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第27讲 统计案例和回归方程
【知识点总结】
一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x,y)，(x,y)，…，(x,y)，其回归方程 的求法为
1 1 2 2 n n
其中， ， ，( , )称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，
直线斜率k>0，称两个变量正相关；k<0，称两个变量负相关。
二、独立性
独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。
步骤为列出22列联表(如表13-8所示)，求出 ，并判断：
A A 合计
1 2
B a c a+c
1
B b d b+d
2
合计 a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有99.9%把握称“A取A 或A”对“B取B，B”有关系；
1 2 1 2
若10.828K2>6.635，有99%把握称“A取A 或A”对“B取B，B”有关系；
1 2 1 2
若6.635K2>3.841，有95%把握称“A取A 或A”对“B取B，B”有关系；
1 2 1 2
若K23.841，没有把握称A与B相关。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：
①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据( ， )，i＝1,2，…，n；
xi yi
③求回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．
则下列操作顺序正确的是（ ）
A．①②④③ B．③②④① C．②③①④ D．②④③①
【答案】D
【详解】
根据回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行回归分析时，应先收集数据( ， )，然后绘制散点图，再
xi yi
求回归方程，最后对所求的回归方程作出解释．
故选：D例2．（2022·全国·高三专题练习）对于数据组 ，如果由线性回归方程得到的对应于
自变量 的估计值是 ，那么将 称为相应于点 的残差．某工厂为研究某种产品产量 （吨）
与所需某种原材料 吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表所示：
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 ，据此计算出样本点处的残差为－0.15，则表
中 的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【详解】
由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则 ，即 ，
解得 ，即 ，
又 ，且线性方程过样本中心点（ ， ），
则 ，则 ，
解得 .
故答案为：B
【点睛】
理解残差的定义，实际值减去估计值；线性方程过样本中心（ ， ）；要求对基本知识点比较熟练，计
算才准确.
例3．（2022·全国·高三专题练习）据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm
之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局
地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为 .通过模拟实验的方法来
估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数（ ，且 ）表示是否下雨：当 时表示该地区下雨，当 时，表示该
地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下:332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出k的值，使得该地区每一天下雨的概率均为 ；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中
恰好有2天下雨的概率；
（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm）如表：
时间 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年
年份 1 2 3 4 5
降雨量 28 27 25 23 22
经研究表明：从2016年到2020年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量 与年份 具有线性相关关系，求
回归直线方程 .并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？
参考公式： ， .
【详解】
（1）由题意可知， ，解得 ，即 表示下雨， 表示不下雨．
所给的20组数据中 ， ， ， ， ， ， ， ，共 组表示 天中恰好有 天下雨，
故所求的概率为 ．
（2）由题中所给的数据可得 ， ，
所以 ， ，
所以回归方程为 ，当 时， ．
所以该地区 年端午节有降雨的话，降雨量约为 ．
例4．（2022·全国·高三专题练习（理））某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本
组成.每件产品的非原料成本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据：1 2 3 4 5 6 7 8112 61 35 28 25 24
根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型
和指数函数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程
为 与 的相关系数 .
（1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 ，并用其估计产量为10千件时每件
产品的非原料成本.
参考数据：
360
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小一乘估计分
别为： ， ，相关系数【解析】
（1）令 ，则 可转化为 .
因为 ，所以 ，
，
得 ，即 关于 的回归方程为 .
（2）由定义知 与 的相关系数为：
，
则 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好.
当 时， （元），
则当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元.
例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是某小区2020年1月至2021年1月当月在售二手房均价（单位：
万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1～13分别对应2020年1月～2021年1月）.根据散点图选择
和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为
和 ，并得到以下一些统计量的值：残差平方和
总偏差平方和
（1）请利用相关指数 判断哪个模型的拟合效果更好；（2）估计该小区2021年6月份的二手房均价.（精确到 万元/平方米）
参考数据： ， ， ， ， ， ， ，
.
参考公式：相关指数 .
【详解】
（1）设模型 和 的相关指数分别为 和 ，
则 ， .
因为 ，所以 .
所以模型 的拟合效果更好.
（2）由（1）知，模型 的拟合效果更好，
利用该模型预测可得，这个小区2021年6月份的在售二手房均价为：
（万元/平方米）.
