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第三章 位置与坐标（复习讲义）
1. 了解有序数对、坐标、平面直角坐标系等概念的意义，体会平面直角坐标系与图形在坐标系中平移相
关知识之间的整体联系。
2. 能用坐标表示平面内点的位置，能根据坐标确定点的位置，能描述点在坐标平面内的平移过程。
3. 理解并利用关于坐标轴对称的点的坐标关系、平行于坐标轴的直线的表示、象限角平分线的特点等解
决问题，能运用坐标方法解决简单的实际问题。
【知识点01】平面直角坐标系
1.有序数对
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对.
2.坐标
数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做
这个点在数轴上的坐标.
3.平面直角坐标系
①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；
③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在 x轴上，又在y轴
上).
4.点的坐标
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应
y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗
号.
5.坐标平面图
坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴
上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之
外，其他区域之间都没有公共点.
6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过
来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也
就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
7.象限
平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限
(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）.
注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.
ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标
也相应发生改变.
8.坐标平面内点的位置特点
①坐标原点的坐标为（0，0）；
②第一象限内的点，x、y同号，均为正；
③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正；
④第三象限内的点，x、y同号，均为负；
⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负；
⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线）
⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）
9.点到坐标轴的距离
坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x
轴）的距离.
注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，
可能有多个解的情况，应注意不要丢解.
②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d =
10.坐标平面内对称点坐标的特点
①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；
②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反；
③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.
11.平行于坐标轴的直线的表示
①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为
纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差
的绝对值；②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为
横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差
的绝对值.
12.象限角平分线的特点
①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）
②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)
【知识点02】图形在坐标系中的平移
1.点的平移
在平面直角坐标系中，
将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；
将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；“左减右加”
将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）.“下减上加”
2.图形的平移
在平面直角坐标系内如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新图形就是把原
图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数 a，相应的新
图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.
3.关于坐标轴对称的点的坐标关系
4.坐标方法的简单应用
①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积
将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形
面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；
②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积
将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如
矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.
题型一 定位法的应用
【例1】根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．万达影城1号厅2排 B．东经 ，北纬
C．马尾一中南偏东 D．马尾沿山路
【变式1-1】如图，用方向和距离描述小明家相对学校的位置，下列选项正确的是（ ）A．东偏北 ， B．东北方向， C．北偏东 ， D．北偏东 ，
【变式1-2】 型电子侦察船是我国海上防御力量重要的组成部分，它能捕捉从短波到超高频的各种无
线电频谱，能监视水下潜艇的动向，还能监视空中低轨道过顶卫星的动向，其监测范围达到一千公里．如
图，雷达显示周围海域舰艇 ， 的位置表示为 ，按照此方法在表示舰艇
