第一章　整式的乘除_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送_03教案_全册教案（第2套）

七年级数学·下 新课标[北师] 第一章 整式的乘除 1.了解正整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质,掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方 等有关幂的运算法则,掌握整式乘除法法则. 2.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算. 3.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题. 4.掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质. 5.会逆用幂的运算法则、乘法公式解决有关问题. 1.让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程,发展学生的符号感和应用意识,提高应用代数方法 解决问题的能力. 2.在解决综合题目的过程中,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理的思考及语言表 达能力. 1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生 的数学应用意识. 2.通过数学活动了解数学的价值,发展“用数学”的信心. 本章的内容是在已经学习了有理数的四则混合运算、幂的概念、用字母表示数、合并同类项、去括 号、整式的加减等内容的基础上进行的,是前面知识的延伸,本章具有承前启后的作用,是以后学习分式和根 式运算、方程以及函数等知识的基础.本章既是中学数学中数与式的重要组成部分,又是联系现实世界及其 他学科的重要工具. 为学习整式的乘除运算,需要首先学习同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方,以及同底数幂的除法运 算,即前3节的内容.教科书在这里的处理方法,总的来说是类比数的运算,从数的运算开始,通过观察和进一 步体会、运用幂的意义,最终得到以字母为底数的幂的运算法则.教科书还在得到这些运算法则的过程中, 通过创设情境问题、穿插应用问题等,使学生从不同角度体会引入这些运算的意义,同时避免单纯代数式运 算给学习带来的枯燥感. 本章还引入零指数幂和负整数指数幂的意义,并明确指出它们是规定的,教科书所设计的猜想过程,实际 上是用来体会规定的合理性.由于负整数指数幂的引入,这里偶尔会有分式形式出现,但它是作为同底数幂 除法的一个自然延续,并不是作为知识点出现,在八年级下册,我们有专门的章节研究分式的问题. 在探究整式乘法法则(包括乘法公式)的过程中,即第4~6节中,教科书特别注重借助几何图形理解法则, 同时进一步强调代数式运算在解决“具有一般性”的问题中的作用,进一步发展学生的符号意识. 本章“科学记数法”一课时,是用科学记数法表示小于1的正数,是七年级上册内容的延续.教科书在此 还安排了让学生体会“较小数”的活动,把数的表示和具体数的实际意义结合起来,进一步发展学生的数感. 本章第7节,整式的除法运算是由整式乘法的“逆运算”引入的.另外特别要注意的是,本章只涉及整式 除以单项式结果仍为整式的除法. 本章内容的设计注重代数推理与几何直观两个方面的结合,注重学生对算理的理解和运算能力的提高, 注重学生数感、符号意识的发展,希望为后续分式、方程、函数等内容的学习奠定坚实的基础.【重点】 1.熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行运算. 2.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题. 【难点】 1.整式乘法公式的灵活应用. 2.逆用幂的运算性质解决问题. 1.准确把握教学要求.为减轻学生负担,培养学生的创新精神和实践能力,新课标对于那些对后续学习意 义不大、学得很早但用得很晚,以及过繁过难的内容进行了删减或降低了要求.教学中要注意准确把握教学 要求,避免将删掉或降低难度的内容重新拣回.在内容减少、要求降低,但课时不变的情况下,组织课堂教学 要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主,留给学生足够的时间,让学生进行充分的 讨论与探究,发展学生的合作能力和创新精神. 2.合理配置问题.本章主要学习正整数指数幂运算性质与整式乘除的运算法则及乘法公式的应用.以运 算为主是本章的一个特点,因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行运算,提高运算能力的很好 的素材.教学时要让学生做一定量的习题,使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算, 而且能够理解运算的算理,合理安排运算顺序,寻找简捷的运算途径.但习题量要适当,难度要适中,题目要有 针对性,避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题,对公式、性质、法则等的应用,切忌死记硬背、生 搬硬套,真正提高学生的运算能力. 3.有关幂的运算法则,教学时要注意导出公式的过程,而不只是要求学生记住结论,导出性质的教学,是一 个由特殊到一般的认知过程.学生对于字母表示数的广泛意义已有初步认识,但对于用字母表示幂的指数还 是初次遇到,所以他们会感到抽象,不易理解.为此,教学时应从特殊到一般,从具体到抽象,有层次地进行概括 抽象,归纳推理.从数的运算过渡到字母,把幂的底数与指数分两步进行概括抽象,就能使学生容易理解. 4.在整式的乘除法教学中,一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性,鼓励学生运用乘 法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,及运用乘法分配律、同 底数幂的运算性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.教学中还要重视学生对算 理的理解,使学生体会重要的数学思想方法——转化思想,而不必要求学生背诵法则. 乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算,另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘 法公式也是本章的重点之一,教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征,掌握公式的实质,让学生 在欣赏数学结构美的同时,体会数学公式的优越性. 5.本章的教学中要留充分的时间让学生进行自主探索、观察、分析、交流、概括、抽象、归纳等数 学活动,充分认识活动在发展数学中的作用,在解决问题中能够获得成功的体验,无论这种成功是多还是少, 要给学生留出足够的思考时间和空间,以及与同伴交流的机会.本章内容的呈现突出了学生的自主探索过程, 有的是依据原有的知识基础,有的是运用乘法的各种运算律,有的是借助直观形象的图形面积,得到各种运算 的基本法则,所有这一切都要让学生自己进行体验、探索与认识,这也是本章教学的关键. 1 同底数幂的乘法 1课时 2 幂的乘方与积的乘方 2课时 3 同底数幂的除法 2课时 4 整式的乘法 3课时 5 平方差公式 2课时 6 完全平方公式 2课时 7 整式的除法 2课时 回顾与思考 1课时1 同底数幂的乘法 1.经历探索同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达 能力. 2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题. 1.在探索性质的过程中,让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程. 2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般”的思维方法. 1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品 质. 2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养 学生健全的个性. 【重点】 同底数幂的乘法法则及其灵活应用. 【难点】 理解同底数幂的乘法法则及运算性质. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P2~3. 导入一:北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的 能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 多少千克煤? [过渡语] 我们可以列出式子108×105,那么它到底等于多少呢?像这样的问题,就是我们要学习的同底 数幂的乘法.(揭示课题) [设计意图] 由生活实例的计算入手,直接引入本课的学习内容,可以增强学生在生活中学习数学的意 识. 导入二: 上学期我们学习了有理数的乘方,同学们回顾一下,什么样的运算叫做乘方?乘方的结果叫做什么?幂的 意义是什么?举例说明. ⏟a·a·…·a [设计意图] 通过此活动,让学生回忆幂与乘法之间的关系,即an= ,从而为下一步探 n个a 索同底数幂的乘法法则提供了依据,培养学生知识迁移的能力. 导入三: 太阳光照射到地球表面所需要的时间约是5×102 s,光在真空中的速度约是3×108 m/s,地球与太阳之间 的距离约是多少? [过渡语] 由路程=速度×时间,可知地球与太阳之间的距离是(5×102×3×108) m,这个乘积等于多少呢?如 何去计算? [设计意图] 选用生活中常识性的事例,更有利于激发学生的学习欲望,也可以帮助学生感知数学与生 活的密切联系. [过渡语] 两个底数相同的幂相乘,结果会是怎么样的呢?让我们一起探索同底数幂的乘法. 探究活动1 同底数幂的乘法法则 思路一 活动1:学生独立完成下列题目 (1)求n个相同因数积的运算叫做 ,乘方的结果叫做 ,n个a相乘写成乘方的形式为 ,其中a叫 ,n叫 ,an读作 . (2)x3表示 个 相乘,把x3写成乘法的形式为x3= . (3)x3,x5,x,x2的指数相同吗?它们的底数相同吗? [设计意图] 让学生回顾乘方的相关知识,为同底数幂的乘法的学习做铺垫. 活动2:探究a3×a2 (1)指导学生根据乘方的意义可得: 103×102=(10×10×10)×(10×10) =10×10×10×10×10 =105. [设计意图] 让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性,并通过有步骤、有依据的计算,为探索同底数 幂乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫. (2)学生完成填空. ①43×42= = = . ②a3×a2= = = . 【师生活动】 学生独立完成计算,小组成员互相检查,一位同学在黑板上板书,师生共同分析板书结果. 如果学生有困难,教师可以引导学生回顾问题(1)的解答过程,再进行计算.[设计意图] (2)中两个特殊的算式具有代表性和层次性,其中算式①底数和指数都是整数,算式②底数 为字母,指数为整数.这两个算式和(1)中的算式为抽象概括出一般的结论奠定基础,让学生在每个算式的计 算过程中进一步明确算理和算法,进而得出正确结果. 活动3:同底数幂的乘法法则 请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系. 103×102=103+2=105; 43×42=43+2=45; a3×a2=a3+2=a5. 猜想:对于任意底数a,am×an= (m,n都是正整数). (学生小组讨论,能说出结果即可,教师引导推导过程) ⏟(a·a·…·a) ⏟(a·a·…·a) am·an= · m个a n个a ⏟a·a·…·a = (m+n)个a =am+n. 结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. [设计意图] 让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征,并猜想出 其性质:am·an=am+n(m,n都是正整数).由此得到同底数幂乘法的性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 思路二 活动1:猜想结果 (1)102×103; (2)a2×a3; (3)10m×10n(m,n都是正整数). 同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么? [处理方式] 让同学们发表不同看法. 猜想1:(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n. 猜想2:(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn. [设计意图] 在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争论,激发了学生进一步探求 的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质. 活动2:验证猜想,获取正确的结论 [处理方式] 听取学生猜想后老师总结. 猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102×103就表示五个10相 乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2×a3就表示5个a相乘,结果为a5;10m表示m 个10相乘,10n表示n个10相乘,10m×10n就表示(m+n)个10相乘,结果为10m+n. 教师利用多媒体课件展示推理过程: 102×103=(10×10)×(10×10×10) =10×10×10×10×10 =105; a2×a3=(a×a)×(a×a×a) =a×a×a×a×a =a5; 10m×10n ⏟(10×10×…×10) ⏟(10×10×…×10) = × m个10 n个10 =10m+n. 活动3:推导同底数幂的乘法法则 根据上述计算可知(m,n都是正整数): (1)2m×2n= ;(1) m (1) n (2) × = ; 7 7 (3)(- 3)m×(- 3)n= ; (4)a4×a5= . 分析:以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个 算式,可把底数和指数都抽象成用字母去表示. 底数和指数都变成一般的字母时,即: ⏟(a·a·…·a) ⏟(a·a·…·a) am·an= · m个a n个a ⏟a·a·…·a = (m+n)个a =am+n. 结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 字母表示:am·an=am+n(m,n都是正整数). 提醒学生注意:等式左边是积的形式,右边的指数是和的形式. [设计意图] 探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,使学生初步理解“由特殊到一般”的 认知规律,体会数学思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神.学生通过相互之间的合作,归 纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力. [知识拓展] 三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p都是正整数) ⏟(a·a·…·a) ⏟(a·a·…·a) ⏟(a·a·…·a) am·an·ap= · · m个a n个a p个a ⏟a·a·…·a = (m+n+p)个a =am+n+p. 或(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p. [设计意图] 本环节主要是让学生通过自己的探究,使法则得到了完善、推广,解决了心中的疑惑,进一 步理解法则. 探究活动2 同底数幂乘法法则的应用 (教材例1)计算. (1)(- 3)7×(- 3)6; ( 1 ) 3 1 (2) × ; 111 111 (3)- x3·x5; (4)b2m·b2m+1. 【师生活动】 让4名学生板演,其余学生先独立完成,然后小组互相检查,核对过程与结果,教师巡视, 及时发现学生在解题过程中出现的问题,然后共同纠错.教师最后强调书写要规范,如:当底数为负数或分数 时一定要加括号,并且第(1)小题的结果也可以写为- 313,第(3)题的结果容易错写为(- x)8. 解:(1)(- 3)7×(- 3)6=(- 3)7+6=(- 3)13. ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 3+1 ( 1 ) 4 (2) × = = . 111 111 111 111 (3)- x3·x5=- x3+5=- x8. (4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.(教材例2)光在真空中的速度约为3×108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102 s.地球距离 太阳大约有多远? 【师生活动】 学生认真读题,充分思考分析,一名学生进行板演,其余学生先独立完成,然后同桌互相 检查,核对过程与结果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.学生完成后教师进行点评,强调结 果的书写要符合科学记数法. 解:3×108×5×102 =15×1010 =1.5×1011(m). 地球距离太阳大约有1.5×1011 m. [设计意图] 以教材中例题为落脚点,让学生学会应用所学知识解决问题,以达到巩固新知的目的.同时 让学生感受大数,发展数感,提高对问题的分析、解决能力,使自己在不知不觉中进步. 已知am=4,an=3,求下列各式的值. (1)am+n; (2)a3m+n. 〔解析〕 同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把am+n=am·an(m,n都是正整数)当成公式用. 解:(1)am+n=am·an=4×3=12. (2)a3m+n=am·am·am·an=4×4×4×3=192. [知识拓展] 同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为am·an=am+n,其中m,n均为 正整数,将公式倒过来就是am+n=am·an,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果. (1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加. (2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算. (3)公式中的m,n都是正整数. (4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数). 1.填空. (1)若am·a4=a20,则m= ; (2)若102·10m=102013,则m= . 解析:(1)由am·an=am+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由am·an=am+n可知m+2=2013,则m=2011. 答案:(1)16 (2)2011 2.计算. (1)y·y2·y3; (2)ym·ym+1; (3)ym- 1·ym+1·y; (4)- b2·(- b)2·(- b)3. 解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数 这个前提,注意确定积的符号. 解:(1)y·y2·y3=y1+2+3=y6. (2)ym·ym+1=ym+m+1=y2m+1. (3)ym- 1·ym+1·y=ym- 1+m+1+1=y2m+1. (4)- b2·(- b)2·(- b)3=- b2·(- b)5 =b2·b5=b7. 3.某种计算机每秒钟可以进行3×108次运算,那么这台计算机3×102秒可以进行多少次运算? 解:3×108×3×102=9×1010(次). 故3×102秒可以进行9×1010次运算. 4.若am=2,an=5,求am+n的值. 解析:注意同底数幂乘法法则的逆用. 解:am+n=am·an=2×5=10.1 同底数幂的乘法 探究活动1 同底数幂的乘法法则 探究活动2 同底数幂乘法法则的应用 例1 例2 例3 一、教材作业 【必做题】 教材第4页习题1.1知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第4页习题1.1问题解决第4,5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列计算正确的是 ( ) A.y3·y5=y15 B.y2+y3=y5 C.y2+y2=2y4 D.y3·y5=y8 2.下列各式中,结果为(a+b)3的是 ( ) A.a3+b3 B.(a+b)(a2+b2) C.(a+b)(a+b)2 D.a+b(a+b)2 3.下列各式中,不能用同底数幂的乘法法则化简的是 ( ) A.(a+b)(a+b)2 B.(a+b)(a- b)2 C.- (a- b)(b- a)2 D.(a+b)(a+b)3(a+b)2 4.下列计算中,错误的是 ( ) A.2y4+y4=2y8 B.(- 7)5·(- 7)3·74=712 C.(- a)2·a5·a3=a10 D.(a- b)3(b- a)2=(a- b)5 【能力提升】 5.计算. (1)- x5·x3·(- x)4; (2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4; (3)x3m- n·x2m- 3n·xn- m; (4)(- 2)×(- 2)2×(- 2)3×…×(- 2)100. 6.(1)已知ax=2,ay=3,求ax+y的值; (2)已知4·2a·2a+1=29,且2a+b=8,求ab的值. 【拓展探究】 7.1千克铀 释放的热量相当于2.7×106千克煤燃烧释放的热量.1吨铀 释放的热量相当于多少千克煤燃 235 235 烧释放的热量? 【答案与解析】 1.D(解析:由同底数幂相乘,底数不变,指数相加可知D正确.) 2.C(解析:将a+b看成一个整体作为底数,再利用法则可以得出.) 3.B(解析:选项A和D中底数都是a+b,可以利用法则,C中a- b和b- a互为相反数,可以化为同底数幂的乘法. 故选B.)4.A(解析:B,C,D选项可以利用同底数幂的乘法法则得到,选项A不属于同底数幂的乘法,应该是合并同类 项.) 5.解:(1)- x5·x3·(- x)4=- x5·x3·x4=- x12. (2)(- b)2·(- b)3+b·(- b)4=b2·(- b3)+b5=- b5+b5=0. (3)x3m- n·x2m- 3n·xn- m=x4m- 3n. (4)原式=(- 2)1+2+…+100=(- 2)5050=25050. 6.解:(1)ax+y=ax·ay=2×3=6. (2)由题意可知22a+3=29,即2a+3=9,则a=3,由2a+b=8可得b=2,故ab=32=9. 7.解:1吨=103千克,103×2.7×106=2.7×109(千克),故相当于2.7×109千克煤燃烧释放的热量. 本节课同底数幂乘法公式推导过程中,学生经历了猜想、质疑、推理、论证的学习过程,也渗透了转化 和从特殊到一般的数学思想,充分体现了自主探究的学习方式.而在巩固深化环节上精心设计题目,通过学 生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手、人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层 次的学生有不同的收获. 课堂节奏把握不够紧凑,最后例题讲解环节时间不够充分.对例题在计算过程中容易出错的地方强调不 足,对同底数幂的运算法则的条件强调较少,容易导致学生在计算的过程中发生错误. 本节课始终围绕着同底数幂的乘法公式展开,充分调动学生思维,鼓励学生积极探索.在设置习题的时 候,在注重基础训练的基础上,强调灵活运用同底数幂的运算法则.在完成第二个例题的时候,可以让学生独 立完成后再合作交流. 随堂练习(教材第3页) 1.解:(1)59. (2)76. (3)- x5. (4)(- c)3+m. 2.解:4×109×5×102=2×1012(次). 3.解:比邻星与地球的距离约为3×108×3×107×4.22=37.98×108×107=37.98×1015=3.798×1016(m). 习题1.1(教材第4页) 知识技能 1.解:(1)c12. (2)107. (3)- b5. (4)- b5. (5)x2m. (6)a4+n. 2.解:am+n=am·an=2×8=16. 数学理解 3.解:(1)错误,a3·a2=a5. (2)错误,b4·b4=b8. (3)错误,x5+x5=2x5. (4)正确. 问题解决 4.解:(1.3×108)×(9.6×106)=1.248×1015(千克). 5.解:(1)25=32(个). (2)25·2t=25+t(个).本节课的设计,学生要经历从实际情境中抽象出数学问题的过程,在探索中,学生将自然地体会同底数幂 运算的必要性,有助于培养学生的数感与符号感,同时也发展了他们的推理能力和有条理的表达能力.在教 学过程中,教师可进一步启发要求学生往更深一层次去研究、剖析知识,概括出“底数互为相反数”时的运 算方法,培养学生知识的运用能力,加深对所学知识的理解. 若ma- 2=6,mb+5=11,求ma+b+3的值. 〔解析〕 此题主要考察同底数幂的乘法法则的逆用,注意观察待求得幂的指数为a+b+3,恰好为前两 个指数a- 2与b+5的和,根据同底数幂的乘法法则,同底数幂相乘时指数相加,所以很容易得到应该将前两个 幂的形式相乘. 解:ma+b+3=ma- 2·mb+5=6×11=66. 2 幂的乘方与积的乘方 1.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题. 2.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条 理的表达能力. 1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程. 2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想. 1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品 质. 2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养 学生健全的个性. 【重点】 幂的乘方、积的乘方的灵活应用. 【难点】 幂的乘方、积的乘方的逆运用. 第 课时学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题. 经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力. 培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美. 【重点】 幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用. 【难点】 幂的乘方性质的逆运用. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P5~6. 导入一: 1.填空. (1)(23)2=23×23=2( ); (2)(72)3=72×( )×( )=7( ); (3)(a3)2=a3×( )=a( ). [过渡语] 同学们仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么 关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系? 2.情境引入. 【课件展示】 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 4 102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍? 提示:球的体积公式是V= πr3,其中V是球的体积,r是球的半 3 径 [处理方式] 让学生思考后,自己得出结论.生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍. 师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就 来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方. [设计意图] 从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知 欲望,从而顺利导入新课. 导入二: [过渡语] 现有一个正方体,如果知道它的棱长是10,你可以求出它的体积吗? 生:可以,是103,也就是1000. 师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗? 生:可以,是106. 师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗? 生:也是106. 师:为什么是这个结果呢? (学生思考2分钟,进行展示) 生:(102)3=(100)3=100×100×100=106. (103)2=(1000)2=1000×1000=106. 师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题) [设计意图] 通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽 象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备. [过渡语] 上节课我们学习的是同底数幂的乘法,当幂的底数又是一个幂的形式的时候,我们该如何计 算呢?本节课我们一起来研究这个问题. 探究活动1 探索幂的乘方的运算性质 思路一 1.你知道(102)3等于多少吗? 学生展示计算过程: (102)3 =102×102×102① =102+2+2② =106 =102×3. 【思考】 推出第①步和第②步的根据是什么呢? 点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数 相加. 【思考】 观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化? 点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变. 2.