文档内容
第 02 讲 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
圆中切线问题 给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分
已知点到直线距离求参数切线长 余弦定理解三角形
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分 直线与圆的位置关系 无
2022年新I卷，第14题,5分 判断圆与圆的位置关系 圆的公切线方程
求点关于直线的对称点
2022年新Ⅱ卷，第15题,5分 由直线与圆的位置关系求参数
直线关于直线对称问题
2021年新I卷，第11题,5分 直线与圆的位置关系求距离的最值 切线长
点与圆的位置关系求参数
2021年新Ⅱ卷，第11题,5分 无
判断直线与圆的位置关系
判断方程是否表示椭圆
2020年新I卷，第9题,5分 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示双曲线
判断方程是否表示椭圆
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
判断方程是否表示双曲线
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握圆的标准方程和一般方程，并会基本量的相关计算
2.能正确处理点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系求解
3.能利用圆中关系进行相关参数求解
4.会解决圆中的最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查直线与圆和圆与圆的几何综合，需强化练习知识讲解
1. 圆的标准方程
，其中圆心坐标为 ，半径为
2. 圆的一般方程
（ ）
配方可得： ，
，半径为
圆心坐标为
3. 表示圆的充要条件
4. 点与圆的位置关系已知点 ，圆的方程为：
若 ，点 在圆内
若 ，点 在圆上
若 ，点 在圆外
5. 直线与圆的位置关系
直线 ，圆
代数关系 ，其中 为联立方程根的个数，
几何关系 ，其中 为圆心到直线的距离
6. 圆与圆的位置关系
设圆 的半径为 ，设圆 的半径为 ，两圆的圆心距为
若 ，两圆外离，若 ，两圆外切，若 ，两圆内切
若 ，两圆相交，若 ，两圆内含，若 ，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
7. 弦长公式
设 ， ，
则
或：
8. 圆上一点到圆外一点的距离的最值
9. 圆上一点到圆上一点的距离的最值
10.圆上一点到直线距离的最值
11.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
考点一、 圆的标准方程1．（23-24高二上·甘肃武威·期中）以 为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点的圆的
方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．（22-23高二下·山东临沂·期末） 的三个顶点分别是 ，则其外接圆的方程
为 .
1．（23-24高二上·江西·阶段练习）圆心为 ，且经过坐标原点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·模拟预测）圆C： 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知 ，则 外接圆的方程为
．
考点二、 圆的一般方程
1．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知圆 ，则圆心、半径的长分别是（ ）
A． B． C． D．2．（22-23高三·全国·课后作业）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件
是（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
3．（2022高三·全国·专题练习）（多选）已知方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，表示圆心为 的圆
B．当 时，表示圆心为 的圆
C．当 时，表示的圆的半径为
D．当 时，表示的圆与 轴相切
1．（22-23高二·山东临沂·开学考试）已知圆 ，则该圆的圆心和半径分别是（ ）
A． ，5 B． ，5 C． ， D． ，
2．（2022·陕西榆林·二模）若方程 表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽淮北·阶段练习）如果圆 关于直线
对称，那么（ ）
A． B．
C． D．
考点三、 直线与圆的位置关系
1．（23-24高二上·广东·期末）直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆 被直线 平分，则 （ ）A． B．1 C． D．2
3．（22-23高二下·安徽亳州·开学考试）设 ，则直线 ： 与圆 的位置关系
为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
1．（23-24高二上·江苏常州·期中）若点 在圆 内，则直线 与圆C的位置关系为
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆 关于直线 对称，则实数
（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线 与圆 相切，则 的值
（ ）
A．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关
考点 四 、 圆与圆的位置关系
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则这两圆的
位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
2．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆 则两圆的公切线条
数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024·山西吕梁·二模）已知 分别是圆 与圆 上的动点，
若 的最大值为12，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．31．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆 与圆 的位置关系是
（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
2．（2024·陕西西安·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
3．（2024·山东聊城·二模）若圆 与圆 恰有一条公切线，则下列直线
一定不经过点 的是（ ）
A． B．
C． D．
考点 五 、 圆中的弦长问题
1．（2024·河南·模拟预测）直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，若 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．﹣2
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知点 在圆 上，直线 被该
圆截得的弦长为2，则 （ ）
A． B． C．2 D．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆 被直线 所截线段的长度为（ ）
A．2 B．4 C． D．2．（2024·青海·一模）已知直线 与圆 交于 两点，且
，则 （ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则
（ ）
A． B． C．4 D．
考点 六 、 圆上的点到点的最值问题综合
1．（2023·甘肃酒泉·三模）点 在圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（22-23高二·全国·课后作业）若 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1．（2021·四川资阳·模拟预测）已知 为坐标原点， 为圆 上的动点，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数 满足： ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．3
考点 七 、 圆上的点到直线的最值问题综合
1．（21-22高二上·北京·期中）点 在圆 上，点 在直线 上，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．2．（2022·贵州·模拟预测）已知圆 和直线 ，则圆心C到直线l的最大
距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
1．（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线 ，点 在圆 上运动，那么点 到直线 的
距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·模拟预测）圆 上的点到直线 距离的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
考点 八 、 圆中的最长弦与最短弦综合
