第十五届华罗庚金杯决赛试题总决赛团体口试（小学高年级组）答案_奥数专题合集_H003小学奥数培训班课程+习题_华罗庚_小高

“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 总决赛团体赛(口试)试题解答 上半场 题 1（开场共答1） 华杯赛 15 少俊+金坛+论数 上面的算式中, 不同的汉字代表1~9 中的不同数字, 当三位数“华杯赛”取得最大值时, 请你写出一种使等式成立的填数法. 975 975 【答案】 15 或 15. 284613 164328 【解答】由 华杯赛 15 少俊+金坛+论数 可知, 华杯赛被 15 整除. 要求三位数“华杯赛”取得最大值, 我们从最大的被 15 整除 的3 位数进行筛选: 990, 975, 960, 945, 930, 915, …… 最大的合要求的是975, 而 975 ÷ 15 = 65, 也就是 少俊+金坛+论数=65. 容易由 1, 2, 3, 4, 6, 8试凑得: 2×8+46+1×3=65. 于是得出合于题目要求的如下填数法, 975 15. 284613 或试凑 1×6+43+2×8=65, 得 975 15. 164328 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 1“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 题 2（群答1）如图A-56 所示, 周长为3 厘米的圆中有 一个内接正六边形. 阴影部分是由以正六边形 6 个顶点为圆 心、正六边形的边长为半径的圆弧围成的, 求阴影部分的周 长等于多少厘米? 【答案】6 厘米. 图 A-56 1 【解答】 因为正六边形的一个内角为120 , 是一个周角的 . 所以, 以正六边形的 3 顶点为圆心、正六边形的边长为半径的圆弧, 等于 1 厘米. 阴影部分周长可以拼接为 2 个圆周, 所以是6厘米. 题 3（必答A1）班级小书架共有12本科普读物.据统计, 数学小组的每个成员恰借 阅过其中的两本, 而每本科普读物都恰被 3 名数学小组的成员借阅过. 问：这个数学小 组共有多少人？ 【答案】18 人. 【解答】 因为小书架共有12 本科普读物, 而每本科普读物都恰被3 名数学小组的 成员借阅过. 所以共被借阅12336（人次）. 设数学小组共有x名成员, 由于每个成 员恰借阅过其中的两本科普读物, 所以共被借阅2x人次. 因此 2x36,x18. 题 4（必答 A2）如图 A-57, 有一个圆和三个正方形. 中 间正方形的顶点在圆上, 圆与最大正方形的交点以及最小正 方形的顶点都是所在线段的中点. 最大正方形的面积是12 平 方厘米, 问: 最小正方形的面积是多少平方厘米？ 图 A-57 【答案】3 平方厘米. 【解答】如图 A-58, 绕中心 O 旋转圆面, 使得点 P 重合 于E, 于是点 Q重合于F, 点S 重合于G, 点T 重合于H.成右 图. 容易看出, “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 图 A-58 2“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 1 11  1 1 S  S  S  S  123（平方厘米）.   IJKL 2 PQST 22 ABCD  4 ABCD 4 题 5（必答A3）国家规定年满 18周岁不超过70周岁的成人才有资格申请机动车驾 驶证.小学六年级的学生李明说“: 我老爸有汽车驾照, 他的年龄数与生辰月、日数的乘积 为2975”, 请问李明的父亲多少岁? 【答案】35. 【解答】2975 2571735517, 由于月份数取 1~12 的自然数, 日期数取 1~31 的自然数, 所以, 李明父亲要么是 25 岁, 7月 17 日生, 要么是35 岁, 5 月17 日生. 由于李明已经小学六年级, 他老爸不可能25 岁, 所以李明父亲的年龄是35岁. 题 6（必答 A4）如图 A-59, D 是 BC 边上一点, 且 BD2DC, DP//CA. 三角形 APD的面积为14cm2, 问三角形 ABC 的面积是多少cm2. 图 A-59 【答案】63cm2. 【解答】连结PC, 见图A-60. 因为 DP//CA, 所以 S S 14.又因为BD2DC, 所以 PCD APD S 21428( cm2). 所以 PBD 图 A-60 S S S 281442( cm2). ABD PBD APD 因此, 3 3 S  S  4263 ( cm2). ABC 2 ABD 2 题 7（必答A5）如果一个自然数既能写成两个连续自然数之和也能写成三个连续自 然数之和, 就称为一个“好数”. 请找出 2007, 2008, 2009, 2010, 2011 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 3“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 中的“好数”. 【答案】2007. 【解答】 易知：一个数为“好数”, 当且仅当它是一个奇数且能被3整除. 因此, 2007 是“好数”, 而 2008, 2010 不是“好数”, 因为它们不是奇数, 2009, 2011 也不是“好数”, 因为它们不能被3整除． 