做一做:计算下列各式,并说明理由. (1)(62)4; (2)(a2)3; (3)(am)2; (4)(am)n. [处理方式] 通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板 上板演,其余的同学观察他们做的有无错误. 【师生活动】 展示解答过程: (1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68. (2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6. (3)(am)2=am·am=am+m=a2m. n个am n个m (4)(am)n=⏞ am·am·…·am = a ⏞m+m+…+m=amn. 【知识归纳】 由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(am)n=amn(m,n都是正整数).用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘. [设计意图] 由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受. 思路二 回答下列问题: (1)64的底数是 ,指数是 ,它表示 个 相乘. (2)(62)4的底数是 ,指数是 ,它表示 个 相乘. (3)(a2)3的底数是 ,指数是 ,它表示 个 相乘. [处理方式] 学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法 则. 教师引导归纳: (62)4= × × × = = . (a2)3= × × = = . (am)2= × = = . (am)n= × ×…× = = , 即(am)n= (m,n都是正整数). 【思考】 通过上面的探索活动,你发现了什么? 幂的乘方,底数 ,指数 . 用字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数). [知识拓展] [(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数). [设计意图] 通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从 本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则, 充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力. 探究活动2 幂的乘方性质的应用 [过渡语] 在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见. (教材例1)计算. (1)(102)3; (2)(b5)5; (3)(an)3; (4)- (x2)m; (5)(y2)3·y; (6)2(a2)6- (a3)4. [处理方式] 请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程: (1)(102)3=102×3=106. (2)(b5)5=b5×5=b25. (3)(an)3=a3n. 教师点拨(4)~(6)题: (4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=- x2m. (5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以 (y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7. (6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12. [设计意图] 例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固 幂的乘方法则. 探究活动3 幂的乘方法则的延伸 1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6; (2)a6·a4=a24. 2.计算. (1)(103)3; (2)- [(a- b)2]5; (3)(x3)4·x2. [处理方式] 第1题:独立解答,汇报交流. (1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不 变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9. (2)a6·a4=a24不正确.a6·a4=(a·a·a·a·a·a)·(a·a·a·a)=a10;或根据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相 加,得a6·a4=a6+4=a10. 【温馨提示】 注意幂的乘方与同底数幂的乘法运算的异同. 第2题:先让3名学生板演,然后课件展示(规范板书): 解:(1)(103)3=103×3=109. (2)- [(a- b)2]5=- (a- b)2×5=- (a- b)10. (3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14. 【温馨提示】 幂的底数和指数不仅仅可以是单独的字母或数字,也可以是某个单项式或多项式. [设计意图] 学生在练习中体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方运算性质.发现问题及时查缺补漏. [知识拓展] 逆用幂的乘方法则amn=(am)n,可以将幂的底数进行转化,从而可化为同底数幂的乘法来计 算,也可以用来比较两个幂的大小.例如:由2·8n·16n=222可得2·23n·24n=222,即21+3n+4n=222,从而得到n=3.在比较 340与430的大小的时候,也可以将两个幂化为同底数或同指数来进行比较. 1.幂的乘方的运算性质. (am)n=amn(m,n都是正整数). 幂的乘方,底数不变,指数相乘. 2.在具体应用幂的乘方的运算性质时应注意以下几点: (1)幂的底数和指数不仅仅可以是单独字母或数字,也可以是某个单项式或多项式. (2)正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法的异同. 运算法则 运算名称 运算形式 底数 指数 同底数幂 am·an=am+n 不变 相加 的乘法 幂的乘方 (am)n=amn 不变 相乘 (3)多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则:[(am)n]p=(amn)p=amnp(m,n,p都是正整数). (4)幂的乘方公式还可逆用,即amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数). 1.填空. (1)(y2)2n= ; (2)若9m=316,则m= ; (3)若3×27×9=3x,则x= . 答案:(1)y4n (2)8 (3)6 2.计算. (1)(- 1)5·[(- 3)2]2; (2)(x2)4·x; (3)(x2)3+[(- x)3]2. 解:(1)(- 1)5·[(- 3)2]2=(- 1)·81=- 81. (2)(x2)4·x=x8·x=x9.(3)(x2)3+[(- x)3]2=x6+x6=2x6. 3.已知am=3,an=2,求a2m+3n的值. 解:a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=32×23=72. 第1课时 探究活动1 探索幂的乘方的运算性质 探究活动2 幂的乘方性质的应用 例题 探究活动3 幂的乘方法则的延伸 一、教材作业 【必做题】 教材第6页习题1.2知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第6页习题1.2数学理解第3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.若m,n均为正整数,则(am)n= ,即幂的乘方,底数 ,指数 . 2.计算. (1)(75)4= ; (2)75×74= ; (3)(x5)2= ; (4)x5·x2= ; (5)[(- 7)4]5= ; (6)[(- 7)5]4= . 3.你能说明下面每一步计算的理由吗?将它们填在括号里. (1)y·(y2)3 =y·y6( ) =y7( ). (2)2(a2)6- (a3)4 =2a12- a12( ) =a12( ). 【能力提升】 4.已知3x=2,求3x+2的值. 5.计算. (1)(- x4)5+(- x5)4; (2)(- am+1)3·(a2)1+m; (3)3(x3)2·(x2)4- (x5)2·(x2)2. 【拓展探究】 6.已知10a=5,10b=6.求: (1)102a+103b的值; (2)102a+3b的值. 7.比较2100与375的大小. 【答案与解析】 1.amn 不变 相乘 2.(1)720 (2)79 (3)x10 (4)x7 (5)720 (6)720 3.(1)幂的乘方法则 同底数幂的乘法法则 (2)幂的乘方法则 合并同类项4.解:3x+2=3x·32=2×9=18. 5.解:(1)(- x4)5+(- x5)4=0. (2)(- am+1)3·(a2)1+m=- a5m+5. (3)3(x3)2·(x2)4- (x5)2·(x2)2=2x14. 6.解:(1)102a+103b=(10a)2+(10b)3=52+63=241. (2)102a+3b=102a·103b=(10a)2·(10b)3=52×63=5400. 7.解:2100=(24)25,375=(33)25,而24<33,故2100<375. 学生自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而 从本质上认识、学习幂的乘方的来历.鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的 变化)并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得来过程,进一步体会幂的意义.由实际问 题引入幂的乘方的运算,体会幂的乘方运算的必要性. 在探究幂的乘方法则的逆运用时,给学生讨论与思考的时间较少,从练习中可以看出部分学生接受的不 是很好,以后在遇到难点问题时要争取当堂问题当堂清. 把幂的乘方的性质应用于计算,培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力,教学中应予以重视. 随堂练习(教材第6页) 解:(1)109. (2)- a10. (3)x14. 习题1.2(教材第6页) 知识技能 (1) 6 1.解:(1) . (2)a8. (3)- b10. (4)y4n. (5)b3n. (6)x9n. 3 2.解:(1)- p5. (2)a12. (3)t2m+1. (4)0. 数学理解 3.解:(1)错误,应改为(x3)3=x9. (2)错误,应改为a6·a4=a10. 幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质是不一样的,在学习中要正确区分幂的乘方性质与同底数幂的乘 法性质:幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算(底数 不变). 在教学中,教师要注意引导学生对幂的乘方一般规律的探索和表达,在利用具体数进行实验论证上多花 点时间,让学生习惯于对具体数的操作,教师可以通过提出“你发现的规律对任意一个数都成立吗?”等问 题加以引导,并重视同伴之间的相互启发,在运算过程中,体会幂的乘方.因此,教师在教学中应提供丰富有趣 的问题,鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系,给学生留下充分的空间去探索和交流,使学生经历从具体问 题中抽象规律、用符号进行表示的过程.(2015·长春中考)计算(a2)3的结果是 ( ) A.3a2 B.a5 C.a6 D.a3 〔解析〕 本题考查幂的乘方的计算,根据幂的乘方法则可得(a2)3=a2×3=a6.故选C. 第 课时 1.了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题. 2.了解幂的有关运算法则之间的区别,灵活进行混合运算. 1.经历探索积的乘方的运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力. 2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想. 1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品 质. 2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养 学生健全的个性. 【重点】 积的乘方的运算性质. 【难点】 探索积的乘方的运算性质的过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P7. 导入一: 在前面的学习中,我们知道了幂的意义、同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则,你能分别用字 母表示出来吗? [处理方式] 学生口答(要注意语言的准确性). 教师总结,课件展示如下: (1)幂:乘方的运算结果叫做幂.⏟a×a×…×a =an. n个a (2)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. am·an=am+n(m,n都是正整数). (3)幂的乘方运算法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘. (am)n=amn(m,n都是正整数). [设计意图] 回顾幂的意义、同底数幂的乘法法则及幂的乘方运算法则,为本节课的学习做好铺垫. 导入二: 地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6×103 km,它的体积大约是多少立方千米? 已知:球的体 4 积公式是V= πr3 3 4 4 [处理方式] 共同列出算式V= πr3= π×(6×103)3,提出疑问(6×103)3=?它是幂的乘方吗?(6×103)3有怎样 3 3 的结构特征?从而引出本节课要研究和探索的积的乘方. [设计意图] 对于球体积的计算公式前面已经接触过,在实际的计算过程中,会遇到积的乘方的计算问 题,使学生感受到探索和掌握新知识的必要性,同时也可感受到数学无处不在,它来源于生活,又应用于生活, 激起学生的学习兴趣. [过渡语] 本节课,我们将继续探究有关幂的运算性质. 探究活动1 探索积的乘方的运算性质 比一比: (1)(1×2)4= ,14×24= ; (2)[3×(- 2)]3= ,33×(- 2)3= ; (1 1) 2 (1) 2 (1) 2 (3) × = , × = . 2 3 2 3 做一做: (1)(3×5)4=3( )·5( ); (2)(3×5)m=3( )·5( ); (3)(ab)n=a( )·b( ). [处理方式] 可以用公式(ab)n=an·bn(n是正整数)来表示这一规律. 【结论】 (ab)n=anbn(n是正整数). 积的乘方等于每一个因数乘方的积.[设计意图] 通过学生的主动探究,利用幂的意义进行说理,不仅使学生知其然,而且还知其所以然,对于 知识的掌握起到很好的推动作用,比死记硬背的效果好得多.由特殊到一般的探究,符合学生的认知规律和 知识的呈现过程,较好地调动了学生的学习积极性,利用代数式表示积的乘方运算性质,使学生从感性认识上 升为理性认识,由具体上升到一般,突出思维的简洁性和概括性. 探究活动2 积的乘方运算性质的拓展 【思考】 三个或三个以上的积的乘方,是否也具有上面的性质?怎样用公式表示? 【师生活动】 学生分组讨论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,师生共同归纳结论. 【结论】 几个因数的积的乘方,就是把这些因数分别乘方,再把所得的幂相乘.可以用公式 (abc)n=an·bn·cn(n是正整数)来表示. [设计意图] 将运算性质拓展到多个因式积的乘方,更具有一般性和普遍性,也更有利于学生对知识的 学习和掌握.训练了学生的思维,使学生掌握了学习的方法,有利于学生良好思维品质的培养. (教材例2)计算. (1)(3x)2; (2)(- 2b)5; (3)(- 2xy)4; (4)(3a2)n. 解:(1)(3x)2=32·x2=9x2. (2)(- 2b)5=(- 2)5b5=- 32b5. (3)(- 2xy)4=(- 2)4x4y4=16x4y4. (4)(3a2)n=3n(a2)n=3na2n. [设计意图] 通过练习,进一步加深对幂的意义和相关性质的理解,让学生将自己的思考过程展现出来, 进行交流、讨论,形成比较规范而简洁的解题格式. 探究活动3 积的乘方运算性质的逆用 计算底数为数字的幂的乘法,往往可以逆用积的乘方的性质进行简便计算. 计算. (1)23×53; (2)46×2.57; (1) 9 (3)29×39× ; (4)0.1252012×82014. 6 解:(1)23×53=(2×5)3=103. (2)46×2.57=46×2.56×2.5 =(4×2.5)6×2.5=2.5×106. (1) 9 ( 1) 9 (3)29×39× = 2×3× =1. 6 6 (4)0.1252012×82014=0.1252012×82012×82 =(0.125×8)2012×82=64. [知识拓展] 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个法则综合应用时,要注意运算顺序的合理性, 幂的乘方和积的乘方属于乘方运算,同底数幂的乘法属于乘法运算,计算时我们应先算乘方,再算乘除,最后 有同类项的进行合并,也就是属于整式加减运算. 1.积的乘方运算法则: (ab)n=anbn(n是正整数). 积的乘方等于每一个因数乘方的积. 2.拓展:(abc)n=anbncn(n是正整数). 3.逆用积的乘方法则:anbncn=(abc)n(n是正整数).1.填空. (1)(ab)6=( )6·( )6; (2)(2m)3=( )3·( )3= ; ( 2 ) 2 (3) - pq =( )2·( )2·( )2= ; 5 (4)(- x2y)5=( )5·( )5= . 2 4 答案:(1)a b (2)2 m 8m3 (3)- p q p2q2 (4)- x2 y - x10y5 5 25 2.计算. (1)(ab)3= ; (2)(- xy)5= ; (3 ) 2 (3) ab = ; 4 (4) (3 a2b ) 3 = ; 2 (5)(2×102)2= . 9a2b2 27a6b3 答案:(1)a3b3 (2)- x5y5 (3) (4) (5)4×104 16 8 3.计算. (1) ( - 1 x y3z2) 2 ; 2 (2) ( - 2 anbm) 3 ; 3 (3)(4a2b3)n; (4)2a2·b4- 3(ab2)2. x2y6z4 解:(1)原式= . 4 8a3nb3m (2)原式=- . 27 (3)原式=4na2nb3n. (4)原式=2a2b4- 3a2b4=- a2b4. 第2课时探究活动1 探索积的乘方的运算性质 探究活动2 积的乘方运算性质的拓展 例1 探究活动3 积的乘方运算性质的逆用 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第8页习题1.3知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第8页习题1.3数学理解第3,4题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.(2015·日照中考)计算(- a3b)2的结果是 ( ) A.a5b B.- a5b C.a6b2 D.- a6 2.下列运算错误的是 ( ) A.(- 2a2b)3=- 8a6b3 B.(x2y4)3=x6y12 C.(- x)2·(x3y)2=x8y2 D.(- ab)7=- ab7 3.下列算式中,结果不等于66的是 ( ) A.(22×32)3B.(2×62)×(3×63) C.63+63 D.(22)3×(33)2 4.计算[(- x2y)3]2·(- xy2)= . 【能力提升】 5.计算. (1)(x2y)3·x4; (2)(x2)3·[(- x)4]3; (3)(x3y2)2·(y3·y)4; (4)(a2b3)2+(- a)4·(b2)3. 【拓展探究】 6.用简便方法计算下列各式. ( 2) 3 (1) 3 (1)(- 9)3× - × ; 3 3 ( 5 ) 1999 ( 3) 1998 (2) - · 2 . 13 5 【答案与解析】 1.C(解析:本题考查积的乘方,根据积的乘方的运算法则求解,需要注意本题的运算符号.) 2.D(解析:积的乘方需要把积的每一个因式分别乘方,所以选项D错误.) 3.C(解析:选项C的运算属于合并同类项,结果应该等于2×63.故选C.) 4.- x13y8 5.解:(1)x10y3. (2)x18. (3)x6y20. (4)2a4b6.( 2) 3 (1) 3 ( 2) 1 ( 5 ) 1999 ( 3) 1998 6.解:(1)(- 9)3× - × = (- 9)× - × 3=23=8. (2) - · 2 = 3 3 3 3 13 5 1998 [( - 5 ) × 13] × ( - 5 ) =(- 1)1998× ( - 5 ) =- 5 . 13 5 13 13 13 课堂上注重新旧知识的联系与类比,让学生类比“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算性质的推 导方法,经历“特殊——一般——特殊”的认知规律,再次体验数学的转化思想. 教学中要把握时机促进思维活跃学生的思维向更高层次提升,同时对有困难学生及时答疑解惑,提高其 思维效率,帮助其保持学习热情. 在具体的教学过程中,对于例题的分析和讲解,放手给学生的空间需要加大,大胆让学生去做、去说、去 写,以便发现问题,进行有针对性的修正,加深印象. 随堂练习(教材第8页) 1.解:(1)- 27n3. (2)125x3y3. (3)15a3. 4 4 2.解:设地球半径为r,则木星和太阳的半径分别为10r和102r.地球的体积为V= πr3,木星的体积为V= 1 3 2 3 4 4 4 4 π×103×r3=103× ×πr3=103V.太阳的体积为V= π×(102r)3= π×(102)3×r3=106× πr3=106V.所以木星的体积 3 1 3 3 3 3 1 是地球的103倍,太阳的体积是地球的106倍. 习题1.3(教材第8页) 知识技能 1.解:(1)9b2. (2)- a2b2. (3)- 64a6. (4)y6z9. 2.解:(1)xmy4m. (2)- p2nqn. (3)x2y6n+xny6n. (4)- 55x6. 数学理解 3.解:(1)错误,(ab4)4=a4b16. (2)错误,(- 3pq)2=9p2q2. 问题解决 5.解:太阳的半径约是地球半径的102倍,那么太阳的体积约是地球体积的(102)3=106倍,由教材知地球的体积 约为9.04×1011千米3,故太阳的体积约为9.04×1011×106=9.04×1017(千米3). 联系拓广 6.解:22×3×52=(2×5)2×3=300,24×32×53=(2×5)3×2×32=18000. 7.解:(abc)n=anbncn.在探讨“积的乘方”的运算法则的过程中,学生仍可根据幂的意义的有关计算,经历从特殊到一般的研 究过程,感受知识之间的内在联系,能从具体情境中抽象出数量之间的变化规律,并且能够用字母表达式展示 这一规律.同时在学习过程中,应给学生足够的合作交流空间,加深对法则的探索过程及对算理的理解.在教 学中,教师注意引导学生对积的乘方一般规律的探索和表达,鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系,给学生 留下充分的空间去探索和交流. 计算:3(a2b)4·(a3)3- (- a)·(a4b)4+(- 2a4b2)2·(- a)3·(a2)3. 〔解析〕 此题主要考查前面所学习过的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则,解题之前要理 清运算顺序,先算乘方,再算乘法,最后算加减,乘方有幂的乘方和积的乘方,计算时要根据有关法则进行,不要 混淆. 解:3(a2b)4·(a3)3- (- a)·(a4b)4+(- 2a4b2)2·(- a)3·(a2)3 =3a8b4·a9- (- a)·a16b4+4a8b4·(- a3)·a6 =3a17b4- (- a17b4)+(- 4a17b4) =0. 3 同底数幂的除法 1.通过探索同底数幂的除法和运算性质的过程,进一步体会幂的意义,培养推理能力和表达能力. 2.了解同底数幂的除法和运算性质,并能解决一些实际问题. 3.能用科学记数法表示较小的数. 1.以实际问题引入同底数幂的除法运算,体会同底数幂的除法运算的必要性;根据幂的意义引导学生探 索同底数幂的除法的运算性质,并用它来进行计算. 2.通过“想一想、猜一猜”等活动,引导学生猜想出零指数幂、负整数指数幂的规定,教师说明这一结 论的合理性. 1.在探索和训练的过程中,培养学生严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质. 2.通过对同底数幂的除法的运算性质的探索,鼓励学生养成独立思考、自主探索的习惯,让学生体会数 学美.【重点】 能熟练应用同底数幂除法法则解决问题. 【难点】 理解零指数幂和负整数指数幂的意义. 第 课时 1.经历探索同底数幂的除法运算性质的过程,进一步体会幂的意义. 2.了解同底数幂除法的运算性质,并能熟练应用. 3.理解零指数幂和负整数指数幂的意义,能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算. 进一步学习幂的有关运算的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,提高学生观察、归纳、 类比、概括等能力. 通过对同底数幂的除法性质的探索过程,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 【重点】 了解同底数幂除法的运算性质,并能熟练应用. 【难点】 理解零指数幂和负整数指数幂的意义. 【教师准备】 课堂中的提问问题设计. 【学生准备】 预习教材P9~11. 导入一: 【思考】 前面我们学习了哪些幂的运算?在探索法则的过程中我们用到了哪些方法? (1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.am·an=am+n(m,n都是正整数). (2)幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m,n都是正整数). (3)积的乘方等于积中各因数乘方的积.(ab)n=anbn(n是正整数). [处理方式] 教学时可以让学生自己写出三种幂的运算法则的叙述和字母表示,要注意引导学生回顾 三种法则探索过程中用到的归纳思想和数学的推理方法,只要他们用自己的语言描述清楚即可,如学生可能 会回答“由具体的例子的计算(特殊)得到法则的符号表示(一般)”“用幂的意义说明了法则的正确性”等. [设计意图] 学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识基础,因此这个环节的 目的是回顾前面的知识和方法,为下面自主探索、归纳法则做好铺垫. 导入二: 一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂 可以杀死109个此种细菌.(1)要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴? (2)你是怎样计算的? (3)你能再举出几个类似的算式吗? 1012 [处理方式] 解决问题(1),学生可根据题意列出算式1012÷109,也有可能列出 ,应让学生认识到两种 109 形式的实质是一样的. 问题(2)用到的是有理数的运算,教学时应鼓励学生独立思考,在黑板上呈现不同的计算过程,并说明每 一步的算理,学生可能出现不同的解决方法:可先将幂还原成大数再用分数的约分来计算,也可逆用同底数幂 的乘法进行计算. 问题(3)应尽可能多地在黑板上呈现学生举的算式,在教学时可以通过追问“这些算式举的对不对?” 帮助学生抓住特征:同底数幂、除法.还可以再追问“这些算式应该叫做什么运算呢?”引入这节课的研究 对象:同底数幂的除法运算. [设计意图] 由实际问题引入同底数幂的除法,让学生体会数学与现实生活的紧密联系,而这个问题学 生运用有理数知识就能解决,为下面类比解决“式”的问题提供思路,第(3)问的目的是帮助学生抓住“同底 数幂”“相除”这些本质特征. 导入三: 我们居住在一个美丽的星球,叫做地球,地球的体积大概是9.04×1011立方千米,太阳的体积大概是 9.04×1017立方千米.同学们,你能告诉大家太阳的体积大约是地球体积的多少倍吗?请列出算式. [处理方式] 学生得出算式(9.04×1017)÷(9.04×1011),其本质就是1017÷1011,怎样计算这个式子呢?本节课 我们来研究同底数幂的除法. [设计意图] 以生活实际问题为背景,引出数学问题,既尊重课本内容又符合加强数学与现实联系的要 求,启发的语言调动起学生的兴趣. [过渡语] 同底数幂相乘,底数不变,指数相加,同底数幂相除怎样运算呢?你能猜想出来吗? 探究活动1 同底数幂的除法法则 思路一 【活动内容1】 1.计算导入二中你列出的算式. 2.计算下列各式,并说明理由(m>n). (1)10m÷10n; (2)(- 3)m÷(- 3)n; ( 1) m ( 1) n (3) - ÷ - . 2 2 3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗? [处理方式] 这里的教学方式可以根据上一环节学生的举例情况灵活处理.如果学生列出的算式不够 全面,就可以先将第2题补充进来,再让学生观察运算前后指数和底数发生了怎样的变化,有了前面探索法则m个a ⏞a×a×…×a (m- n)个a 的经验基础,类比有理数的计算过程学生不难得出am÷an= ⏟a×a×…×a =⏞a×a×…×a =am- n(a≠0,m,n n个a 都是正整数,且m>n). 教学时可以追问“a都可以取哪些值呢?”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理 解这里的a≠0,再借助上面的计算约分时出现m- n个a的过程得到m>n.而当m=n和mn),再运用幂的意义加以说明.在此过程中,发展学生类比、归纳、推理 能力和有条理的表达能力. 