例6．（2022·全国·高三专题练习）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产
业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y(单位：cm)与一定范围内
的温度x(单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用 或 建立y关于x的回归方程，令 ， 得到如下数据：10.15 109.94 3.04 0.16
13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22
且( ， )与( ， )(i＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为 ， ，且 ＝﹣0.9953．
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立 关于x的回归方程；
（3）已知蕲艾的利润z与x、y的关系为 ，当x为何值时，z的预报值最大．
参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374， ＝15.7365，对于一组数据( ，
)(i＝1，2，3，…，n)，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
， ，相关系数 ．
【详解】
（1）由题意知 ，
，
因为 ，所有用 模型建立 与 的回归方程更合适．
（2）因为 ，
，所以 关于 的回归方程为
（3）由题意知
，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以当温度为20时这种草药的利润最大．例7．（2022·河北张家口·高三期末）已知某区 、 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为 ，
该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 、 两校初一年级在校学生中共抽取了
名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
（1）在抽取的 名学生中， 、 两所学校各抽取的人数是多少？
（2）该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做
作业时长超过 小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
（3）另据调查，这 人中做作业时间超过 小时的人中的 人来自 中学，根据已知条件填写下面列联
表，并根据列联表判断是否有 的把握认为“做作业时间超过 小时”与“学校”有关？
做作业时间超过 小
做作业时间不超过 小时 合计
时
校
校
合计
附表：
附： .
【解析】（1）解：设 、 两校所抽取人数分别为 、 ，由已知可得 ，解得 .
（2）解：由直方图可知，学生做作业的平均时长的估计值为
（小时）.
由 ，可知有 的学生做作业时长超过 小时.
综上，估计该区学生做作业时间的平均时长为 小时，该区有 的学生做作业时长超过3小时.
（3）解：由（2）可知，有 （人）做作业时间超过3小时.
故填表如下（单位：人）：
做作业时间超过 小时 做作业时间不超过 小时 合计
校
校
合
计
，
所以有 的把握认为“做作业时间超过 小时”与“学校”有关.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）某工厂的每月各项开支 与毛利润 （单位：万元）之间有如下关系，
与 的线性回归方程 ，则 （ ）
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
A．17.5 B．17 C．15 D．15.5
【答案】A
【分析】根据表中的数据，求得样本中心为 ，代入回归方程为 ，即可求解.
【详解】由题意，根据表中的数据，可得 ， ，
即样本中心为 ，代入 与 的线性回归方程为 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线的方程必过样本中心这一基本特征是解答
的关键，着重考查了计算能力.
2．（2021·重庆南开中学高三阶段练习）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据： ，
，…， ，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程 必过样本中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数为r＝-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
【答案】C
【分析】
理解回归分析中样本中心、残差、相关指数R2、相关系数的含义，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：样本中心点在回归直线上，正确；
B：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，
C：R2越大拟合效果越好，不正确，
D：当 的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确.
故选：C.
3．（2021·黑龙江·漠河市高级中学高三阶段练习（文））某单位为了了解办公楼用电量 （度）与气温
（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃） 18 13 10 -1
用电量（度） 24 34 38 64
由表中数据得到线性回归方程 ，当气温为 ℃时，预测用电量均为A．68度 B．52度 C．12度 D．28度
【答案】A
【详解】
由表格可知 ， ，根据回归直线方程必过 得 ，因此当 时， ，故
选择A.
4．（2022·全国·高三专题练习）关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本中心点；
②相关系数 的绝对值越大，拟合效果越好；
③相关指数 越接近1拟合效果越好；
④残差平方和越小，拟合效果越好.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据回归直线方程的性质，相关系数、相关系数及残差平方和的意义判断各项的正误即可.
【详解】
对于①，回归直线一定经过样本中心点，故正确；
对于②，相关系数 的绝对值越接近于1，相关性越强，故错误；
对于③，相关指数 越接近1拟合效果越好，故正确；
对于④，残差平方和越小，拟合效果越好，故正确.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）下列表述中，正确的个数是（ ）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程 ，变量 增加1个单位时， 平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量 ， 的相关系数为 ，那么 越接近于0， ， 之间的线性相关程度越高；
④在一个 列联表中，根据表中数据计算得到 的观测值 ，若 的值越大，则认为两个变量间有关的
把握就越大．
A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C
【分析】
①根据方差的性质即可判断，②由回归方程一次项的系数符号可知增减情况，③根据相关系数的含义判断
正误，④根据卡方检验的观测值的意义判断正误.
