文档内容
热点题型·计算题攻略
专题 17 磁场综合题
目录
01.题型综述................................................................错误: 引用源未找到
02.解题攻略................................................................错误: 引用源未找到
题组01 带电粒子（带电体）在匀强电场中的直线运动........................................................................1
题组02 带电粒子在组合场中的运动...................................................................................................10
题组03 带电粒子在叠加场中的运动...................................................................................................29
03.高考练场 ..............................................................................45
带电粒子在有界匀强磁场中的运动可以很好的结合几何知识考察学生数理结合解决问题的能力， 带电
粒子在组合场中的运动可以有机的将电场中的匀变速运动与磁场中的匀速圆周运动巧妙结合考察学生综合
分析的能力。近年高考中发现带电体在电磁组合场中的复杂曲线运动越来越多，而要解答好此类问题需要
考生对正则动量以及“配速法”要熟练掌握。因此带电粒子在磁场中的综合问题考察较多多样考试题型丰
富深受命题者青睐。有效突破本专题的方法是学生要熟练掌握电磁偏转的基本规律，深入学习正则动量与
配速法等相关知识才能立于不败之地。
题组 01 带电粒子（带电体）在匀强电场中的直线运动
【提分秘籍】
1．分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法
(1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹
(2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与
基本思路 圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系
(3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式
和半径公式
基本公式 qvB＝m，T＝
重要结论 r＝，T＝(1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图
(a)
(2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线
的交点为圆心，如图(b)
圆心的确定 (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算)
方法一：由物理公式求，由于Bqv＝
所以半径r＝
半径的确定
方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通
过计算来确定
方法一：由圆心角求，t＝·T
时间的求解
方法二：由弧长求，t＝
2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论
(1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ＝θ＝θ)。
1 2 3
(2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线OO′对称)。
(3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α＝α)。
1 2
3．带电粒子在磁场中运动的多解成因
(1)磁场方向不确定形成多解；
(2)带电粒子电性不确定形成多解；
(3)速度不确定形成多解；
(4)运动的周期性形成多解。
【典例剖析】
【例1-1】如图所示，在xOy坐标系中，垂直于x轴的虚线与y轴之间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场
（含边界），磁场方向垂直xOy平面向里。一质子束从坐标原点射入磁场，所有质子射入磁场的初速度大
小不同但初速度方向都与x轴正方向成 角向下。PQ是与x轴平行的荧光屏（质子打到荧光屏上不
再反弹），P、Q两点的坐标分别为 ， 。已知质子比荷 ， 。求：（结果均可用分数、根号表示）
(1)质子在磁场中运动的最长时间是多少？
(2)如果让荧光屏PQ下表面有粒子打到的长度尽可能长且质子的运动轨迹未出磁场，质子初速度大小的取
值范围是多少？
(3)荧光屏PQ下表面有粒子打到的长度为多长？
【例1-2】（2024·河北·模拟预测）如图，xOy坐标系所在的平面内，在 区域内有垂直纸面向里的匀强
磁场。x轴上的点 向直线 的右侧各个方向发射大量质量为m、电荷量为q的带负电粒子，速
度大小均为v。其中某粒子在点 垂直于y轴离开磁场区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)从P点发出的粒子中是否有粒子能回到P点？若无，请说明理由；若有，请求出粒子从P点发出到回到
P点的时间。
【变式演练】
【变式1-1】．如图所示，在0 ≤ y ≤ 1.5a的区域内存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，t = 0时刻，一位于
坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与x轴正方
向的夹角分布在0 ~ 180°范围内，沿y轴正方向发射的粒子在t = t 时刻刚好从P（2a，0）点离开磁场。已
0知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)求带电粒子初速度的大小；
(2)求磁场上边界有带电粒子离开的区域长度；
(3)改变匀强磁场的磁感应强度大小，使得25%的粒子从x轴离开磁场区域，求改变后的匀强磁场的磁感应
强度大小。
【变式1-2】．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够大平面感光