【活动内容2】 (教材例1改编)计算. (1)a7÷a4; (2)(- x)6÷(- x)3; (3)- m8÷m2; (4)(xy)4÷(xy); (5)b2m+2÷b2; (6)(m+n)8÷(m+n)3. [处理方式] 在教学时应重视对算理的理解,每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算, 再说出每一步运算的道理,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第(3)(4)小题时 出现问题,第(3)题的“- ”号,学生在前几节课中解决过类似问题,教学时可以引导他们与第(2)题对比,加深理 解;第(4)题在同底数幂除法计算中增加了积的乘方的运算,应关注学生对学过的几种幂的运算是否能正确理 解和区别.如果学生出现漏算或混淆的情况,可以先让他们判断运算,再说明算理. 解:(1)a7÷a4=a7- 4=a3. (2)(- x)6÷(- x)3=(- x)6- 3=(- x)3=- x3. (3)- m8÷m2=- m8- 2=- m6. (4)(xy)4÷(xy)=(xy)4- 1=(xy)3=x3y3. (5)b2m+2÷b2=b2m+2- 2=b2m. (6)(m+n)8÷(m+n)3=(m+n)8- 3=(m+n)5. [设计意图] 这里为了更加全面地巩固同底数幂除法运算,在教材的基础上增加了(3)和(6)两个小题,这 些题目由易到难,目的在于逐渐加深学生对同底数幂的除法的理解,帮助学生体会am÷an=am- n中的a可以代 表数,也可以代表单项式、多项式等. 思路二 1.怎样计算1012÷109? [处理方式] 教师点拨指导,展示解题过程: 12个10 ⏞10×10×…×10 ⏟10×10×10 1012÷109= = =103. ⏟10×10×…×10 3个10 9个10 2.试一试,用你熟悉的方法计算. (1)25÷23; (2)107÷103; (3)a7÷a3. [处理方式] 学生尝试计算后,教师展示解题过程: 2×2×2×2×2 (1)25÷23= =22=4. 2×2×2 10×10×10×10×10×10×10 (2)107÷103= =10000=104. 10×10×10a×a×a×a×a×a×a (3)a7÷a3= =a4. a×a×a 小结:我们利用幂的意义,得到: (1)25÷23=22=25- 3. (2)107÷103=104=107- 3. (3)a7÷a3=a4=a7- 3. 3.观察它们的底数及指数有什么样的规律,尝试用字母表示同底数幂的除法运算法则. [处理方式] 我们发现它们的底数没有改变,指数改变了. 板书推理过程: m个a ⏞a·a·…·a (m- n)个a am÷an= ⏟a·a·…·a =⏞a·a·…·a =am- n. n个a 学生可能会忽视“a≠0,m,n都是正整数,且m>n”的要求,教学时可以追问“a都可以取哪些值呢?”来 引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a≠0,再借助上面的计算约分时出现m- n 个a的过程得到m>n. 归纳: 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减. 即am÷an=am- n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n). 教师强调需要注意的是:①同底数幂除法运算中,相同底数可以是不为0的数字、字母、单项式或多项 式.②同底数幂除法运算中,也可以是两个以上的同底数幂相除,幂的底数必须相同,相除时指数才能相减. [设计意图] 利用类比结合探究的形式引导学生逐步深入思考同底数幂如何相除,从学生已有的知识 和经验出发,引导学生探索发现同底数幂的除法的运算性质,遵循循序渐进的认知规律,由幂的意义和同底数 幂的乘法得出同底数幂的除法法则,知识生成自然,学生很容易接受.从而得到同底数幂的除法法则. 探究活动2 探索零指数幂与负整数指数幂 【活动内容】 1.做一做: 104=10000, 24=16, 10( )=1000, 2( )=8, 10( )=100, 2( )=4, 10( )=10, 2( )=2. 2.猜一猜: 下面的括号内该填入什么数?你是怎么想的?与同伴交流. 10( )=1, 2( )=1, 1 10( )=0.1, 2( )= , 2 1 10( )=0.01, 2( )= , 4 1 10( )=0.001, 2( )= . 8 3.你有什么发现?能用符号表示你的发现吗? 4.你的发现合理吗?为什么? [处理方式] 活动1对学生而言并不困难,教学时学生可能会找到规律:底数为10时,指数每减小1,幂的 1 1 值就会缩小为原来的 ;底数为2时,指数每减小1,幂的值就会缩小为原来的 .学生也可能进一步归纳出 10 21 “底数为a时,指数每减小1,幂的值就会缩小为原来的 ”可以追问“这里的a能取哪些值?”从而让学生 a 体会a≠0. 活动2对学生来说是有些难度的,可以引导学生按照上面的规律进行猜想,教学时应给学生充分的独立 思考和小组交流的时间. 活动3从数的变化规律中进行分析、归纳与概括,再将猜想用符号一般性地表示出来,得到:a0=1,a- p= 1 ,这样的过程可以发展学生的合情推理能力. ap 活动4通过解释结论的合理性来发展学生演绎推理能力,教学时应鼓励学生从不同的角度进行思考和 解释,帮助他们更好地理解零指数幂、负整数指数幂的意义.学生可能出现的解释方法有如下两种: 方法一:从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明. 我们前面这样推导了同底数幂的除法法则: m个a am ⏞a·a·…·a (m- n)个a an = ⏟a·a·…·a =⏞a·a·…·a =am- n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n). n个a 当m=n时,我们可以类似地得到: m个a ⏞a·a·…·a a0=am÷am= =1(a≠0,m,n都是正整数); ⏟a·a·…·a m个a 当mn). 同底数幂相除,底数不变,指数相减. 1 2.a0=1(a≠0);a- p= (a≠0,p是正整数). ap1.下列计算中错误的有( ) (1)a10÷a2=a5;(2)a5÷a=a5;(3)(- a)5÷(- a)3=a2;(4)30=3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:(1)(2)(4)错误.故选C. 2.计算(a2)3÷(- a2)2的结果正确的是 ( ) A.- a2 B.a2 C.- a D.a 解析:原式=a6÷a4=a2.故选B. 3.计算27m÷9m÷3= . 解析:原式=33m÷32m÷3=3m- 1.故填3m- 1. 4.计算. (1)(x- 2y)4÷(2y- x)2÷(x- 2y). (2)[(x+y)(x- y)]9÷(y- x)8÷(- x- y)9. 解:(1)原式=(x- 2y)4- 2- 1=x- 2y. (2)原式=(x+y)9(x- y)9÷(x- y)8÷(- x- y)9 =- (x- y) =y- x. 第1课时 探究活动1 同底数幂的除法法则 例题 探究活动2 探索零指数幂与负整数指数幂 一、教材作业 【必做题】 教材第11页习题1.4知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第11页习题1.4数学理解第3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.(2015·济南中考)下列运算不正确的是 ( ) A.a2·a=a3B.(a3)2=a6 C.(2a2)2=4a4 D.a2÷a2=a 2. ( 4- 1- 1) 0 等于 ( ) 4 A.0 B.- 1 C.1 D.无意义 (1) - 1 3.将 ,(- 3)0,(- 4)2这三个数按从小到大的顺序排列,正确的结果是 ( ) 5(1) - 1 A. <(- 3)0<(- 4)2 5 (1) - 1 B.(- 3)0< <(- 4)2 5 (1) - 1 C.(- 4)2< <(- 3)0 5 (1) - 1 D.(- 3)0<(- 4)2< 5 4.若am+2÷a3=a5,则m= ;若ax=5,ay=3,则ay- x= . 【能力提升】 (1) - 1 5.(2015·威海中考)计算20+ 的值为 . 2 6.(2015·青岛中考)计算3a3·a2- 2a7÷a2= . 7.计算:(a- 2b)3·(a- 2b)4÷(a- 2b)6. 8.若2x=6,2y=3,求22x- 3y的值. 【拓展探究】 9.已知272x÷9x÷3x=27,求x的值. 【答案与解析】 1.D(解析:根据同底数幂相乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘;积的乘方,先把积的每一个因 式分别乘方,再把所得的幂相乘;同底数幂相除,底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解.正确计算是 a2·a=a2+1=a3;(a3)2=a3×2=a6;(2a2)2=22·(a2)2=4a4;a2÷a2=a2- 2=a0=1.) 2.D(解析:零指数幂当底数为零时无意义.故选D.) (1) - 1 3.B(解析:化简 ,(- 3)0,(- 4)2的结果依次为5,1,16.故选B.) 5 3 4.6 5 (1) - 1 5.3(解析:根据0指数幂和负整数指数幂的意义即可解答.20+ =1+2=3.) 2 6.a5(解析:根据同底数幂的乘法、除法法则即可解答.3a3·a2- 2a7÷a2=3a5- 2a5=a5.) 7.解:原式=(a- 2b) 3+4- 6 =a- 2b. 4 8.解:22x- 3y=22x÷23y=(2x) 2 ÷(2y) 3 =36÷27= . 3 9.解:由272x÷9x÷3x=27可得(33)2x÷(32)x÷3x=36x- 2x- x=33x=33,故x=1.本节课的设计遵循学生的认知规律,让学生主动探究,经历知识的产生、发展、形成与应用的过程,重在 培养学生观察、分析、抽象概括的思维能力.学生在充分经历这一归纳过程中,既能理解和掌握同底数幂除 法的性质,并能用字母和文字语言正确地进行表述,运用这一性质熟练地进行计算,也有助于训练学生的思维, 使学生领会到数学的思想和方法. 在讲解例题之前,应创设与例题有关的问题,让学生讨论交流,教师鼓励学生积极发言,为学生提供表现 的机会,使学生在这个环节中弄清同底数幂的除法的运算法则,从中体会转化思想,为引入例题做好铺垫. 在检测反馈中,多设置几个容易出错的计算题,有针对性地提出相关问题,采取先尝试,后引导,再探索的 方法,使学生在讨论交流中突破难点. 随堂练习(教材第11页) 解:(1)x8. (2)- y. (3)- 1. (4)- r. (5)m. (6)m4n4. 习题1.4(教材第11页) 知识技能 ( 3) 4 81 1 1.解:(1)26=64. (2) - = . (3)a6. (4)x6. (5)a2. (6)6m+1. (7)5- 2n. (8)9- 2= . 2 16 81 1 1 2.解:(1)1. (2) . (3)0.000013. (4) . 27 25 数学理解 3.解:(1)错误,a6÷a=a5. (2)错误,b6÷b3=b3. (3)正确. (4)错误,(- bc)4÷(- bc)2=(- bc)2=b2c2. 本课“同底数幂的除法”是四种幂的运算中的最后一种,它与前面三种幂的运算有着类似的法则探索 过程,最大的区别在于前面三种运算都是乘法(乘方),而它是除法,因此教学时就要注意两点:一是与数的除法 类似,要求除数(式)不为0,二是会出现零指数幂和负整数指数幂,对它们意义的理解是难点.另外,在“有理数 的运算”中学生已经学习了用科学记数法来表示大数,这里同底数幂除法的运算结果中会出现绝对值较小 的数据,在规定了负整数指数幂的意义后,我们就可以顺利地将科学记数法的应用范围推广到绝对值较小的 数据. 7 若10x= ,10y=49,求102x- y的值. 4〔解析〕 要求102x- y的值,底数为10的幂中指数出现了相减,结合同底数幂相除的法则可以得到.此题 主要运用同底数幂相除的逆运算求解. 解:因为102x- y=102x÷10y=(10x) 2 ÷10y, 7 10x= ,10y=49, 4 (7) 2 1 所以102x- y= ÷49= . 4 16 第 课时 1.会用科学记数法表示小于1的正数,能进行它们的乘除运算,并将结果用科学记数法表示出来. 2.能将用科学记数法表示的数还原成原数. 借助自己熟悉的事物感受绝对值较小的数据,进一步发展学生的数感,体会估测微小事物的方法与策略. 了解数学的价值,体会数学在生活中的广泛应用,培养观察、比较、操作、猜想、归纳等思维方法,培养 探索意识和合作交流意识. 【重点】 用科学记数法表示小于1的正数,借助熟悉的事物感受绝对值较小的数据. 【难点】 估测微小事物的策略. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 查找生活中较小的数据,预习教材P12~13. 导入一: 师:同学们知道这句话的出处吗? 【课件展示】生:出自司马迁的《史记》. 师:那大家知道是什么意思吗? 生:人终究免不了一死,但死的价值不同,为了人民正义的事业而死就比泰山还重,而那些自私自利,损人 利己的人之死就比鸿毛还轻. 师:这位同学说得很好!那同学们知道泰山和鸿毛有多重吗? (学生们小声议论猜测) 师:我来告诉你们吧!泰山约重3240000吨,鸿雁羽毛约重0.00000087吨.泰山的重量3240000吨,数值比 较大,你能用科学记数法来表示吗? 生:3240000吨=3.24×106吨. 师:哪位同学还能举出一个用科学记数法表示较大数的例子? 生:光在真空中的速度大约是300000000 m/s,用科学记数法可以表示为3×108 m/s. 师:很好,谁能归纳一下用科学记数法表示较大的数的方法呢? 生:对于大于10的数,用科学记数法表示的形式为a×10n,其中1≤a<10,n为正整数. 师:这位同学归纳得很好.鸿雁羽毛约重0.00000087吨,可见较小的数的书写和读也比较复杂,它也能用 科学记数法来表示吗?今天我们来研究用科学记数法来表示较小的数. [设计意图] 以有趣的泰山和鸿毛的重量为引例,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,为新课的学 习做好铺垫,引入课题.通过用科学记数法表示较大的数引出小于1的正数如何用科学记数法来表示,顺理成 章地引出新课. 导入二: 师:纳米材料是当今世界前沿科技,什么是纳米呢?请同学们跟随老师一起来认识它吧? 【课件展示】 纳米记为“nm”,1纳米=十亿分之一米. 1 1 1 nm= m,或1 nm= m,或1 nm=10- 9 m. 1000000000 109 [设计意图] 通过此活动,让学生初步认识生活中众多个很小的数的实例中的一个——纳米,从而为下 一步探索得到用科学记数法表示小于1的正数做了铺垫,培养学生灵活运用知识解决问题的能力. [过渡语] 前面我们学习过用科学记数法可以表示较大的数,但在我们的生活中还存在着一些较小的 数,我们该怎样表示呢? 探究活动1 科学记数法的拓展延伸 思路一 1.用小数表示下列各数. (1)1×10- 2; (2)5.6×10- 3; (3)2.3×10- 4. 2.把下列小数用a×10n(1≤a<10)的形式表示出来. (1)0.01; (2)0.0056; (3)0.00023. 仔细观察你有什么发现? 【结论】 我们把绝对值小于1的正数写成a×10n(n为负整数,1≤a<10)的形式也叫科学记数法.其中n 等于该数第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)的相反数. 【思考】 它与以前学过绝对值大于1的数用科学记数法表示为a×10n(n为正整数)的形式有什么区 别与联系? [处理方式] 鼓励学生自己观察发现,提出自己的想法,用自己的话表达观点.[设计意图] 这一环节打乱了教材原有的顺序,设计一组将负指数幂表示的数改写成小数的题目,原因 是学生上节课刚刚学过,非常熟练,反过来恰恰有利于探索绝对值较小的数据的科学记数法的表示,符合学生 的认知规律,水到渠成.教学时要关注学生是否理解a的取值范围1≤a<10以及n的确定方法. 思路二 【活动内容1】 我们知道对于大于10的数,用科学记数法表示的形式为a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.用科学记数法 可以很方便地表示一些绝对值较大的数,同样,用科学记数法也可以很方便地表示一些较小的数. 1 1 1 1 1 我们知道,10- 1= =0.1;10- 2= =0.01;10- 3= =0.001;10- 4= =0.0001;10- 5= 10 100 1000 10000 100000 =0.00001……有什么规律? (10的- n次幂化成小数,在1的前面有n个0) 1 1 1 1 1 反之,0.1= =10- 1;0.01= =10- 2;0.001= =10- 3;0.0001= =10- 4;0.00001= =10- 10 100 1000 10000 100000 5……有什么规律? (在1的前面有n个0,10的幂指数为- n) 【活动内容2】 【思考】 怎样用科学记数法来表示0.00000000000000000000000002657呢? 1 0.00000000000000000000000002657=2.657× =2.657×10- 26 1026 [处理方式] 对于活动1,根据问题,教师引导学生回忆10的负整数指数幂的计算,引导学生小组讨论探 究,找出10的负整数指数幂所蕴含的规律,从而引出将0.1,0.01,0.001,…表示成10的负整数指数幂的形式,教 师让学生代表口述规律.对于活动2,教师要给学生充足的讨论思考时间,要对于给出其他方法的同学予以鼓 励(通过小数点移动的数位来确定,小数点向右移动26位,所以n是- 26;或根据小数中非零数字前的0的个 数与10的指数的绝对值相等得n的值),最后师生共同总结得出结论:一般地,一个小于1的正数可以表示为 a×10n,其中1≤a<10,n是负整数. 注意:a×10n千万不能误写成an的形式. 探究活动2 用科学记数法表示很小的数 1.用科学记数法表示下列各数. 0.0000000001; 0.0000000000029; 0.000000001295. 2.某种分子的质量是3×10- 26 g,用小数表示为 . 3.某种分子的直径是4×10- 10 m,用小数表示为 . [处理方式] 先让学生上黑板板演,其余学生先独立完成,然后让学生纠错,小组互相检查,核对过程与结 果,教师巡视,及时发现学生在解题过程中出现的问题.教师强调书写规范. [设计意图] 题目通过正反两个方面的运用来巩固学生对科学记数法的理解,为了避免让学生只对这 些无背景的数据进行简单改写,本环节中给学生提供了两个具有实际背景的数据进行巩固练习. 探究活动3 科学记数法的实际应用 你知道一粒花粉的直径是多少吗?一根头发的直径又是多少呢?生活中你还见到过哪些较小的数?请把 你找到的资料和数据与同伴交流.你能用科学记数法表示这些数吗? [处理方式] 小组合作交流,教师巡视指导. [设计意图] 让学生课前经历查找数据的过程,学生查到的数据可能是不一样的,课上应注意给学生提 供组内展示和全班交流的空间与时间.教师还可以根据情况再补充一些绝对值特别小的数据,增加学生的体 验. 议一议:1.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm的细颗粒物,也称为可入肺颗粒物.虽然它们的直径还不到 1 人的头发粗细的 ,但它们含有大量的有毒、有害物质,并且在大气中的停留时间长、输送距离远,因而对 20 人体健康和大气环境质量有很大的危害. (1)假设一种可入肺颗粒物的直径约为2.5 μm,相当于多少米? (2)多少个这样的细颗粒物首尾连接起来能达到1 m?与同伴进行交流. 2.估计1张纸的厚度大约是多少厘米.你是怎样做的?与同伴进行交流. [处理方式] 第1题学生先独立思考,然后在小组内讨论交流,而后以小组为单位进行展示.完成的小组, 派代表在黑板上写出过程.计算时,学生可能出现不同的计算方法,可以板书进行对比,加深对科学记数法表 示方法和简便性的理解.议一议的2教学时,由于受测量器械的限制,无法直接测量1张纸的厚度,教学时可 放手给学生,先让他们分组讨论测量方法,再进行操作,最后在全班范围内交流各自的方法. [设计意图] 议一议的1提供给学生一个有趣的实际问题背景,让他们体会较小的数对人类生活有重 大的影响,通过进行运算,加深他们对科学记数法的理解.议一议的2的目的是让学生借助熟悉的事物感受较 小的数,进一步发展数感,形成估测微小事物的方法和策略.学生在交流的过程中,教师要参与其中,倾听学生 的想法,观察学生在交流过程中的表现,积极引导不善交流的同学倾吐自己的想法,形成良好的合作交流氛围. [知识拓展] 科学记数法有时可以方便地表示日常生活中遇到的一些较大的数.学习了负整数指数幂 的知识后,小于1的正数也可以用科学记数法表示. 1.一般地,一个小于1的正数可以表示为a×10n,其中1≤a<10,n是负整数. 2.用科学记数法表示小于1的正数与大于10的数的异同: 相同之处:都表示为a×10的n次幂的形式(1≤a<10). 不同之处:当表示大于10的数时,n为正整数;当表示小于1的正数时,n为负整数. 1.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001 s,把0.000000001 s用科学记数法可以表示为 ( ) A.0.1×10- 8 s B.0.1×10- 9 s C.1×10- 8 s D.1×10- 9 s 解析:选项A和选项B的写法不符合科学记数法的规则,C中负指数不正确.故选D. 2.把下列各数用科学记数法表示. (1)0.00002; (2)0.000707; (3)0.000122; (4)0.000056. 解:(1)0.00002=2×10- 5. (2)0.000707=7.07×10- 4. (3)0.000122=1.22×10- 4. (4)0.000056=5.6×10- 5. 3.太阳质量约为1.98×1030千克,地球质量约为6×1024千克,则太阳质量约是地球质量的多少倍? 解:(1.98×1030)÷(6×1024)=3.3×105. 第2课时探究活动1 科学记数法的拓展延伸 探究活动2 用科学记数法表示很小的数 探究活动3 科学记数法的实际应用 一、教材作业 【必做题】 教材第13页习题1.5知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第13页习题1.5问题解决第3,4题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.用科学记数法表示下列各数. 0.0000000001= ; 0.0000000000029= ; 0.000000001295= . 2.下面的数据都是用科学记数法表示的,请你用小数把它们表示出来. 7×10- 5= ; 1.35×10- 8= ; 2.657×10- 12= . 3.纳米是一种长度单位,1纳米=10- 9米.已知某花粉的直径为3500纳米,那么用科学记数法表示这种花粉的 直径为 米. 4.1个电子的质量是0.000000000000000000000000000911 g,用科学记数法表示为 g;冠状病毒的直 径为1.2×102纳米,用科学记数法表示为 米. 【能力提升】 5.如果一滴水的质量约为0.05 g,每个水分子的质量是3×10- 26 g,直径为4×10- 10 m,回答下列问题. (1)一滴水中大约有多少个水分子?请用科学记数法表示; (2)如果把一滴水中的水分子依次排成一列(中间没有空隙),能排多少米?请用科学记数法表示. 6.一颗人造地球卫星的速度是2.88×107 m/h,一架喷气式飞机的速度是1.8×106 m/h,这颗人造地球卫星的速 度是这架喷气式飞机的速度的多少倍? 【拓展探究】 7.地震的强度通常用里克特震级表示,描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特 表示地震是8级,说明地震的强度是107,1992年4月,荷兰发生5级地震,12天后,加利福尼亚发生了7级地震, 加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍? 【答案与解析】 1.1×10- 10 2.9×10- 12 1.295×10- 9 2.0.00007 0.0000000135 0.000000000002657 3.3.5×10- 6 4.9.11×10- 28 1.2×10- 7 5.解:(1)0.05÷(3×10- 26)≈1.67×1024(个). (2)4×10- 10×1.67×1024=6.68×1014(米). 6.解:(2.88×107)÷(1.8×106)=16. 7.解:106÷104=102=100.学生通过自主查找资料,更多地了解实际问题中还有更小的长度和时间等单位.以问题的自主学习、探 究和感悟,由浅入深,分解难点,学生在愉快的学习中接受本节知识.避免了让学生进行单纯的数据表示、计 算,挖掘生活中与数据有关的素材,创设了丰富的情境,把数据置于学生熟悉的、感兴趣的背景中,加深了对 数据实际意义的理解. 学生的自主学习时间不够充分,应大胆放手,让学生去发现,以便课上及时纠正出现的问题. 在引入环节中,如果能让学生将课前收集的资料用图片或课件的形式在课上展示,给学生更强烈的视觉 冲击,会更好地激发学生的探究兴趣. 随堂练习(教材第13页) 1.解:(1)7.2×10- 7. (2)8.61×10- 4. (3)3.425×10- 10.在计算器上表示略. 2.解:9.11×10- 28. 习题1.5(教材第13页) 知识技能 1.解:(1)0.007398=7.398×10- 3. (2)0.0000226=2.26×10- 5. (3)0.0000000000542=5.42×10- 11. (4)0.0000000000000000000001994=1.994×10- 22.在计算器上表示略. 2.解:1.293×10- 3 g/cm3=0.001293 g/cm3. 问题解决 3.解:0.00000000000000000000000009288 kg=9.288×10- 26 kg. 4.解:1.56 μm=1.56×0.000001 m=1.56×10- 6m,1 m=1×106 μm,1×106÷1.56=641025.641≈641026(个). 在这节课中,课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找较小的数据,在记录的时候学 生会充分感受到这些数据书写的复杂性,从而自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望,这时课上再引入科学 记数法就顺理成章了.这样的设计巧妙地把科学记数法这一数学知识的学习与学生自己的需求紧密结合起 来,提高了他们的学习兴趣,使学生了解了数学的价值,体会了数学与生活之间的密切联系.像这样把知识的 学习与学生的需求紧密结合,才能真正激发学生的兴趣,调动学生的积极性. 1纳米等于多少米?若一个细胞的直径为10- 10 m,一种新型纳米碳纤维管的直径为33 nm,则其 相当于多少个细胞首尾相接紧密排列起来的长度? 〔解析〕 此题主要考查学生单位的换算、用科学记数法表示较小的数以及同底数幂的除法,要求学 生列出算式,根据法则进行计算. 解:1 nm=10- 9 m. 10- 10 m=(10- 10÷10- 9) nm=0.1 nm, 33nm =330(个), 0.1nm 所以这种新型纳米碳纤维管的直径相当于330个细胞首尾相接紧密排列起来的长度.4 整式的乘法 1.经历探索整式乘法运算法则的过程,会进行简单的整式乘法运算. 2.理解整式乘法运算的算理,体会乘法分配律的利用和转化思想. 由实例引入整式乘法运算,让学生体会整式乘法运算的必要性,探索整式乘法运算的法则,并会应用. 将单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘,渗透事物间相互联系的观 点,同时通过整式乘法的运算,进一步培养学生耐心、细致的学习习惯. 【重点】 整式乘法运算. 【难点】 整式乘法运算. 第 课时 1.经历探索单项式乘法法则的过程,理解单项式乘法法则. 2.能够熟练进行单项式乘法的计算. 在探索单项式乘法的运算法则的过程中,发展学生的观察、猜测、归纳、验证等能力. 体验探究数学问题的过程,体验转化的思想方法,获得成功的体验. 【重点】 单项式与单项式相乘的运算法则及其应用. 【难点】 灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P14~15. 导入一: [过渡语] 同学们一定玩过拼图游戏吧,下面是由九块长为a cm,宽为b cm的小长方形拼成的一幅画, 若不计每个小块间的空隙,谁能快速计算出这幅画的面积呢? [处理方式] 学生独立思考,教师指导,容易得到拼成的大长方形的长和宽分别是3a和3b,然后计算面 积为3a·3b. 想一想,3a·3b的计算和我们学过的什么知识有关? [设计意图] 通过拼图游戏,激发学生学习兴趣,引出了单项式乘法,使学生体会到数学知识来源于生活, 点明本节课课题,使学生充分感受数形结合思想. 导入二: [过渡语] 上学期我们学习了整式的相关概念,其实整式的运算和数的运算是一样的.下面我们先来看 看生活中有关整式的运算. 京京用两张同样大小的纸,精心制作了两幅画.如下图所示,第一幅画的画面大小与纸的大小相同,第二 1 幅画的画面在纸的上、下方各留有 x m的空白. 8 (1)第一幅画的画面面积是多少平方米?第二幅呢?你是怎样做的? (2)若把图中的1.2x改为mx,其他不变,则两幅画的面积又该怎样表示呢? [处理方式] 认真观察两幅图,思考面积的表示方法.教师参与学生的活动,帮助学生完成面积的表示. 解:(1)第一幅画的画面的长、宽分别为1.2x m、x m,所以它的面积是x·1.2x米2;第二幅画的画面的长、 ( 1 1 ) 3 3 宽分别为1.2x m, x- x- x m,即 x m,所以它的面积是 x·1.2x米2. 8 8 4 4 3 (2)如果用mx来代替1.2x,就可得第一幅画的画面面积是x·mx米2;第二幅画的画面面积是mx· x米2. 4 3 【思考】 怎样进一步计算x·mx及mx· x呢? 4 师:从这节课开始我们就来研究整式的乘法,我们先来学习单项式与单项式相乘.[设计意图] 通过实际生活中的例子让学生由求图形面积的列式,发现表示图形面积的式子是两个单 项式的积,目的是培养学生的自主发现及解决问题的能力,养成良好的学习习惯,从而引出本节课要学习的内 容. 探究活动1 单项式与单项式相乘 思路一 计算:3a·3b= . [处理方式] 先让学生计算,然后根据自己的求解过程尝试回答. 师:通过3a·3b=9ab的运算,大家研究一下单项式乘单项式的法则. 生1:这里3a的3和a之间是乘法运算,同样3b的3和b之间也是乘法运算. 生2:3a与3b之间也是乘法运算. 生3:乘法不是有交换律和结合律吗,数字3和数字3相乘,字母a和字母b相乘,很简单. 3 师:总结得很好,那么如果遇到mx· x这样的式子,需要怎么运算? 4 生1:数字与数字相乘,同底数幂与同底数幂相乘. 3 3 3 生2:同底数幂相乘时要运用同底数幂的法则运算,然后所有幂和数字相乘,mx· x= m·x·x= mx2. 4 4 4 归纳法则: 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因 式. [设计意图] 学生运用乘法交换律、结合律等知识探索单项式乘单项式的运算法则,并理解运算法则 及其探索过程,而不仅仅是背法则,使学习知识的过程同时成为提高学生分析和解决问题能力的过程. 