
体的外表面）．
20．综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，他们利用长为 ，宽
为 长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子， 请你动手操作验证并完成任务．(纸板厚度及接缝
处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若 ，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，再沿虚线
折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若 ，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体
纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，折痕用虚线表
示；
（3）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ；若 ，求有盖正方体纸盒的表面积．
821．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀
展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所
学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，
你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在图上补 全．（请在备用图中画出所
有可能）
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的4倍．现在已知这个长方体纸盒的底面
是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是720cm，求这个长方体纸盒的体积．
22．某种产品形状是长方形，长为8cm，它的展开图如图：
（1）求长方体的体积；
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装10件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可
能少（纸箱的表面积尽可能小）
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