板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的 粒子放射源S，它向平面内各个方向均匀
发射带正电的 粒子（重力不计）， 粒子的速度大小都是v。（已知 粒子的电荷与质量之比为 ，磁
感应强度大小为B，速度大小 ，发射源与ab板距离为L），现只考虑在图纸平面中运动的 粒子，
求：
(1)ab上被 粒子打中的区域的长度。
(2)击中ab板的 粒子中运动最长和最短的时间之差是多少。
(3)各个方向均匀发射的 粒子中有多少占比的 粒子可以击中ab板。
题组 02 带电粒子在组合场中的运动
【提分秘籍】
1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较
进入电场时速度方向
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
与电场有一定夹角情景图
F ＝qvB，F 大小不变，
B 0 B
F ＝qE，F 大小、方向 F ＝qE，F 大小、方
E E E E
受力 方向变化，方向总指向圆
均不变，F 为恒力 向均不变，F 为恒力
E E
心，F 为变力
B
类斜抛运动
类平抛运动 v x ＝v 0 sin θ，v y ＝
匀速圆周运动
运动规律 v＝v，v＝t vcos θ－t
x 0 y 0
r＝，T＝
x＝vt，y＝t2 x＝vsin θ·t，y＝
0 0
vcos θ·t－t2
0
2．常见运动及处理方法
【典例剖析】
【例2-1】（2024·吉林长春·一模）医院中X光检测设备的核心器件为X射线管。如图所示，在X射线管中，
电子（质量为m、电荷量为-e，初速度可以忽略）经电压为U的电场加速后，从P点垂直磁场边界水平射
入匀强磁场中。磁场宽为2L，磁感应强度大小可以调节。电子经过磁场偏转后撞击目标靶，撞在不同位置
就会辐射出不同能量的X射线。已知水平放置的目标靶 长为2L， 长为L，不计电子重力、电子间
相互作用力及电子高速运行中辐射的能量。(1)求电子进入磁场的速度大小；
(2)调节磁感应强度大小使电子垂直撞击在目标靶上，求电子在磁场中运动的时间；
(3)为使辐射出的X射线能量范围最大，求磁感应强度的大小范围。
【例2-2】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面（纸面）内，
的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的 区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电
场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从原点O处以大小为 的速度垂直磁场射入第
二象限，方向与x轴负方向夹角 ，一段时间后垂直 虚线边界进入电场。已知 ，
，区域Ⅱ中电场的场强 。求：
(1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t；
(3)粒子离开电场时的速度大小v。
【例2-3】平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限的某未知矩形区域内
有垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 ，如图所示。一带正电的粒子从静止开始经电
压加速后，以速度 沿x轴正方向从y轴上A点进入匀强电场，经电场偏转后，从x轴上的B点进入第Ⅳ
象限，且速度方向与x轴正方向的夹角为 ，一段时间后，进入矩形磁场区域，离开矩形磁场区域后垂
直穿过y轴上的C点。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，AO的距离为h，OC的距离为2h，不计粒子
的重力。求：(1)加速电压U；
(2)B与O之间的距离x；
(3)矩形匀强磁场区域面积S的最小值；
(4)带电粒子从A点运动到C点的时间t。
【例2-4】如图1所示的xOy平面内，x轴上方存在平行于y轴向下的匀强电场，x轴下方存在垂直xOy平
面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，粒子质量为m、电荷量为 ，粒子在该组合场中运动的
速度可用图2中一个点 表示， 、 分别为粒子速度在两个坐标轴上的分量。粒子从图1中y轴
上某一点出发，出发时其速度坐标P位于图2中 点，P点沿线段ab移动到 点；随后P点
沿以O为圆心的圆弧移动至 点，P点沿线段ca回到a点。已知粒子在磁场中所受洛伦兹力大小为
在电场中所受静电力大小的 倍，粒子不计重力。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)P点沿图2中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子的位置坐标。
【例2-5】（2025高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在真空中的坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场
强度和磁感应强度大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为m、电荷量为q的带正
电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为v且与y轴负方向的夹角为 从坐标原点进入
区域，在 的区域内存在磁感应强度大小为 、方向沿x轴正方向的匀强磁场B，不计粒子重力。
已知： ，求：
(1)第二象限中电场强度大小 和磁感应强度大小 ；
(2)粒子在 的区域运动过程中，距离x轴的最大距离；
(3)粒子在 的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。
【变式演练】
【变式2-1】如图所示，在xOy平面内，y轴左侧空间分布着水平向右的匀强电场，y轴右侧空间分布着垂
直纸面向外的匀强磁场。某时刻有一带正电的粒子以初速度 沿平行于y轴正方向从A点射出，粒子从C
点进入磁场，且速度方向与y轴夹 角，并在磁场中运动一段时间后恰好又回到A点。已知A点坐标为
粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子所受的重力。求：
(1)C点坐标为以及y轴左侧匀强电场的电场强度大小E；
(2)y轴右侧匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)带电粒子从A点开始运动到再次回到A点的时间t。