思路二 [过渡语] 同学们仔细想一想,如何利用学过的知识来探究单项式与单项式相乘的运算? 1.课件展示导入二的情境图和问题. x·mx= . 3 mx· x= . 4 [处理方式] 学生分组合作,讨论交流,教师巡视过程中观察学生完成的情况,帮助有困难的学生解决问 题.对于解决思路比较好的学生给予鼓励. 教师展示解题过程,让学生对照自己的做法,加以对比,并说出做题的依据. 解:x·mx =m·(x·x)——乘法交换律、结合律 =mx2.——同底数幂乘法运算性质 3 mx· x 4 (3 ) = m ·(x·x)——乘法交换律、结合律 4 3 = mx2.——同底数幂乘法运算性质 4 议一议:如何进行单项式乘单项式的运算? [处理方式] 小组之间合作探究,然后教师归纳总结. (1)单项式乘单项式,系数相乘,相同字母的幂分别相乘. (2)单独的字母连同它的指数不变,作为积的因式.2.师生共同归纳. (板书)单项式与单项式相乘的步骤: (1)系数相乘; (2)相同字母的幂相乘; (3)其余字母连同它的指数不变,作为积的因式. [设计意图] 互动环节让学生经历知识的形成过程,在互动中发现规律,获得真知,体验和分享学习的乐 趣,提升基本技能和分析能力. 3.试一试. 3a2b·2ab3 =(3×2)·(a2·a)·(b·b3)(系数与系数、相同字母的幂分别相乘) =6a3b4(同底数幂乘法运算性质). 探究活动2 法则应用 (教材例1)计算. 1 (1)2xy2· xy; 3 (2)- 2a2b3·(- 3a); (3)7xy2z·(2xyz)2. [处理方式] 学生独立解决,教师深入到学生之中进行观察,对于发现的问题进行指导,让学生及时纠正. 找三位同学到黑板上板书,展示刚才的学习成果. 展示成果: ( 1) 解:(1)原式= 2× ·(x·x)·(y2·y) 3 2 = x2y3. 3 (2)原式=[(- 2)×(- 3)]·(a2·a)·b3 =6a3b3. (3)原式=7xy2z·4x2y2z2 =(7×4)·(x·x2)·(y2·y2)·(z·z2) =28x3y4z3. [设计意图] 设计例题的主要目的是让学生体会单项式的乘法法则,第(1)小题纯粹是体会法则;第(2)小 题是提醒学生注意系数是负数时,计算时要注意符号,书写时要注意加括号,还要注意单独的幂不要漏掉;第 (3)小题应注意运算顺序,不要直接相乘,因为这里的后一项还有积的乘方的运算,要先进行. 计算. (1)(- 5a2b)·(- 2a2); (2)2a2·(- 2a)3+(2a4)·5a. [处理方式] 学生独立完成后,交流解题情况,教师巡视指导,规范书写格式,并及时引导学生完成练习. 解:(1)(- 5a2b)·(- 2a2)=(- 5)·(- 2)a2+2b=10a4b. (2)2a2·(- 2a)3+(2a4)·5a=2a2·(- 8a3)+10a5=- 6a5. [设计意图] 在应用法则的过程中,引导学生进行解题后的反思,进一步体会整式乘法法则,起到巩固练 习和规范解题过程的作用.这些将促使学生知识水平和能力水平的同时提高. [知识拓展] 1.对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式丢掉,要连同它的指数一起写在积的因式里. 2.单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 3.单项式乘单项式的结果仍是一个单项式. 1.单项式乘单项式的原理是乘法的交换律和结合律.2.单项式乘单项式的法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同 它的指数不变,作为积的因式. 3.单项式乘单项式的注意事项: (1)对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式丢掉,要连同它的指数一起写在积的因式里. (2)单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. (3)单项式乘单项式的结果仍是一个单项式. 1 1.计算(2a2)3· a的结果是 ( ) 2 A.3a7 B.4a7 C.a7 D.4a6 1 1 解析:(2a2)3· a=8a6· a=4a7.故选B. 2 2 2.若( )×3xy=3x2y,则( )中应填的单项式是 ( ) A.xyB.3xy C.x D.3x 解析:将选项中单项式分别代入,只有C选项符合.故选C. 3.计算:3a2b3·2a2b= . 解析:3a2b3·2a2b=6a4b4.故填6a4b4. 5 4.如果单项式- 3x2ny3与- x2y3n- 2m是同类项,则这两个单项式的积是 . 3 5 解析:因为单项式- 3x2ny3与- x2y3n- 2m是同类项,所以2n=2,且3=3n- 2m,解得n=1,m=0,所以单项式- 3x2y3 3 5 与- x2y3的积是5x4y6.故填5x4y6. 3 5.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正? (1)4a3·2a2=8a6; (2)2x4·3x4=6x8; (3)3x2·4x2=12x2; (4)3y3·4y4=12y12. 解析:根据单项式乘单项式的法则进行判断. 解:(1)不对,原式=8a5. (2)对. (3)不对,原式=12x4. (4)不对,原式=12y7. 6.计算:(- xy2z3)4·(- x2y)3. 解:(- xy2z3)4·(- x2y)3 =x4y8z12·(- x6y3) =- x10y11z12. 第1课时 探究活动1 单项式与单项式相乘 探究活动2 法则应用 例1 例2一、教材作业 【必做题】 教材第15页习题1.6知识技能第1题. 【选做题】 教材第15页习题1.6问题解决第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下面计算错误的是 ( ) A.3a3·(- 2a2)=- 6a5 B.(3a)2·2a2=18a4 C.3a3·2a2=6a6 D.(- 3a2)·(- 2a2)=6a4 2.计算2x3·x2的结果等于 ( ) A.2 B.x2 C.2x5 D.2x6 3.计算:(- 2.5x2)·(- 4x). 【能力提升】 4.(2015·聊城中考改编)下列运算正确的是 ( ) A.a2+a3=a5 B.(- a3)2=a6 C.ab2·3a2b=3a2b2 D.- 2a3·a2=- 2a6 5.若am+1bn+1·a2nb2m=a5b3,则m+n的值为多少? 【拓展探究】 1 1 1 6.已知x=4,y=- ,求代数式 xy2·14(xy)2· x5的值. 8 7 4 【答案与解析】 1.C(解析:选项A中3a3·(- 2a2)=- 6a5,结果正确;选项B中(3a)2·2a2=18a4,结果正确;选项C中3a3·2a2=6a5,结果 错误;选项D中(- 3a2)·(- 2a2)=6a4,结果正确.故选C.) 2.C(解析:2x3·x2=2x5.故选C.) 3.解:(- 2.5x2)·(- 4x)=(- 2.5)×(- 4)×x3=10x3. 4.B(解析:A.a2与a3不是同类项,不能合并,故本选项错误;B.(- a3)2=a6,正确;C.应为ab2·3a2b=3a3b3,故本选项错 误;D.应为- 2a3·a2=- 2a5,故本选项错误.故选B.) 5.解:因为am+1bn+1·a2nb2m=am+1+2nbn+1+2m=a5b3,所以m+2n+1=5,2m+n+1=3,所以m+2n=4,① 2m+n=2,② 由①+② 得3m+3n=6,则m+n=2. 1 1 (1 1) 1 1 1 1 1 1 6.解: xy2·14(xy)2· x5= ×14× ·(x·x2·x5)·(y2·y2)= x8y4,当x=4,y=- 时, x8y4= (xy)4·x4= × 7 4 7 4 2 8 2 2 2 16 ×44=8.根据乘法交换律和结合律得到单项式乘单项式法则的内容,通过类比的思想方法,由数的运算引出式的 运算规律,体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系,符合学生的认知规律,并在得出结论的 过程中,与学生一起探讨,注重学生的参与,从课堂上做习题的情况来看,学生掌握的比较好.整堂课中学生参 与性较强,气氛活跃,知识落实到位. 在整个教学过程中,部分学生对于符号不能正确做出判断,主要是漏掉括号或者去括号错误;还有的学生 对混合运算中符号及各种运算法则混淆不清,运用还不够熟练.对这些问题的解决除了加强基本法则运用之 外,还应对于综合题目多加练习,以达到巩固提高的目的. 教学中要多尊重学生的个体差异,尊重学生在展示过程中所表现出的不同水平,对学习有困难的学生,教 师要给予及时的关照和帮助,尽量给他们以发言的机会,鼓励他们主动参与学习,发表看法,要肯定他们的点 滴进步,以增强他们的兴趣和信心,而不能每次都由优等生进行总结. 随堂练习(教材第15页) 解:(1)10x5y. (2)12ab3. (3)6a2b. (4)2y3z3. (5)- 32x7y5. (6)2a10b3c5. 习题1.6(教材第15页) 知识技能 1 1.解:(1)- 8x2y4. (2)a4b6c. (3)2x4y3. (4) x3y4z. (5)x7y5z3. (6)- 2a8b4c5. 4 问题解决 2.解:(1)4y·2x+x(4y- 2y)+y·(4x- 2x- x)=11xy(m2).a·11xy=11axy(元). (2)[2(2x+4y)+2(4x- 2x+2y)]h=(8x+12y)·h(m2).b·(8hx+12hy)=(8x+12y)bh(元). 计算:(- 2xy2z3)2·(- x2y)3. 〔解析〕 在进行单项式乘单项式的运算时,如果单项式是乘方的形式,首先要算出结果,然后再进行单 项式的乘法运算. 解:(- 2xy2z3)2·(- x2y)3 =4x2y4z6·(- x6y3) =4×(- 1)·(x2·x6)·(y4·y3)·z6 =- 4x8y7z6. 第 课时1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理 解运算法则. 2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算. 理解单项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力. 在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中获得成就感,激发学习数学的兴趣. 【重点】 单项式与多项式相乘的运算法则及其应用. 【难点】 灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P16~17. 导入一: [过渡语] 上节课我们学习了单项式乘单项式,哪位同学能举例说明它是怎样计算的? [处理方式] 先想一想,同桌间互相说一说单项式与单项式相乘的法则:把它们的系数、相同字母的幂 分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式. 问题1 计算. (1)- m2·m2; (2)(xy)3·xy2; (3)(- 2a3b)·(- 6ab6c); (4)2xy2·3yx. [处理方式] 学生独立在练习本上写出解题过程,教师巡视过程中帮助有困难的学生,找部分学生板书 解题过程. 解:(1)- m4. (2)x4y5. (3)12a4b7c. (4)6x2y3. 问题2 本章我们学习的内容是整式的乘除,整式包括什么? (1)单项式和多项式统称整式. (2)几个单项式的和叫做多项式,整式乘法除了单项式乘单项式外,还应该有单项式乘多项式和多项式乘 多项式. 问题3 京京精心制作的两幅画我们上节课已欣赏过.宁宁不甘落后,也制作了一幅画(教师课件展示),所用纸的 1 大小与京京的相同,她在纸的左右两边各留了 x m的空白,这幅画的画面面积是多少? 8[处理方式] 学生在练习本上表示这幅画的面积,教师巡视,发现学生的不同表示方法.几位学生展示自 己的结果并说明自己的思考方法. ( 1 ) 生1:面积为x mx- x 平方米; 4 生2:面积为 ( mx2- 1 x2) 平方米. 4 ( 1 ) 【思考】 如何计算x· mx- x 呢? 4 这就是我们这节课要研究的单项式与多项式相乘的问题. [设计意图] 利用上节课学习过的知识学生很容易得到答案,激发学生学习兴趣. 导入二: [过渡语] 上节课我们学习了单项式与单项式相乘.请同学们利用学过的法则完成下面的题目. 1.计算. 1 (1)3a2b·2abc· abc2; 3 (2) ( - 1 m3n ) 3 ·(- 2m2n)4. 2 [处理方式] 首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则,然后让两学生板书,其余学生在练习本上 完成,小组交流,发现问题,师生共同纠正. 2.写一个多项式,并说明它的次数和项数. (m+n- p的次数为一次,项数为三项) 3.师:整式包括什么? 生:单项式和多项式. 师:整式的乘法,上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.整式的乘法还应包括哪些内 容呢? 生:单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘. 师:我们这节课就接着来学习整式的乘法中单项式与多项式相乘. [设计意图] 单项式乘多项式最终转化为单项式乘单项式,所以帮助学生理解单项式与多项式的联系 非常重要.问题的设计是让学生从宏观上把握所学知识间的关系,不仅回顾了上节课所学知识,而且自然地 复习了有关多项式的知识,为本节课的学习奠定了基础.探究活动1 单项式乘多项式的运算法则 思路一 结合图片,由导入一的问题3回答下列问题: (1)画面的面积有几种表达形式?它们之间有什么关系? (2)你能用学过的有关性质说明上面等式成立的原因吗? (3)ab·(abc+2x)和c2·(m+n- p)等于什么?你是怎样计算的? (4)如何进行单项式与多项式相乘的运算? ( 1 ) 1 [处理方式] (1)先让学生通过不同的计算方式,得到x mx- x =mx2- x2这个等式. 4 4 (2)用乘法分配律、同底数幂的乘法性质说明其成立的原因.在这里要注意面积相等法的渗透. (3)通过探究ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x和c2·(m+n- p)=c2·m+c2·n- c2·p的结果,让学生进一步明确单项式 乘多项式的实质就是应用乘法分配律进行计算,并由学生总结得到法则. (4)用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. ( 1 ) 1 [设计意图] 从实际问题出发,学生通过同一面积的不同表达方式,得到x mx- x =mx2- x2这个 4 4 等式,然后再通过乘法分配律验证这一等式,从而很自然地得出单项式乘多项式的法则.在这里重要的是能 够理解运算法则及其探索过程,体会运用乘法分配律将单项式乘多项式转化为上节课学习的单项式乘单项 式,不必要求学生背诵法则. 思路二 问题1 你能运用乘法分配律计算ab·(abc+2x)及c2·(m+n- p)吗?你是怎样计算的?说明每一步的理由. 解:ab·(abc+2x) =ab·abc+ab·2x(乘法分配律) =a2b2c+2xab(单项式乘法的运算法则). c2·(m+n- p) =c2·m+c2·n- c2·p(乘法分配律). 问题2 根据上面的分析,你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗? [处理方式] 要求学生先独立思考,再在小组内交流,之后全班交流. 展示交流成果: (1)单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. (2)单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,这样新知识就转化成了我们 学过的知识. [设计意图] 设置问题是让学生获得更充分的体验,为下面顺利归纳单项式与多项式的乘法法则铺平 道路.多数学生明白怎么做,但是组织语言时不够简练,只要意思正确,教师都应加以肯定,再鼓励他们不断精 炼语言,最后总结出单项式乘多项式的法则.探究活动2 单项式乘多项式法则的应用 [过渡语] 同学们通过自己的探索得出单项式与多项式相乘的法则,那么大家能不能用法则来解决问 题呢? (教材例2)计算. (1)2ab(5ab2+3a2b); (2) (2 ab2- 2ab ) · 1 ab; 3 2 (3)5m2n(2n+3m- n2); (4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz. [处理方式] 教师示范性板书(1)(2)两题,其余两题学生独立尝试完成,教师巡视批阅,根据巡视批阅中发 现的问题,有针对性地讲解,并分析产生错误的原因. 教师示范性板书: 解:(1)2ab(5ab2+3a2b) =2ab·5ab2+2ab·3a2b——单项式乘多项式法则 =10a2b3+6a3b2.——单项式乘法的运算法则 (2) (2 ab2- 2ab ) · 1 ab 3 2 2 1 1 = ab2· ab+(- 2ab)· ab——单项式乘多项式法则 3 2 2 1 = a2b3+(- a2b2)——单项式乘法的运算法则 3 1 = a2b3- a2b2. 3 展示学生解题过程: (3)5m2n(2n+3m- n2) =5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(- n2) =10m2n2+15m3n- 5m2n3. (4)2(x+y2z+xy2z3)·xyz =2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz =2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4. 应用法则时要注意的问题: (1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同. (2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负. (3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序. 追问:若将例题中第(3)题变为(- 5m2n)·(2n+3m- n2)如何做呢? [处理方式] 学生分组合作,讨论交流,类比数的运算律共同完成,教师巡视学生完成的情况,帮助学生解 决问题. 教师展示解题过程,让学生对照自己的做法,加以对比,并说出做题的依据. (- 5m2n)·(2n+3m- n2) =(- 5m2n)·2n+(- 5m2n)·3m+(- 5m2n)·(- n2) =- 10m2n2- 15m3n+5m2n3. [知识拓展] 1.单项式与多项式相乘时,一定要按照顺序进行运算,否则容易造成漏项或增项的错误,尤其要注意不要 遗忘多项式中的常数项. 2.单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,其项数与原多项式的项数相同.1.单项式与多项式相乘,根据乘法分配律可以转化成单项式与单项式相乘;单项式与单项式相乘,根据乘 法交换律和结合律可转化成同底数幂乘法的运算. 2.单项式乘多项式的运算法则:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 3.单项式乘多项式的注意事项: (1)单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同. (2)单项式分别与多项式的每一项相乘时要注意积的各项符号的确定:同号相乘得正,异号相乘得负. (3)不要出现漏乘现象,运算要有顺序. 1.判断题. (1)3a4·(2a2- 2a3)=6a8- 6a12. ( ) 1 1 1 (2) a·(a2+a+2)= a3+ a2+1. ( ) 2 2 2 (3)- x2·(2y2- xy)=- 2x2y2+x3y. ( ) (4)(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2a2x- 2bx- 6x.( ) 1 1 1 解析:(1)错,正确运算为3a4·(2a2- 2a3)=6a6- 6a7;(2)错,正确运算为 a·(a2+a+2)= a3+ a2+a;(3)对;(4)错,正 2 2 2 确运算为(- 2x)·(ax+b- 3)=- 2ax2- 2bx+6x. 答案:(1)✕ (2)✕ (3)√ (4)✕ 2.下列运算正确的是 ( ) A.3x2(5x2- x3)=15x4- 3x6 B.- a(2a- b)=- 2a2- ab C.- 3x(2x2y- 3y)=- 6x3y+9xy D.- 2(a- 3b)=- 2a+3b 解析:选项A错误,3x2(5x2- x3)=15x4- 3x5;选项B错误,- a(2a- b)=- 2a2+ab;选项C正确;选项D错误,- 2(a- 3b)=- 2a+6b.故选C. 3.计算. (1)(- 3x2)·(2x3+x2- 1); (2) ( - 1 xy+ 3 y2- x2) ·(- 6xy2). 3 2 解:(1)(- 3x2)·(2x3+x2- 1) =(- 3x2)·2x3+(- 3x2)·x2+(- 3x2)·(- 1) =- 6x5- 3x4+3x2. (2) ( - 1 xy+ 3 y2- x2) ·(- 6xy2) 3 2 ( 1 ) 3 = - xy ·(- 6xy2)+ y2·(- 6xy2)+(- x2)·(- 6xy2) 3 2 =2x2y3- 9xy4+6x3y2. 4.已知ab2=- 6,求- ab(a2b5- ab3- b)的值. 解:- ab(a2b5- ab3- b)=(- ab)·a2b5+(- ab)·(- ab3)+(- ab)·(- b) =- a3b6+a2b4+ab2 =(- ab2)3+(ab2)2+ab2. 当ab2=- 6时,原式=(- ab2)3+(ab2)2+ab2 =[- (- 6)]3+(- 6)2+(- 6) =216+36- 6=246. 第2课时 探究活动1 单项式乘多项式的运算法则 探究活动2 单项式乘多项式法则的应用 例题 一、教材作业 【必做题】 教材第17页习题1.7知识技能第1题. 【选做题】 教材第17页习题1.7问题解决第3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.计算2x2y· (1 - 3xy+ y2) 的结果是 ( ) 2 A.2x2y- 6x2y+2x2y3 B.x2y- 3x3y2+y3 C.x2y+6x3y2+2x3y3 D.x2y- 6x3y2+2x2y3 2.一个长方体的长、宽、高分别是3x- 4,2x,x,则它的体积是 ( ) A.3x3- 4x2 B.6x3- 8x2 C.x2 D.6x2- 8x 3.计算:(2x2- 3xy+4y2)·(- xy)= . 4.计算:3a(a2- 2a+1)- 2a2(a- 3). 【能力提升】 5.当x=2时,代数式x2·(2x)3- x(3x+8x4)的值是多少? 6.已知x2y=3,求2xy(x5y2- 3x3y- 4x)的值. 【拓展探究】 7.若(- 2x2y)·(- xmy+3xy3)=2x5y2- 6x3yn,求m,n的值. 【答案与解析】 1.D(解析:2x2y· (1 - 3xy+ y2) =x2y- 6x3y2+2x2y3.故选D.) 2 2.B(解析:长方体的体积=长×宽×高=(3x- 4)·2x·x=6x3- 8x2.) 3.- 2x3y+3x2y2- 4xy3(解析:(2x2- 3xy+4y2)·(- xy)=2x2·(- xy)- 3xy·(- xy)+4y2·(- xy)=- 2x3y+3x2y2- 4xy3.故填- 2x3y+3x2y2- 4xy3.) 4.解:3a(a2- 2a+1)- 2a2(a- 3)=3a3- 6a2+3a- 2a3+6a2=a3+3a. 5.解:x2·(2x)3- x(3x+8x4)=x2·8x3- (3x2+8x5)=8x5- 3x2- 8x5=- 3x2.当x=2时,原式=- 3×22=- 12.6.解:2xy(x5y2- 3x3y- 4x)=2x6y3- 6x4y2- 8x2y=2(x2y)3- 6(x2y)2- 8x2y=2×27- 6×9- 8×3=54- 54- 24=- 24. 7.解:因为(- 2x2y)·(- xmy+3xy3)=2x5y2- 6x3yn,所以2x2+my2- 6x3y4=2x5y2- 6x3yn,所以m+2=5,n=4,所以m=3,n=4. 教学时注重选择了有层次的例题和练习,渗透了类比、转化、整体代入等重要的数学思想方法.课堂上 充分利用学习小组,组织学生开展合作学习,教师通过对小组进行评价,激发学生的竞争意识,让课堂学习更 高效. 例题的处理并不是单一的教师讲,学生听,而是先让学生独立尝试解决.事实上,教师提前就预料到了学 生容易出现哪些错误,但只有让学生在解决问题的过程中亲身经历错误,才能真正提高解决问题的能力. 教学时发现学生存在以下问题:一是前面学习的幂的运算性质容易混淆,二是运算能力及解题技巧还有 所欠缺,在计算单项式的系数与多项式每项的系数相乘时,符号的确定上容易出错.在下一步的教学中应加 强训练,不断提高学生的计算能力. 学生对于应用单项式乘多项式法则问题不大,但是做错题的比例很大,原因是幂的三个运算法则及合并 同类项在混合应用时,学生特别容易出错,这方面还要利用以后多项式乘多项式的教学让学生更加熟练应用 各种法则,明确每一步的算理. 随堂练习(教材第17页) 1 解:(1)a3m+an. (2)b3+3ab2- a2b2. (3) x4y4- x3y. (4)4e2f2d+4ef4d2. 2 习题1.7(教材第17页) 知识技能 1 1.解:(1)10x3- 15x2+20x. (2)- 6x2+18xy. (3)- a3b- 2a2b2. (4) x3y3- 3x2y3. 3 1 (a) 2 1 (a) 2 3 2.解:(1)S = π· - π· = πa2. (2)S =ab- (b- t)(a- t)=at+bt- t2. 阴 2 2 2 4 32 阴 问题解决 3.解:n(n+1)=n2+n(枚). 通过创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极探索.教学环境的设计与展开,都以 问题的解决为中心.教学时还要引导学生发现各知识点之间的联系,善于应用转化思想,化未知为已知,形成 较完整的知识结构. 先化简,再求值:2x(x- y)- y(4x- y)+2xy,其中x=2,y=- 3. 〔解析〕 利用单项式乘多项式展开,再合并同类项,最后代入求值.解:2x(x- y)- y(4x- y)+2xy =2x2- 2xy- 4xy+y2+2xy =2x2- 4xy+y2, 当x=2,y=- 3时, 原式=2×4- 4×2×(- 3)+9=8+24+9=41. 第 课时 1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义,理 解运算法则. 2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算. 理解多项式乘多项式运算的算理,发展学生有条理的思考能力和语言表达能力. 在探索多项式与多项式乘法运算法则的过程中,获得成就感,激发学习数学的兴趣. 【重点】 多项式与多项式相乘的运算法则及应用. 【难点】 灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P18~19. 导入一: 问题1 1.如何进行单项式乘多项式的运算?你能举例说明吗? 2.计算. (1)(3mn)2·(m2+mn- n2); (2)2a2- a(2a- 5b)- b(2a- b). [处理方式] 教师提出问题,引导学生复习上节课所学的单项式乘多项式.大多数学生能够熟练说出单 项式乘多项式的运算法则,通过练习发现个别学生在计算时出错,主要是第(2)小题中的符号处理出现错误. 通过教师与学生共同订正,使学生的认识有进一步的提高.[设计意图] 单项式乘多项式运算是多项式乘多项式运算的基础,所以帮助学生回忆单项式乘多项式 的运算非常必要.课前通过单项式乘多项式的热身活动,帮助学生唤起对旧知识的记忆,重温探索法则的过 程中所积累的活动经验. 问题2 小明家承包了一块如图所示的长方形基地,准备在这块地上种四种不同的蔬菜,你能用几种方法表示这 块地的面积? 生1:这是一个长方形,面积应为长乘宽,即(m+b)(a+n). 生2:还可以看成是四个小长方形的面积和,即ma+mn+ab+bn. 师:同学们观察得很仔细,通过这两种方法计算这块地的面积,你有什么新的发现?这就是我们这节课所 要学习的内容——多项式乘多项式. [设计意图] 利用图形学生很容易得到不同的答案,激发学生的学习兴趣. 导入二: [过渡语] 本节课首先请同学们来做一个拼图游戏,大家有没有兴趣? 请同学们拿出准备好的长方形卡片,选取其中的两张,用它们拼成更大的长方形,尽可能采用多种拼法. [处理方式] 小组合作拼图. 【思考】 问题1 分别列代数式表示所拼成长方形的面积,你能发现什么?并说出其中包含什么运算. 展示学生拼图: (1)拼出的长方形如图(1)所示,面积为m(a+n)=ma+mn,含有单项式乘多项式运算. (2)拼出的长方形如图(2)所示,面积为m·2n=2mn,含有单项式乘单项式运算. (3)拼出的长方形如图(3)所示,面积为b(a+n)=ba+bn,含有单项式乘多项式运算. (4)拼出的长方形如图(4)所示,面积为n(m+b)=nm+nb,含有单项式乘多项式运算. (5)拼出的长方形如图(5)所示,面积为a(m+b)=am+ab,含有单项式乘多项式运算. 问题2 将四个图形进一步摆拼,会得到更大的长方形,试一试,也许你们会有新的发现.拼出的长方形如图所示,面积为(m+b)(a+n),含有多项式乘多项式运算. 师:(m+b)(a+n)运算的结果是什么?这就是我们本节课所要研究的多项式乘多项式的运算. [设计意图] 此环节让学生在小组内合作完成,增强了趣味性,以上设计将拼图游戏分为两个层次,首先 让学生选择两个图形摆拼,得出单项式乘单项式运算及单项式乘多项式运算,一方面是对前两节课单项式乘 单项式运算及单项式乘多项式运算的几何解释及法则的复习,更重要的是为本节课用这种方法探究多项式 乘多项式的运算打下基础.在活动中培养了学生的观察、操作能力. 探究活动1 多项式乘多项式的运算法则 思路一 某校为了迎接省级规范化学校验收,领导决定扩大学校中心花园的绿地面积.如图所示,把一块原长a米、 宽m米的长方形绿地增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? [处理方式] 让学生先观察图形,小组讨论后回答,然后教师板书出学生得到的结果,即: 方法1:先分别求出四个小长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)平方米. 方法2:先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)平方米. 由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 讨论(a+b)(m+n)展开的结果.