事实上, 2007=1003+1004=668+669+670, 符合“好数”的定义. 题 8（必答 A6）如图 A-61, 大正六边形的面积是 1 平方厘 米, 问绿色正六边形的面积是多少平方厘米? 1 【答案】 平方厘米. 3 【解答】由正六边形的性质, 图 A-62 中阴影跳棋盘部分被 图A-61 分成 12 个边长相等的正三角形. 而图中未着色的 6 个三角形都 是等腰三角形, 其中一个角为120 , 两个底角为30 . 腰长等于 小正三角形的边长. 因此未着色的三角形的面积等于小正三角 形的面积. 正六边形 A’B’C’D’E’F’的面积是正六边形 ABCDEF 6 1 的  . 图 A-62 18 3 1 故正六边形A’B’C’D’E’F’的面积是 平方厘米. 3 7 题 9（必答A7）袋里的红球占袋中总球数的 ；再往袋里放入40个红球后, 红球 16 3 占总数的 . 问最后袋里共有多少个球？ 4 【答案】72 个. 【解答】设最后袋里共有球x 个, 则根据题设, 有 7 3 (x40) 40 x , 16 4 即 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 4“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 7(x40)164012x，x72. 题 10（必答A8）图A-63中所标出的 10个角的度数总和 是多少? 【答案】1080. 【解答】图 A-64 中, 阴影四边形的内角和是360 , 这样 图 A-63 四边形有 5 个, 度数和是1800 ；其中围绕中间的五边形 ABCDE 顶点的 10 个角度数的和恰是这个五边形外角和360 的2 倍, 故图中所求的10个内角和是1800 2360 1080 . 图 A-64 题 11（群答 2）将分别写有华、杯、赛、好的四张卡片, 选出其中三张, 字面朝下 依次摆在桌子上.甲、乙、丙三人分别猜每张卡片上是什么字, 猜的情况如下： 第一张 第二张 第三张 甲 华 杯 赛 乙 华 好 杯 丙 赛 华 好 结果是一人全对, 一人全错, 另外一人只对一个. 请指出全猜错的是谁. 【答案】丙. 【解答】全对的只能是甲(或乙), 只对一个的是乙（或甲）（因为甲、乙两人第一 张猜到同样的结果）, 因此, 全错是丙. 题 12（群答3）如图A-65, A 是邮局, B, C, D, E, F 是 5 户人家. 相邻两家的路程如图所标示. 邮递员从邮局出发 要给这 5户人家送信（每家都有信）, 要求最后把信送到D 户. 问：邮递员走的最短路程是多少米？ 图 A-65 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 5“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】500 米. 【解答】A100B100C100F100E100D. 题 13（共答 2）在 3×3×3 的正方体玻璃支架上有 27 个 单位立方体空格.每个单位立方体空格中至多放有一个彩球. 要 使主视图、俯视图、左视图都如图A-66 中所示. 问正方体支架 上至少需放多少个彩球？请你放置出来. 图A-66 【答案】9 个. 一种放法如图A-67. 图 A-67 题 14（必答B1）如图 A-68, 在正方形ABCD中, 正方形 AMOP 的面积是8 平方厘米, 正方形CNOQ的面积是24.5 平方厘米. 问： 正方形 ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】60.5 平方厘米. 图 A-68 【解答】因为正方形AMOP 的面积是 8平方厘米, 所以对角线AO = 4 厘米, 正方形 CNOQ 的面积是 24.5 平方厘米, 所以对角线 OC =7 厘米. 因此正方形 ABCD 的对角线 等于 4 + 7 = 11 厘米. 1 所以正方形ABCD的面积= 112 60.5平方厘米. 2 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 6“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 题 15 （必答 B2）在两个□中分别填入整数, 使得 7□5□11111 成立, 请 你回答, 两个□中填入的整数之和能等于偶数吗? 试说明理由. 【答案】不能. 【解答】设两个□中填入的整数分别为x,y, 若 xy等于偶数, 则x, y奇偶性相同. 若x, y同为奇数, 则7x,5y都为奇数, 7x5y为偶数, 不能等于11111；若x, y同为偶数, 则7x,5y都为偶数, 7x5y也为偶数, 也不能等于11111. 综上可知, 两个□中填入的整数之和不能等于偶数. 题 16（必答B3） 如图A-69, MN 是面积为76 平方 厘米的梯形ABCD的中位线. P 是下底BC 上一点. 问:三 角形MNP 的面积是多少平方厘米? 【答案】19平方厘米. 【解答】设梯形的高为h, 则 图A-69 1 1 h 1 1 1 76 S   (ADBC)   (ADBC)h  S  19(平方厘米). MNP 2 2 2 4 2 4 ABCD 4 题 17 （必答 B4）一种电子表在10点 28 分 6秒时, 显 示的时间如图A-70所示. 