【详解】
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数 后 ，方差不变，正确；
②设有一个回归方程 ，变量 增加1个单位时， 平均减少5个单位，错误；
③设具有相关关系的两个变量 ， 的相关系数为 ，那么 越接近于1， ， 之间的线性相关程度越高，
错误；
④在一个 列联表中，根据表中数据计算得到 的观测值 ，若 的值越大，两个变量有关系的出错概
率越小，则认为两个变量间有关的把握就越大，正确．
故选：C
6．（2022·全国·高三专题练习（文））对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相
关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．0.2 B．0.8 C．－0.98 D．－0.7
【答案】C
【分析】
由相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，即可求解
【详解】
∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，
C相关系数的绝对值最大约接近1，
∴C拟合程度越好．
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由给出的四组数据的散点图，结合相关系数的概念，逐图判定，即可求解.
【详解】
由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，
题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，
题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以 接近于1， 接近于 ，
由此可得 ．
故选：A．
8．（2022·全国·高三专题练习（理））如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线
上，则下列说法错误的是（ ）
A．解释变量和预报变量是一次函数关系 B．相关系数
C．相关指数 D．残差平方和为0
【答案】B
【分析】根据相关指数和残差的定义逐一判断即可.【详解】
散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，所以解释变量和预报变量是一次函数关系，
且残差平方和为0，因此选项AD正确；
由题意可知， ，若直线的斜率为正，则 ，若直线的斜率为负，则 .
故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习（理））对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的
比较，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小
【详解】
解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，
囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以 接近于 ， 接近1，
所以 ，
故选：A
10．（2022·全国·高三专题练习（理））变量x，y的线性相关系数为 ，变量m，n的线性相关系数为 ，
下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则说明变量x，y之间线性相关性强B．若 ，则说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强
C．若 ，则说明变量x，y之间的相关性为正相关D．若 ，则说明变量x，y之间线性不相关
【答案】B
【分析】
根据相关系数的意义逐项分析判断即可.
【详解】
A：因为 接近于1，所以说明变量x，y之间线性相关性强，故A正确；
B：若 ，满足 ，
但是不能说明变量x，y之间的线性相关性比变量m，n之间的线性相关性强，故B错误；
C：若 ，则说明变量x，y之间的相关性为正相关，故C正确；
D： ，则说明变量x，y之间线性不相关，故D正确.
故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习（文））已知相关变量 和 的散点图如图所示，若用 与
拟合时的相关系数分别为 则比较 的大小结果为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】
由散点图可知，对数形式的拟合程度高，再根据负相关，比较两个相关系数大小.
【详解】由散点图可知， 拟合比用 拟合的程度高，故 ；
又因为此关系为负相关，
故选：C12．（2022·全国·高三专题练习（文））在一组样本数据（x，y），（x，y），…，（x，y）（n≥2，
1 1 2 2 n n
x,x,…,x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x，y）(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上，则这组样本数
1 2 n i i
据的样本相关系数为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】
所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线 上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系
i i
数为1.
【详解】
由题设知，所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线 上，
i i
∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.
根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，5个 数据，去掉 后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】B
【分析】
根据图中的点，计算去掉 前后的相关系数、残差平方和、 ，即可判断各选项的正误.
【详解】由图， ， ，则 ， ，
，∴相关系数 .
令回归方程 ，则 ，
∴ ，即回归方程为 ，可得 为 ， ，
， ， ，
∴残差平方和 ，故 ，
去掉 后，
， ，则 ， ，
，
∴相关系数 .
∴ ，A、D正确；
令回归方程 ，则 ，
∴ ，即回归方程为 ，可得 为 ， ，
， ，
∴残差平方和 ，故 ，
∴ ，B错误，C正确；
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天
数据如下表：
第 天 1 2 3 4 5使用人数( ) 15 173 457 842 1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为 ，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为
（ ）
A． B． C．3 D．2【答案】B
【分析】
先计算出 的值，然后求得估计值，最后计算出残差.
【详解】
令 ，则 ，
1 4 9 16 25
使用人数( ) 15 173 457 842 1333
， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以残差为 .
故选：B
【点睛】
非线性回归要先转化为线性回归来求解，回归直线方程过样本中心点.
15．（2022·全国·高三专题练习）随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩
生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
计算得， .