的位置时，表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人
民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表 ，每个小正方形的对角线长为 ），规定
正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是 和 ．李
明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
李明：景点C的坐标是 ；
张华：景点C在景点D的北偏东 方向，相距 处．A．只有李明说得对 B．只有张华说得对
C．两人说得都对 D．两人说得都不对
题型二 判断点所在的象限
【例2】在平面直角坐标系中，点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-1】若 ， ，则点 应在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-2】在平面直角坐标系中，点 一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-3】在平面直角坐标系中，若点 在第四象限,则点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三 已知点所在的象限求参数
【例3】若点 在y轴上，则 ．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，点 在x轴上，则m的值为 ．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，第四象限内的点 到 轴的距离等于 ，那么 的值为
．
【变式3-3】在平面直角坐标系中，第三象限点 ，且 到 轴的距离为 ，则点 的坐标是
．题型四 求点到坐标轴的距离
【例4】点 ，则点 到 轴的距离为 ．
【变式4-1】在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为 ．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，点 到坐标原点的距离为 ．
【变式4-3】已知平面直角坐标系内不同的两点 和 到 轴的距离相等，则 的值为
．
题型五 根据已知点的坐标在平面直角坐标系中作图
【例5】如图，已知水果店的坐标为 ，博物馆的坐标为 ．
(1)请你根据题目条件，建立适当的平面直角坐标系；
(2)写出体育场的坐标．
【变式5-1】下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）
上，少年宫的坐标是 ，商店的坐标为 ．
(1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系．
(2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上．【变式5-2】下图所示的是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是 ，广场的坐标是
．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系．
(2)分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
【变式5-3】如图，已知火车站的坐标为 ，文化宫的坐标为 ．
(1)请根据题目条件画出平面直角坐标系；
(2)写出体育场、市场、超市的坐标；
(3)若宾馆的坐标为 ，请在图上标出宾馆所在位置．
题型六 点在平面直角坐标系中的平移
【例6】将点 向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m的值是 ．
【变式6-1】在平面直角坐标系中，将点 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到
点B，则点B的坐标是 ．
【变式6-2】在平面直角坐标系中，把点 向下平移5个单位得到点 ，则代数式
的值为 ．【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，将正方形 平移得到正方形 ，若 ，
， ，则点 的坐标为 ．
题型七 平面直角坐标系中的平移作图
【例7】在直角坐标系中， 的位置如图所示．
(1)请画出 关于x轴对称的 ；
(2)写出点的坐标 （ ， ）， （ ， ）
【变式7-1】已知，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．(1)将 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位到 ，请画出 ；
(2)将 沿 轴向下翻折得到关于 轴对称的 ，请画出 ；
(3)求出 的面积．
【变式7-2】 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出 关于y轴对称的 并写出 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上画出点P，使 最小（不写作法）．
【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，(4,1)．
(1)若 各顶点的横、纵坐标都乘 ，得到 （点A，B，C的对应点分别为点 、 、 ）
①画出变换后的 ；
②点 关于x轴的对称点 的坐标为______；点 A与点 关于______对称；
(2)将 平移得到 （点A，B，C的对应点分别为 ， ， ），小博写出平移后三个顶点的
坐标A (−3,1)，B (−1,3)， ，有一个顶点的坐标是不正确的，则该点为点______，正确的坐标
1 1应该是______．
题型八 平面直角坐标系的性质求解
【例8】已知点 在平面直角坐标系中．
(1)若点 在第三象限且到两坐标轴的距离相等，求 点坐标；
(2)若点 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求 点坐标．
【变式8-1】在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ．
(1)若点 在 轴上时，求点 的坐标；
(2)若点 的横坐标比纵坐标大2，则点 在第几象限？
(3)若点 在过点 且与 轴平行的直线上时，求点 的坐标．
【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ．
(2)若点 ，且 轴，则点A的坐标为 ．
(3)若点A到x轴的距离为2，求a的值；
【变式8-3】已知点 ，解答下列各题．
(1)若点P在x轴上，求点P的坐标；
(2)若点Q的坐标为 ，直线 轴，求点P的坐标；
(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求 的立方根．
题型九 在平面直角坐标系中求图形的面积
【例9】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， ， ，且 ．
(1)求a，b的值；
(2)点C在x轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的2倍，求点C的坐标．
【变式9-1】如图，在下面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，其中 满足关系式．
