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第一次月考测试卷
时间：100分钟 满分：120分 范围：前两章
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列二次根式的运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减运算可判断A，B，根据二次根式的乘除运算法则可判断C，D，从而可得答案．
【详解】
解： 不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”
是解本题的关键．
2．(本题3分)函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ，
故选C．
【点睛】
本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
3．(本题3分)如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近 的是（ ）
A．线段AB B．线段AC C．线段CD D．线段BC
【答案】A
【解析】
【分析】
估算出 的值，即可解答．
【详解】
解：∵4＜8＜9，
∴2＜ ＜3，
∵AB 2.8，BC=2，CD=3，
∴长度最接近 的是线段AB，
故选：A．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
4．(本题3分)下列各式中，与 的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
有理数分为整数和分数，根据二次根式的性质，找出有理化因式即可解题
【详解】
解：∵ ，1是有理数，则与 的积为有理数的实数为 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键．
5．(本题3分)在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意分 为直角边和斜边两种情况讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】
解： ， AB＝3，BC＝4，
① 为直角边时， ，
② 为斜边时， ，
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
6．(本题3分)当 时，可把 化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义结合分式的性质化简即可．【详解】
解：当 时， ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质以及分式的性质是解题的关键．
7．(本题3分)如图，在 中， ．将 绕点A逆时针旋转得到 ，
使点 落在AB边上，连接 ，则 的长为（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质并利用勾股定理进行求解即可；
【详解】
解：∵
∴ ，
由旋转的性质可知，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8．(本题3分)△ABC的三边长a，b，c满足 +（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．26
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明
ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
△【详解】
解：∵ +(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S ABC= =30．
△
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
9．(本题3分)如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从
顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】A
【解析】【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：如图，
AB= cm，
∴需要爬行的最短路径长为 cm，
故选：A．
【点睛】
此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，
求出最短的线段．
10．(本题3分)如图是由一串有公共点O的直角三角形演化而成的， ，那么
的长为（ ）
A． B．4 C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得OA，OA，OA，OA 的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得OA 的长．
2 3 4 5 8
【详解】
解：由图可得，…，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理、数字类规律探索，解答本题的关键是发现数字的变化特点，利用勾股定理与二次根式
的化简解答是关键．
二、填空题(共18分)
11．(本题3分)计算： × ﹣4× ＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法法则和减法法则进行计算即可．
【详解】
解： × ﹣4×
＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
12．(本题3分) 的立方根是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】
根据立方根的定义进行计算即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ 的立方根是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了立方根的定义，先算出 ，是解题的关键．
13．(本题3分)一名滑雪运动员沿着坡比为 的滑道下滑，已知该运动员滑行距离为1000米，则高
度下降了________米．
【答案】500
【解析】
【分析】
如图所示，△ABC中，AB：BC=1： ，∠B=90°，AC=1000，只需要利用勾股定理求出AB的长即可．
【详解】
解：如图所示，△ABC中，AB：BC=1： ，∠B=90°，AC=1000，
∵ ，∴ ，
∴AB=500，
∴高度下降了500米，
故答案为：500．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
14．(本题3分)如图，直角三角形三边上的半圆面积之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出三边之间的关系，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，即可得出答案．
【详解】
解：如图，
由勾股定理得： ，
，，
同理 ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
15．(本题3分)实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是________．
【答案】 ##2b-2a
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出a<0，a−b<0，b>0再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减
即可得．
【详解】
解：由题意得：a<0，a−b<0，b>0
则
=−a+(b−a)+b
=−a+b−a+b
=−2a+2b．
故答案为：−2a+2b．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出a<0，a−b<0，
b>0是解题关键．
16．(本题3分)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直
线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形
ABC'D'，最后折叠形成一条线段 ．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，
（1）此时CD为_________ cm；（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2 ．
【答案】 16
【解析】
【分析】
（1）根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理计算出DC的长即可；
（2）根据题意作出示意图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，由勾股定理求得AC'，设D'M=x，通过勾
股定理列出方程，求得x，进而求结果．
【详解】
解：（1）∵AB=4cm，BC=8cm，
设DC=y，则C″D″=y，
由图形可得：BC″=BC=8cm，则AC″=8-4=4，AD=AD″=4+y，
又AC2+DC2=AD2，即（12）2+y2=（4+y）2，
解得：y=16，
∴CD=16cm，
故答案为：16；
（2）根据题意作出示意图如下，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，
∵∠ABC'=90°，
∴AC= ，
由（1）知，AD'=AD=20，C'D'=CD=16，
设C'M=x，则
202−（16+x）2＝AM2＝( )2−x2，
解得，x=2，
∴AM= ，
∴=
=
故答案为． ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程．
三、解答题(共72分)
17．(本题6分)计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由二次根式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案；
（2）由负整数指数幂、零指数幂、绝对值、分母有理化，二次根式的加减运算进行化简，即可求出答案．
(1)解：原式 ；
(2)
解：原式
；
【点睛】
本题考查了二次根式的加减乘除运算，负整数指数幂、零指数幂、绝对值、分母有理化，解题的关键是正
确的进行化简，从而进行进行计算．
18．(本题6分)已知x＝ ＋1，y＝ ﹣1，求：
(1)代数式xy的值；
