文档文本内容
陕⻄省商洛市 学年度第⼀学期期末考试
2025-2026
⾼三数学
注意事项：
1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊．如需改
动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号．回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上⽆效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回．
4．本试卷主要考试内容：⾼考全部内容．
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的．
1．已知集合M={-1，1，3}，N={0，1，3}，则M∪ N=（ ）
A．{1，3} B．{-1，0} C．{-1，0，1，3}D．{-1，1，3}
2．已知（ ． 为虚数单位，则|a+bi|=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3．已知向量a=（-2，0），a+b=（-1，3），则向量a与b夹⻆的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆 上任意⼀点到它的两个焦点的距离之和为10，且 则椭圆C
的焦距为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
5．设△ABC的内⻆A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 则A=（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 则满⾜ 的x的取值范围是
A．（3，+∞） B. C. D．（0，3）
7．若 则 =（ ）
A． B． C． D．
8．在正四棱台ABCD-A B C D 中， 且 记能将正四棱台
1 1 1 1
学科⽹（北京）股份有限公司罩住的半球的最⼩半径为R ，正四棱台 外接球的半径为R ，则
1 2
（ ）
A． B．1 C． D．
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合
题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．将某班级40名学⽣的数学测试成绩（满分150分）整理为如下频数分布表，则下列说法正确的是（ ）
成绩[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130]
频数 4 8 12 10 6
A．该组数据的中位数在[100，110）内
B．该组数据的第80百分位数在[110，120）内
C．若去掉其中⼀个同学的数学测试成绩，则剩余39⼈的数学测试成绩的⽅差会变⼩
D．若从[80，90）和[120，130]两组数据中按分层抽样抽取5⼈，则共有120种不同的选法
10．已知直线 是函数 图象的⼀条对称轴，则下列结论正确的是（ ）
A．点 是f（x）图象的⼀个对称中⼼
B．f（x）在 上单调递减
C．若f（x）≥1在（0，m）上恒成⽴，则m的最⼤值为
D．若f（x）在（0，n）上恰有2个零点，则n的取值范围为
11．已知函数 则（ ）
A．a<c B．a<b C．g（c）<g（a） D．g（b）<g（a）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12．已知圆 与圆 相交，则r的取值范围为
___________．
13．已知抛物线C： 的焦点为F，点P（x ，y ）在抛物线C上，O为坐标原点，若
0 0
的⾯积为2，则p=___________．
14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填⼊⼀个3×3的⽅格中，每个格⼦填1个数字，且不重复，要求
第⼀⾏数字满⾜ 第三⾏数字满⾜ 第三列数字满⾜ 则符合要
求的填数⽅法共有___________种．（⽤数字作答）
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15．设等差数列{an}的前n项和为 且
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求数列 的前n项和T ．
n
16．如图，在正三棱柱ABC-A B C 中， D为BC的中点．
1 1 1
（1）证明：A B∥ 平⾯AC D．
1 1
（2）求⼆⾯⻆D-AC -C的余弦值．
1
17．已知函数
（1）若点P（0，1）在f（x）的图象上，求曲线y=f（x）在点P处的切线⽅程；
（2）若点 不在f（x）的图象上，过点M且与f（x）的图象相切的直线l与x轴平⾏，求a的值
．
18．为了了解⼈们对AI应⽤的喜爱程度，现随机抽取不同年龄段的1000⼈进⾏调查统计，得到如下2×2
列联表：
AI应⽤
年龄 合计
不喜爱喜爱
不超过35岁 400 600
超过35岁 300
合计 1000
（1）完成2×2列联表，并依据⼩概率值α=0.001的独⽴性检验，判断⼈们对AI应⽤的喜爱程度是否与年
龄有关联．
（2）从这1000名调查者中随机抽取⼀⼈，若这个⼈年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应⽤的概率
．
（3）为推⼴AI应⽤，某科技公司组织了AI应⽤知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道
题进⾏作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成
的题的数量，求变量X的分布列及数学期望．
附： 其中n=a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.010.0050.001
x 2.7063.8416.6357.87910.828
α
学科⽹（北京）股份有限公司19．已知双曲线 的左、右焦点分别为F（-2，0），F（2，0），左、右顶点分
1 2
