文档内容
拔高点突破 02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：柯西不等式之直接套公式型........................................................................................................................2
题型二：柯西不等式之根式下有正负型....................................................................................................................4
题型三：柯西不等式之高次定求低次型....................................................................................................................5
题型四：柯西不等式之低次定求高次型....................................................................................................................7
题型五：柯西不等式之整式与分式型........................................................................................................................8
题型六：柯西不等式之多变量型................................................................................................................................9
题型七：柯西不等式之三角函数型..........................................................................................................................11
题型八：Aczel不等式................................................................................................................................................12
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型..........................................................................................................13
题型十：权方和不等式之三角函数型......................................................................................................................14
题型十一：权方和不等式之杂合型..........................................................................................................................15
03 过关测试.........................................................................................................................................161、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的 ，都有 ．
（2） 元柯西不等式： ，取等条件：
或 （ ）．
2、Aczel不等式（反柯西不等式）
设 ； 均 为 实 数 ， 或 ， 则 有
．当且仅当 ， 成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的 ，都有 ．当且仅当 时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若 ， ， ，则 ，当 时等号成立．
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例1】已知 且 则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由柯西不等式可得：
，即
所以 ，
当且仅当 即 时取等号，
故 的最小值为 ，
故选：B．
【变式1-1】若 ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】由柯西不等式，得 ，
∴ ，
∴ ，
当 且 时，
即 ，且 与 异号时，
，
则 的最小值为 .
选：C.
【变式1-2】已知a，b， ，满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】设 ， ， ，可得 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ， 取得最大值6，
此时 ，
所以 的最大值为 ．
故选：B.题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国
数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当 时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．20
【答案】A
【解析】由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
由柯西不等式得， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：A.
【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不
等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量 , ,由
得到 ,当且仅当 时取等号.现已知 , , ,则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,
令 ,又 , , ,
所以 ,
当且仅当 即 时等号成立,
即 ,
故选:D.【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，即 .
由 可知 ，所以 .
由 ， 可得 ，
由柯西不等式得
，
所以 ，当 即 时，取等号.
所以 的最大值为 .
故选：C.
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例3】设a，b，c为正数，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一 根据题意，有
，
其中 ，令 ，
解得 ，
于是 ，
等号当 时取得，因此所求最大值为 ．解法二 令 ，其中 ，则
，
等号当 时取得，因此所求最大值为 ．
解法三 根据题意，有
，
等号当 ，且 即 时取得，
因此所求最大值为 ．
故选：A.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才
能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 和 ，有
等号成立当且仅当 已知 ，请你用
柯西不等式，求出 的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得 ，
所以 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故选：A
【变式3-2】已知实数 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则条件为 ，所以
，
等号当 且 时取得，因此所求代数式的最大值为 ．
故选：D
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例4】若实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】根据题意，有 ，
而 ，当且仅从 时等号成立.
同理 ，当且仅当 式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当 时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
【变式4-1】已知空间向量 ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为 ，所以
，
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立.
所以 ，所以 的最小值为 .
故选：B
【变式4-2】已知 ， ， 为实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】由三维柯西不等式：
当且仅当 时取等,
所以
所以 ，当且仅当 时取等,
所以 的最小值为：2
故选：C
题型五：柯西不等式之整式与分式型
【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /0.5
【解析】由柯西不等式而 ，所以 时等号成立，
故答案为： .
【变式5-1】已知 、 、 ，且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 、 、 ，且满足 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故答案为： .
【变式5-2】已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 且 ，
， ，
因为
所以 ，
当且仅当 时， 的最小值为 .
故选：D.
题型六：柯西不等式之多变量型
【例6】已知 且 ，a，b，c为常数，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有
，
等号当 时取得，因此所求最小值为 ．
故选：D.
【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足 则e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有 ，
从而 ，
因此e的取值范围是 ．
故选：D.
【变式6-2】已知 ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．
C．417 D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】由 可得 ，
由对称性可设 ，则条件即 即 ，
从而 ，
根据柯西不等式
，
等号当 时取得．因此所求最小值为 ．
故选：A.题型七：柯西不等式之三角函数型
【例7】函数 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】题中代数式为
，
等号当 时可以取得，因此所求最大值为 ．
故选：D.
【变式7-1】（2024·浙江·一模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 整理得
，
由柯西不等式得
，
当 时取等号，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的最小值为 .
故选：C．
【变式7-2】函数 的最大值为（ ）
A． B．5 C．4 D．【答案】A
【解析】利用柯西不等式进行求最值.
当且仅当 ，即 时，函数有最大值 .
故选：A.
题型八：Aczel不等式
【例8】 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
当且仅当 即 时取等号，
故 的最小值为 ．
【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》
选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不
等式（二维）；当向量 时，有 ，即 ，
当且仅当 时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当 时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前
面的结论可知：当 时， 的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得 ，
则，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，则 ，
所以 ，最小值为 ，此时 ．
故答案为： .