(教师适当提醒) (1)把(a+b)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn. (2)把(m+n)看成一单项式时,(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn. 师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积 相加. 用公式表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. [设计意图] 通过老师的提示把其中一个多项式当成一个整体变成单项式乘多项式,把未知一步一步 转化为已掌握的知识,让学生认识知识的产生过程,加深对知识的理解,通过用文字语言表示法则,训练学生 语言表达能力,也是字母语言向文字语言的转化,进一步体会转化的思想. 思路二 问题1 如图(1)所示的是一个长和宽分别为m,n的长方形绿化带,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形绿 化带(如图(2)所示)的面积可以怎样用代数式表示? [处理方式] 学生独立思考后,全班交流,主要产生了以下四种解法. 方法一:长方形的长变为(m+a),宽变为(n+b),所以面积可以表示为(m+a)(n+b). 方法二:长方形可以看做是由上、下两个长方形组成的,上面的长方形面积为b(m+a),下面的长方形面 积为n(m+a),这样长方形的面积就可以表示为n(m+a)+b(m+a),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果 等于nm+an+bm+ba.方法三:长方形可以看做是由左、右两个长方形组成的,左边的长方形面积为m(b+n),右边的长方形面 积为a(b+n),这样长方形的面积就可以表示为m(b+n)+a(b+n),根据上节课单项式乘多项式的法则,可知结果 等于mb+mn+ab+an. 方法四:长方形可以看做是由四个小长方形拼成的,四个小长方形的面积分别为mn,mb,an,ab,所以长方 形的面积可以表示为mb+mn+ab+an. 将四种方法的过程板书到黑板上,由于求的是同一个长方形的面积,于是我们得到: (m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mb+mn+ab+an. 式子的最左边是两个多项式相乘,最右边是相乘的结果,由此得到多项式与多项式的乘法法则. [设计意图] 引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想.在上一课时中,学生已经有了利用 图形面积探究法则的经验,因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难. 问题2 教师设置三个层层递进的问题: 1.你能说出(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)这一步运算的道理吗? 2.结合算式(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab,你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算吗? 3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则. [处理方式] 学生独立思考,顺利完成前两个问题.在教师的启发引导下,学生归纳总结,得到多项式乘多 项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. [设计意图] 学生利用图形面积得出数学猜想,进一步进行验证,发展推理能力.这里设置了三个层层递 进的思考题,目的是进一步加强学生对算理的认识.问题1设置的比较简单,学生很容易答出把(m+a)看做是 一个整体,利用单项式乘多项式法则或者利用乘法分配律即可得到.设置问题2的目的是以具体的题目为依 托,直观总结如何进行多项式与多项式相乘的运算,为下一步抽象概括多项式乘多项式的法则做好铺垫,扫清 障碍. 探究活动2 多项式乘多项式法则的应用 [过渡语] 同学们已经明确了多项式乘多项式的法则,你能运用所学的知识解决下列问题吗? 1.例题讲解. (教材例3)计算. (1)(1- x)(0.6- x); (2)(2x+y)(x- y). [处理方式] 先让学生说出(1)的过程,老师板书,再找学生板书(2)的过程.教师巡视批阅,根据巡视中发 现的问题进行有针对性的讲解. 教师板书(1)的解题过程: (1)(1- x)(0.6- x) =1×0.6- 1×x- x×0.6+x2 =0.6- x- 0.6x+x2 =0.6- 1.6x+x2. 学生板书(2)的解题过程: (2)(2x+y)(x- y) =2x·x- 2xy+yx- y2 =2x2- 2xy+xy- y2 =2x2- xy- y2. 2.例题仿练. 计算:(x- 3y)(x+3y). [处理方式] 学生自主思考问题后,两生板演,教师巡视批阅,点拨有困难的学生进行解题,根据巡视中发 现的问题进行有针对性的讲解. 学生板书: (x- 3y)(x+3y) =x·x+x·3y- 3y·x- 3y·3y =x2+3xy- 3xy- 9y2 =x2- 9y2. 3.总结强调.运用多项式与多项式相乘的法则时应注意: (1)多项式与多项式相乘,要防止漏项; (2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号; (3)多项式乘多项式,仍得多项式; (4)最后的结果应合并所有的同类项. [知识拓展] 1.要正确理解法则中的两个“每一项”的含义. 2.多项式与多项式相乘,在合并同类项之前,积的项数是两个多项式的项数之积,例如二项式乘三项式,其 积在没合并同类项前是六项. 1.多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所 得的积相加. 2.运用多项式与多项式相乘的法则时应注意: (1)多项式与多项式相乘,要防止漏项; (2)由于运算量较大,书写繁杂,所以应特别注意符号问题,多项式的每一项都包含它前面的符号; (3)多项式乘多项式,仍得多项式; (4)最后的结果应合并所有的同类项. 1.已知(x+3)(x- 8)=x2+px+q,则p= ,q= . 解析:因为(x+3)(x- 8)=x2- 8x+3x- 24=x2- 5x- 24=x2+px+q,所以p=- 5,q=- 24. 答案:- 5 - 24 2.计算:(2a- 3b)(a+5b). 解:(2a- 3b)(a+5b) =2a2+10ab- 3ab- 15b2 =2a2+7ab- 15b2. 3.计算:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2). 解:(3a- 2)(a- 1)- (a+1)(a+2) =3a2- 3a- 2a+2- (a2+3a+2) =3a2- 5a+2- a2- 3a- 2 =2a2- 8a. 4.先化简,再求值:(a+2b)2+(b+a)(b- a),其中a=- 1,b=2. 解:(a+2b)2+(b+a)(b- a) =(a+2b)(a+2b)+b2- a2 =a2+4ab+4b2+b2- a2 =5b2+4ab. 当a=- 1,b=2时,原式=12. 第3课时 探究活动1 多项式乘多项式的运算法则 探究活动2 多项式乘多项式法则的应用 例题 一、教材作业 【必做题】 教材第19页习题1.8知识技能第1题. 【选做题】教材第19页习题1.8问题解决第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.三个连续奇数,若中间一个为n,则它们的积为( ) A.6n2- 6nB.4n3- n C.n3- 4n D.n3- n 2.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ,再把所得的 相加. 3.计算. (1)(x+2)(x+3); (2)(a- 4)(a+1); ( 1)( 1) (3) y- y+ . 2 3 4.已知(2x+a)(5x- 2)=10x2+6x+b,求a,b的值. 【能力提升】 5.(2014·金华中考)先化简,再求值:(x+5)(x- 1)+(x- 2)2,其中x=- 2. 6.已知x+3y=0,求x3+3x2y- 2x- 6y的值. 【拓展探究】 7.已知(3x2- 2x+1)(x+b)中不含x2项,求b的值. 【答案与解析】 1.C(解析:因为三个连续奇数,中间一个为n,所以前一个为n- 2,后一个为n+2,所以乘积为(n- 2)·n·(n+2)=n3- 4n.故选C.) 2.每一项 每一项 积 ( 1)( 1) 1 1 1 1 1 3.解:(1)(x+2)(x+3)=x2+5x+6. (2)(a- 4)·(a+1)=a2- 3a- 4. (3) y- y+ =y2+ y- y- =y2- y- . 2 3 3 2 6 6 6 4.解:(2x+a)(5x- 2)=10x2- (4- 5a)x- 2a=10x2+6x+b,所以- (4- 5a)=6,- 2a=b,所以a=2,b=- 4. 5.解:(x+5)(x- 1)+(x- 2)2=x2+4x- 5+(x- 2)(x- 2)=2x2- 1,当x=- 2时,原式=2×(- 2)2- 1=7. 6.解:x3+3x2y- 2x- 6y=(x3+3x2y)- (2x+6y)=x2(x+3y)- 2(x+3y)=(x2- 2)(x+3y),因为x+3y=0,所以原式=0. 7.解:(3x2- 2x+1)(x+b)=3x2·x+3x2·b- 2x2- 2x·b+x+b=3x3+(3b- 2)x2+(1- 2b)x+b,因为积中不含x2项,所以3b- 2=0,所 2 以3b=2,所以b= . 3 教师放手让学生总结归纳,形成良好的学习氛围,体现了新课程的理念,使课堂情感化和趣味化.通过多 项式乘多项式的法则,把这个问题转化为单项式乘单项式,而单项式乘单项式又转化为数的乘法与同底数幂 的乘法,体现新知识与已学知识间的联系,注意转化的思想方法.整堂课中学生参与性较强,气氛活跃,知识落 实到位. 要留给学生足够的时间展示自己,学生在练习中的错误,让学生自己加以纠正,以加深印象,防止今后同 样错误的发生.教学中要继续注重引导学生自我探索与自我发现,注重挖掘教材中的能力增长点,挖掘教材的内涵,着眼 于学生终身发展的需要,为学生的终身发展打下良好基础. 随堂练习(教材第19页) 解:(1)m2- 4n2. (2)2n2- n- 15. (3)x2+4xy+4y2. (4)acx2+(ad+bc)x+bd. 习题1.8(教材第19页) 知识技能 9 1.解:(1)ax+ay+2bx+2by. (2)3ab+ b+10a+15. (3)- 2x2- 5x- 3. (4)- 6m2+m+2. (5)x2- 2xy+y2. (6)4x2- 2 12x+9. 问题解决 2.解:(1)(10n+4)(10n+6)=100n(n+1)+24(n为自然数). (2)在124×126中,n=12,所以124×126=15624. (3)略. 联系拓广 3.解:(a+b+c)·(c+d+e)=ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce. 以学生活动为主,通过精心设计的问题导语,启发、点拨、引导学生进行观察、探究、讨论、对比、归 纳、发现、创造等参与活动,指导学生在课堂实践活动中自主探索,合作交流,获得知识,提高技能,培养创造 意识. 在多项式x5a+x3b+xc- 3中,当x=3时,多项式的值为5,求当x=- 3时,多项式的值. 〔解析〕 将x=3代入x5a+x3b+xc- 3后,得到一个新的关于a,b,c的代数式的值,进而可得到当x=- 3时 多项式的值. 解:由题意得35a+33b+3c- 3=5, 所以35a+33b+3c=8, 所以(- 3)5a+(- 3)3b+(- 3)c- 3 =- (35a+33b+3c)- 3=- 8- 3=- 11. 故当x=- 3时,多项式的值为- 11. 5 平方差公式 1.通过探索平方差公式的过程,进一步培养学生的符号感和推理能力. 2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的计算.1.通过几个具有特殊形式的多项式相乘,找出一般规律,探索平方差公式,并用公式进行简单的计算. 2.通过剪纸拼图,了解平方差公式的几何背景. 通过对平方差公式结构的认识,体会数学中的结构美、简约美. 【重点】 1.平方差公式及其应用. 2.综合运用平方差公式解决简单的实际问题. 【难点】 1.体会如何应用平方差公式. 2.正确理解平方差公式中的a,b. 第 课时 1.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算. 2.在探索平方差公式的过程中,增强学生的符号感和推理能力,培养学生的观察、归纳和概括的能力. 1.通过小组合作,让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦,培养学生之间合作互助的团队精神. 2.通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用.在平方差 公式的推导过程中,培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 1.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 2.鼓励学生交流、活动、合作,初步形成参与数学活动、主动合作的意识. 【重点】 经历探索平方差公式的过程,会用平方差公式进行运算. 【难点】 理解平方差公式的结构特征及灵活应用公式计算. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P20.导入一: 从前,有一个狡猾的地主,把一块边长a(a>2)米的正方形土地租给张大爷种植.第二年,他对张大爷说: “我把这块地变为一边减少2米,相邻另一边增加2米的长方形,继续租给你,租金不变,你也没吃亏,你看如 何?”你知道张大爷是否吃亏了吗?谈谈你的想法,与同伴交流. [处理方式] 学生独立思考分析,并写出计算过程,与同伴交流,积极展示自己的想法. 学生板演:(a+2)(a- 2)=a·a- 2a+2a- 4=a2- 4. 【思考】 你认为张大爷吃亏了吗? 生:张大爷吃亏了.因为张大爷原来土地的面积为a2平方米,后来土地的面积为(a+2)(a- 2)=(a2- 4)平方米, 面积减小了,而租金没变,所以吃亏了. 师:运用多项式乘多项式的法则可以计算(a+2)(a- 2)=a2- 4,那么这种类型的运算有没有简单算法呢?今天 这节课就让我们共同来学习这类多项式乘多项式的运算. [设计意图] 一方面通过对多项式乘多项式法则的复习,为学生本节课的探究学习做好知识铺垫.另一 方面通过故事情境引入,既巩固了多项式乘多项式法则,又设置了悬念,激发学生的求知欲望及学习兴趣,为 本节课平方差公式的探究做好情感铺垫. 导入二: 王捷同学去商店买了单价是9.8元的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,王捷就说出应付99.96元,结 果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说:“你真是个神童,怎么算得这么快?” 同学们,想知道王捷同学是怎样速算的吗?学习了本节课的知识,你就能知道王捷同学速算的奥秘了.我 们快来学习新课吧! [处理方式] 通过讲述“购物速算”这一故事,激发学生的兴趣,让学生主动探索问题,独立列式,尝试解 决. [设计意图] 由生活中的实例引入新课,既能培养学生的学习兴趣,又能激发学生的求知欲,为新课的学 习做好铺垫. 探究活动1 探究平方差公式 思路一 问题1 多项式乘多项式的法则是什么?你能用公式表达出来吗? [处理方式] 学生思考并回答,教师及时纠正并进行点评. 问题2 计算下列各题: (1)(x+2)(x- 2); (2)(1+3a)(1- 3a); (3)(x+5y)(x- 5y); (4)(2y+z)(2y- z). [处理方式] 由四名学生在黑板上板演计算过程,其余学生在练习本上完成.教师巡视,对于计算中出现 的问题及时给予指导,学生完成后共同纠错.同时用不同的彩色粉笔标出题目及结果,为下一步的探究做铺 垫. 问题3 上述各题中相乘的两个多项式有什么特点?它们相乘的结果有什么特点?你有什么发现?再举两例验证 你的发现. [处理方式] 学生观察、思考、讨论,各抒己见,教师引导学生概括出一般性的结论. 问题4 猜一猜:(a+b)(a- b)= .你能用文字语言表达这个规律吗? [处理方式] 通过学生自己的计算、观察、发现、总结、归纳,得出平方差公式(a+b)(a- b)=a2- b2,并发 现公式的特点:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 填空. (a+b)(a- b) a b a2- b2 (1+x)(1- x) (- 3- b)(- 3+b) (a+1)(- a+1) (0.3x- 1)(1+0.3x) [设计意图] 让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(具有的规 律)、猜想的过程,学生在发现规律后,还应通过符号运算对规律进行证明.使学生在探究、合作、交流的过 程中,展示思维过程. 思路二 展示算式及其结果: (1)(x+2)(x- 2)=x2- 22; (2)(1+3a)(1- 3a)=12- (3a)2; (3)(x+5y)(x- 5y)=x2- (5y)2; (4)(2y+z)(2y- z)=(2y)2- z2. 【思考】 (1)等式左边的两个多项式有什么特点? (2)等式右边的多项式有什么规律? (3)你能用一句话归纳出上述等式的规律吗? [处理方式] 小组讨论,分析总结以上算式及运算结果的特征结构.学生积极发言,左边为两数的和乘这 两数的差,即左边是两个二项式的积,在这两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数;右边为这两个 数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反项的平方. 根据学生叙述归纳总结并板书: 平方差公式:(a+b)(a- b)=a2- b2. 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 【思考】 根据平方差公式你能按要求填写下面的表格吗? 与平方差公式 与平方差公式 写成“a2- b2” 算式 计算结果 中a对应的项 中b对应的项 的形式 (x+y)(x- y) (2x+1)(1- 2x) (2a- 3b)(2a+3b) [处理方式] 学生独立完成后小组内交流探讨,老师可以在学生确实有困难时进行适当点拨. 【思考】 使用平方差公式要注意什么? 总结归纳:要注意平方差公式中的a和b可以代表一个字母、一个数字或一个单项式(多项式).当a或b 代表多项式时,进行平方时底数一定要加括号. [设计意图] 对特殊的多项式乘多项式设置问题,使学生在计算过程中发现规律及规律的一般性,提出 自己的猜想,并尝试用数学语言进行描述.同时经过填表、设疑让学生经过思考、讨论、交流,进一步熟悉 平方差公式的本质特征,掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究过程, 从而验证猜想,得到规律,形成结论. 探究活动2 平方差公式的应用 【活动内容1】 下列各式能否用平方差公式进行计算?为什么? (1)(a- b)(a+b); (2)(- b+a)(a- b); (3)(- a+b)(- a- b); (4)(- a- b)(- b+a). [处理方式] 根据公式的特点,指导学生认准公式的特征:这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为 相反数,右边为这两个数的平方差,即完全相同的项的平方减去符号相反的项的平方.教师指名学生口答(1) (3)(4)能运用平方差公式的理由,即回答出相同项是谁,相反项又是谁,并让学生叙述(2)不能应用公式的理由. 【活动内容2】(教材例1)利用平方差公式计算. (1)(5+6x)(5- 6x); (2)(x- 2y)(x+2y); (3)(- m+n)(- m- n). [处理方式] 教师引导学生分析,参照平方差公式“(a+b)(a- b)=a2- b2”解决问题并进行板演算式(1)的 运算过程,然后由两名学生在黑板上板演(2)(3)的计算过程,其余学生在练习本上完成.教师巡视,对于计算中 出现的问题及时给予指导,同时强调不要直接写出结果,要写出利用公式运算的过程,规范运算的步骤.学生 完成后进行讲评. 解:(1)(5+6x)(5- 6x)=52- (6x)2=25- 36x2. (2)(x- 2y)(x+2y)=x2- (2y)2=x2- 4y2. (3)(- m+n)(- m- n)=(- m)2- n2=m2- n2. 【即时训练】 计算. (1)(a+3b)(a- 3b); (2)(3+2a)(- 3+2a); (3)(- 2x+y)(- 2x- y). 解:(1)(a+3b)(a- 3b)=a2- (3b)2=a2- 9b2. (2)(3+2a)(- 3+2a)=(2a)2- 32=4a2- 9. (3)(- 2x+y)(- 2x- y)=(- 2x)2- y2=4x2- y2. [设计意图] 在学生认识公式的基础上,训练学生正确应用公式计算,体会公式在简化运算中的作用,并 通过巩固练习,使学生熟悉公式的结构特点. (教材例2)利用平方差公式计算. ( 1 )( 1 ) (1) - x- y - x+ y ; 4 4 (2)(ab+8)(ab- 8). [处理方式] 本题由学生自主完成,让学生在黑板上板演计算过程,其余学生在练习本上完成,完成后互 相交流.教师巡视,发现学生在运用公式的过程中出现的问题,及时给予指导,强调运算时要注意的事项,并进 行评价,引导学生发现公式中的a,b不仅可以表示具体的数字,还可以是整式. ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 1 解:(1) - x- y - x+ y = - x - y2= x2- y2. 4 4 4 16 (2)(ab+8)(ab- 8)=(ab)2- 82=a2b2- 64. 【即时训练】 计算. (1)(x+2y)(- x+2y); (2)(3m- 5n)(5n+3m); (3)(- 1+xy)(- 1- xy); (4)(- 2ab- 5)(2ab- 5). 解:(1)(x+2y)(- x+2y)=(2y)2- x2=4y2- x2. (2)(3m- 5n)(5n+3m)=(3m)2- (5n)2=9m2- 25n2. (3)(- 1+xy)(- 1- xy)=(- 1)2- (xy)2=1- x2y2. (4)(- 2ab- 5)(2ab- 5)=(- 5)2- (2ab)2=25- 4a2b2. [设计意图] 让学生进一步理解公式并体会公式中a,b的含义,加深对字母含义广泛性的理解. 下列计算对不对?如果不对,怎样改正? (1)(x+2)(x- 2)=x2- 2; (2)(2a2+b2)(2a2- b2)=2a4- b4; (3)(- 3a- 2)(- 3a- 2)=(- 3a)2- 22=9a2- 4. [处理方式] 让学生依据平方差公式的特征判断计算是否正确,重点说出理由及改正后的结果. 解:(1)错;应改为(x+2)(x- 2)=x2- 4. (2)错;应改为(2a2+b2)(2a2- b2)=4a4- b4. (3)错;应改为(- 3a- 2)(- 3a- 2)=9a2+12a+4.[设计意图] 对学生经常出现的错误做具体分析,以加深学生对公式的理解,进一步掌握平方差公式的 本质特征和运用平方差公式必须具备的条件.通过观察平方差公式,体验公式的简洁性,并通过分析公式的 本质特征掌握公式.在认清公式的结构特征的基础上,进一步剖析a,b的广泛含义,抓住概念的核心,使学生对 公式的运用得心应手,起到事半功倍的效果. [知识拓展] 1.a,b仅仅是符号,它们可以表示数,也可以表示式子,无论表示什么,它们的和与差的积一定等于它们的 平方差. 2.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征:公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,而公式的右 边是这两个数的平方差. 1.平方差公式及其应用. 2.平方差公式的字母表示:(a+b)(a- b)=a2- b2. 平方差公式的语言表述:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差. 1.下列式子可用平方差公式计算的是 ( ) A.(a- b)(b- a) B.(- x+1)(x- 1) C.(- a- b)(- a+b) D.(- x- 1)(x+1) 解析:A选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;B选项中对应的项符号分别相反, 不符合公式特点,故此选项错误;C选项中a的符号相同,b的符号相反,符合公式特点,故此选项正确;D选项 中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误.故选C. 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是 ( ) A.(x- 2y)(2y+x) B.(- 2y- x)(x+2y) C.(x- 2y)(- x- 2y) D.(2y- x)(- x- 2y) 解析:A选项(x- 2y)(2y+x)=(x- 2y)(x+2y)=x2- 4y2,所以A选项不正确;B选项(- 2y- x)(x+2y)不符合平方差公 式结构特征,所以B选项正确;C选项(x- 2y)(- x- 2y)=- (x- 2y)(x+2y)=- x2+4y2,所以C选项不正确;D选项(2y- x)(- x- 2y)=(x- 2y)(x+2y)=x2- 4y2,所以D选项不正确.故选B. 3.下列各题的计算是否正确?错的如何改正? (1)(x+2)(x- 2)=x2- 2; (2)(- 3a- 2)(3a- 2)=9a2- 4. 解:(1)错误,改正:(x+2)(x- 2)=x2- 4. (2)错误,改正:(- 3a- 2)(3a- 2)=4- 9a2. 4.计算. (1)(a+3b)(a- 3b); (2)(3+2a)(- 3+2a); (3)(- 2x2- y)(- 2x2+y). 解:(1)(a+3b)(a- 3b)=a2- 9b2. (2)(3+2a)(- 3+2a)=4a2- 9. (3)(- 2x2- y)(- 2x2+y)=(- 2x2)2- y2 =4x4- y2. 5.已知a+2b=5,a- 2b=3,求a2- 4b2的值. 解:由题意可知a2- 4b2=(a+2b)(a- 2b)=5×3=15. 第1课时 探究活动1 探究平方差公式 探究活动2 平方差公式的应用 例1 例2 例3一、教材作业 【必做题】 教材第21页习题1.9知识技能第1题. 【选做题】 教材第21页习题1.9联系拓广第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是 ( ) A.(a+b)(b+a) B.(- a+b)(a- b) (1 )( 1 ) C. a+b b- a D.(a2- b)(b2+a) 3 3 2.下列计算中,错误的有 ( ) ①(3a+4)(3a- 4)=9a2- 4;②(2a2- b)(2a2+b)=4a2- b2;③(3- x)(x+3)=x2- 9;④(- x+y)·(x+y)=- (x- y)(x+y)=- x2- y2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列各式中能用平方差公式计算的有 ( ) (1)(x+1)(1+x); (2)(a+b)(b- a); (3)(- a+b)(a- b); (4)(c2- d2)(c2- d2). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【能力提升】 4.填空:(- 6m+ )(2n+ )=4n2- 36m2. 5.计算. (1)(- 3x+2)(- 3x- 2); (2)(4x- 3)(4x+3)- (x- 2)(2+x). 【拓展探究】 6.计算. (1)(m+2)(m- 2)(m2+4); (2)(a+b+2)(a+b- 2). 7.一块边长为10米的正方形草坪.把这块草坪的一边减少3米,相邻的另一边增加3米,整改前后的草坪的面 积变化了吗? 【答案与解析】 1.C(解析:一个算式能否用平方差公式计算,关键要看这个算式是不是两个数的和与这两个数的差相乘的形 式,选项A,B,D都不符合平方差公式的结构特征,只有选项C可以用平方差公式计算.故选C.) 2.D(解析:①(3a+4)(3a- 4)=(3a)2- 42=9a2- 16;②(2a2- b)(2a2+b)=(2a2)2- b2=4a4- b2;③(3- x)(x+3)=32- x2=9- x2;④(- x+y)(x+y)=- (x- y)(x+y)=- (x2- y2)=- x2+y2.故选D.) 3.A(解析:(1)(3)(4)不符合平方差公式结构特征,(2)符合.故选A.) 4.2n 6m(解析:由(a+b)(a- b)=a2- b2可知(- 6m+2n)(2n+6m)=4n2- 36m2.) 5.解:(1)(- 3x+2)(- 3x- 2)=(- 3x)2- 22=9x2- 4. (2)(4x- 3)(4x+3)- (x- 2)(2+x)=(4x)2- 32- (x2- 22)=16x2- 9- x2+4=15x2- 5. 6.解:(1)(m+2)(m- 2)(m2+4)=(m2- 4)(m2+4)=m4- 16. (2)(a+b+2)(a+b- 2)=[(a+b)+2][(a+b)- 2]=(a+b)2- 22=(a+b)2- 4=a2+2ab+b2- 4. 7.解:改成长方形后,草坪的面积变小了.原正方形草坪:10×10=100(m2).整改后(长方形草坪):(10+3)×(10- 3)=102- 32=91(m2),所以改成长方形后,草坪的面积变小了. 在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动, 培养学生类比的思想方法,让学生学会一些探究的基本方法与思路,让学生自己当老师,一方面让其他学生容易接受,另一方面可增强学生的自信心和学习数学的兴趣,让学生在探究中经历知识产生及发展的过程,体会 学习数学的乐趣. 在教学过程中,应鼓励学生大胆去做、去说、去写,以便发现问题,进行有针对性的矫正.在一些变形的 公式运用中,对于相同项和相反项的识别还要进一步强化. 运用平方差公式计算一定要看是否符合平方差公式的结构特征.要着重指导学生发现平方差公式的特 点:左边为两数的和乘这两数的差,右边为这两个数的平方差.另外还要注意公式中的a,b不仅可以表示具体 的数字,还可以是整式. 随堂练习(教材第21页) 解:(1)a2- 4. (2)9a2- 4b2. (3)x2- 1. (4)16k2- 9. 习题1.9(教材第21页) 知识技能 1 1.解:(1)9x2- 49y2. (2)0.04x2- 0.09. (3)m2n2- 9n2. (4)4x2- 9y2. (5) x2- 4y2. (6)n2- 25m2. 