(2)代数式x3y＋x2的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接代入平方差公式计算即可；
（2）先计算出x2和xy，然后将原式整理成 代入计算即可；
(1)
解：∵ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合计算，代数式求值，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
19．(本题8分)如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以20 千米/时的速度向
北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．
(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】(1)A市会受台风影响，理由见解析
(2)5
【解析】
【分析】
（1）是否会受到影响，需要求得点A到台风所走路线的最短距离，根据垂线段最短，即作AD⊥BF于D，
再根据直角三角形的性质进行计算比较；
（2）需要计算出受影响的总路程，再根据时间=路程÷速度进行计算．
(1)
会．理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BF于D，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°-60°=30°，AB＝300千米，
∴ (千米)，
又∵AD＝150千米＜200千米，
∴A市会受台风影响；
(2)
设C点刚好受台风影响，E点刚好不受台风影响，则AC＝AE＝200千米
在Rt△ADC中，由勾股定理得
(千米)，∴ 千米，
∴ A市受台风影响的时间为 ．
【点睛】
此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关
键．
20．(本题8分)如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是
的立方根，c是 的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值： ．
【答案】(1)-2，-3，
(2) ，
【解析】
【分析】
(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
(1)
由题意得： ， ， ，故答案是：-2，-3， ；
(2)
由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式= ．
当 ， 时
原式 ．
【点睛】
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．(本题10分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．
(1)求BC的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)判断△ABC的形状．
【答案】(1)15
(2)150
(3)△ABC是直角三角形
【解析】
【分析】
1 )根据勾股定理求出BC即可；
(2)根据勾股定理求出AD，根据AB＝AD+BD求出AB，再求出面积即可；
(3)根据勾股定理的逆定理判断即可．
(1)
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
由勾股定理得：BC＝ ；
(2)在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝ ，
∵BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∴△ABC的面积S＝ ；
(3)
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理
的内容是解此题的关键．
22．(本题10分)若一个含根号的式子 可以写成 的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正
整数），即 ，则称 为完美根式， 为 的完美平方根．
例如：因为 ，所以 是 的完美平方根．
(1)已知 是 的完美平方根，求 的值；
(2)若 是 的完美平方根，用含 ， ， 的式子分别表示 ， ；
(3)已知 是完美根式，请写出它的一个完美平方根．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据定义，得到 ，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值；（2）根据定义，得到 ，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算即可．
（3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算．
(1)
∵ 是 的完美平方根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ 是 的完美平方根，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
(3)
解：∵ 是完美根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵m，n都是整数，
∴ ， ，
∴ 的完美平方根是 或 ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题的关键．
23．(本题12分)如图1，点C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，
EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请在图2中画出C点位置，使AC+CE的值最小，并求出这个最小值；
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)图见解析， 的值最小值是10
(3) 的值最小值是13，图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意表示出用含x的代数式表示AC+CE的长即可；
（2）当A，C，E三点在一条直线上时， 的值最小，在根据勾股定理即可求出 的长；
（3）根据（1）的思路，通过代数式构造几何图形，再由（2）的思路求解即可；
(1)
解：
(2)
如图，
当A，C，E三点在一条直线上时， 的值最小．
过点E做BD的平行线交AB的延长线于点F，则BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=5+1=6根据勾股定理得
所以 的值最小值是10．
(3)
如图，如点C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D做AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已当
AB=3，DE=2，BD=12，CD= 时，用含 的代数式表示 的长为
由（2）可知当A，C，E三点在一条直线上时， 的最小值就是线段AE的长．
过点E做AB的平行线交AB的延长线于点F，则BF=DE=2，EF=BD=12，
AF=AB+BF=3+2=5
根据勾股定理得
所以 的值最小值是13.【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,根据题意判断出最值时的情况并正确计算是解题的关键．
24．(本题12分)阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式： ，化简证得勾股定理： ．
(1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
(2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积
为 ；
(3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为
24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
(4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正
方形MNKT的面积分别为S，S，S，若S+S+S＝40，则S＝ ．
1 2 3 1 2 3 2
(5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼
出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此
等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．
【答案】(1)5：9
(2)28
(3)24
(4)
(5) ，见解析【解析】
【分析】
（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用
x，y表示出S，S，S，得出答案即可；
1 2 3
（5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
(1)
∵ ，b＝2a，
∴c＝ a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝( a)2：(3a)2＝5：9，
故答案为：5：9；
(2)
根据题意可求 ，
∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积，
∴空白部分的面积为=52-2× ×4×6＝28．
故答案为：28；
(3)
根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．
设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x．
在 中， ，即 ，
解得x＝1，
∴OA=4，
∴该风车状图案的面积= ；
(4)
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S，且S+S+S＝40，
1 2 3 1 2 3
∴S＝8y+x，S＝4y+x，S＝x，
1 2 3
∴S+S+S＝3x+12y＝40，
1 2 3
∴x+4y＝ ，
∴S＝x+4y＝ ．
2
故答案为： ；
(5)
结论： ．
由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得： ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．
