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第 2 讲 法拉第电磁感应定律、自感和涡流
目标要求 1.理解并应用法拉第电磁感应定律.2.会计算导体棒切割磁感线产生的感应电动
势.3.了解自感现象、涡流、电磁驱动和电磁阻尼．
考点一 法拉第电磁感应定律的理解及应用
基础回扣
1．感应电动势
(1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势．
(2)产生条件：穿过回路的磁通量发生改变，与电路是否闭合无关．
(3)方向判断：感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断．
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝n，其中n为线圈匝数．
(3)感应电流与感应电动势的关系：I＝.
(4)说明：E的大小与Φ、ΔΦ无关，决定于磁通量的变化率.
技巧点拨
1．当ΔΦ仅由B的变化引起时，E＝n，其中S为线圈在磁场中的有效面积．若B＝B ＋kt，
0
则E＝nkS.
2．当ΔΦ仅由S的变化引起时，E＝nB.
3．当B、S同时变化时，则E＝n≠n.
4．若已知Φ－t图象，则图线上某一点的切线斜率为.
判断感应电动势的方向、大小
例1 (多选)(2018·全国卷Ⅲ·20)如图1(a)，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框
R，R在PQ的右侧．导线PQ中通有正弦交流电i，i的变化如图(b)所示，规定从Q到P为
电流正方向．导线框R中的感应电动势( )
图1A．在t＝时为零
B．在t＝时改变方向
C．在t＝时最大，且沿顺时针方向
D．在t＝T时最大，且沿顺时针方向
答案 AC
解析 在t＝时，i－t图线斜率为0，即磁场变化率为0，由E＝＝S知，E＝0，A项正确；
在t＝和t＝T时，i－t图线斜率的绝对值最大，在t＝和t＝T时感应电动势最大．在到之间，
电流由Q向P减弱，导线在R处产生垂直纸面向里的磁场，且磁场减弱，由楞次定律知，R
产生的感应电流的磁场方向也垂直纸面向里，即 R中感应电动势沿顺时针方向，同理可判
断在到之间，R中电动势也为顺时针方向，在T到T之间，R中电动势为逆时针方向，C项
正确，B、D项错误．
感应电动势、感应电流的计算
例2 (多选)(2019·全国卷Ⅰ·20)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，
其边界如图2(a)中虚线MN所示．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做
成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．t＝0时磁感应强度的方向如图(a)所示；
磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示．则在t＝0到t＝t 的时间间隔内( )
1
图2
A．圆环所受安培力的方向始终不变
B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电动势大小为
答案 BC
解析 在0～t 时间内，磁感应强度减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针，圆
0
环所受安培力水平向左；在t ～t 时间内，磁感应强度反向增大，感应电流的方向仍为顺时
0 1
针，圆环所受安培力水平向右，所以选项A错误，B正确；根据法拉第电磁感应定律得E＝
＝πr2·＝，由R＝ρ可得R＝ρ，根据欧姆定律可得I＝＝，所以选项C正确，D错误．
1．(法拉第电磁感应定律的应用)如图3所示，竖直放置的矩形导线框MNPQ边长分别为L和2L，M、N间连接水平的平行板电容器，两极板间距为 d，虚线为线框中轴线，虚线右侧
有垂直线框平面向里的匀强磁场．两极板间有一质量为m、电荷量为q的带负电油滴恰好处
于平衡状态，已知重力加速度为g，则该磁场磁感应强度大小B的变化情况及其变化率分别
是( )
图3
A．正在减小，＝ B．正在减小，＝
C．正在增强，＝ D．正在增强，＝
答案 D
解析 电荷量为q的带负电的油滴恰好处于静止状态，电场力竖直向上，则电场强度方向竖
直向下，所以电容器的上极板带正电，线框上端相当于电源正极，感应电动势沿逆时针方向，
感应电流的磁场方向和原磁场方向相反，根据楞次定律可知，穿过线框的磁通量在均匀增强，
线框产生的感应电动势E＝U ＝S＝L2，
MN
油滴所受电场力与重力大小相等，则q＝mg，联立以上两式得，线圈中的磁通量变化率的大
小为＝，故D正确，A、B、C错误．考点二 导体切割磁感线产生的感应电动势
1．导体平动切割磁感线
(1)有效长度
公式E＝Blv中的l为导体切割磁感线的有效长度．如图4中，导体的有效长度分别为：
图4
图甲：l＝sin β.