(1)求a，b，c的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点 ，使四边形 的面积与 的面积相等？若存在，求出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】如图1，在平面直角坐标系中，已知 ， ，其中 ， 满足 ．
(1)填空： _________， __________；
(2)若在第四象限内有一点 ，请用含 的式子表示 的面积；
(3)在（2）条件下，线段 与 轴相交于 ，当 时，点 是 轴上的一动点，当满足 的面
积是 的面积的2倍时，求点 的坐标．
【变式9-3】如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知 ， ，且a，b满足关系式：
，其中 ，连接 ， ．(1)填空： _______， _______，三角形 的面积是_______；
(2)点C是x轴上一点，连接 ，延长 与x轴相交于点D．
①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形 的面积与三角形 的面积相等时，求点C的坐标；
②若三角形 的面积等于三角形 面积的一半，三角形 的面积等于 ，求点B，C，D的坐标．
基础巩固通关测
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点 在y轴上，则 的值为
A．1 B． C．2 D．
3．点 关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，七颗棋子只有“兵”是红方的，“马”所在的位置的坐标为 ，“象”所在位置的坐标为
，若“兵”再往前走一步，则“兵”所在位置的坐标为（ ）A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换成 ， ， ；第二
次将 变换成 ， ， ，第三次将 变换成 ，…，则 的横坐标
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．若点 和点 关于 轴对称，则点 在第 象限．
7．如图，小悦一家要到山西革命圣地八路军总部旧址参观，则小悦家在八路军总部旧址的 方向
处．
8．点P在第四象限，P到x轴的距离为7，P到y轴的距离为4，则点P的坐标为 ．
9．如图，把两个一样大小的小长方形沿“水平一竖直”排列在平面直角坐标系的第二象限，已知小长方
形周长为8，则点 的坐标是 ．10．已知点 ，在 轴上存在一点 ，使 的面积为6，则点 的坐标为 ．
三、解答题
11．如图是县城部分标志性建筑，如果分别用有序数对 和 表示宝福院塔和桂花屋．
(1)请画出平面直角坐标系，此时以___________为坐标原点（填建筑物名称）；
(2)请用有序数对表示：兴隆大桥（ ， ），博物馆（ ， ）；
(3)假设一个单位表示 ，王庆从兴隆大桥以 每分钟的速度骑自行车去长征公园，需要多少分钟．
12．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴对称的 （其中点 ， ， 分别是点A、B、C的对称点），并写
出点 ， 的坐标；(2)在x轴上求作一点P，使得 的值最小，并求出 的最小值．（保留作图痕迹）
13．已知点 ，分别根据下列条件求出点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P到两坐标轴的距离相等；
(4)点P与点 的连线平行于x轴．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，且 ， ．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)将线段 平移得到线段 ，点A的对应点是点C，求三角形 的面积；
(3)在（2）的条件下，过点D作 轴于点E，请问在射线 上，是否存在点P，使得三角形 的
面积等于三角形 面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
能力提升进阶练
一、单选题
1．已知点 ，点 关于y轴对称，则 的值（ ）
A． B． C．1 D．3
2．在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点分别是 ，将线段 平移后得到线段
．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．3．已知点 及第一象限的动点 ，且 ，设 的面积为 ，当 时，则点P的
坐标为( )
A． B． C． 或 D．
4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若
为“完美点”，a的值为（ ）
A．0 B．2 C． 或2 D．0或2
5．如图，平面直角坐标系 内，动点 按图中箭头所示方向依次运动，第 次从点 运动到点 ，
第二次运动到点 ，第 次运动到点 ， 按这样的运动规律，动点 第 次运动到的点的坐
标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知点 ，则：点P关于x轴对称的点的坐标为 ；点P关于y轴对称的点的坐标为
．
7．如图所示的是一所学校的平面示意图.若用 表示教学楼， 表示校门，则实验楼的位置可表示
成 .8．已知点 在第二象限，点 到 轴的距离是点 到 轴的距离的3倍，则点 的坐标为
．
9．已知点 的坐标为 ，若点 在 轴上，则点 的坐标为 ；若点 到两坐标轴的距离相
等，则点 的坐标是 ．
10．在平面直角坐标系 中，对于点 我们把 叫做点P的伴随点，已知 的伴随点
为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，这样依次得到 ，若点 的坐标为 ，则
点 的坐标为 ．
三、解答题
11．已知点 ，分别根据下列条件求出点 的坐标．
(1)点 在 轴上；
(2)点 在 轴上；
(3)点 的坐标为 ，直线 轴．
12．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是(1)在图中作出 ，关于y轴对称的 ．
(2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）．
(3)如果要使以 为顶点的三角形与 全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标．
13．在平面直角坐标系中，点 ， ， 、 满足关系式 ．
(1) ______， ______；
(2)平面直角坐标系中有一点 ．
若直线 与 轴平行，求此时三角形 的面积；
记三角形 的面积为 ，三角形 的面积为 ，当 时，求 的值．
14．综合与实践
在平面直角坐标系 中，对于点 ，若点 的坐标为 ，则称点 是点 的“ 阶派生
点”（其中 为常数，且 ）．例如：点 的“2阶派生点”为点 ，即点 ．
(1)若点 的坐标为 ，则它的“3阶派生点”的坐标为______；
(2)若点 的“5阶派生点”的坐标为 ，求点 的坐标；
(3)若点 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ．点 的“4阶派生
点” 位于坐标轴上，求点 的坐标．
15．如图， 在x轴上，将线段 平移，得到线段 （点D与点A对应）．其中， ，， ， ， ，四边形 的面积是 ．
(1)求点D的坐标；
(2)连接 与y轴交于点E，若 ，求m的值；
(3)点P从O点出发，以每秒1个单位的速度沿 方向运动，同时点Q从B点出发，以每秒2个单位的速
度沿 方向运动，当点P到达点D后停止运动，若射线 交y轴于点F，设运动时间为 ，
，求 （可以用m表示）．