参照下表，
0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828
下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
【答案】C
【分析】
根据 的值与临界值比较即可判断进而可得正确选项.
【详解】
因为 ，所以有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，
故选项A、B、D不正确，
故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）2018世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城
市入选，美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢“自助游”，某调查机构为了了解
“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：
赞成“自助游” 不赞成“自助游” 合计
男性 30 15 45
女性 45 10 55
合计 75 25 100
参考公式： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0
参照公式，得到的正确结论是（ ）A．有 以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关”
B．有 以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“赞成‘自助游’与性别有关”
【答案】D
【分析】
计算 的值与临界值比较即可判断四个选项的正确性，进而可得正确选项.
【详解】
将 列联表中的数据代入计算，得 ，
因为 ，
所以在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”．
有 以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关”，没有 以上的把握认为“赞成‘自助游’与
性别有关”，故选项ABC不正确，
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习（文））为了了解某高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了
110名同学，得到如下列联表：
男 女 总计
喜欢 40 20 60
不喜
20 30 50
欢
总计 60 50 110
由 算得 .
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”
C．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”
D．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关”
【答案】C
【分析】
根据求出的数据，结合临界值表判断即可
【详解】
解：因为 ，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”，或有99%的把握认为“喜欢
该节目与性别有关”，
故选：C
18．（2022·全国·高三专题练习（文））为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分
学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
【答案】C
【分析】
根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可.
【详解】
对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；
对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；
对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.
故选：C.
19．（2021·全国·高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分
男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱两理一文
D．样本中的女生偏爱两文一理
【答案】D
【分析】
由等高堆积条形图逐项判断即可.
【详解】
解：由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确；
有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；
男生偏爱两理一文，故C正确；
女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误.
故选：D.
二、多选题
20．（2021·山东聊城·三模）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本点数据 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B．若两变量x，y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心
C．若以模型 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程
，则a，b的估计值分别是3和6．
D．用 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直
线上，则 的值为1
【答案】BCD
【分析】
分别根据线性相关关系及拟合曲线关系对选项一一分析.
【详解】
若两变量x，y具有线性相关关系，即满足 ，则一定满足 ，样本点不一定在拟合直线上，
故A错误，B正确；
若以模型 拟合该组数据， ，故 ，故C正确；
用 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，
则 ，即 ，故D正确；
故选：BCD
21．（2021·辽宁朝阳·一模）关于变量 、 的 个样本点 、 、 、 及其线性回归方程： ，下列说法正确的有（ ）
A．若相关系数 越小，则表示 、 的线性相关程度越弱
B．若线性回归方程中的 ，则表示变量 、 正相关
C．若残差平方和越大，则表示线性回归方程拟合效果越好D．若 ， ，则点 一定在回归直线 上
【答案】BD
【分析】
本题可根据线性相关系数的意义判断出A错误，然后根据 判断出B正确，再然后根据残差平方
和越大拟合效果越差判断出C错误，最后根据样本中心点一定在回归直线上判断出D正确.
【详解】
A项：根据线性相关系数的意义可知，当 的绝对值越接近于0时，两个随机变量线性相关越来越弱，A
错误；
B项：当 时，结合 易知，变量 、 正相关，B正确；
C项：残差平方和越大，拟合效果越差，C错误；
D项：样本中心点一定在回归直线上，D正确，
故选：BD.
22．（2022·江苏·高三专题练习）则下列说法正确的是（ ）
A．在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
B．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
C．若数据 ， ，…， 的平均数为1，则 ， ，… 的平均数为2；
D．对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说， 越小，判断“ 与 有关系”的把握越大.
【答案】ABC
【分析】
根据残差的意义，可判定AB真命题；根据数据的平均值的计算公式，可得C真命题；根据独立性检验中
观测值 的几何意义，可判定D为假命题.
【详解】
根据残差的意义知，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好，所以A正确；
由残差的意义知，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，
所以B正确；
若数据 ， ，…， 的平均数为1，则 ， ，… 的平均数为也扩大为原来的2倍，即平均数为2，所以C正确；对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说，应该是 越大，判断“ 与 有关系”的把握越大，所
以D不正确.
故选：ABC.
23．（2022·全国·高三专题练习）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”
作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的人
数占女生人数 ，若有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人
附表：
0.050 0.010
3.841 6.635
附：
A．25 B．45 C．60 D．75
【答案】BC
【分析】
设男生的人数为 ，列出 列联表，计算出 的观测值，结合题中条件可得出关于 的不等式，
解出 的取值范围，即可得出男生人数的可能值.