那么从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个数字都不相同的时间共有多少秒？ 【答案】 90秒. 图 A-70 【解答】在 10 点至 10 点半这段时间内, 要使电子表上六个数字都不相同, 前三个 数字显然是1, 0, 2. 设时间为10:2a:bc, 其中b 可在 3, 4, 5 中选择, a, c可在 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中选择.先确 定b, 有 3种选法；然后确定a, 有 6种选法；最后确定c, 有 5种选法. 所以, 从10点至10点半这段时间内, 电子表上六个 数字都不相同的时间一共有3 × 6 × 5 = 90（个）, 也就是 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 7 图 A-71“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 电子表上六个数字都不相同的时间共有90 秒. 题 18（必答B5）如图 A-71, E, F, G, H分别是四边形ABCD的边 AB, BC, CD, DA 的 S 中点. BH与 DE 的交点为M, BG 与 DF 的交点为N. 问 BMDN ? S ABCD S 1 【答案】 BMDN  . S 3 ABCD 【解答】如图 A-72, 连接 BD, CN, 填入面积x,y, 则由三角形CDF 与 BGD比较可知, 1 S  x y S . BDN 3 BCD 同理可得, 1 图 A-72 S  S . BDM 3 ABD 相加即得 S 1 BMDN  . S 3 ABCD 题 19（必答 B6）如图 A-73, 五行五列共亮着的 25 个灯. 共有 5 个行开关和 5 个列开关, 每个开关只同时控制一行或一 列的 5 个灯泡. 规定每次操作都要从中选一列改变状态, 再从 中选一行改变状态. 问能否通过有限次操作使得 25 盏灯都熄 灭？ 图A-73 【答案】不能. 【解答】依题意, 每次操作都对一行、一列进行操作, 则一次操作改变状态灯泡的 为 10 个灯次, 设 k 次操作能使得 25 盏灯都熄灭, 则 k 次操作共改变灯泡状态为 10k 个 灯次, 是个偶数；而若要使得一盏灯由亮到熄灭, 必须改变奇数次状态, 25 盏灯都熄灭时 改变状态的灯次总数为25个奇数之和, 等于奇数个灯次, 但奇数个灯次不等于偶数个灯 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 8“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 次, 所以不能通过有限次操作使得25 盏灯都熄灭. 题 20（必答B7）如图 A-74, P 为正六边形ABCDEF 的AB边上一点. PM//CD交EF于M, PN//BC交CD于N . 红、蓝两个小精灵从N点同时出发分别沿五边形NPMED 周界和六边形CBAFED周界匀速行走, 各绕一周后同时 回到N 点. 问：蓝精灵的速度是红精灵速度的多少倍? 图A-74 【答案】1.2 倍. 【解答】 如图 A-75, 设正六边形边长为a, 则蓝精 灵走一周的路程为6a, 红精灵走一周的路程为5a, 所以 6 蓝精灵速度:是红精灵速度的 1.2倍. 5 题 21（必答B8）将 33 写成n个连续自然数之和. 当 n取最大值时, 将写成的和式中的所有“+”号全变为“×” 图 A-75 号后, 其乘积等于多少? 【答案】20160. 【解答】因为12345672833, 23456783533.所以 33 不能写成7 个或多于7 个的连续自然数之和. 因此n6. 而 33 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, 所 以 n 得 最大 值为 6. 又 n =6 时, 33345678, 从而有34567820160. 下半场 题 22 （共答3） 将长方形ABCD绕顶点A 顺时针旋转 90 , 边CD扫过的面积如图A-76中阴影所示. 请用无刻度直 尺、圆规为工具在图中画出一个圆, 使它的面积等于图中阴 影部分的面积. 图 A-76 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 9“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】作法如图A-78 所示. 【解答】如图 A-77, 连接 AC, AC , 则阴影部分面积 1    S AC2  AD2  (AC2 AD2) 4 4 4 2  CD  CD2  .   4  2  阴影部分面积等于以CD为直径的圆面积. 因此, 得如下作 图 A-77 图法：延长 C B 交 BC 于 E, 连接 BB 与 AE 交于 M, 连接 1 1 1 AC 与 D B 交于 N, 连接 MN 交AB 于 O. 以 O 为圆心AO 1 1 1 1 为半径画圆, 该圆的面积即等于图中阴影部分面积. 题 23（群答4） 图 A-78 振兴中华 1 两岸四地同心 在上面的算式中, 不同的汉字代表 0 - 9 中的不同的数字. 若已知“同心=10”, 问： 振 + 兴 + 中 + 华 = ？ 【答案】 27. 