别为A ，A ，点M在双曲线C上，且M在第⼀象限，点N在y轴正半轴上，且四边形A A MN为菱形．
1 2 1 2
（1）求双曲线C的⽅程．
（2）已知直线l 过右焦点F 且与双曲线C的右⽀交于A，B两点，与两渐近线分别交于点P，Q．
1 2
①求 的取值范围；
②直线l 经过右焦点F ，且l ⊥l ，l 与双曲线C的左、右两⽀分别交于D，E两点，试判断|AB|与|DE|的
2 2 2 1 2
⼤⼩关系，并说明理由．
⾼三数学参考答案
1．C 因为 ，所以 ．
2．D 因为 ，所以 解得 所以 ．
3．A 因为 ，所以 ．
4．C 依题意得 ，解得 ．⼜ ，所以 ，从⽽ ．
5．B 因为 ，所以 ，解得 ，则 ．⼜ ，所以
．
6．A 易知函数 在 上单调递减，因为 ，所以 ，解得
．
7．B 因为 ，所以 ．
⼜ ，解得 ，所以 ．
8．D 如图，连接 ，它们的中点分别记为 ，
连接 ，易知 为此正四棱台的⾼，且 ．过点 作 的垂线，垂⾜为 ，
学科⽹（北京）股份有限公司则 ，则 ，故能将正四棱
台 罩住的半球的最⼩半径 ．设该正四棱台外接球的球⼼到平⾯ 的距离
为 ，则 ，解得 ，故 ．
9．ABD 对于A，总⼈数为40，中位数为第20，21个数据的平均数，前两组频数和为 ，
前三组频数和为12+12=24>21，因此中位数在[100，110）内，A正确．
对于B，计算第80百分位数的位置 ，前3组频数和为24，前4组频数和为24+10=34，
则第80百分位数在[110，120）内，B正确．
对于C，⽅差反映数据的离散程度，由于未明确被去掉同学的数学测试成绩与平均数的偏离程度，因此⽆
法确定⽅差的变化，C错误．
对于D，成绩在[80，90）内的有4⼈，成绩在[120，130]内的有6⼈，按分层抽样抽取5⼈，则从这两组
分别选2⼈与3⼈，不同的选法数为 ，D正确．
10．AC 由题可知， ，则 ．因为 ，所以 ，
．因为 ，所以点 是 图象的⼀个对称中⼼，A正确．
由 ，得 不单调，B不正确．
由 ，得 ，因为 ，所以 ，则 ，得
，C正确．
由 ，得 ，因为 在 上恰有2个零点，所以 ，
得 D不正确．
11．BCD ，易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时， ．
对于A，因为 ，所以 A错误；
对于B，要证 ，只需证 ，即证 ，
因为 ，所以 B正确；
学科⽹（北京）股份有限公司对于C，因为 ，所以 ，⼜ ，所以 ，则 ，C正确；
对于D，因为 ，所以 D正确．
12． ．由 ，解得 ，即 的取
值范围为 ．
13.2 因为 ，所以 ，从⽽ ．由 的⾯积为 2，得
，解得 ．
14.1080 从9个数中任取2个数填⼊ 和 的位置，有 种⽅法．
因为 ，所以在剩下的7个数中，最⼤的数只能填⼊ 的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填⼊ 的位置，且这4个数字只能按照从⼩到⼤的顺
序分别填⼊ 的位置，最后剩下的2个数字只能按照从⼩到⼤的顺序分别填⼊ 的
位置，故填好 共有 种⽅法．
因此，按照要求填好该⽅格共有 种⽅法．
15．解：（1）因为数列 是等差数列，所以 ，所以 ，
⼜ ，所以 ，
所以 的公差 ，
则 .
（2）因为 ，
所以 .
16．（1）证明：连接 ，与 交于点 ，则 为 的中点，连接OD.
因为 为 的中点，所以 是 的中位线，
则 .
⼜ 平⾯ 平⾯ ，
学科⽹（北京）股份有限公司所以 平⾯ .
（2）解：由题可知 为正三⻆形， 为 的中点，则 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系．
由 ，可得 ，
则 .
设平⾯ 的法向量为 ，
则由 可得
令 ，得 .
设平⾯ 的法向量为 ，
则由 可得
令 ，得 .
由图可知，⼆⾯⻆ 为锐⻆，所以⼆⾯⻆ 的余弦值为 .
17．解：（1）由点 在 的图象上，得 ，解得 ，
所以 ，求导得 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线⽅程为 ，即 .
（2）设过点 的直线 与 的图象切于点 ，
则切线 的斜率 .
因为直线 与 轴平⾏，所以 的斜率为0，
得
解得 ，所以 的值为 .
18．解：（1）补全的 列联表如下：
年龄 AI应⽤ 合计
学科⽹（北京）股份有限公司不喜爱 喜爱
不超过35岁 200 400 600
超过35岁 300 100 400
合计 500 500 1000
零假设为 ：⼈们对AI应⽤的喜爱程度与年龄⽆关.
根据表中数据，计算得到 ．
根据⼩概率值 的独⽴性检验，有充分证据推断 不成⽴，
即认为⼈们对AI应⽤的喜爱程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）从这1000名调查者中随机抽取⼀⼈，记这个⼈的年龄不超过35岁为事件 ，这个⼈喜爱AI应⽤为
事件 ，
则 ，
所以 .
（3） 的所有可能取值为2，3，4，
的分布列为
2 3 4
的数学期望 .
19．解：（1）依题意知菱形 的边⻓为 ，且 为坐标原点，所以点 的坐标为
，所以 ，可得 .
⼜ ，所以 ，由 ，得 ，
所以双曲线 的⽅程为 .
（2）（⽅法⼀）①设直线 的⽅程为 ．由 消去 得 （因
为渐近线⽅程为 ，直线 在 轴右侧且与两渐近线相交，所以由 1可得 ）.
设 ，则 ，
学科⽹（北京）股份有限公司⼜渐近线的⽅程为 ，所以由 解得
由 解得 不妨设 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 .
②当直线 的斜率存在时，设直线 的⽅程为 ．因为 ，所以 的⽅程为 ，
由（2）①知 ，同理可得 ，所以 .
当直线 的斜率不存在时， ，⼜ ，所以
综上， .
（⽅法⼆）①当直线 的斜率存在时，设直线 的⽅程为 ．
由 消去 得 .
设 ，则 ，
⼜两渐近线⽅程为 ，所以由 解得
学科⽹（北京）股份有限公司由 解得
不防设
则 ，所以 ，
因为 ，所以 .
当直线 的斜率不存在时，则直线 的⽅程为 ，
可得 ．
可得 .
综上， .
②当直线 的斜率存在时，设直线 的⽅程为 ，因为 ，所以 的⽅程为
，由（2）①知 ，同理可得 ，所以 .
当直线 的斜率不存在时， ，⼜ ，所以 .
综上， .
学科⽹（北京）股份有限公司