【详解】
解：设男生的人数为 ，
根据题意列出 列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢抖音
不喜欢抖音
合计则 ，
由于有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 ，即 ，
得 ，
，则 的可能取值有 、 、 、 ，
因此，调查人数中男生人数的可能值为 、50、55或 .
故选：BC.
三、填空题
24．（2022·全国·高三专题练习）有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数
据：
近视 不近视 总计
少看手机
多看手机
总计
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系.
附表：
参考公式： ，其中 .
【答案】
【分析】
根据列联表计算得 ，进而得答案.
【详解】
解:根据列联表计算 ,
所以在犯错误的概率不超过 的前提下认为近视与多看手机有关系.
故答案为：四、解答题
25．（2022·全国·高三专题练习（文））近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业.据统
计，我市一家新能源企业近5个月的产值如下表：
月 份 5月 6月 7月 8月 9月
月份代码 1 2 3 4 5
产值 亿元 16 20 27 30 37
（1）根据上表数据，计算 与 的线性相关系数 ，并说明 与 的线性相关性强弱；( ，则认
为 与 线性相关性很强； ，则认为 与 线性相关性不强)
（2）求出 关于 的线性回归方程，并预测10月该企业的产值.
参考公式： ；
参考数据： .
【答案】
（1） ；相关系数较强；
（2） ；10月该企业的产值约为 亿元
【分析】
（1）利用表中数据求出 ，再由相关系数的求解公式即可求解.
（2）利用最小二乘法即可求解.
（1）
， ，
，因为 ，所以 与 线性相关性较强.（2）
设线性回归方程为： ；
，
，
即 ，
10月份对应的代码为 ，
，
10月该企业的产值约为 亿元.
26．（2021·江西·模拟预测（文））某科技公司研发了一项新产品 ，经过市场调研，对公司1月份至6
月份销售量及销售单价进行统计，销售单价 （千元）和销售量 （千件）之间的一组数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价
销售量
（1）试根据1至5月份的数据，建立 关于 的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 千元，则认为所得到的回归
直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程 ，其中 .
参考数据： ， .
【答案】（1） ；（2）是.
【分析】
（1）先由表中的数据求出 ，再利用已知的数据和公式求出 ，从而可求出 关于 的回归直线方程；（2）当 时，求出 的值，再与15比较即可得结论【详解】
（1）因为 ， ，
所以 ，
得 ，
于是 关于 的回归直线方程为 ；
（2）当 时， ，
则 ，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
27．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））身高体重指数（BMI）的大小直接关系到人的健
康状况，某高中高三（1）班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测
量其身高、体重（数据如下表）并进行线性回归分析，得到线性回归方程为 ，因为某些原因，
3号学生的体重数据丢失.
学生编号 1 2 3 4 5
身高 165 170 175 170 170
体重 58 62 65 63
（1）求表格中的 值；
（2）已知公式 可以用来刻画回归的效果，请问学生的体重差异约有百分之多少是由身
高引起的.（注：结果四舍五入取整数）
【答案】
（1）
（2）88%
【分析】（1）根据样本中心 满足线性回归方程得 ，再根据平均数求解即可；（2）根据回归方程依次计算对应数据的残差，并列表，再结合公式计算即可.
（1）
解： ，
∵样本点的中心 满足线性回归方程，
∴ .
∴ ，解得 .
（2）
解：根据回归方程，依次计算各组数据的残差，得如下表：
学生编号 1 2 3 4 5
身高 165 170 175 170 170
体重 58 62 67 65 63
残差 2 0
∴ ，
.
∴ .
∴学生的体重差异约有88%是由身高引起的.
28．（2022·全国·高三专题练习）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征 遥十二运
载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，
发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的
重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改
造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ，模型②： ；当
时，确定y与x满足的线性回归方程为 ．
（1）根据下列表格中的数据，比较当 时模型①，②的相关指数 的大小，并选择拟合精度更高、
更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预
测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收
益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数 ，且当 越大时，回归方程的拟合效果越好． ．
用最小二乘法求线性回归方程 的截距： ．
【答案】（1）模型②拟合精度更高、更可靠， 亿；（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【分析】
（1）根据公式计算相关指数，再根据大小选择合适的模型，根据所得模型可求直接受益.