【变式2-2】．（2025高三上·安徽·阶段练习）如图所示，在坐标系xOy的第二象限内存在沿y轴负方向的
匀强电场，电场强度为 ，在第一象限内磁场垂直纸面向外、第四象限内磁场垂直纸面向里，且第四象限磁场磁感应强度是第一象限的2倍；第一象限内距离y轴L处，垂直x轴放置足够长的感应屏。一质量为
m，电荷量为q的带正电粒子从直角坐标系第二象限的P点以初速度大小 ，方向与x轴正方向成 斜向
上飞出，恰好从O点射入磁场，速度方向与x轴正方向夹角为 ，一段时间后粒子垂直击中感应屏。粒
子重力不计， ， ，求：
(1) 点的位置坐标；
(2)第一象限磁场磁感应强度的最小值。
【变式2-3】．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，第Ⅱ
象限内分布着沿y轴负方向的匀强电场．初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子经过电压为U的电
场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，重力不计，经磁场偏转后过y轴上的P点且垂直于y轴
进入电场区域，在电场中偏转并击中x轴上的C点，已知OA＝OC＝d。
(1)求带电粒子在A点的速度
(2)磁感应强度B和电场强度E的大小分别是多少？
(3)带电粒子从A点到C点的时间t？
【变式2-4】．平面直角坐标系 中，第Ⅰ象限存在沿 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标
平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从 轴负半轴上的P
点与 轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经 轴上的N点与 轴正方向成120°角射入电场，最后从
轴正半轴上的M点以垂直于y轴方向的速度射出电场，粒子从P点射入磁场的速度为 ，不计粒子重力，
求：(1)粒子从P点运动到M点的总时间t；
(2)匀强电场的场强大小E；
(3)若撤去第Ⅰ象限的匀强电场，加上一个磁感应强度也为B，方向也是垂直纸面向里的圆形磁场区域，同
样使该粒子垂直于y轴方向从M点输出，求圆形磁场区域的最小半径。
【变式2-5】（2025高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有沿
y轴负方向的匀强电场，在第三、四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场。从y轴上坐标为（0，L）
的P点沿x轴正方向，以初速度v 射出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子经电场偏转后从坐
0
标为（2L，0）的Q点第一次经过x轴进入磁场，粒子经磁场偏转后刚好能到P点，不计粒子的重力。
(1)求匀强电场的电场强度大小E；
(2)求匀强磁场的磁感应强度大小B；
(3)现仅改变粒子在P点沿x轴正方向射出的速度大小，若粒子经一次电场和磁场偏转后，刚好经过O点出
磁场（粒子第二次经过x轴），求粒子第七次经过x轴的位置离O点的距离。
题组 03 带电粒子在叠加场中的运动
【提分秘籍】
1．三种典型情况
(1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足 qE＝qvB
时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。(2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。
(3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB
＝m。
2.洛伦兹力的冲量
【典例剖析】
【例3-1】在xOy坐标系的第二象限内和第四象限内有如图所示的匀强电场，两电场的场强大小相等，方
向分别与x轴和y轴平行；第四象限内还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。将一个质量为m、
电荷量为q的微粒在第二象限内的 点由静止释放，之后微粒沿直线运动到坐标原点并进入第四象
限，微粒在第四象限内运动后从x轴上的 点进入第一象限，重力加速度为g。求：
（1）带电微粒运动到O点时的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）带电微粒从P点运动到Q点所用的时间。【例3-2】下图所示的光滑绝缘的水平面上放置一个质量为m、带电荷量为＋q的小球（可视为点电荷）。
在竖直平面内存在匀强磁场和匀强电场，y轴左侧电场方向水平向右，无磁场，y轴右侧电场方向竖直向上，
磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电场强度大小相等，均为 、现将小球从左侧距O
点为2L的A点由静止释放，若小球第一次落回地面时落到A点附近。
（1）小球第一次经过y轴时的速度大小；
（2）小球第二次经过y轴时到O点的距离；
（3）小球第二次经过y轴后，到落地前，经过P点（图中未标出）的速度最小，求：小球从开始运动到P
点所用的时间t。
【例3-3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，
电场强度大小为 ，磁感应强度大小为B。从O点发射一比荷为 的带正电微粒，该微粒恰能在xOy坐
标平面内做直线运动。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度为g。
（1）求微粒发射时的速度大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，微粒以（1）中的速度从O点射出后，求微粒通过y轴时到O点的距离；
（3）若仅撤去电场，微粒改为从O点由静止释放，求微粒运动的轨迹离x轴的最大距离。【例3-4】如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、三、四象限内存在垂直于平面向外、磁感应强度大
小为B（B未知）的匀强磁场，第二象限内存在垂直平面向外、磁感应强度大小为3B的匀强磁场。质量为
m、电荷量为 的带电粒子从y轴上M点（0， ）以初速度 沿x轴正方向射入第一象限，然后从x轴上
的N点（ ，0）射入第四象限，不计粒子的重力。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)带电粒子自M点进入磁场开始到第四次经过x轴时所经历的时间；