16 联系拓广 2.解:(1)a2n- b2. (2)a4- 1. 为体现学生在教学过程中的主体作用,采用引导学生自主学习、分组协作、合作探究、练习巩固的方 法进行学习. 计算:(2+1)(22+1)(24+1)·…·(2128+1). 〔解析〕 此题直接计算比较复杂,如果注意括号内都是两项之和,可以考虑构造平方差公式,与(2+1) 能构成平方差公式的是(2- 1),两式相乘出现(22- 1),与后面的(22+1)又构成平方差公式,以此类推. 解:(2+1)(22+1)(24+1)·…·(2128+1) =(2- 1)(2+1)(22+1)(24+1)·…·(2128+1) =(22- 1)(22+1)(24+1)·…·(2128+1) =(24- 1)(24+1)·…·(2128+1) =2256- 1. [解题策略] 利用平方差公式的特点巧妙地构造符合平方差公式的形式解决问题.本题考查平方差公 式的应用,构造出符合平方差公式的形式是解决此题的关键,难点在于添加(2- 1),使之与(2+1)满足平方差公 式. 第 课时1.进一步掌握平方差公式,并能运用公式进行简单的运算. 2.会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识进行简单的混 合运算. 让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式解决数学问题的方法, 培养学生观察、归纳、应用能力. 了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,建立学习 数学的信心. 【重点】 利用数形结合的思想方法解释平方差公式和运用平方差公式进行简单计算. 【难点】 掌握平方差公式的结构特征,并能灵活运用平方差公式解决问题. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P21~22. 导入一: [过渡语] 上节课我们学习了平方差公式,现在先来回顾一下,谁能分别用字母和文字语言叙述平方差 公式? [处理方式] 学生口答,教师适时鼓励. 请同学们利用平方差公式快速计算下列各题. (1)(mn- 4n)(mn+4n); (2)(- 2x+3y)(- 2x- 3y); (3)(6m- n)(- 6m- n); (4)(x+1)(x- 1)(x2+1). [处理方式] 学生独立做题,教师巡视,然后出示答案,学生自批,教师利用实物投影展示学生出现的错误 做法,组织学生指出、分析并纠正错误. 师:同学们完成的非常好,这节课我们继续学习平方差公式. [设计意图] 复习巩固平方差公式,让学生把握运用公式的前提条件是两个多项式相乘,且有一项完全 相同,另一项互为相反数.为进一步学习平方差公式相关知识做好准备. 导入二: [过渡语] 大家回顾一下上节课学习的平方差公式,看谁答的又对又快. 1.平方差公式. (1)符号表达式: . (2)文字表达: . [处理方式] 思考后,指名口答,教师进行点评. 2.判断下列算式能否运用平方差公式计算. (1)(a+2)(a- 3);(2)(- m- n)(m- n); (3)(2x+3y)(3x- 2y); (4)(4x- 3)(- 4x- 3). [处理方式] 先小组内交流,然后由小组代表汇报结果:(1)不能;(2)能;(3)不能;(4)能. 师:平方差公式是十分重要的数学知识,它的应用非常广泛,这节课我们继续进行探究. [设计意图] 上节课直接利用多项式乘多项式法则,推导得到平方差公式,设计这一环节的目的是在复 习上节课知识的基础上,为本节课的平方差公式的几何解释和进一步应用平方差公式进行较复杂的化简、 计算做好知识准备. [过渡语] 有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义!那么数学真的没有什么实际意 义吗?请看下面的问题. 探究活动1 拼图游戏,验证公式 思路一 课件展示:如图所示,边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形. (1)请表示图中阴影部分的面积:S= . [处理方式] 对于正方形的面积公式,学生在小学已经学过,且对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完 成.对于有困难的同学,可以向同桌或学习组长请教. (2)请将阴影部分剪拼成一个长方形,画出这个长方形.这个长方形的长= ,宽= ,面积S= . [处理方式] 学生动手画图,对于长方形的面积公式,学生对这个知识点比较熟悉,可让学生口答完成,可 能出现的画法如下: (3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗? [处理方式] 学生通过(1)(2)的探索,很容易从阴影部分面积与长方形的面积相等得出平方差公式:(a+b) (a- b)=a2- b2. [设计意图] 通过面积相等得出平方差公式,使学生体会平方差公式的实际意义,理解数学知识与现实 生活的密切联系,培养学生学数学、用数学的意识. 思路二 [过渡语] 上节课利用多项式乘多项式法则推导得到平方差公式.其实我们还有其他方法来验证、解 释公式的正确性.请看下面的问题: 如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)请用式子表示图(1)中阴影部分的面积.(2)小颖将阴影部分剪拼成了一个长方形(如图(2)所示),这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它 的面积吗? (3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗? [处理方式] 学生分组研讨,教师巡视同学们研讨的情况,随机指导. 教师重点讲解:把剩下的图形(即图(1)中阴影部分)先剪成两个长方形(沿图(1)虚线剪开),我们可以知道, 上边的大长方形宽是(a- b),长是a;下面的小长方形长是(a- b),宽是b.由于大长方形的宽和小长方形的长都是 (a- b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图(2)所示的图形(阴影部分),它的长和宽分别为(a+b), (a- b),面积为(a+b)(a- b).这两部分面积应该是相等的,即(a+b)·(a- b)=a2- b2.这恰好是我们上节课学过的平方 差公式. 探究活动2 速算王的秘密 [过渡语] 通过刚才的学习我们进一步加深了对平方差公式的理解,接着来看下面一组题目.(课件展示) 1.想一想: (1)迅速计算下列各组算式,并观察它们的特点. {7×9= {11×13= {79×81= 8×8= 12×12= 80×80= (2)从以上的计算过程中,你发现了什么规律? (3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗? [处理方式] 独立思考,交流解决方法. 展示:(1)中算式算出来的结果如下: {7×9=63 {11×13=143 {79×81=6399 8×8=64 12×12=144 80×80=6400 方法归纳: (2)从上面的计算可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. (3)设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数分别为a- 1,a+1,则有(a+1)(a- 1)=a2- 1. [设计意图] 让学生经历由特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的探索过程, 体会符号运算对证明猜想的重要作用,以及代数运算的推理作用. 探究活动3 运算中的平方差公式 (教材例3)用平方差公式进行计算. (1)103×97; (2)118×122. [处理方式] 给学生一定时间尝试、交流,让学生体会解题方法. 第(1)题教师指导讲解: 因为103=100+3,97=100- 3, 所以103×97 =(100+3)(100- 3) =1002- 32 =9991. 第(2)题学生独立完成. 118×122 =(120- 2)(120+2) =1202- 4 =14400- 4 =14396. [过渡语] 既然同学们都发现了这个秘密,那么接下来咱们来进行一个比赛,看一看哪个同学算的又快 又准!(出示课件) 计算. (1)(200+1)(200- 1); (2)102×98; (3)9.9×10.1. [处理方式] 利用平方差公式解决问题,教师巡视,指导有困难的学生. 解:(1)(200+1)(200- 1)=2002- 12=40000- 1=39999. (2)102×98=(100+2)(100- 2)=1002- 22=10000- 4=9996. (3)9.9×10.1=(10- 0.1)(10+0.1)=102- 0.12=100- 0.01=99.99. [设计意图] 把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式运用平方差公式计算,体现了转化思想,让 学生体会到利用公式可以进行一些有关于数的简便运算,目的是进一步巩固平方差公式.探究活动4 综合应用平方差公式 [过渡语] 如果把本节课所学的知识与以前的知识融合一下,大家还能解决吗? (教材例4)计算. (1)a2(a+b)(a- b)+a2b2; (2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3). 〔解析〕 上面两个小题是整式的混合运算,平方差公式的应用能使运算简便,还需注意的是运算顺序 以及结果一定要化简. 解:(1)a2(a+b)(a- b)+a2b2 =a2(a2- b2)+a2b2 =a4- a2b2+a2b2 =a4. (2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3) =(2x)2- 52- (4x2- 6x) =4x2- 25- 4x2+6x =6x- 25. 教师强调:2x(2x- 3)的结果要用括号括起来. [设计意图] 运用平方差公式进行简单的混合运算,巩固平方差公式,体会平方差公式在解决计算类问 题时的简便作用. [知识拓展] 平方差公式中的字母不仅可以表示一个数字或一个单项式,也可以表示一个多项式,如 (a+b- c)(a- b+c)=[a+(b- c)][a- (b- c)].也可以用来计算一些较大数的乘法. 对于形如两数和与这两数差相乘的运算,就可以运用平方差公式来计算;在整式的乘法中只有符合公式 要求的乘法才能用公式计算,其余的运算仍需按乘法法则进行. 1.在等号右边的括号内填上适当的项. (1)a+b- c=a+( ); (2)a- b+c=a- ( ); (3)a- b- c=a- ( ); (4)a+b+c=a- ( ). 答案:(1)b- c (2)b- c (3)b+c (4)- b- c 2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式计算?若可以,请用平方差公式计算. (1)(a+b+c)(a- b+c); (2)(a- b- c)(a+b- c). 解:(1)能用. (a+b+c)(a- b+c) =[(a+c)+b][(a+c)- b] =(a+c)2- b2=a2+2ac+c2- b2. (2)能用. (a- b- c)(a+b- c) =[(a- c)- b][(a- c)+b] =(a- c)2- b2=a2- 2ac+c2- b2. ( 1)( 1) 3.计算:x(x- 1)- x- x+ . 3 3 ( 1)( 1) 解:x(x- 1)- x- x+ 3 31 =x2- x- x2+ 9 1 =- x+ . 9 4.计算:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1). 解:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1) =x2- (2y)2- (x2- 1) =x2- 4y2- x2+1 =- 4y2+1. 第2课时 探究活动1 拼图游戏,验证公式 探究活动2 速算王的秘密 探究活动3 运算中的平方差公式 例1 探究活动4 综合应用平方差公式 例2 一、教材作业 【必做题】 教材第22页习题1.10知识技能第1题. 【选做题】 教材第22页习题1.10问题解决第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是 ( ) A.(- a- b)(a- b) B.(c2- d2)(d2+c2) C.(x3- y3)(x3+y3) D.(m- n)(- m+n) 2.用平方差公式计算(x- 2)(x+2)(x2+4)的结果正确的是 ( ) A.x4- 16 B.x4+16 C.(x- 16)4D.(x+16)4 3.若(- 7m+A)(4n+B)=16n2- 49m2,则A= ,B= . 【能力提升】 4.计算:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3). 5.已知x+y=6,x- y=5,求x2- y2的值. 【拓展探究】 6.计算:(a+2)(a2+4)(a4+16)(a- 2). 【答案与解析】 1.D(解析:选项A,因为- a- b与a- b中的相同项是- b,不同项- a与a互为相反数,所以可以用平方差公式计算; 选项B,因为c2- d2与d2+c2中c2为相同的项,- d2与d2互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项C,因为x3- y3 与x3+y3中x3为相同的项,- y3与y3互为相反数,所以能用平方差公式计算;选项D,因为m- n与- m+n中没有相 同的项,所以不能用平方差公式计算.故选D.) 2.A(解析:(x- 2)(x+2)(x2+4)=(x2- 4)(x2+4)=x4- 16.故选A.)3.4n 7m(解析:由(- 7m+A)(4n+B)=(4n)2- (7m)2可知,A是与4n相同的项,B是与- 7m互为相反数的项,故 A=4n,B=7m.) 4.解:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3)=(3x)2- 22- (x2- 3x)=9x2- 4- x2+3x=8x2+3x- 4. 5.解:x2- y2=(x+y)(x- y)=6×5=30. 6.解:原式=(a2- 4)(a2+4)(a4+16)=(a4- 16)·(a4+16)=a8- 256. 让学生理解平方差公式的本质,即结构的不变性,字母的可变性,这也是数学公式的本质.培养“以数的 眼光看式子的整体观念”的数学素养,培养学生的问题解决能力和数学探究能力.在教学中,教师应该有意 识地培养学生的推理能力,鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测,然后利用符号间的运算验证猜测或解决问 题,同时鼓励学生有条理地表达自己的思考过程. 本节课对于时间的把握不好,许多设计在课堂上并没能达到设计的意图. 进行拼图游戏和在数字运算中寻找规律的探索时,一定不要太过急躁,要给学生充分思考的时间,更不要 走形式,这样学生才能体会到学习的乐趣,增加其运用公式的主动性. 随堂练习(教材第22页) 解:(1)704×696=(700+4)(700- 4)=7002- 42=489984. (2)原式=x2- 4y2+x2- 1=2x2- 4y2- 1. (3)原式=x2- x- ( x2- 1) = 1 - x. 9 9 习题1.10(教材第22页) 知识技能 1.解:(1)原式=4m2- 9. (2)原式=x2+x+4- x2=x+4. (3)原式=9x2- y2+xy+y2=9x2+xy. (4)原式= ( a2- 1 b2) - 4 15 (9a2- 4b2)= b2- 8a2. 4 问题解决 2.解:(1)原式=(1000+7)×(1000- 7)=10002- 49=999951. (2)原式=(110- 2)×(110+2)=1102- 4=12096. 采用情境——探究——概括——应用——拓展的教学模式,营造可探索的情境,引导学生积极参与,掌 握规律,主动获取新知识.计算:3(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1). 〔解析〕 首先把3写成22- 1,再根据平方差公式的结构特征,把(22- 1)与(22+1)相乘得到(24- 1),再用(24- 1)与(24+1)相乘得到(28- 1),以此类推,最后得到结果. 解:原式=(22- 1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(24- 1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) =(28- 1)(28+1)(216+1)(232+1) =(216- 1)(216+1)(232+1) =(232- 1)(232+1) =264- 1. [解题策略] 本题属于平方差公式的应用,要熟记平方差公式(a+b)(a- b)=a2- b2的结构特征,并能利用公 式解题. 6 完全平方公式 1.经历探索完全平方公式的过程,进一步培养学生的符号感和推理能力. 2.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算. 1.从代数的角度利用多项式乘法法则推导出完全平方公式,并用公式进行简单的计算. 2.通过游戏,帮助学生理解完全平方公式. 通过对完全平方公式结构的认识,进一步体会数学中的结构美、简约美. 【重点】 1.完全平方公式及其应用. 2.综合运用完全平方公式解决简单的实际问题. 【难点】 1.体会如何应用完全平方公式. 2.正确认识公式中的a与b,不可忘记±2ab. 第 课时1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展合情推理能力. 2.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算. 经历探索完全平方公式的过程,并在推导过程中培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等能力. 渗透数形结合的思想方法,培养学生的发现、灵活运用公式和解决实际问题的能力. 【重点】 体会完全平方公式的发现和推导过程,理解公式的结构特点,并会运用公式进行简单的计算. 【难点】 理解公式中字母表达的含义. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P23~24. 导入一: [过渡语] 同学们还记得如何进行多项式与多项式相乘的运算吗?请认真想一想. [处理方式] 学生独立思考,得出结论:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项,再把所得的积相加.教师及时点评,适时鼓励. 计算下列各题,观察结果,你有什么发现? 【课件出示】 (1)(m+3)2; (2)(2+3x)2. [处理方式] 学生独立计算,教师巡视,帮助有困难的学生解决问题. 过程展示: (1)(m+3)2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+2×3m+9 =m2+6m+9. (2)(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+2×2×3x+9x2 =4+12x+9x2. 【思考】 (1)上面多项式乘多项式的运算有什么特点? (2)你能用字母来表示且用自己的语言来叙述你的发现吗? 师:这就是我们今天要学的多项式乘多项式中的第二个重要的公式——完全平方公式.[设计意图] 通过学生熟知的多项式乘多项式的法则,很快得出结果,观察结果的特殊性,调动学生的好 奇心和积极性,能够水到渠成地引出本节课的内容. 导入二: [过渡语] 上节课的“拼图游戏”相信给大家留下了深刻的印象,同学们是不是意犹未尽?那接下来,请 大家借助“拼图”的方法帮农民伯伯解决以下问题. 【课件出示】 为贯彻十八大精神,“科技下乡”开始向乡村的各个角落延伸,给广大农民送来了智慧 和财富.一位老农就是在一次“科技下乡”活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成实验田, 种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年又一次“科技下乡”活动,使老农铁了心,要走科技兴农 的路子,于是他想把原来实验田的边长增加b米,形成四块实验田,种植不同的新品种(如图所示). 同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢? [处理方式] 先仔细看图,再试着写出计算面积的方法,分析算式的结构特征,小组交流讨论. 本节课我们就来学习多项式乘多项式中的第二个重要的公式——完全平方公式. [设计意图] 通过计算图形的面积,可以使学生对于公式有一个直观的认识.通过自主探究与合作交流 学到了新的知识,学生的学习积极性和主动性得到了大大的激发. [过渡语] 同学们,还记得平方差公式吗?它有什么样的结构特点?你能利用研究平方差公式的方法,分 析一下下面算式的结构特点吗? 探究活动1 完全平方公式的结构特征 思路一 观察: (m+3)2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+2×3m+9 =m2+6m+9. (m- 3)2 =(m- 3)(m- 3) =m2- 3m- 3m+9 =m2- 2×3m+9 =m2- 6m+9. 用字母表示为: (a+b)2=a2+2ab+b2, (a- b)2=a2- 2ab+b2. 出示问题:观察公式左右两边的结构特点,用自己的语言叙述. [处理方式] 学生仔细观察公式,先独立思考,然后小组内讨论,老师适时引导与补充,力求通过学生观察、 思考与讨论后得出结论,师生共同总结. 展示小组交流成果. 结构特点:左边是二项式(两数和(或差))的平方,右边是两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍. 语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍. 【方法总结】 公式中的a和b可代表字母、数字、单项式或多项式. [设计意图] 通过让学生自己观察、归纳,提高语言表达能力,培养学生发现问题并解决问题的能力. 思路二 问题1[过渡语] 同学们思考一下,如何表示出导入二中大正方形的面积? (1)从图中可以看出大正方形的边长是a+b,所以大正方形的面积为(a+b)2. (2)此图形由两个小正方形和两个矩形组成,所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和,即 a2+2ab+b2. (3)由(1)(2)可知(a+b)2=a2+2ab+b2. [设计意图] 通过数形结合的方法,学生容易得到(a+b)2=a2+2ab+b2,对于公式有一个直观的认识. 问题2 (1)(a- b)2的结果是什么?你是怎样做的? (2)你能自己设计一个图形解释这一公式吗? [处理方式] 此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程,(1)的教学中鼓励学生采用不同的方法:① 运用多项式的乘法法则;②把两数差看做两数和,再运用两数和的完全平方公式进行计算.教师应重视学生 对于算理的理解,让学生尝试说出每一步运算的道理,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力. 多媒体课件出示(1)的解题过程. 方法一:(a- b)2=(a- b)(a- b) =a2- ab- ab+b2 =a2- 2ab+b2. 方法二:(a- b)2=[a+(- b)]2 =a2+2a(- b)+(- b)2 =a2- 2ab+b2. [处理方式] (2)是用几何解释验证两数和的完全平方公式的巩固,同时也是对于学生数形结合意识的 一种培养,绝大多数学生能够通过交流合作得以掌握.通过几个活动学生能够初步掌握完全平方公式,并在 推导过程中培养了数学的基本能力. 【课件展示】 问题3 公式(a- b)2=a2- 2ab+b2的结构特点:左边是二项式(两数差)的平方,右边是两数的平方和减去这两数乘积 的两倍. 语言描述:两数差的平方,等于这两数的平方和减去这两数积的两倍. 上面两个公式称为完全平方公式. 用字母表示为: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a- b)2=a2- 2ab+b2. 语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍. [设计意图] 使学生从几何的角度来验证完全平方公式,从而使学生的数形结合意识得以培养,从不同 的角度推导出了公式,并加以巩固.问题3在前面的基础上加以总结,使得学生从形式上初步认识了完全平方 公式.探究活动2 体验成功 细心填一填: ①(x+2)2=( )2+2×2×x+( )2; (1 ) 2 (1 ) 2 ② m+n = m +2×( )·n+n2; 2 2 ③(2a- 3b)2=( )- 2( )×( )+(3b)2; ( 1 ) 2 (1 ) 2 ④ - a- b =(- a)2- 2( )×( )+ b . 3 3 [处理方式] 学生先独立尝试解决,再小组交流,最后归纳总结. [设计意图] 熟练使用完全平方公式是前提,训练学生先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确哪 个是a,哪个是b,同时还要注意式子中的运算符号. 探究活动3 训练反馈、应用提升 (教材例1)利用完全平方公式计算. (1)(2x- 3)2; (2)(4x+5y)2; (3)(mn- a)2. [处理方式] 对照公式,直接利用公式进行计算,体会公式在解题中的应用. 解:(1)(2x- 3)2 =(2x)2- 2·2x·3+32 =4x2- 12x+9. (2)(4x+5y)2 =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2. (3)(mn- a)2 =(mn)2- 2·mn·a+a2 =m2n2- 2mna+a2. [设计意图] 应用完全平方公式进行简单的计算.例题中三个题目的设计上有一定的梯度,从而加以巩 固落实. [知识拓展] 1.完全平方公式中的a,b可以是数,也可以是单项式或者多项式. 2.为了便于记忆和应用,可以编成口诀“左平方,右平方,加减积的2倍放中央.” 1.完全平方公式的字母表示为: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a- b)2=a2- 2ab+b2. 2.结构特点:左边是二项式(两数和(或差))的平方;右边是两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍. 3.语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍. 1.下列完全平方公式运用正确的是 ( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x- y)2=x2- y2 C.(- x+y)2=x2- 2xy+y2 D.(- x- y)2=x2- 2xy+y2 解析:由完全平方公式展开为三项可知A,B不符合题意;C选项(- x+y)2=(- x)2+2(- x)·y+y2=x2- 2xy+y2,符合 题意;D选项(- x- y)2=[- (x+y)]2=x2+2xy+y2,故D不符合题意.故选C.2.下列运算正确的是 ( ) A.a3+a2=a5 B.(ab2)2=ab4 C.(a+b)(a- b)=a2- b2 D.(a+b)2=a2+b2 解析:A选项中a3与a2不是同类项,不能合并,故A错误;B选项(ab2)2=a2b4,故B错误;C选项(a+b)(a- b)=a2- b2,故C正确;D选项(a+b)2=a2+2ab+b2,故D错误.故选C. 3.x2+y2=(x+y)2- =(x- y)2+ . 解析:由(x+y)2=x2+2xy+y2,(x- y)2=x2- 2xy+y2可知x2+y2=(x+y)2- 2xy=(x- y)2+2xy. 答案:2xy 2xy 1 ( 1) 2 4.m2+ = m+ - . m2 m ( 1) 2 1 1 1 ( 1) 2 解析:由 m+ =m2+2m· + 可知m2+ = m+ - 2.故填2. m m m2 m2 m 5.若x- y=3,x·y=10,则x2+y2= . 解析:因为x2+y2=(x- y)2+2xy,所以当x- y=3,x·y=10时,x2+y2=(x- y)2+2xy=32+2×10=9+20=29.故填29. 6.计算:(- 2x+1)2. 解:(- 2x+1)2 =(- 2x)2+2(- 2x)×1+12 =4x2- 4x+1. 第1课时 探究活动1 完全平方公式的结构特征 探究活动2 体验成功 探究活动3 训练反馈、应用提升 例题 一、教材作业 【必做题】 教材第26页习题1.11知识技能第1题. 【选做题】 教材第26页习题1.11联系拓广第3题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.小兵计算一个二项整式的平方时,得到正确结果是4x2+( )+25y2,但中间一项不慎被污染了,这一项应是 ( ) A.10xy B.20xy C.10xy或- 10xy D.20xy或- 20xy 2.要使x2- 6x+a成为形如(x- b)2的完全平方式,则a,b的值为 ( ) A.a=9,b=9 B.a=9,b=3 C.a=3,b=3 D.a=- 3,b=- 2 3.若x2+mx+4是一个完全平方式,则m的值为 ( ) A.2 B.2或- 2 C.4 D.4或- 4 4.若a+b=5,求a2+2ab+b2的值.【能力提升】 1 1 5.先化简,再求值:(2x+3y)2- (2x+y)(2x- y),其中x= ,y= . 2 2 6.若m=2n+1,求m2- 4mn+4n2的值. 【拓展探究】 7.已知x2- 4x- 1=0,求代数式(2x- 3)2- (x+y)·(x- y)- y2的值. 【答案与解析】 1.D(解析:因为4x2+( )+25y2是完全平方式,所以中间一项为20xy或- 20xy.故选D.) ( 6) 2 2.B(解析:根据完全平方公式可知 - =a,即a=9,所以x2- 6x+9=(x- 3)2,可知b=3.故选B.) 2 3.D(解析:因为x2+mx+4是一个完全平方式,所以x2+mx+4=(x±2)2,所以m=±4.故选D.) 4.解:a2+2ab+b2=(a+b)2=25. 1 1 5.解:(2x+3y)2- (2x+y)(2x- y)=4x2+12xy+9y2- (4x2- y2)=4x2+12xy+9y2- 4x2+y2=12xy+10y2,当x= ,y= 时,原式=12× 2 2 1 1 1 × +10× =3+2.5=5.5. 2 2 4 6.解:因为m=2n+1,即m- 2n=1,所以原式=(m- 2n)2=1. 7.解:原式=4x2- 12x+9- x2+y2- y2=3x2- 12x+9=3(x2- 4x+3).