（2）根据（1）中的公式结合利润计算方法可求公司收益，从而可得两者的大小关系.
【详解】
（1）对于模型①，
对应的 ，
故对应的 ，
故对应的相关指数 ，对于模型②，同理对应的相关指数 ，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为 .
（2）当 时，
后五组的 ， ，
由最小二乘法可得 ，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
29．（2021·河南·一模（文））近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚
种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农
户的数据，进行回归分析，得到两个回归摸型：模型①： ，模型②：
，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：
种植面积 (亩) 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本
25 24 21 22 16 14
(百元)
估计值
25.27 23.62 21.97 17.02 13.72
模型①
残差 -0.27 0.38 -0.97 -1.02 0.28
26.84 20.17 18.83 17.31 16.46
模型②
-1.84 0.83 3.17 -1.31 -2.46
（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；（2）视残差 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据
后，重新求回归方程.
附： ， ；
【答案】（1）表格答案见解析，模型①拟合效果比较好.（2）
【分析】
（1）令 时，求得 ， ，令 时，求得 ， ，填入表格即可.根据残差平方和公式，分别
求得模型①的残差平方和，模型②的残差平方和，再比较下结论.
（2）根据视残差 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，应剔除第四组数据，分别求得 ， ，利用公
式进而求得 ， ，写出回归方程.
【详解】
（1）当 时， ， ，
当 时， ， ，
完成表格如下：
种植面积 (亩) 2 3 4 5 7 9
每亩种植管理成本
25 24 21 22 16 14
(百元)
估计值
25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72
模型①
残差 -0.27 0.38 -0.97 1.68 -1.02 0.28
26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46
模型②
-1.84 1.61 0.83 3.17 -1.31 -2.46模型①的残差平方和为 ，
模型②的残差平方和为 ，
所以模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，
所以模型①拟合效果比较好.
（2）由题意知，应剔除第四组数据，
， ，
，
，
∴所求回归方程为 .
【点睛】
本题考查回归分析，线性回归方程模型的建立，还考查了数据处理能力和运算求解能力，属于中档题.
30．（2021·全国·模拟预测）婺源位于江西省东北部，其境内古村落遍布乡野，保存完整，生态优美，物
产丰富，拥有着油菜花之乡的美誉，被誉为一颗镶嵌在赣、浙、皖三省交界处的绿色明珠．为了调查某片
实验田3月份油菜花的生长高度，研究人员在当地随机抽取了13株油菜花进行高度测量，所得数据如下：
， ， ， ， ， ，
， ， ．并通过绘制及观察散点图，选用两种模型进行
拟合：
模型一： ，其中令 ；
模型二： ，其中令 ．（1）求模型二的回归方程；
（2）试通过计算相关系数的大小，说明对于所给数据，哪一种模型更加合适.
参考数据： ， ， ， ．
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ，相关系数
．
【答案】
（1）
（2） ， ，模型二更合适.
【分析】
(1)模型二 ，其中令 ，则y＝c＋dt，则y和t成线性关系，由最小二乘法求出c和d即可；
(2)计算两种模型的相关系数，相关系数绝对值越大，拟合越好，模型更合适.
（1）
因为 ，
，
所以模型二的回归方程为 ．
（2）
依题意，模型一的相关系数 ，
模型二的相关系数 ．
因为 ，所以用模型 建立y与x的回归方程更合适．
31．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（文））我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金，
现该企业为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二
五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额 和年盈利额 的数据.通过对比分析，建立了
两个函数模型：① ；② ，其中 均为常数，e为自然对数的底数.令 ,
，经计算得如下数据：26 215 65 2 680 5.36
11250 130 2.6 12
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好；
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（回归系数精确到0.01）.
附：相关系数 ，
线性回归直线方程 ，其中附： ， .
【答案】
（1）模型②更好，理由见解析；
（2） .
【分析】
（1）根据已知数据，结合函数模型，分别计算相关系数，即可进行比较；
（2）根据参考公式和已知数据，先求得 关于 的线性回归方程，再转化为 关于 的回归方程即可.
（1）
若选择模型① ，
故可得其相关系数
若选择模型② ， ，故可得其相关系数
则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好.
（2）
先建立 关于 的线性回归方程，由 得 ，即 .
， ，
故 关于 的线性回归方程为： ，
故 ，即 ，
故y关于x的回归方程为： .