(3)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比、方向相反的阻力f且 （k为已知常量），已知粒子第一次
经过x轴时速度与x轴垂直，求此时粒子的位置坐标。
【变式演练】
【变式3-1】如图所示的 坐标平面，在第二、三象限存在半径为 的圆形匀强磁场区域，圆心位于
位置，磁感应强度大小为B，方向垂直 坐标平面向里；在第一象限存在正交的匀强电场和匀
强磁场，电场方向沿 轴负方向，匀强磁场的大小和方向与第二、三象限的磁场均相同。圆形磁场边界上
有一个 点， 点与 轴的距离为 。一个质量为 电荷量为 的粒子从 点垂直磁场方向射入圆
形匀强磁场区域，恰好从坐标原点 沿 轴正方向进入正交的电磁场区域。已知电场强度大小为
，不计粒子所受重力，求：(1)带电粒子从 点垂直进入圆形匀强磁场时的速度大小；
(2)带电粒子在第一象限距 轴的最大距离；
(3)带电粒子在第一象限的轨迹与 轴相切点的坐标。
【变式3-2】．如图所示，水平面上方有正交电磁场区域足够宽，匀强磁场方向沿水平方向（图中所示），
磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，场强大小为E；不计厚度、内壁光滑的竖直小圆筒内底部
静止放有一质量为m、带电荷量为+q的带电微粒。现让小圆筒以加速度a由静止开始向右平动，在微粒开
始沿筒壁上升瞬间，立即让小圆筒以此刻速度的2倍做匀速运动，已知小圆筒匀速运动的距离为小圆筒长
度的2倍时，微粒恰好离开小圆筒，并在此刻撤去匀强电场。不计重力大小，则：
(1)小圆筒由静止开始运动，经过多长时间微粒将沿筒壁上升；
(2)小圆筒的长度；
(3)求微粒离开小圆筒后能上升的最大高度（距离圆筒上端口的最大高度）。
【变式3-3】．如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第二、三、四象限内存在平行于y轴向上的
匀强电场，在第三、四象限内存在磁应强度为B、方向垂直xOy平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量
为q的带正电小球，从y轴上的A点水平向右抛出，记为小球第一次通过y轴，经x轴上的M点进入电场
和磁场，恰能做匀速圆周运动，已知 ，磁感应强度 ，不计空气阻力，重力加
速度为g。求：
（1）电场强度E的大小和粒子经过M点的速度大小；
（2）粒子第三次经过y轴时的纵坐标。1.（2024·天津·高考真题）如图所示，在 平面直角坐标系的第一象限内，存在半径为R的半圆形匀强磁
场区域，半圆与x轴相切于M点，与y轴相切于N点，直线边界与x轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。
在第一象限存在沿 方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带负电粒子质量为m，电荷量为q，从M点
以速度v沿 方向进入第一象限，正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)若仅有电场，求粒子从M点到达y轴的时间t；
(3)若仅有磁场，改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达x轴上P点，M、P的距离为 ，求粒子在磁
场中运动的时间 。
2．（2024·福建·高考真题）如图，直角坐标系 中，第Ⅰ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第Ⅱ、
Ⅲ象限中有两平行板电容器 、 ，其中 垂直 轴放置，极板与 轴相交处存在小孔 、 ； 垂直
轴放置，上、下极板右端分别紧贴 轴上的 、 点。一带电粒子从 静止释放，经电场直线加速后从
射出，紧贴 下极板进入 ，而后从 进入第Ⅰ象限；经磁场偏转后恰好垂直 轴离开，运动轨迹如图
中虚线所示。已知粒子质量为 、带电量为 ， 、 间距离为 ， 、 的板间电压大小均为 ，板间
电场视为匀强电场，不计重力，忽略边缘效应。求：(1)粒子经过 时的速度大小；
(2)粒子经过 时速度方向与 轴正向的夹角；
(3)磁场的磁感应强度大小。
3．（2024·贵州·高考真题）如图，边长为L的正方形 区域及矩形 区域内均存在电场强度大小为
E、方向竖直向下且与 边平行的匀强电场， 右边有一半径为 且与 相切的圆形区域，切点为
的中点，该圆形区域与 区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒
子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经 边的中点进入 区域，并沿直线通过该区域后进入圆
形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求：
(1)粒子沿直线通过 区域时的速度大小；
(2)粒子的电荷量与质量之比；
(3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。
4．（2024·重庆·高考真题）有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为 的带正电的粒子，由固定
于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上
方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直
于纸面向里的匀强磁场，速率为v 的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，
0
忽略磁场突变的影响。
(1)求OK间的距离；
(2)速率为4v 的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；
0
(3)速率为4v 的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计
0
时O点。求打开磁场的那一时刻。5．（2024·甘肃·高考真题）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电
压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为 ，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小
为 ，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向里。从S