1．（2024·全国·模拟预测）直线 被圆 截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京石景山·一模）已知圆C： ，过点 的直线l与圆C交于A，B两点，则弦
长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（20-21高三下·河南·阶段练习）若直线 与圆
相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点 ，则直线 l 被圆O： 截得的弦长的最小值
为（ ）
A．3 B．6 C． D．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线 ，圆 ，当
直线 被圆 截得的弦最短时， 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线 与圆 相交于 两
点，则弦长 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点 九 、 圆综合
1．（2024·贵州·模拟预测）（多选）已知点 ，点Q在圆 上，则（ ）
A．点P在直线 上 B．点P可能在圆C上
C． 的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1
2．（2024·辽宁丹东·模拟预测）（多选）已知曲线 : ，则（ ）
A．曲线 围成图形面积为
B．曲线 的长度为
C．曲线 上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线 上任意两点间最大距离
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）（多选）若圆 与圆 交于A，B
两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点 在圆 内
B．直线 的方程为
C．圆 上的点到直线 距离的最大值为
D．圆 上存在两点P，Q，使得
4．（2024·山东青岛·三模）（多选）已知动点 分别在圆 和
上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆 的半径为3B．圆 和圆 相离
C． 的最小值为
D．过点 做圆 的切线，则切线长最短为
1．（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆 ，若圆 上仅存在一点 使
，则正实数 的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知直线 ，圆 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．圆心 的坐标为
B．直线 与圆 始终有两个交点
C．当 时，直线 与圆 相交于 两点，则 的面积为
D．点 到直线 的距离最大时，
3．（2024·江西南昌·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，
圆 ，则下列选项正确的是（ ）
A．当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B． 的面积最大值为1
C．若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D．若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
4．（2024·浙江绍兴·三模）（多选）已知 ， 为圆 上的两个动点，点 ，且 ，
则（ ）
A．
B．
C． 外接圆圆心的轨迹方程为
D． 重心的轨迹方程为一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）与x轴相切于原点，且圆心为 的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆 ，圆 ，两圆的公共弦
所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2024·江西吉安·模拟预测）已知圆 与直线 有公共点，则整数 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 √2，且过原点的圆的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的
取值范围是（ ）
A．{t|－1＜t＜ }
B．{t|－ ＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜ }
D．{t|1＜t＜2}
二、多选题
7．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知直线 与圆 有两个交点，则整数
的可能取值有（ ）A．0 B． C．1 D．3
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆 关于直线 对称，圆 与 轴交于
两点，则
9．（2024·北京西城·二模）已知圆 经过点 和 ，且与直线 相切，则圆 的方程为 ．
10．（2024·陕西商洛·三模）已知直线 与 ，若直线 与 相
交于 两点，且 ，则 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点 关于直线 对称的点 在圆 ：
上，则 （ ）
A．4 B． C． D．
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知直线 与直线 的交点为
P，则点P到直线 距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·全国·开学考试）圆 与圆 交于 两点，则直线
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·吉林·阶段练习）设 ，过定点A的动直线 和过定点 的动直线
交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点 为直线 上一动点，点 ，且 满
足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
6．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆 及点 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．圆心 的坐标为
B．若点 在圆 上，则直线 的斜率为
C．点 在圆 外
D．若 是圆 上任一点，则 的取值范围为 ．
7．（2024·山东·二模）已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 相交
C．当直线 平分圆 时， D．当点 到直线 距离最大值时，
三、填空题
8．（2023·江西上饶·模拟预测）直线 被圆 截得最大弦长为 ．
9．（23-24高二下·全国·课堂例题）圆 经过点 ，且经过两圆 和圆
的交点，则圆 的方程为 ．
10．（2024·天津河西·模拟预测）已知点 为圆 上一点，点 ，当 变化时线
段AB长度的最小值为 .
1．（2024·全国·高考真题）已知直线 与圆 交于 两点，则|AB|的
最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·北京·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两
点，则|AB|的最小值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．
4．（2024·上海·高考真题）正方形草地 边长 到 距离为 到 距离为 ，有
个圆形通道经过 ，且经过 上一点，求圆形通道的周长 .（精确到 ）
5．（2023·全国·高考真题）已知实数 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
6．（2023·全国·高考真题）已知直线 与 交于A，B两点，写出满足“
面积为 ”的m的一个值 ．
7．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与圆
交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
9．（2022·全国·高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为 ．
10．（2022·天津·高考真题）若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 的
值为 ．
11．（2022·全国·高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程为
．
12．（2022·全国·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是 ．
13．（2021·北京·高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点M，N，当 变化时，
若 的最小值为2，则A． B． C． D．
14．（2021·全国·高考真题）（多选）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点 在圆 上，点 、 ，则
（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
16．（2021·天津·高考真题）若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则
．