【点睛】
本题考察回归方程的求解，其中第二问中，需要对 取对数得 ，求得 关于 的线性回归
方程，再转化为 关于 的回归方程，是处理本题的难点和关键点，属中档题.
32．（2021·四川·成都七中一模（文））某投资公司2012年至2021年每年的投资金额 （单位：万元）与
年利润增量 （单位：万元）的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润
增量，建立了 关于 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程：
；模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在由线： 的附近，对投
资金额 做换元，令 ，则 ，且有 ，（1）根据所给的统计量，求模型②中 关于 的回归方程；
（2）分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）；附：样本 的最小乘估计公式为 ；参考数据：
.
【答案】
（1）
（2）模型①的年利润增量的预测值为 （万元），模型②的年利润增量的预测值为 （万元）
【分析】
（1）结合已知数据和公式求出 这两个系数即可得回归方程；
（2）把 代入模型①、②的回归方程，算出 即可．
（1）
由题意，知 ，可得 ，
又由 ，
则
所以，模型②中 关于 的回归方程 .
（2）
当 时，模型①的年利润增量的预测值为 （万元），
当 时，模型②的年利润增量的预测值为
万元
33．（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势．
一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染、空气污染、土壤污染
的重要来源之一如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解
决的重要问题研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值化肥施
用量为 （单位：公斤），粮食亩产量为 （单位：百公斤）．参考数据：
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
表中 ．
（1）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为粮食亩产量 关于化肥施用量 的回归方程类
型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；
（3）根据（2）的回归方程，并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量 的值；
附：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
；②取 ．
【答案】
（1） 更适合作为 关于 的回归方程类型；
（2） ；
（3）810公斤.
【分析】（1）根据散点图即可判断， 更适合作为 关于 的回归方程类型；
（2）对 两边取对数，得 ，即 ，根据表中数据求出 ，再根据最
小二乘法求出 和 的值，从而得出 关于 的回归方程；（3）由（2）得 ，当 时，即可预测粮食亩产量 的值.
（1）
解：根据散点图可判断， 更适合作为 关于 的回归方程类型.
（2）
解：对 两边取对数，得 ，即 ，
由表中数据得： ， ，
，
，所以 ，
所以 关于 的回归方程为 .
（3）
解：由（2）得 ，
当 时， ，
所以当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.
34．（2021·河北·高三阶段练习）《2021新锐品牌数字化运营白皮书》中，我国提出了新锐品牌的概念，
全称是国货新锐品牌.对这个名称进行拆解：国货､新､锐.新有两个层面，一是针对企业本身，指2011年后
成立的品牌.二是针对消费者本身，开拓了新的消费场景（需求），形成了细分化的品类.锐：是在短期内
实现大大高于传统品牌的爆发式增长，并且占据了一定的消费者心智.如图是11月份中国某信息网发布的
我国 市2021年上半年新锐品牌人群用户（新锐品牌人群，指在指定周期内浏览新锐品牌相关内容以及商
品详情页的人群）性别分析数据. 市对购买家电类新锐品牌人群中随机调查了100位男性顾客和100位女
性顾客，统计出每位顾客购买家电消费金额，根据这些数据得到如下的频数分布表：消费金额（元）
女性顾客人数 50 30 10 6 4
男性顾客人数 20 40 24 10 6
（1）若以我国 市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为 市抽取新锐品牌人群中性别概率，
从 市新锐品牌人群中随机抽取四人， 为四人中男性的人数，求 的概率分布列和期望.
（2）根据 市统计购买家电消费金额数据频数分布表，完成下列 列联表，并根据列联表，判断是否有
99%的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关？
不超千元 千元以上 合计
女性顾客
男性顾客
合计
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】
（1）分布列答案见解析，数学期望：（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为顾客购买家电消费金额千元以上与性别有关
【分析】
（1）由频率估计概率得人群中随机抽取一人为男性的概率为75%，为女性的概率为25%，进而结合二项
分布求解即可；
（2）根据题意补全列联表，结合公式计算 ，进行独立性检验.
（1）
解：若以我国2021年上半年新锐品牌人群用户性别比例数据作为 市抽取新锐品牌人群性别概率，
则 市新锐品牌人群中随机抽取一人为男性的概率为75%，为女性的概率为25%，且 服从二项分布，
得 分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望： .
