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1987年数学（三）真题解析
一、 判断题
（1） 【答案】X.
_1_ _1_ 丄
【解】 因为lime7 = 0, lime7 = 所以lime〒不存在但不是无穷大.
r-0_ h~o+ 乂~°
（2） 【答案】J.
【解】 因为J：4 sin x为［―兀,兀］上的奇函数，所以J sin zdz = 0.
（3） 【答案】X.
【解】 取Q” = — ~\-----,6“ = -y 9显然级数工Q”与〉2九都发散，但工（5 + 〃”）收敛.
刃〃 77 ” = 1 ”=】 ” =1
（4） 【答案】J.
（5） 【答案】J.
二、 选择题
（1）【答案】（A）.
（sin x , 乂 W 0,
【解】对于（工）=
〔cos x , 无〉0,
因为/(0 — 0) = 0H /(0 + 0) = 1,所以/(J：)在工=0处不连续；
卜 + 1 , H V 0 ,
对 /(J7 ) =50, 工=0,
[工-1 9 H〉0 ,
因为/(0-0) = 1 # /(0 + 0) = -1,所以/(工)在工=0处不连续;
对心)=Ll広| '広工°，
[o, 工=0,
因为lira/* （无）=ooH f （0） = 0,所以/（jt）在h = 0处不连续，应选（A）.
X—0
（2） 【答案】（C）.
【解】 因为g在4，工2〕上连续，在（工］，工2）内可导，所以由拉格朗日中值定理，应选（C）・
（3） 【答案】（C）.
【解】 因为 J 「 +°° In r = — 1 ln2jr I +°° = +°°,
「+ ］
oo I +°°
—：----dr = ln（ln jt） = +°°,
J e jrln JT I e
r+°o i _______I +°°
----- djr = 2 yin x = +°°,所以应选（C）・
J e X V^ln X I e
] 1
事实上, djr =—
JT (In H )2 In jc
（4）【答案】（A）.
【解】 因为r（A） = r| 2 (工 _ J )2 2 +1 y2 9
\工_ w
dz 1 (工 一 y) +(JT + y) X
3y i+D 1 2 (x — y)2 工 2 十 1 歹2 '
\工 一 y /
(4)【解】 令_ \ = t,即工=*(1 + /2),则
卜“2乂-1 也= dt = (t — l)e' + C =(】2工—1 — 1 )e'/2j_1 + C.
四、【解】 S. (sin t — sin =Zsin t + cos t — 1,
J 2 ( sin x — sin £) dr
S2
S = S1+S2 =(2/----) sin l + 2cos t — 1,
令 S，=(2/ ) cos / = 0 得 t = •或 r = -^~9
由 SCO) = 1,S(于)=^2 —JS(守)=---I?得
当t = 4时，两部分面积之和最小；当r = 0时，两部分面积之和最大.
4
五、【解】f ⑺=工2 _3乂 +2 =（工 一 2）（広一1） = 1-x — 2 —z '
1 吕
而；-------=/J — IVjcVI,
1— H …
则/(-r) = S (1— 占)工"，收敛区间为(一1，1).
厶
” =0
六、【解】JJeT djr dy = J eJ dr] 3 dy =J (无一z3)e" dr
D
=~|~J (1 — j: 2 )ex d(x2 ) = (1 — jc )eJ djr七、【解】需求对价格的弹性为
dx / dp
79 =----------,
X / P
由题意得号労 =-3p\整理得話+ 3P咯=0,
解得 x = = Cepi ,
因为市场对商品的最大需求量为1,所以C = 1,故需求函数为z .
‘2 -1 4 -3 -4 V 0 1 0 3
1 0 1 -1 -3 () 1 -2 0 -8
八、【解】 由A = —► 得
3 1 1 0 1 () 0 0 1 6
7 0 7 -3 3 . ♦ 0 0 0 0 .
原方程组的通解为
-1 3、
2 + -8
X 4为任意常数).
1 0
、0 , 6 ‘
九、【解】 由 AB = A+2B 得(A —2E)B = A，解得 B =(A -2E)_1A,
I 2 2 3
A-2E = \ 1 - 1 0
-1 2 1
/1 — 45 -T3\ (/ 4 2 3\ / 3 -8 _6\
故B = 1 1 10 =1 2 — 9 —61.
'-2 12 9 '
1 6 _ 1 2 3/
/ -3 _ 1 2\
十、【解】令A = 0 — 1 * 9
-1 0
A +3 1 _ 2
由"E —A | = 0 A + 1 -4 =(A - 1)(A2 +4入 +5) = 0 得
1 0 A 一 1
矩阵A的实特征值为心=1,
/4 1 _2\ I1 0 0 \
由 E-A= 0 2 -4 -» 0 1 —2得心=1对应的线性无关的特征向量为5 =(0,2,l)T(或入］
'1 o / 'o 0 0 '
0
1的所有特征向量为以0,2,1厂，其中k为任意非零常数).十一、（1）【解】 F(z) = P{X Wz},
当工V 1 时，F(z ) = 0 ；
当1 w工 < 2 时，FQ) = P{X = 1} = 0. 2
当 <3 时,F(z) = P {X ==1} +P{X =2} =0. 5 ；
当 x 3 时，F（工）=1,
0, •Z V 1 9
0. 2, 1G V 2,
故 F(z)= <
0.， 5, 2 W 工 V 3,
1
h $ 3・
、
2 2
(2)【解】E(Y) = E(y) =£ 1工七 1 f+°° ~^~2
—・—r-e dz = —e 2° d 工
x a a J o
2a 2 +°°t 洛「dr = —r
—dz
a 2# 屁 •J2a
o
十二、【解】 令A. = ｛取的为第一箱｝, A2 ={取的为第二箱}， PCAJ = P(A2) = y
｛第一次取出的零件是一等品｝， B2 = ｛第二次取出的零件是一等品｝,
"in] is
£
(
⑴力=P(BJ = P(AJP(Bi | AJ + P(A2)P(B1 I A2) = y T + f) 7
P(B1B2)
(2)g = P(B2 I =
P(BQ
由 PCBjBz) = P(A1)P(B1B2 I AJ +P(A2)P(B1B2 | A2)
丄(12x± + 18x 17\_276_
2 \50 49 30 29 / 29 X 49
P(B1B2) 690
得 q = P(B2 BJ =
P(BJ 1 421'