点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做
圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。
（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。
（2）求O点到P点的距离。
（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为 （ 略大于 ），方向不变，粒子恰好垂直打在
速度选择器右挡板的 点上。求粒子打在 点的速度大小。
6．（2024·湖南·高考真题）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。
以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度
大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子
枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均
为v。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
0
力。
（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ
的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。7．（2024·新疆河南·高考真题）一质量为m、电荷量为 的带电粒子始终在同一水平面内运动，其
速度可用图示的直角坐标系内，一个点 表示， 、 分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的
分量。粒子出发时P位于图中 点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到
点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的
圆弧移动至 点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P
点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。
8．（2024·辽宁·高考真题）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ
区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如
图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为 和 。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，
电场强度大小 。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为 ，其中常系
数 ， 已知、k未知，取甲经过O点时 。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式（不要求写出Δx的取值范围）
9．（2023·山东·高考真题）如图所示，在 ， 的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小
为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒
子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度 的大小和粒子的初速度 ；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
10．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面
（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强
度大小为B 的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边
1 2
界与x轴重合。位于 处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离
子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v 及其在磁场中的运动时间t；
1
（2）若 ，求能到达 处的离子的最小速度v；
2
（3）若 ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在 范围，求进入第四象限
的离子数与总离子数之比η。11．（2023·湖北·高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。
t = 0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正
电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒
子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3） 时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到 的过程中粒子乙运动的路程。
（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
12．（2023·江苏·高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的
匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴
正方向水平入射。入射速度为v 时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v 时，电子的运动轨迹如图中
0 0
的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为 ，求运动到速度为 时位置的纵坐标y；
1
（3）若电子入射速度在0 < v < v 范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数
0
N 的百分比。
0