图乙：沿v 方向运动时，l＝.
1
图丙：沿v 方向运动时，l＝R；沿v 方向运动时，l＝R.
1 2
图丁：l＝.
(2)相对速度
E＝Blv中的速度v是导体相对磁场的速度，若磁场也在运动，应注意速度间的相对关系．
图5
2．导体转动切割磁感线
如图5，当长为l的导体在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内，绕一端以角速度ω匀
速转动，当导体运动Δt时间后，转过的弧度θ＝ωΔt，转过的面积ΔS＝l2ωΔt，则E＝＝＝
Bl2ω.
平动切割磁感线
例3 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·20)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面
垂直．边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界
平行，如图6甲所示．已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场．
线框中感应电动势随时间变化的图线如图乙所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势
取正)．下列说法正确的是( )图6
A．磁感应强度的大小为0.5 T
B．导线框运动的速度的大小为0.5 m/s
C．磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D．在t＝0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1 N
答案 BC
解析 由E－t图象可知，导线框经过0.2 s全部进入磁场，则速度v＝＝ m/s＝0.5 m/s，选
项B正确；由题图乙可知，E＝0.01 V，根据E＝Blv得，B＝＝ T＝0.2 T，选项A错误；根
据右手定则及正方向的规定可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，选项 C正确；在t＝
0.4 s至t＝0.6 s这段时间内，导线框中的感应电流I＝＝ A＝2 A, 所受的安培力大小为F＝
BIl＝0.2×2×0.1 N＝0.04 N，选项D错误．
转动切割磁感线
例4 如图7所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的磁感应强度为B的匀强磁场中，
绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速运动，则通过电阻R的电流的方向和大小是(金属圆盘
的电阻不计)( )
图7
A．由c到d，I＝ B．由d到c，I＝
C．由c到d，I＝ D．由d到c，I＝
答案 D
解析 由右手定则，圆盘相当于电源，其电流方向为从边缘指向圆心，所以通过电阻 R的
电流的方向是由d到c；而金属圆盘产生的感应电动势E＝Br2ω，所以通过电阻R的电流大
小是I＝，D正确．
2．(平动切割磁感线)如图8所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，
当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为 E，将
此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于( )
图8
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 设折弯前导体切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，导体切割磁感线的有效长
度为l＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，B正确．
3.(转动切割磁感线)(2020·安徽宣城市期末调研测试)边界MN的一侧区域内，存在着磁感应
强度大小为B、方向垂直于光滑水平桌面的匀强磁场．边长为 l的正三角形金属线框abc粗
细均匀，三边阻值相等，a顶点刚好位于边界MN上，现使线框围绕过a点
且垂直于桌面的转轴匀速转动，转动角速度为ω，如图9所示，则在ab边开始转入磁场的
瞬间a、b两端的电势差U 为( )
ab
图9
A.Bl2ω B．－Bl2ω
C．－Bl2ω D.Bl2ω
答案 A
解析 当ab边刚进入磁场时，ab边切割磁感线，切割长度为两个端点间的距离，即为a、b
间的距离l，则E＝Bl＝Bl＝Bl2ω；设每个边的电阻为R，a、b两点间的电势差为：U＝I·2R
＝·2R，故U＝Bl2ω，故A正确，B、C、D错误．
考点三 自感现象
基础回扣
自感现象
(1)概念：当一个线圈中的电流变化时，它所产生的变化的磁场在线圈本身激发出感应电动
势．这种现象称为自感，由于自感而产生的感应电动势叫作自感电动势．
(2)表达式：E＝ L .(3)自感系数L的影响因素：与线圈的大小、形状、匝数以及是否有铁芯有关．
技巧点拨
1．通电自感和断电自感的比较
电路图
A、A 同规格，R＝R ，L
1 2 L
器材要求 L很大(有铁芯)
较大
在S闭合瞬间，灯A 立即
2
灯A立即亮，然后逐渐变暗
通电时 亮起来，灯A 逐渐变亮，
1
达到稳定
最终一样亮
①若I≤I，灯泡逐渐变暗；
2 1
回路电流减小，灯泡逐渐 ②若I＞I，灯泡闪亮后逐渐
2 1
断电时 变暗，A 电流方向不变， 变暗.