因为x2- 4x=1,所以原式=3×(1+3)=12. 1.运用了类比的方法学习了乘法公式中的完全平方公式. 2.公式的特点是由学生总结归纳得出,教师再进行强调的. 3.充分调动小组合作的积极性,使学生课堂效率和学习积极性大增. 时间分配不当,引入部分的时间花费过多,重点不够突出,学生的练习时间不够充分,检测部分没有完成. 需要让学生对公式中字母的意义理解透彻,并且提醒学生注意不要与平方差公式混淆.还要强调括号里 中间是负号的情况,可以认为是加法也可以认为是减法,这里要根据实际情况进行选择. 随堂练习(教材第24页) 1 4 1 解:(1) x2- 2xy+4y2. (2)4x2y2+ x2y+ x2. (3)2n+1. 4 5 25 习题1.11(教材第26页) 知识技能1 1 1 1 1 1 1.解:(1)4x2+20xy+25y2. (2) m2- m+ . (3)4t2+4t+1. (4) x2+ xy+ y2. (5)49a2b2+28ab+4. (6) 9 3 4 25 25 100 1 - cd+c2d2. 4 2.解:πr2- π(r- 2)2=4π·(r- 1)(cm2). 联系拓广 3.解:末尾的两位数都是25.因为个位数是5的两位数可表示为10n+5,则有(10n+5)2=100n2+100n+25,所以末 尾两位数是25. 4.解:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. 通过精心设计的问题引导学生参与观察、探究、讨论、对比、归纳、发现、创造等活动,指导学生在 课堂实践活动中自主探索,合作交流,获得知识,提高技能,培养创造意识.通过让学生总结完全平方公式的特 征的过程,使学生能运用公式进行计算并解决实际问题. 阅读理解:求代数式x2+4x+8的最小值. 解:因为x2+4x+8=(x2+4x+4)+4=(x+2)2+4, 所以当x=- 2时,代数式x2+4x+8有最小值,最小值为4. 解决问题: (1)求代数式x2+2x+3的最小值; 3 (2)求代数式- m2+3m+ 的最大值. 4 〔解析〕 把两个代数式都写成完全平方式的形式,再根据非负性求解即可. 解:(1)因为x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2, 所以当x=- 1时,代数式x2+2x+3有最小值,最小值为2. (2)因为- m2+3m+ 3 =- ( m2- 3m+ 9) + 9 + 3 =- ( m- 3) 2 +3, 4 4 4 4 2 3 3 所以当m= 时,代数式- m2+3m+ 有最大值,最大值为3. 2 4 第 课时1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算,会在多 项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算. 2.掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义;会正确地运用这些公式,感悟换元法,提高灵活应用乘 法公式的能力. 能够运用完全平方公式解决简单的实际问题,并在活动当中培养学生数学建模的意识及应用数学知识 解决实际问题的能力,感悟换元法,提高灵活应用乘法公式的能力,体会符号运算对解决问题的作用,进一步 发展学生的符号感. 在学习中使学生体会学习数学的乐趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美. 【重点】 1.进一步巩固完全平方公式,能正确理解(a+b)2与a2+b2的关系. 2.熟悉乘法公式的运用,体会公式中字母a,b的广泛含义. 【难点】 灵活运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P26~27. 导入一: 师:上节课我们推导出了完全平方公式,现在我们来看一个问题:一个正方形的边长为a(a>2)厘米,减少2 厘米后,这个正方形的面积减少了多少平方厘米? 生:原来正方形的面积为a2平方厘米,边长减少2厘米后的正方形的面积为(a- 2)2平方厘米,所以这个正 方形的面积减少了[a2- (a- 2)2]平方厘米,因为a2- (a- 2)2=a2- (a2- 4a+4)=a2- a2+4a- 4=4a- 4,所以面积减少了(4a- 4)平方厘米. 师:很好!这里的(a- 2)2是我们上节课学过的相关内容,哪位同学能说出这种算式的名称、字母表达式和 语言表示? 生1:完全平方公式.用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2,(a- b)2=a2- 2ab+b2. 生2:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍. 师:其中a,b可以代表什么?这节课我们继续巩固完全平方公式. [设计意图] 本节课的学习内容是完全平方公式的巩固和应用,因而利用一个图形问题对基础知识进 行复习和巩固,起到了承上启下的作用. 导入二: [过渡语] 同学们,前面我们学习了整式的乘法,在整式的乘法中又研究了两个很重要的公式,那么在现 实生活中有哪些可以用乘法公式来解决的问题呢?有一个王国的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主,国王要赏 赐他们.这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一 块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农 夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了”.国王想不通了,他说:“你们的要求不是一 样的吗?” 展示交流: 通过画图可以知道第一个农民的土地扩大后面积为(a2+b2)米2,第二个农民的土地扩大后面积为(a+b)2 米2. 【思考】 a2+b2与(a+b)2有什么关系? [设计意图] 由学生感兴趣的故事引入新课,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲, 让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会了a2+b2与(a+b)2的关系,这也为新课的 学习做了铺垫. 导入三: 请同学们回顾我们学过的两种非常重要的整式乘法公式,并思考下面的问题: (1)两种公式中的字母都能表示什么? (2)完全平方公式在计算化简中有什么作用? (3)根据两数和或差的完全平方公式,能够计算多个数的和或差的平方吗? [处理方式] 学生讨论交流后,指名学生回答,教师点评. 教师出示课件: 平方差公式:(a+b)(a- b)=a2- b2. 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2; (a- b)2=a2- 2ab+b2. 平方差公式和完全平方公式都可以对多项式与多项式的乘法进行简便运算. 平方差公式的左边是含有两个括号的多项式,右边是两项,而完全平方公式左边是一个两项式的平方,右 边是三项. [设计意图] 本堂课的学习方向首先是对于完全平方公式的进一步巩固应用,因而复习是很有必要的, 这为后面的学习奠定了一定的基础,同时经过本环节中的第三个问题的思考,也使学生明确了本节课学习的 初步目标,起到了承上启下的作用. 探究活动1 数字中的完全平方公式 怎样计算1022,1972更简单呢? [处理方式] 学生动脑思考,教师巡视指导. 师板书: 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. 1972=(200- 3)2 =2002- 2×200×3+32 =40000- 1200+9 =38809. [设计意图] 运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算,进一步体会完全平方公式在实际当中的 应用,并通过练习加以巩固.需要注意的是,本题的目的是进一步巩固完全平方公式,体会公式对解决问题的 简便作用.探究活动2 完全平方公式中字母a,b的意义 (教材例2)计算. (1)(x+3)2- x2; (2)(a+b+3)(a+b- 3); (3)(x+5)2- (x- 2)(x- 3). [处理方式] 学生认真观察、分析,并在小组内讨论、交流.教师参与学生活动并及时补充,注意要为学 生提供充分交流的机会. 解:(1)方法一: (x+3)2- x2 =x2+6x+9- x2(直接利用完全平方公式) =6x+9. 方法二: (x+3)2- x2 =(x+3+x)(x+3- x)(逆用平方差公式) =(2x+3)·3=6x+9. (2)方法一: (a+b+3)(a+b- 3) =[(a+b)+3][(a+b)- 3] =(a+b)2- 32(把(a+b)看成一个整体,再利用平方差公式) =a2+2ab+b2- 9. 方法二: (a+b+3)(a+b- 3) =a2+ab- 3a+ab+b2- 3b+3a+3b- 9(多项式乘多项式法则) =a2+2ab+b2- 9. (3)(x+5)2- (x- 2)(x- 3) =(x2+10x+25)- (x2- 5x+6) =x2+10x+25- x2+5x- 6 =15x+19. 探究活动3 分糖游戏 做一做: 有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就 给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块糖……假如第一天有a个孩 子一起去了老人家,第二天有b个孩子一起去了老人家,第三天有(a+b)个孩子一起去看老人,那么第三天老 人给出去的糖果和前两天给出去的糖果总数一样多吗?请你用学过的公式解释自己的结论. 分析题意,展示成果: (1)第一天有a个孩子去了老人家,老人给每个孩子发a块糖,所以一共发了a2块糖;第二天有b个孩子去 了老人家,老人给每个孩子发b块糖,所以一共发了b2块糖;第三天有(a+b)个孩子去了老人家,老人给每个孩 子发(a+b)块糖,所以一共发了(a+b)2块糖. (2)前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块,因为(a+b)2- (a2+b2)=a2+2ab+b2- a2- b2=2ab,且2ab>0,所以可知 这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多,且多2ab块. [设计意图] 数学来源于生活,又服务于生活.通过生动有趣的小故事,使学生进一步巩固了(a+b)2与 a2+b2的不等关系,避免将它们混为一谈,激发了学生的学习兴趣. [知识拓展] 1.完全平方公式的应用,首先要判断一个代数式是否可以利用完全平方公式展开,如果能用公式展开,再 选用公式. 2.应用完全平方公式的步骤: (1)确定两数,即确定谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b. (2)看好是两数的和,还是两数的差. (3)选用公式计算.1.完全平方公式的使用:在做题过程中一定要注意符号问题,并正确认识a,b表示的意义,它们可以是数, 也可以是单项式,还可以是多项式,所以要记得添括号. 2.在解题之前应注意观察思考,选择不同的方法会有不同的效果,要学会优化选择. 1.代数式2xy- x2- y2等于 ( ) A.(x- y)2 B.(- x- y)2 C.- (y+x)2 D.- (x- y)2 解析:2xy- x2- y2=- (- 2xy+x2+y2)=- (x- y)2.故选D. 2.若a+b=7,ab=12,则a2- ab+b2的值为 ( ) A.- 11 B.13 C.37 D.61 解析:因为a2- ab+b2=a2+b2- ab=(a+b)2- 3ab,所以当a+b=7,ab=12时,原式=(a+b)2- 3ab=49- 3×12=13.故选 B. 3.已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于 ( ) A.64B.48 C.32 D.16 解析:因为x2+16x+k是完全平方式,所以x2+16x+k=x2+2×x×8+64=(x+8)2,所以k等于64.故选A. 4.如图所示,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a- 1) cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚 线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是( ) A.2 cm2 B.2a cm2 C.4a cm2 D.(a2- 1) cm2 解析:根据题意得出矩形的面积是(a+1)2- (a- 1)2=a2+2a+1- (a2- 2a+1)=4a(cm2).故选C. 5.若代数式x2+3x+2可以表示为(x- 1)2+a(x- 1)+b的形式,则a+b的值是 . 解析:因为x2+3x+2=(x- 1)2+a(x- 1)+b=x2+(a- 2)x+(b- a+1),所以a- 2=3,b- a+1=2,所以a=5,b=6,所以 a+b=5+6=11.故填11. 第2课时 探究活动1 数字中的完全平方公式 探究活动2 完全平方公式中字母a,b的意义 例题 探究活动3 分糖游戏 一、教材作业 【必做题】 教材第27页习题1.12知识技能第1题. 【选做题】 教材第27页习题1.12联系拓广第4题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.(a+3b)2- (3a+b)2的计算结果是 ( ) A.8(a- b)2B.8(a+b)2 C.8b2- 8a2 D.8a2- 8b2 2.下列计算正确的是 ( ) A.(m+n)2=m2+n2 B.(x3)2=x5 C.5x- 2x=3xD.(a+b)(a- b)=(a- b)2 3.若a,b是正数,a- b=1,ab=2,则a+b等于 ( ) A.- 2 B.3 C.±3 D.9 4.已知x+y=- 5,xy=6,则x2+y2= . 【能力提升】 5.先化简,再求值:(x+3)2+(2+x)(2- x),其中x=- 2. 6.已知a+b=6,ab=2. (1)求a2+b2的值; (2)求(a- b)2的值. 【拓展探究】 1 1 7.已知x+ =4,求x2+ 的值. x x2 8.已知x2- 2x+y2+6y+10=0,求x+y的值. 【答案与解析】 1.C(解析:(a+3b)2- (3a+b)2=a2+6ab+9b2- (9a2+6ab+b2)=a2+6ab+9b2- 9a2- 6ab- b2=8b2- 8a2.故选C.) 2.C(解析:选项A,(m+n)2=m2+n2错误,应为(m+n)2=m2+2mn+n2;选项B,(x3)2=x5错误,应为(x3)2=x6;选项C,5x- 2x=3x 正确;选项D,(a+b)(a- b)=(a- b)2错误,应为(a+b)(a- b)=a2- b2.故选C.) 3.B(解析:(a+b)2=(a- b)2+4ab=12+4×2=9,开平方,得a+b=±3,又因为a,b是正数,所以a+b>0,所以a+b=3.故选B.) 4.13(解析:因为x+y=- 5,所以(x+y)2=25,所以x2+2xy+y2=25,因为xy=6,所以x2+y2=25- 2xy=25- 12=13.故填13.) 5.解:原式=x2+6x+9+4- x2=6x+13,当x=- 2时,原式=6×(- 2)+13=1. 6.解:(1)因为a+b=6,所以(a+b)2=36,即a2+b2+2ab=36,因为ab=2,所以a2+b2=36- 4=32. (2)(a- b)2=a2+b2- 2ab=32- 4=28. 1 ( 1) 2 1 1 7.解:对x+ =4两边同时平方,得 x+ =16,即x2+ +2=16,所以x2+ =14. x x x2 x2 8.解:由x2- 2x+y2+6y+10=0得(x- 1)2+(y+3)2=0,所以x- 1=0,y+3=0,得x=1,y=- 3,则x+y=1- 3=- 2. 在掌握基础知识的同时,运用完全平方公式探究一些特殊数的平方计算,进而深化对公式的理解.学生 在快乐、和谐的氛围中不断获取新知.同时,向学生渗透整体、转化的数学思想,通过数学思想的渗透,培养 学生思维的灵活性. (1)学生在利用乘法公式做题时,时常犯符号错误,整体转换的思想还需加强. (2)在学生探索问题时,老师有些不放心,所以整节课教师说的有些多. 整节课要以学生的学为主线,在课堂中要给学生留有足够的时间去思考探索,学生的学习效果会比较明 显. 随堂练习(教材第27页) 解:(1)962=(100- 4)2=1002- 2×100×4+16=9216. (2)原式=(a- b)2- 32=a2- 2ab+b2- 9. 习题1.12(教材第27页) 知识技能1.解:(1)4x2+4xy+y2- 1. (2)2x- 1. (3)4ab. (4)- 8xy+9y2. 问题解决 2.解:6(5+a)2- 6×52=60a+6a2(cm3). 3.解:(1)3969. (2)996004. 联系拓广 4.解:(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3. |a b| |a b| 将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖直线记成 ,定义 =ad- bc.若 c d c d |x+1 1- x| =8,求x的值. 1- x x+1 〔解析〕 理解好新定义的内容是解决本题的关键. |x+1 1- x| 解:根据题意化简 =8, 1- x x+1 得(x+1)2- (1- x)2=8, 展开得x2+2x+1- (1- 2x+x2)=8, 即4x=8, 解得x=2. 7 整式的除法 1.经历探索整式除法运算法则的过程,会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式或多项式 除以单项式,并且结果都是整式). 2.理解整式除法的算理,培养学生的思考及表达能力. 利用学过的知识计算单项式除以单项式、多项式除以单项式的题目,探索出整式除法的运算法则,并用 它来进行除法运算. 将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式,渗透事物间相互联系的观点,同时通过整式的除法运算 进一步培养学生耐心、细致的学习习惯. 【重点】 整式的除法运算.【难点】 运用除法法则进行计算. 第 课时 1.经历探索整式除法运算法则的过程,进一步体会类比方法的作用,发展运算能力. 2.理解单项式除以单项式的算理,会利用单项式除以单项式的运算法则进行简单的整式除法运算. 通过观察、归纳等训练,发展学生有条理的表达能力. 从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中获得成功的体验,积累研究数学问题的经验,并培养学生 的创新精神及耐心细致的良好品质. 【重点】 单项式除以单项式的运算法则的探索及其应用. 【难点】 探索单项式除以单项式的运算法则的过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P28~29. 导入一: 在我们的生活中常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,就是因为光速比声音传播的速度快.已知光在空气中 的传播速度约为3.0×108 m/s,而声音在空气中的传播速度约为300 m/s,那么光速是声速的多少倍呢?你会列 式吗? [处理方式] 在介绍生活常识的同时,提出一个极具趣味性的问题,学生可能通过以前学习的知识得到 答案,但并不能利用新知识解决问题,从而激发学生强烈的求知欲和好奇心,引入新课.从中也使学生进一步 体会数学来源于生活并应用于生活. [设计意图] 以闪电雷声这一自然现象为背景,吸引学生的注意力,挖掘学生的学习潜能.让学生自主完 成计算,充分展现学生的预习情况,除法运算是乘法运算的逆运算在这里自然地体现出来.目的是给学生在 探究单项式除以单项式法则的过程中提供一种逆向的思考方式,以便于学生能更快地发现规律. 导入二: 已知月球距离地球大约3.84×105千米,一架飞机的速度约为8×102千米/时,如果乘坐此飞机飞行这么远 的距离,大约需要多少时间? [处理方式] 学习独立思考,尝试计算. 交流展示:(3.84×105)÷(8×102)=384000÷800=480(小时). 【思考】 根据以上计算,你会计算8m2n2÷4mn吗? [处理方式] 教师引导学生思考它和我们学过的什么知识有关. [设计意图] 通过计算的过程为本节课做好铺垫,紧接着出示整式的除法,引入本节课的课题. 导入三: 计算. (1)a7÷a4; 1 (2)2xy2z· xy. 3 师:同学们,你们还记得这两道题怎么做吗?请大家把它们完成吧! [处理方式] 两名学生板演,其他学生独立完成.(由于这两道题很简单,学生应该很快能完成) 具体做法如下: 解:(1)a7÷a4=a7- 4=a3. 1 ( 1) 2 (2)2xy2z· xy= 2× ·(x·x)·(y2·y)·z= x2y3z. 3 3 3 【思考】 在计算这两道题时,用到了我们前面学习的哪些内容呢? (1)同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.am÷an=am- n(a≠0,m,n都为正整数,m>n). (2)单项式乘单项式:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的 指数不变,作为积的因式. [设计意图] 同底数幂的除法是学习整式除法的理论基础,只有熟练掌握同底数幂的除法,才能更好地 进行整式除法的学习.此外,复习单项式乘单项式法则,是为了对比学习单项式除以单项式法则,比较其相似 与不同,并能将前后知识融为一体,使之形成一定的知识体系. 探究活动1 单项式除以单项式法则 思路一 计算下列各题,并说说你的理由. (1)x5y÷x2; (2)8m2n2÷2m2n; (3)a4b2c÷3a2b. [处理方式] 小组合作探究,尝试利用自己的方法解决这个问题,并说明依据. 学生可能的解决方法: 方法一:利用除法是乘法的逆运算,思考x2×?=x5y,只有x3y,所以(1)的答案是x3y,同理其余两题答案分别是 1 4n和 a2bc. 3 方法二:利用类似于分数约分的方法: x5 y (1)x5y÷x2= =x3y. x2 8m2n2 (2)8m2n2÷2m2n= =4n. 2m2n a4b2c 1 (3)a4b2c÷3a2b= = a2bc. 3a2b 3【思考】 你能类比单项式乘单项式的法则,总结单项式除以单项式法则吗? [处理方式] 学生先独立思考,鼓励学生通过观察,试用自己的语言来进行说明.然后小组讨论、交流,选 出小组代表发言,其他同学更正其语言表达的失误,同时教师板书. 单项式除以单项式法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里 含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. 思路二 [过渡语] 我们已经学习了整式的加法、整式的减法、整式的乘法,你能利用学过的知识解决下面的 问题吗? 计算下列各题,并说说你的理由. (1)x5y÷x2; (2)8m2n2÷2m2n; (3)a4b2c÷3a2b. [处理方式] 充分发散学生的思维,鼓励学生大胆发表自己与他人不同的意见,敢于质疑;培养学生良好 的独立思考、独立探究的学习习惯;鼓励学生对所学的知识进行归纳和总结,培养良好的学习习惯. 观察上述几个式子的运算,它们有下列共同特征: (1)都是单项式除以单项式. (2)运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数一起作为商的一个因式. (3)单项式相除是在同底数幂除法的基础上进行的. 由此总结单项式除以单项式法则: 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 指数一起作为商的一个因式. [设计意图] 通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程,获得数学活动的经验,发散学生思 维,让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性,培养学生合情说理的能力,并在这个过程中培养学生 归纳总结的能力. 探究活动2 对比单项式的乘法与单项式的除法 单项式相乘 单项式相除 第一步 系数相乘 系数相除 第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除 其余字母不变,连同其指数作 只在被除式里含有的字母连同 第三步 为积的因式 其指数一起作为商的因式 [处理方式] 完全由学生自己归纳总结,对所学习过的知识分析汇总,并让学生完成填表工作. [设计意图] 通过比较单项式乘单项式法则与单项式除以单项式法则,观察其相似与不同,便于学生更 好地掌握整式除法运算,并将本章的前后知识有机联系起来,使之形成一个完整的知识框架. 探究活动3 单项式除以单项式的应用 [过渡语] 下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题,进一步体会运算法则的 具体应用. (教材例1)计算. 3 (1)- x2y3÷3x2y; 5 (2)10a4b3c2÷5a3bc; (3)(2x2y)3·(- 7xy2)÷14x4y3; (4)(2a+b)4÷(2a+b)2. [处理方式] 学生自己尝试完成计算,同桌互相帮助,交流体会解题过程,看自己的解答有无问题,若有问 题进行改正,并说出每一步的依据.(1)(2)直接运用单项式除法的运算法则;(3)要注意运算顺序,先算乘方,再算 乘除;(4)鼓励学生悟出将(2a+b)视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算. 3 解:(1)- x2y3÷3x2y 5( 3 ) = - ÷3 x2- 2y3- 1……把系数、同底数幂分别相除 5 1 =- y2. 5 (2)10a4b3c2÷5a3bc =(10÷5)a4- 3b3- 1c2- 1……把系数、同底数幂分别相除 =2ab2c. (3)(2x2y)3·(- 7xy2)÷14x4y3 =8x6y3·(- 7xy2)÷14x4y3……幂的乘方法则 =- 56x7y5÷14x4y3……单项式的乘法法则 =- 4x3y2. (4)(2a+b)4÷(2a+b)2 =(2a+b)2……单项式除法法则 =4a2+4ab+b2. [设计意图] 本环节留给学生充分的时间去独立思考,并鼓励学生尝试独立完成例题,再通过解决出现 的问题,巩固单项式除以单项式的法则,提高学生的计算能力. 探究活动4 生活中的单项式除以单项式 【课件展示】 做一做:如图所示,三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里,三个球的体积之和占整个盒子容积的 几分之几? [处理方式] 小组合作探究,尝试利用自己的方法解决这个问题,并写出验证方法. 解:设球的半径为r,则盒子的高为6r. 4 2 根据题意,得 πr3·3÷(πr2·6r)=4πr3÷6πr3= . 3 3 2 因此,三个球的体积之和占整个盒子容积的 . 3 [设计意图] 引导学生利用单项式除以单项式的相关知识解决生活中的实际问题,从而激发学生强烈 的求知欲和好奇心,也使学生进一步体会数学来源于生活并服务于生活. [知识拓展] 1.单项式除以单项式的法则类比单项式乘单项式的法则来理解记忆. 2.在利用单项式除以单项式的法则计算时,要弄清两个单项式的系数,哪些是同底数幂,哪些是只在被除 式里出现的,此外还要特别注意系数的符号. 1.单项式相除的一般步骤: (1)系数相除,作为商的系数; (2)同底数幂相除作为商的因式;(3)对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2.应用单项式除以单项式的法则解决实际问题. 1.- 28a4b3÷7a3b等于 ( ) A.4ab2 B.- 4ab2 C.- 4a4b2 D.- 4ab 解析:- 28a4b3÷7a3b=- 4a4- 3b3- 1=- 4ab2.故选B. 2.下列计算结果为x3y4的是 ( ) A.x3y4÷xy B.x2y3+xy C.x3y2·xy2 D.(- x3y3)2÷x3y2 解析:选项A中x3y4÷xy=x2y3,故不正确;选项B中x2y3+xy,不能合并,故不正确;选项C中x3y2·xy2=x4y4,故不 正确;选项D中(- x3y3)2÷x3y2=x3y4,符合条件.故选D. 3.(2015·威海中考)下列运算正确的是 ( ) A.(- 3mn)2=- 6m2n2 B.4x4+2x4+x4=6x4 C.(xy)2÷(- xy)=- xy D.(a- b)(- a- b)=a2- b2 解析:A.(- 3mn)2=9m2n2,故错误;B.4x4+2x4+x4=7x4,故错误;C.正确;D.(a- b)(- a- b)=b2- a2,故错误.故选C. 4.36x2y3÷(- 12xy2)= . 解析:原式=(- 36÷12)x2- 1y3- 2=- 3xy.故填- 3xy. 5.xn+1·xn- 1÷(xn)2= . 解析:原式=xn+1+n- 1÷x2n=x2n- 2n=1.故填1. 6.- 12a3b5c2÷(- 3a2b3)= . 解析:原式=4a3- 2b5- 3c2=4ab2c2.故填4ab2c2. 第1课时 探究活动1 单项式除以单项式法则 探究活动2 对比单项式的乘法与单项式的除法 探究活动3 单项式除以单项式的应用 例题 探究活动4 生活中的单项式除以单项式 一、教材作业 【必做题】 教材第29页习题1.13知识技能第1,2题. 【选做题】 教材第30页习题1.13问题解决第5题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列计算正确的是 ( ) A.(a3)2÷a5=a10 B.(a4)2÷a4=a2 C.(- 5a2b3)·(- 2a)=10a3b3 1 D.(- a3b)3÷ a2b2=- 2a4b 22.- a6÷(- a)2的结果是 ( ) A.- a4 B.a4 C.- a3 D.a3 【能力提升】 3.计算2x3÷x= . 4.化简3a2b÷ab= . 5.先化简,再求值:a2·a4- a8÷a2+(a3)2,其中a=- 1. 2 6.已知8a3bm÷28anb2= b2,求m,n的值. 7 【拓展探究】 7.已知6am+5bm÷(- 2abn)=- 3a7b,求m- n的值. 【答案与解析】 1.C(解析:选项A,(a3)2÷a5=a,不正确;选项B,(a4)2÷a4=a4,不正确;选项C,(- 5a2b3)·(- 2a)=10a3b3,正确;选项D,(- 1 a3b)3÷ a2b2=- 2a7b,不正确.故选C.) 2 2.A(解析:- a6÷(- a)2=- a6÷a2=- a4.故选A.) 3.2x2 4.3a 5.解:原式=a6- a6+a6=a6,当a=- 1时,原式=1. 2 6.解:由8a3bm÷28anb2= b2,可知a3÷an=a0=1,bm÷b2=b2,所以n=3,m=4. 7 1 7.解:由题意得m+5- 1=7,m- n=1,解得m=3,n=2,所以m- n=3- 2= . 