【解答】由于 振兴中华 1, 两岸四地同心 易知 振+兴+中+华=两+岸+四+地+10, 即 （振+兴+中+华）-（两+岸+四+地）=10. ① 但 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 10“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 振+兴+中+华+两+岸+四+地+1+0=45, 所以 （振+兴+中+华）（两+岸+四+地）=44. ② 因此, 由① + ②得 1044 54 振+兴+中+华=  27. 2 2 题 24（群答5）给出字谜算式:     华老+百年+华诞  三年-(金+坛+翻+番) 2010, 其中不同的汉字代表 0~9 中的不同数字, 相同的汉字代表相同数字, 使得等式成立. 请 你写出一种使等式成立的填数法. 【答案】 (291028)50(3746)2010. 【解答】20106730(291028)50(3746). 【注】常州日报 2010 年 8月 1日消息, 金坛市推出“3 年翻番计划”, 将规划建设“二 城一都”; 华罗庚科技新城和环钱资荡滨湖城, 同时, 全力打造“光伏之都”. 经济总量计划 三年翻番. 题 25（抢答1）现在有11 个齿轮如图A-79啮合在一起. 问这样一个齿轮系统能否 转动起来？试说明理由. 图 A-79 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 11“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】 不能. 【解答】 齿轮要么逆时针转动, 要么顺时针转动. 一个齿轮不可能同时既逆时针转动又 顺时针转动. 图 A-80 如图 A-80, 将齿轮依次编号, 假设 1 号轮为主动轮是逆时针转动, 那么 2 号轮则顺 时针转动, 3号轮则逆时针转动, 4号轮则顺时针转动, 依次下去, 奇数号的轮逆时针转动, 偶数号的轮顺时针转动, 所以第11 号轮应逆时针转动. 但第 11 号轮又将传动第1号轮, 于是第 1号轮（相当于第 12 号轮）应顺时针转动. 这样, 第 1 号轮同时既要逆时针转动, 又要顺时针转动, 这是不可能的！ 所以图 A-79 中所示的 11 个齿轮的传动系统是不可 能转动起来的！ 题 26（抢答2）将某同学生日的月份数与31 的乘积、日数与12 的乘积相加, 得到 和为376. 问这位同学的生日是几月几号. 【答案】4 月21 日. 【解答】设这个同学的生日为x月y日, 其中x, y都是正整数, 1x12,1 y31. 且满足关系式 31x12y376. 由于376 与 12 都被4 整除, 所以31x被 4 整除, 由于 31与4 互质, 所以x被 4整除, 因此x只能取 4 或8或 12. 376 被3 除余1, 12y被 3整除, 所以31x被 3除余 1, 而 31 被 3除余1, 所以只能x被 3除余 1. 因此x4. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 12“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 252 而 12y376314376124252,所以y 21. 即这个同学的生日是 4 月 12 21日. 题 27（抢答3）将半径分别为1cm, 3cm, 5cm的三个半圆形量角器的圆心重合于 O, 直径也重合在一条直线上, 如图 A-81所示. 记甲、乙两块阴影截扇形与半圆丙的面积分 别为S ，S ，S , 求 S :S :S . 甲 乙 丙 甲 乙 丙 图 A-81 【答案】S :S :S 48:40:15. 甲 乙 丙 【解答】因为 1  S  12  . 丙 2 2 11  4 S  32   . 乙 3  2 2   3 11 1  8 S  52  32  . 甲 5  2 2   5 所以 8 4  S :S :S  : : 48:40:15. 甲 乙 丙 5 3 2 题 28（抢答4）某城市网上挑选机动车号牌编码规则为：号牌后五位必须有两个英 文字母（其中字母 I、O 不可用）且最后一位必须为数字. 问：满足规定的编码共有多 少个? “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 13“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】3456000 个. 【解答】根据网上选号规则, 可供挑选的英文字母有 26-2=24（个）, 且只能在第 一至第四位上的两个位置出现, 而其余两个位置以及第五位则出现数字. 两个字母为前4位中占2位, 共6 种方法. 每个字母有24 种选法, 其余 3个位置是 数码, 每个数码有10 种选法. 所以满足规定的编码共有 624241010103456000（个）. 题 29（抢答 5）机器人在长为 16 米 宽为8米的长方形场地上, 沿图A-82所示 的小路按箭头的指向表演行走. 问当机器 人从 A 处走到 B 处时共走了多少米的路 程？假设图中相邻的两条平行小路之间 的宽度都是 1 米 (B 点与竖直路段最近的 图 A-82 距离也是1 米). 【答案】152 米. 