1
A 电流反向 两种情况下灯泡中电流方向
2
均改变
2.分析自感问题的三个技巧
例5 (2017·北京卷·19)如图10所示，图甲和图乙是教材中演示自感现象的两个电路图，
L 和L 为电感线圈．实验时，断开开关S 瞬间，灯A 突然闪亮，随后逐渐变暗；闭合开关
1 2 1 1
S ，灯A 逐渐变亮．而另一个相同的灯A 立即变亮，最终A 与A 的亮度相同．下列说法
2 2 3 2 3
正确的是( )图10
A．图甲中，A 与L 的电阻值相同
1 1
B．图甲中，闭合S，电路稳定后，A 中电流大于L 中电流
1 1 1
C．图乙中，变阻器R与L 的电阻值相同
2
D．图乙中，闭合S 瞬间，L 中电流与变阻器R中电流相等
2 2
答案 C
解析 断开开关S 瞬间，线圈L 产生自感电动势，阻碍电流的减小，通过L 的电流反向通
1 1 1
过A ，灯A 突然闪亮，随后逐渐变暗，说明I >I ，即R i)，则下列图象中正
1 2 2 1
确的是( )
图10
答案 C
解析 当开关S断开后，自感元件与灯泡形成回路，自感元件阻碍自身电流变化，自感元件
产生的感应电流仍沿着原来方向，大小从i 开始不断减小，灯泡的电流反向，大小与自感元
2
件电流相等，故C正确，A、B、D错误．
12．(多选)如图11所示，光滑水平面上存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，质量为m、边
长为a的正方形线框ABCD斜向右上穿进磁场，当AC刚进入磁场时的速度为v，方向与磁
场边界成45°角，若线框的总电阻为R，则( )
图11
A．线框穿进磁场过程中，框中电流的方向为DCBA
B．AC刚进入磁场时线框中的感应电流为
C．AC刚进入磁场时线框所受安培力为
D．AC刚进入磁场时DC两端电压为Bav
答案 CD
解析 线框进入磁场的过程中穿过线框的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流产生的磁
场方向向外，由安培定则知感应电流的方向为ABCD方向，A错误；AC刚进入磁场时CD边切割磁感线，AD边不切割磁感线，所以产生的感应电动势为E＝Bav，则线框中感应电流
为I＝＝，B错误；AC刚进入磁场时线框的CD边产生的安培力与v的方向相反，AD边受
到的安培力的方向垂直于AD向下，它们的大小都是F＝BIa，由几何关系可知，AD边与
CD边受到的安培力的方向相互垂直，所以AC刚进入磁场时线框所受安培力为AD边与CD
边受到的安培力的合力，即F ＝F＝，C正确；当AC刚进入磁场时，DC两端电压U＝
合
I×R＝Bav，D正确．
13．如图12所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘
重合，磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B ，使该线框从静止开始绕过
0
圆心O且垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流．现使线框
保持图中所示位置不变，磁感应强度大小随时间线性变化．为了产生与线框转动半周过程中
同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率的大小应为( )
图12
A. B.
C. D.
答案 A
解析 若要产生的电流相等，则产生的感应电动势应相等．设半圆半径的长度为L，从静止
开始绕过圆心O以角速度ω匀速转动时，线框中产生的感应电动势大小为E＝BL2ω；根据
0
法拉第电磁感应定律得E＝＝＝·πL2，联立可得＝，故B、C、D错误，A正确．
14．如图13所示，两根光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，导轨间距为 L，导轨左端
接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，
且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
B.开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v 匀速向右移动时，导体棒随之开
1
始运动，同时受到水平向左、大小为 F 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍
f
处于磁场区域内．
图13
(1)求导体棒所达到的恒定速度v 的大小；
2
(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少．
答案 (1)v－ (2)
1
解析 (1)由法拉第电磁感应定律得E＝BL(v－v)
1 2由闭合电路欧姆定律得I＝
安培力F＝BIL＝
速度恒定时，有＝F
f
解得v＝v－.
2 1
(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过所受的最大安培力，即导体棒不动时，安
培力最大为：F ＝，则阻力最大为F ＝.
m fm