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
【例9】已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为
【答案】
【解析】因为正数 ， 满足 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如
下：设a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
【答案】B
【解析】因a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立，又 ，即 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数 的最小值为25.
故选：B
【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】2
【解析】由权方和不等式，可知
= = ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为2.
故答案为：2.
题型十：权方和不等式之三角函数型
【例10】已知正实数 、 且满足 ，求 的最小值 .
【答案】
【解析】设 ， ， ，
由权方和不等式，可知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【变式10-1】已知 为锐角，则 的最小值为 .
【答案】【解析】
当且仅当 即 ， 时取“ ”.
故答案为：
【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初
命名的．其具体内容为：设 ，则
，当且仅当 时，等号成立．根
据权方和不等式，若 ，当 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ．
故选：C．
题型十一：权方和不等式之杂合型
【例11】已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得， ．
（权方和的一般形式为： , ,当且仅当
时等号成立）当 ，即 时， 取得最小值 ．
故答案为：
【变式11-1】已知 ，求 的最小值为
【答案】
【解析】
当且仅当 时取等号
故答案为：60
【变式11-2】求 的最大值为
【答案】
【解析】
当且仅当 ，即 或 时取等号
故答案为： .
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应
用，其表述如下：设正数 ， ， ， ，满足 ，当且仅当 时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49【答案】D
【解析】因为 ， ， ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，即 ，于是得 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数的 最小值为49．
故选：D
2．已知a，b，c均大于1， ，则 的最小值为（ ）
A．243 B．27 C．81 D．9
【答案】B
【解析】由 得 ，
所以
，
当且仅当 时取等，
所以 ，
所以 ，
即 的最小值为27，
故选：B
3．（2024·福建·模拟预测）设 、 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，因为 ，则 且 ，因为 ，构造数字式
，
所以， ，故 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值是 .
故选：B.
4．由柯西不等式，当 时，求 的最大值为（ ）
A．10 B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】由柯西不等式，得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
因为 ，所以 ，
则 ，故 的最大值为 .
故选：D
5．已知 ，则 的取最小值时， 为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：则 ．则根据等号成立条件知 ， ， ，
所以
故选：B
6．已知： ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用柯西不等式，可得 ,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得 ,
，
解得 .
故选:B
7．实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】 实数x、y满足 ，
，
，
，
当且仅当 时取等号，
的最小值是 .
故选：A.
8．已知a， ， ，则 的最大值为（ ）
A．18 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，
当且仅当 时等号成立，当 ， 时，
故 的最大值为 .
故选：C.
9．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式： ，即 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立.
故选：B.
10．函数 的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据柯西不等式，
得
当且仅当 ，即 时等号成立.
此时， ，
故选：B.
11．若 ，则 的最大值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】A
【解析】根据柯西不等式可得：
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选:A.
12．函数 的最大值是( )
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【解析】利用柯西不等式求解.因为
当且仅当 ，即 时，取等号.
故选：B
13．已知 ， ，则 的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】利用柯西不等式求解. ，
当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值是
故选：A
14．函数 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将 化为 ，利用柯西不等式即可得出答案.因为
所以
当且仅当 时取等号.
故选：A
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知 ， ， ，且 ，则 的最大
值为（ ）
A．3 B． C．18 D．9
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：，所
以 ，当且仅当 时，等号成立，故选B.
16．已知x，y均为正数，且 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
当且仅当 ，即 时，等式成立.
故选：C
17．（2024·广西南宁·二模）设实数 满足关系： ， ，则
实数 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式知：
，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，所以 ，
解得 ，即实数 的最大值为 .
故选：B.
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的
一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 ，
，由 得到 ，当且仅当 时取等号.现已知
， ， ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】令 ，
又 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 .
故答案为：
19．若不等式 对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由柯西不等式的变形可知 ，整理得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则k的最小值为 .
故答案为：
20．已知x，y， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】36
【解析】由柯西不等式可得 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 即 也即 时取得等号，
故答案为:36.
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
22．在锐角 中， 的最小值是 ．
【答案】
【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式： ，
于是
，
等号当 时取得，因此所求最小值
为
故答案为：
23．函数 的最大值与最小值之积为 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
一方面， ，
等号当 时取得；
另一方面， ，
当且仅当 时等号成立，
于是最大值为 ，最小值为 ，所求乘积为 ．故答案为： .
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题设， ，则 ，
又 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
25．已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】8
【解析】令 ，
则 ，
当 时，即 时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．
故答案为：8
26．已知x>0，y>0，且 ，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【解析】解法一：设 ，
可解得 ，
从而，
当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式： ，
，
所以 ，当且仅当 时取等号.
故答案为： ．