【解答】将横、竖各段路程长度加起来就会得到结果： 16 + 8 + 16 + 7 + 15 + 6 + 14 + 5 + 13 + 4 + 12 + 3 + 11 + 2 + 10 + 1 + 9 (116)16 16 1617816136152（米）. 2 另法: 如图 A-83所示, 将16×8的长 方形各边都向外扩充0.5 米, 成为一 个 17×9 的长方形. 这样黑粗线成为 了宽为 1 米的平行线的正中平行线, 其中只少了A, B处两个白色的面积 为 0.5×1=0.5 的小矩形. 所以设想的 拖地板的服务员, 拖的地板面积比 图 A-83 总面积少拖1平方米, 因此, 机器人走的总路程=17×9-1=152（米）. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 14“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 题 30（抢答题 6）图 A-84 为金坛市政区图, 现在用棕、绿、黄、粉四种颜色给该市 未涂彩色的四个政区涂色. 如果要求相邻（有公共边界）政区的颜色不同, 则共有多少 种涂色方法？ 图 A-84 【答案】18 种. 【解答】分两种情况: （1）直溪镇与指前镇同色. 给直溪镇与指前镇染色: 有3 种情况; 给朱林镇染色: 2 种情况; 给薛埠镇染色: 2 种情况. 共计 3×2×2=12 种. （2）直溪镇与指前镇异色. 给直溪镇与指前镇染色: 有6 种情况; 给朱林镇染色: 1 种情况; 给薛埠镇染色: 1 种情况. 共计 6×1×1=6 种. 总计：共有12+6=18 种染色方法. 题 31（抢答7）由数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的大于1000 的自然数, 按照从小到大排列, 2010 排在第几个？ 【答案】第 30 个. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 15“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【解答】 由数字0、1、2 生成的最高位为1 的4 位数共有3×3×3=27个, 其中大于 1000 的共有 27-1=26 个. 由 0, 1, 2 生成的最高位为2 而不大于2010 的自然数从小到大 只有2000, 2001, 2002, 2010 四个. 因此, 由数字0、1、2（既 可全用也可不全用）组成的大于1000 且不超过2010 的自然 数, 总计有 26 + 4=30 个, 2010 是其中最大的, 因此按照从小 到大排列, 排在第30 个. 题 32（抢答8）如图 A-85, P 为正方形 ABCD内一点, 并 图 A-85 且∠APB＝90°, AC、BD 交于 O．已知 AP=3cm、BP=5cm. 求三角形OBP 的面积． 【答案】2.5 cm2. 【解答】连 DP, 并将三角形 ADP 绕 A 点顺时针旋转 90 , 到三角形 ABM 的位置, 见图 A-86. 则 AMBP 是直角 梯形. 其面积等于(5+3)×3÷2=12, 即凹四边形ABPD的面 积是12. 又正方形 ABCD的面积为 AB2 3252 34. 从 而三角形ABD的面积为17. 图 A-86 所以, 三角形PBD =（17－12）=5. 因此, 三角形 OBP 的面积 = 2.5 cm2. 题 33（共答 4）如图 A-87, 房间里有一只老鼠, 门外有一只小猫, 立在北墙跟第 3 块地板砖的右上角点. 整个地面由80块大小相同的正方形地砖铺成, 那么小猫能监控到 的范围占整个地板面积的百分之多少?（小猫和老鼠分别看作两个点, 墙的厚度忽略不 计） “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 16“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 图 A-87 【答案】66.875%. 【解答】设地板正方形边长为1, 则这个房间面积为 80. 如图 A-88, 图 A-88 阴影部分区域为老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围. 这个范围的总面积为 (27)5 24 S   = 26.5. 2 2 所以小猫能监控到的面积为8026.553.5.占房间总面积的 53.5 0.6687566.875%. 80 题 34（群众共答）在每个人心里都默记住两个不等于0的数. 算出这两个数和的平 方, 其结果记做“共”; 算出这两个数差的平方, 其结果记做“迎”; 再算出这两个数的 乘积, 记做“接”. 请用你的“共”, “迎”, “接”来计算式子 共迎 2 ?    接  请大家一起同声回答！ “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 17“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 【答案】16. 【解答】设想的两个非0 数为a,b. 则 共迎 2 (ab)2 (ab)2  2 4ab 2        42 16.  接   ab   ab  “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 18