（2）
解：根据所给数据，可得 列联表：
不超千元 千元以上 合计
女性顾客 80 20 100
男性顾客 60 40 100
合计 140 60 200
根据列联表得 .因为 ，所以有99%的把握认为顾客购买家电消费金额千元以上与性别有关.35．（2022·全国·高三专题练习）某中学随机抽查了 名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：
时长（分）
人数
（1）求这 名同学的平均阅读时长（用区间中点值代表每个人的阅读时长）；
（2）在阅读时长位于 的 人中任选 人，求甲同学被选中的概率；
（3）进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称
为“阅读迷”，语文成绩达到 分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个
列联表：
阅读迷 非阅读迷 合计
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
合计
根据表中数据，判断是否有 的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.
参考公式： ，其中 .
参考数据：
【答案】
（1） 小时
（2）
（3）有，理由见解析
【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数相乘，将所求结果相加后除以 可得这 名同学的平均阅读时长；
（2）设这 名学生分别为甲、乙、丙、丁，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，
利用古典概型的概率公式可求得结果；
（3）计算出 的观测值，结合临界值表可得出结论.
（1）
设这 名同学的平均阅读时长为 小时，
则 ，
故这 名同学的平均阅读时长为 小时；
（2）
设这 名学生分别为甲、乙、丙、丁，
从这 名学生任取 名学生，所有的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、
（乙，丁）、（丙、丁），共 个，
其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁），
因此，所求概率为 ；
（3）
，
因此，有 的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.
36．（2022·全国·高三专题练习）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做
试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和
表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80)
频数 30 40 20 10
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
[60，
疱疹面积 [65，70) [70，75) [75，80) [80，85)
65)频数 10 25 20 30 15（1）完成下面2×2列联表；
疱疹面积小于70 mm2 疱疹面积不小于70 mm2 总计
注射药物A a＝ b＝
注射药物B c＝ d＝
总计 n＝
（2）能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面
积有差异”？
【答案】
（1）列联表见解析
（2）能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积
有差异”．
【分析】
（1）根据表格1和表格2中的数据，分别求得 的值，即可得到 列联表；
（2）由（1）中 列联表中的数据，利用公式求得 ，结合 ，即可得到结论.
（1）
解：根据题意，利用表格1和表格2中的数据，
则注射药物 且疱疹面积小于70 mm2，可得 ；
注射药物 且疱疹面积不小于70 mm2，可得 ；
注射药物 且疱疹面积小于70 mm2，可得 ；
注射药物 且疱疹面积不小于70 mm2，可得 ；
可得 列联表，如图下表所示：
疱疹面积小于70 mm2 疱疹面积不小于70 mm2 总计
注射药物A 100
注射药物B 100
总计 105 95 200（2）解：由 列联表中的数据，可得 ，
由于 ，所以有99 %的把握认为两者有关系，
即在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差
异”．
37．（2022·全国·高三专题练习）某淘宝店经过对春节七天假期的消费者进行统计，发现在金额不超过
1000元的消费者中男女比例为 ，该店按此比例抽取了100名消费者进行进一步分析，得到下表女性消
费情况：
消费金额(元)
人数 5 10 15 47 3
男性消费情况：
消费金额(元)
人数 2 3 10 3 2
若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”
(1)分别计算女性和男性消费的平均数，并判断平均消费水平高的一方“网购达人”出手是否更阔绰？
(2)根据以上统计数据填写如下 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“是否
为‘网购达人’与性别有关”.
女性 男性 合计
“网购达人”
“非网购达人”
合计
附： .【答案】（1）女消费者消费平均数为582.5元，男消费者消费平均数为500元，“平均消费水平”高的一
方“网购达人”出手不一定更阔绰；
（2）列联表略，可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”
【详解】
(1)女消费者消费平均数
（元）.
男消费者消费平均数 .
虽然女消费者消费水平较高，但“女网购达人”平均消费水平(为712元)，低于“男网购达人”平均消费
水平(为780元)，所以“平均消费水平”高的一方“网购达人”出手不一定更阔绰.
(2) 列联表如下所示：
女性 男性 合计
“网购达人” 50 5 55
“非网购达人” 30 15 45
合计 80 20 100
假设“是否为‘网购达人’与性别无关”，
则 ，
因为 ，
所以在犯错误的概率不超过 的前提下可以认为“是否为‘网购达人’与性别有关”.