9 把培养学生的综合能力放在教学的首要位置,在这节课中,教师并没有直接将运算法则告诉学生,而是由 学生利用已有知识探究得到.在探究过程中,学生的数学思想得到了进一步的拓展,学生的综合能力得到了 进一步的提高. 对于学生运算中出现的错误,教师过于着急去帮助其改正,而没有给学生充分的时间让他们进行反思,鼓 励学生形成自己的方法. 教学过程中单项式除以单项式计算法则的探究、例题的讲解、习题的完成及知识的总结尽可能的全 部由学生完成,教师所起的作用是点拨、评价和指导.这样做,可以更好地体现以学生为中心的教学思想,提 高学生的综合能力.以后的教学中应坚持这种原则. 随堂练习(教材第29页) 1 4 解:(1)2a3b. (2) xy. (3)3n. (4) x3y. 3 3习题1.13(教材第29页) 知识技能 1 1.解:(1)r3. (2)y. (3)x2+2xy+y2. (4) a3c4. 2 8 2.解:(1)- a5bc3. (2)15xy3. 3 2 3.解:从上到下依次填2x3y,- 12xz, y2z2,3x. 3 问题解决 4.解:3×108÷300=106. (a) 2 π 5.解:π· ·b÷ab= a. 2 4 以学生为主体,以小组活动为主阵地,以训练为主线,在活动过程中让学生充分发挥主体作用,让学生去 观察、归纳,自然地认识到单项式除以单项式运算的实质是把单项式除以单项式的运算转化为同底数幂除 法运算. 观察下列单项式:x,- 2x2,4x3,- 8x4,16x5,…. (1)计算任一个单项式与前面相邻的单项式的商是多少,据此规律请你写出第n个单项式; (2)根据你发现的规律写出第10个单项式. 〔解析〕 (1)利用单项式除以单项式的法则计算,进而得出第n个单项式.(2)由(1)可写出第10个单项 式. 解:(1)均为- 2x.第n个单项式为(- 2)n- 1xn. (2)由(1)知第n个单项式为(- 2)n- 1xn,则第10个为- 512x10. [解题策略] 根据系数及x的变化得出规律是解题的关键. 第 课时 1.经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算. 2.理解多项式除以单项式的算理,发展有条理的思考及表达能力.培养观察、比较、操作、猜想、归纳等思维方法,培养探索意识和合作交流意识. 从探索多项式除以单项式的运算法则的过程中获得成功的体验,积累研究数学问题的经验,并培养学生 的创新精神及耐心细致的良好品质. 【重点】 多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用. 【难点】 探索多项式除以单项式的运算法则的过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P30~31. 导入一: [过渡语] 上节课我们学习了单项式除以单项式,你能完成下列问题吗? 1.单项式除以单项式的法则是什么? 2.计算. (1)4a2b÷2a= ; (2)3a2b2c÷(- ab)= ; (3)a4÷(- a)2= ; (4)8m3n2÷4m2n= . [处理方式] 学生独立完成,然后同桌之间互相批阅.少数学生出现符号方面的错误,如第(2)(3)题;还有 的学生忘记只在被除式的幂不变,如第(2)题.教师强调注意点及易错点. 哪位同学会计算下面的题目呢? (am+bm)÷m= . [处理方式] 让学生想一想和我们学过的什么知识有关. [设计意图] 学生回忆单项式除以单项式法则, 为下一步探索得到多项式除以单项式法则奠定基础,培养学生知识迁移的能力. 导入二: 【问题】 如图所示,任意给一个非零数,按下列程序计算下去,写出输出结果. [处理方式] 独立思考,任意给一个非零数,体会程序(算法)的思想,尝试计算.教师巡视,发现问题并及时 指导. 如:m=3→9→12→4→3; m=4→16→20→5→4; m=- 1→1→0→0→- 1.【思考】 为什么按上述程序输入m的值是几,输出的也是几?你能用算式说明其中的道理吗? [处理方式] 学生交流讨论,得出上面的程序可用一个算式表示,即(m2+m)÷m- 1.而算式中的(m2+m)÷m 是多项式除以单项式,你会计算多项式除以单项式吗? [设计意图] 本环节提出了一个以学生现有认知水平可以解决的问题,目的在于激发学生的求知欲和 好奇心.教师提出在学习了本节知识以后,同学们就可以解决这个问题了,从而也让学生明确了本节知识的 作用. 探究活动1 多项式除以单项式法则 思路一 1.根据多项式乘单项式法则及除法与乘法两种运算互逆得: (1)m·( )=am+bm; (am+bm)÷m=( ). (2)( )·a=a2+ab; (a2+ab)÷a=( ). (3)2xy·( )=4x2y+2xy2 (4x2y+2xy2)÷2xy=( ). 2.自主探究. 请同学们解决下面的问题: (1)(ma+mb)÷m= ; ma÷m+mb÷m= . (2)(ma+mb+mc)÷m= ; ma÷m+mb÷m+mc÷m= . (3)(x2y2- xy+x)÷x= ; x2y2÷x- xy÷x+x÷x= . 3.大胆猜想. 通过计算、讨论、归纳,得出多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把 , 再把 . 4.计算下列各题,并说说你的理由: (1)(ad+bd)÷d= ; (2)(a2b+3ab)÷a= ; (3)(xy3- 2xy)÷xy= . 思路二 问题1 计算并回答问题: (1)d(a+b); (2)a(ab+3b); (3)xy(y2- 2). 以上的计算是什么运算?能否叙述这种运算的法则? 展示结果: (1)ad+bd. (2)a2b+3ab. (3)xy3- 2xy. 单项式乘多项式的运算.叙述法则略. 问题2 对比下列算式和问题1中的算式,它们之间有何关系?尝试计算出结果. (1)(ad+bd)÷d= . (2)(a2b+3ab)÷a= . (3)(xy3- 2xy)÷xy= . 展示结果: (1)a+b (2)ab+3b(3)y2- 2 问题3 根据上面问题1和问题2的解答,尝试归纳总结出多项式除以单项式的运算法则. [处理方式] 学生通过解答问题1和问题2,结合乘除法互为逆运算,不难得出多项式除以单项式的法则. 学生通过小组的讨论交流,尝试归纳总结多项式除以单项式的法则. 总结:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加. [设计意图] 通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程,获得数学活动的经验,发散学生思 维,让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性,培养学生合情说理的能力,并在这个过程中培养学生 总结归纳能力. 探究活动2 例题讲解 (教材例2)计算. (1)(6ab+8b)÷2b; (2)(27a3- 15a2+6a)÷3a; (3)(9x2y- 6xy2)÷3xy; (4) ( 3x2y- x y2+ 1 xy ) ÷ ( - 1 xy ) . 2 2 [处理方式] 应鼓励学生先去探索,分组合作,尽量在小组内合作完成,对于个别合作不佳的小组或数学 抽象思维不强的同学,教师进行指导,从而让学生体会到如何紧扣法则进行计算. 【规范解答】 解:(1)(6ab+8b)÷2b =6ab÷2b+8b÷2b =3a+4. (2)(27a3- 15a2+6a)÷3a =27a3÷3a- 15a2÷3a+6a÷3a =9a2- 5a+2. (3)(9x2y- 6xy2)÷3xy =9x2y÷3xy- 6xy2÷3xy =3x- 2y. (4) ( 3x2y- x y2+ 1 xy ) ÷ ( - 1 xy ) 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) =3x2y÷ - xy - xy2÷ - xy + xy÷ - xy 2 2 2 2 =- 6x+2y- 1. [设计意图] 例题教学不是教师或师生共同解答,而是让学生小组合作完成,巩固所学知识,加深对法则 的理解,学会使用公式解题,以求在活学活用方面得到提升. 探究活动3 生活中的多项式除以单项式 做一做: 1 小明在爬一小山时,第一阶段的平均速度为v,所用时间为t;第二阶段的平均速度为 v,所用时间为t.下 1 2 2 山时,小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的,那么小明下山用了多长时间? [处理方式] 学生独立思考完成,教师巡视指导,帮助学生解决问题,小组内交流方法. 提示:时间=路程÷平均速度. 1 解:上山路程=下山路程=vt+ vt. 1 2 2( 1 ) t t 2t +t 下山时间: vt + vt ÷4v= 1 + 2 = 1 2 . 1 2 2 4 8 8 [设计意图] 学生进一步巩固多项式除以单项式法则,提高学生的计算能力,体会多项式除以单项式在 生活中的应用. [知识拓展] 1.类比单项式除以单项式的法则理解记忆. 2.在计算多项式除以单项式时,注意不要漏项及符号问题. 3.多项式(没有同类项)除以单项式,结果的项数与多项式的项数相同. 1.多项式除以单项式的一般步骤: (1)把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式; (2)利用单项式除以单项式的法则计算. 2.应用多项式除以单项式的法则解决实际问题. 1.计算(12x4+6xy- 4x)÷(- 2x)的结果是 ( ) A.- 6x3+3y- 2 B.6x3- 3y- 2 C.- 6x3- 3y+2 D.6x3- 3y+2 解析:原式=12x4÷(- 2x)+6xy÷(- 2x)- 4x÷(- 2x)=- 6x3- 3y+2.故选C. 2.下列计算错误的是 ( ) A.(x3+x4)÷x3=1+x B.(6a3b- 4a2)÷2a=3a2b- 2a C.(- 8x2+x)÷(- x)=8x+1 D.(3yn- 6xyn)÷yn=3- 6x 解析:选项A,B,D结果都正确,选项C中(- 8x2+x)÷(- x)=8x+1错误,正确结果为8x- 1.故选C. 3.(- 3x6y3- 6x3y5- x2y4)÷xy3= . 解析:原式=- 3x6y3÷xy3- 6x3y5÷xy3- x2y4÷xy3=- 3x5- 6x2y2- xy.故填- 3x5- 6x2y2- xy. 4.计算:(3x3y- 18x2y2+x2y)÷(- 6x2y). 1 1 解:原式=3x3y÷(- 6x2y)- 18x2y2÷(- 6x2y)+x2y÷(- 6x2y)=- x+3y- . 2 6 5.计算:[(xy+2)(xy- 2)- 2x2y2+4]÷xy. 解:原式=(x2y2- 4- 2x2y2+4)÷xy=- x2y2÷xy=- xy. 第2课时 探究活动1 多项式除以单项式法则 探究活动2 例题讲解 例题 探究活动3 生活中的多项式除以单项式 一、教材作业 【必做题】教材第31页习题1.14知识技能第1题. 【选做题】 教材第32页习题1.14问题解决第2题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.长方形的面积是4a2- 6ab+2a,若它的长为2a,则它的周长为 ( ) A.4a- 3b B.8a- 6b C.4a- 3b+1 D.8a- 6b+2 2.多项式除以单项式法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的 分别除以单项式,再把所得的商 . 3.(a2- a)÷a= . 4.(35a3+28a2+7a)÷(- 7a)= . 【能力提升】 5.计算:(28a3- 14a2+7a)÷7a. 6.计算:(36x4y3- 24x3y2+3x2y2)÷(- 6x2y). 7.已知一个三角形的面积是4a3b- 6a2b+12ab3,一边长为4ab,求该边上的高. 【拓展探究】 8.如果2x- y=10,求[(x2+y2)- (x- y)2+2y(x- y)]÷4y的值. 【答案与解析】 1.D(解析:长方形的宽为(4a2- 6ab+2a)÷2a=4a2÷2a- 6ab÷2a+2a÷2a=2a- 3b+1,周长为2(2a- 3b+1+2a)=2(4a- 3b+1)=8a- 6b+2.故选D.) 2.每一项 相加 3.a- 1(解析:(a2- a)÷a=a2÷a- a÷a=a- 1.) 4.- 5a2- 4a- 1(解析:原式=35a3÷(- 7a)+28a2÷(- 7a)+7a÷(- 7a)=- 5a2- 4a- 1.) 5.解:(28a3- 14a2+7a)÷7a=28a3÷7a- 14a2÷7a+7a÷7a=4a2- 2a+1. 1 6.解:(36x4y3- 24x3y2+3x2y2)÷(- 6x2y)=36x4y3÷(- 6x2y)- 24x3y2÷(- 6x2y)+3x2y2÷(- 6x2y)=- 6x2y2+4xy- y. 2 7.解:2(4a3b- 6a2b+12ab3)÷4ab=(8a3b- 12a2b+24ab3)÷4ab=2a2- 3a+6b2.所以该边上的高为2a2- 3a+6b2. 8.解:[(x2+y2)- (x- y)2+2y(x- y)]÷4y=[x2+y2- (x2- 2xy+y2)+2xy- 2y2]÷4y=(x2+y2- x2+2xy- y2+2xy- 2y2)÷4y=(4xy- 1 1 2y2)÷4y=x- y.因为2x- y=10,所以x- y=5,故原式=5. 2 2 本节课的探究活动比较多,以活动促进新知的生成及熟练应用新知,把大量时间留给学生去探究、交流. 教师既要把握全局,又要突破教学的重、难点,关注学生的研讨和交流、能力的培养及对所学法则的灵活运 用程度,使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲.在教学中,可根据学生的学习水平将知识进行适当的拓 展,尤其是对一些学有余力的学生可为他们提供展示才华的平台.在具体的教学过程中,放手给学生的程度不够,还应让学生大胆去做、去说、去写,以便发现问题,进而 进行有针对性的纠正. 本章的重点是整式的运算,因此难以避免地要让学生完成大量的计算题,但是量大未必效果好,应当根据 学生对知识的掌握程度分层次练习,不同层次的学生只需完成适合自己的适量练习即可,要追求质量. 随堂练习(教材第31页) 1 4 3 解:(1)3x+1. (2)a+b+c. (3)- 3+ cd2. (4) x+ y. 2 7 7 习题1.14(教材第31页) 知识技能 5 5 3 3 3 3 1 1.解:(1) m2n2- 2m. (2)- 2b+ c2. (3)16x3+4x+1. (4)3a- 2+2b. (5)a- b3- ab3. (6) mn- m2+ n2. 3 3 2 4 5 2 4 1 5 5 (7) xy+ y- . (8)x+3. 2 4 2 问题解决 2.解: [ πa2H+π· (a) 2 h ] ÷ [ π· (1 a ) 2 ·8 ] = ( πa2H+ π a2h ) ÷ π a2=2H+ 1 h(个).答:共需 2 4 4 2 2 ( 1 ) 2H+ h 个这样的杯子. 2 联系拓广 3.提示:(m2+m)÷m- 1=m. 复习题(教材第33页) 知识技能 ( 3) 5 1 1.提示:(1) - . (2)(a- b)7. (3)- a25. (4) x6. (5)a2+2ab+b2. (6)- a6b3. (7)a6. (8)1. (9)yn+1. 5 64 (10)a2n. (11)a. (12)c4n. 1 2.提示:(1)106. (2)1. (3) . 9 3.提示:(1)2.4×10- 1m2. (2)8×10- 3m3. 3 4.提示:(1)x2+(a+b)x+ab. (2)9x2- 49y2. (3)18x2+78x+72. (4) x3y2- 6x2y2+3xy3. (5)- 5a4b5. (6)2a2- 3ab+6b2. 2 (7)a3c. (8)m2n2- 1. (9)9a+6b. (10)4x+5. 5.提示:(1)106. (2)- (x- y)6. (3)22n+1. (4)0. (5)1. (6)2x5. (7)m4. (8)a8. 6.提示:(1)2x6- 12x5- 6x4. (2)x2+2xy+y2- z2. (3)2. (4)a4+2a3- a2+4a- 8.2 2 1 2 94 1 2 7.解:(1)原式=xy+ xy2- y3,当x=- ,y= 时,原式=- . (2)原式=- xy,当x=10,y=- 时,原式= . (3)原 3 9 3 3 243 25 5 1 式=2xy- 1,当x= ,y=- 25时,原式=- 3. 25 8.解:(1)20012=2002×2000+12=4004001. (2)2001×1999=(2000+1)×(2000- 1)=3999999. (3)992- 1=(99+1)×(99- 1)=9800. 9.解:(1)899×901+1=(900- 1)×(900+1)+1=810000. (2)1232- 124×122=1232- (123+1)×(123- 1)=1232- 1232+1=1. 数学理解 10.解:因为(a+3)2=a2+6a+32,所以当a≠0时,(a+3)2≠a2+32. 问题解决 11.解:0.00000000000000000000001993=1.993×10- 23,1.993×10- 23÷12≈1.66×10- 24(g),所以u≈1.66×10- 24g. 12.提示:第1个图形:5a2+4ab.第2个图形:4a2+2ab+3b2. 14.解:图中最大的正方形即为面积为(a+3b)2的图形.图中有1个边长为a的正方形;有9个边长为b的正方形; 有6个两邻边长分别为a和b的长方形.(a+3b)2=a2+6ab+9b2. 联系拓广 15.解:右框从上到下依次填a2+4ab+4b2,a2- 4b2,4b2- a2,- a2- 4ab- 4b2. 1 n+n+1 16.解:不相等.相差- .理由如下:设这两个相邻的整数分别为n和n+1,则它们平均数的平方为 4 2 (2n+1)2 4n2+4n+1 n2+(n+1)2 n2+n2+2n+1 2n2+2n+1 2= = ,它们平方数的平均数为 = = , 4 4 2 2 2 n+n+1 n2+(n+1)2 4n2+4n+1 2n2+2n+1 1 - 2- = =- . 2 2 4 2 4 2×6.67×10- 11×2×1030 17.解:太阳的施瓦氏半径为R= ≈2.96×103(m). (3×108)2 18.解:(2- 1)(2+1)(22+1)(24+1)·…·(232+1)+1=(22- 1)(22+1)(24+1)·…·(232+1)+1=(24- 1)(24+1)·…·(232+1)+1=264- 1+1=264=24×16,个位数字为6. 3 1 先化简,再求值: - 2a4x2+4a3x3- a2x4 ÷(- a2x2),其中a= ,x=- 4. 4 2 〔解析〕 先进行多项式除以单项式的运算,再求代数式的值. 解: ( - 2a4x2+4a3x3- 3 a2x4) ÷(- a2x2) 4 3 =(- 2a4x2)÷(- a2x2)+4a3x3÷(- a2x2)- a2x4÷(- a2x2) 43 =2a2- 4ax+ x2. 4 1 当a= ,x=- 4时, 2 (1) 2 1 3 原式=2× - 4× ×(- 4)+ ×(- 4)2 2 2 4 1 =20 . 2 [解题策略] 进行多项式除以单项式的运算时,只要有一处符号发生错误,整个运算就得不出正确的结 果,一定要注意符号问题. 1.能正确运用幂的运算法则、整式乘除法法则进行计算. 2.能熟练运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题. 3.能灵活逆用幂的运算法则、乘法公式等解决有关问题. 4.能熟练运用幂的运算法则、整式乘除法法则对整式进行混合运算. 1.通过复习进一步发展学生的符号感和应用意识,提高解决问题的能力. 2.经历本章知识的回顾,提高综合解题能力,使相关法则的应用熟练程度得到进一步提高. 1.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力,感受数学与现实生活的密切联系,增强学生 的数学应用意识. 2.在数学活动中了解数学的应用价值,发展“用数学”的信心. 【重点】 灵活运用幂的运算性质、整式乘法公式进行整式的混合运算,综合运用整式运算的知识解 决问题. 【难点】 逆用幂的运算性质、乘法公式灵活解决问题.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方 { { 单项式乘单项式 整式的乘法 单项式乘多项式 多项式乘多项式{平方差公式 完全平方公式 整式的乘除 {同底数幂的除法{零指数幂 负整数指数幂 整式的除法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 专题一 幂的运算法则 【专题分析】 本章涉及有关幂的四种运算,在应用时要注意把握到底属于幂的哪种运算.相关法则的逆运用是难点, 中考命题时以考查基础知识为主,题型以选择题和填空题为主. (1)计算:23×24×22; (2)已知3m=4,3n=16,求3m+n的值. 〔解析〕 (1)是几个同底数幂相乘,可以直接运用同底数幂相乘的法则计算.(2)需要把同底数幂的乘法 公式逆用,即运用am+n=am·an才能解决问题. 解:(1)23×24×22=23+4+2=29=512. (2)3m+n=3m×3n=4×16=64. 【针对训练1】 (1)计算:(22)3; (2)已知am=2,an=3,求a3m+2n的值. 〔解析〕 (1)是幂的乘方,可以直接运用公式(am)n=amn计算.(2)则需要先逆用同底数幂相乘的公式,即 am+n=am·an,得到a3m+2n=a3m·a2n,再逆用幂的乘方公式,即amn=(am)n,得到a3m=(am)3和a2n=(an)2. 解:(1)(22)3=22×3=26=64. (2)a3m+2n=a3m·a2n=(am)3·(an)2=23×32 =8×9=72. 专题二 整式的乘法 【专题分析】 整式乘法运算过程中要注意运算符号的判断,多项式的每一项都包含它前面的符号,计算时应先确定乘 积中每一项的符号.在合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积.运算结果中如果有同类项,则要 合并同类项. 计算. 1 (1) x3yz2·(- 10x2y3); 4 (2)(2xy2- 3x2y- 1)·xyz. 〔解析〕 准确运用相关乘法法则进行计算. 1 解:(1) x3yz2·(- 10x2y3) 41 = ×(- 10)x3+2y1+3z2 4 5 =- x5y4z2. 2 (2)(2xy2- 3x2y- 1)·xyz=2x2y3z- 3x3y2z- xyz. 【针对训练2】 先化简,后求值. (1)x(x2+3)+x2(x- 3)- 3x(x2- x- 1),其中x=- 3; 2 1 (2)(x+5y)(x+4y)- (x- y)(x+y),其中x=2 ,y=- . 3 7 〔解析〕 准确化简是正确解题的基础. 解:(1)原式=x3+3x+x3- 3x2- 3x3+3x2+3x =- x3+6x. 当x=- 3时,原式=9. (2)原式=x2+9xy+20y2- (x2- y2) =9xy+21y2. 2 1 当x=2 ,y=- 时,原式=- 3. 3 7 [规律方法] 1.单项式的乘法运算应注意以下三点: (1)运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减. (2)进行每一步运算时,都要有理有据,也就是避免知识上的混淆及符号的错误. (3)不要遗漏只在一个单项式中出现的字母及其指数. 2.单项式与多项式相乘时,要注意以下两方面的问题: (1)要用单项式与多项式的每一项相乘,避免遗漏. (2)单项式带有负号时,为避免错误可以先提出负号再进行运算. 3.多项式乘多项式避免漏项的方法:两个多项式相乘后,在合并同类项之前,积的项数应该是两个多项式 项数的积. 专题三 乘法公式的运用 【专题分析】 乘法公式是初中数学最重要的公式之一,在整式的计算中占有重要地位,本章的计算中要灵活应用,可以 简便计算,乘法公式同时也是以后学习因式分解的基础.在应用乘法公式时,要搞清楚公式形式,明确公式中 的字母分别代表什么,以便正确运用. 1 若a+ =5,求: a 1 (1)a2+ 的值; a2 ( 1) 2 (2) a- 的值. a 1 1 ( 1) 2 〔解析〕 (1)把a+ 平方后,可以出现a2+ 的形式,这就为求值创造了条件.(2) a- 展开后,可 a a2 a 1 以出现a2+ 的形式,再借用(1)的结论,就会顺利解决问题. a21 解:(1)因为a+ =5, a 1 两边平方得a2+ +2=25, a2 1 所以a2+ =23. a2 ( 1) 2 1 (2) a- =a2+ - 2=23- 2=21. a a2 【针对训练3】 (1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a- b)2的值; (2)已知(a+b)2=7,(a- b)2=4,求a2+b2,ab的值; a2+b2 (3)已知a(a- 1)- (a2- b)=2,求 - ab的值. 2 〔解析〕 (1)展开(a+b)2和(a- b)2都会出现只含有a2+b2和ab的式子,因此可以直接代入求值;(2)可以把 a2+b2或ab看成一个整体,通过两个代数式的加或减,变成只含有a2+b2或ab的式子;(3)首先需要化简已知条 件,再把需要求值的代数式变形为含有已知条件的代数式. 解:(1)因为a2+b2=13,ab=6, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2×6=25, (a- b)2=a2+b2- 2ab=13- 2×6=1. (2)因为(a+b)2=7,(a- b)2=4, 所以a2+2ab+b2=7,① a2- 2ab+b2=4.② 11 ①+②得2(a2+b2)=11,则a2+b2= . 2 3 ①- ②得4ab=3,则ab= . 4 (3)由a(a- 1)- (a2- b)=2得a- b=- 2, a2+b2 1 所以 - ab= (a2+b2- 2ab) 2 2 1 = (a- b)2 2 1 = ×(- 2)2=2. 2 专题四 整式的除法法则 【专题分析】 整式的除法法则中教材研究了单项式除以单项式和多项式除以单项式两部分内容,学好这部分的关键 是正确运用同底数幂的除法法则,特别是对于底数是多项式的幂的形式的除法要注意整体性. 计算. (1) ( - 36x4+ 4 x3+9x2) ÷9x2; 3(2) ( 0.25a3b2- 1 a4b5- 1 a4b3) ÷(- 0.5a3b2). 2 6 〔解析〕 此题应先利用法则把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算,进而求出 最后的结果. 4 解:(1)原式=(- 36x4)÷9x2+ x3÷9x2+9x2÷9x2 3 4 =- 4x2+ x+1. 27 (2)原式=0.25a3b2÷(- 0.5a3b2)+ ( - 1 a4b5) ÷(- 0.5a3b2)+ ( - 1 a4b3) ÷(- 0.5a3b2) 2 6 1 1 =- +ab3+ ab. 2 3 【针对训练4】 计算. (1)[(2x+ y)2- y(y+4x)- 8x]÷2x; (2)4(4x2- 2x+1) (x + 1) +(4x6- x3)÷ ( - 1 x3) . 2 4 4 解:(1)原式=(4x2+4xy+y2- y2- 4xy- 8x)÷2x =(4x2- 8x)÷2x=2x- 4. (2)原式=(4x2- 2x+1)(2x+1)+4x6÷ ( - 1 x3) - x3÷ ( - 1 x3) 4 4 =8x3+1- 16x3+4=- 8x3+5. 专题五 整体思想 【专题分析】 整体思想是数学中常用的数学思想方法,利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值, 达到简化计算的目的. 3 3 3 已知a= x- 20,b= x- 18,c= x- 16,求代数式a2+b2+c2- ab- ac- bc的值. 8 8 8 〔解析〕 本题若将a,b,c的值直接代入计算,则复杂繁琐,显然不可取,考虑到a2+b2+c2- ab- ac- bc= 1 [(a- b)2+(b- c)2+(c- a)2] ,而由题设可以求得a- b,b- c,c- a的值,整体代入,则化繁为简,迅 2 速可解. 3 3 3 解:由a= x- 20,b= x- 18,c= x- 16, 8 8 8 可得a- b=- 2,b- c=- 2,c- a=4, 从而a2+b2+c2- ab- ac- bc1 = [(a- b)2+(b- c)2+(c- a)2] 2 1 1 = [(- 2)2+(- 2)2+42]= ×24=12. 2 2 【针对训练5】 已知x+y=4,xy=1,求代数式(x2+1)(y2+1)的值. 〔解析〕 可由题设条件求出x,y的值,再分别代入待求式计算,但这种方法有一定困难,可考虑将待求 式(x2+1)(y2+1)变形,用x+y和xy来表示,然后再整体代入求值. 解:(x2+1)(y2+1) =x2y2+x2+y2+1 =(xy)2+(x+y)2- 2xy+1, 把x+y=4,xy=1整体代入得到原式=12+42- 2×1+1=16, 即(x2+1)(y2+1)=16. 本章质量评估 (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列运算正确的是 ( ) A.a4+a5=a9 B.a3·a3·a3=3a3 C.2a4×3a5=6a9 D.(- a3)4=a7 ( 5) 2012 ( 3) 2012 2. - × - 1 等于 ( ) 8 5 A.- 1 B.1 C.0 D.1997 3.设(5a+3b)2=(5a- 3b)2+A,则A等于 ( ) A.30ab B.60ab C.15ab D.12ab 4.已知x+y=- 5,xy=3,则x2+y2等于 ( ) A.25 B.- 25 C.19 D.- 19 5.已知xa=3,xb=5,则x3a- 2b等于 ( ) 27 9 A. B. 25 10 3 C. D.52 5 6.如图所示,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式: ①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+bn. 其中正确的有 ( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 7.若(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为 ( ) A.- 3 B.3C.0 D.1 1 8.已知(a+b)2=9,ab=- 1 ,则a2+b2的值等于 ( ) 2 A.84 B.78 C.12 D.6 9.计算(a- b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)的结果是 ( ) A.a8+2a4b4+b8 B.a8- 2a4b4+b8 C.a8+b8 D.a8- b8 7 8 10.已知P= m- 1,Q=m2- m(m为任意实数),则P,Q的大小关系为 ( ) 15 15 A.P>Q B.P=Q C.P0,所以P