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第 4 讲 素养提升之数列新情境、新考法专项冲刺
目录
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
角度2：关注经济发展
角度3：聚焦科技前沿
角度4：结合生产实践
角度5：渗透数学文化
角度6：强调五育并举
二、新考法
角度1：以高观点为背景
角度2：以给定定义、热点信息为背景
角度3：考查开放、探究精神
角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
角度5：相近学科融合
一、新情境
角度1：紧跟社会热点
1．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运
行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加
0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ）
A．18 B．19 C．21 D．22
2．（2022·江苏连云港·高二期末）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME7）的会徽图案，会徽的主
体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图2
中的直角三角形继续作下去，记 的长度构成的数列为 ，由此数列的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江衢州·高三阶段练习）衢州市某中学开展做数学题猜 密码益智活动.已知数列 的通
项 ， ，数列 的通项 ，现将数列 和 中所有的项混在一起，按照从
小到大的顺序排成数列 ，若满足 成立的 的最小值为 ，若该中学 密
码为 计算结果小数点的后6位，则该中学的WiFi的密码为（ ）
A．461538 B．255815 C．037036 D．255813
4．（2022·广西桂林·高三开学考试（理））在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，
与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算
经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的
量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变
化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（ ）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺
角度2：关注经济发展
1．（2022·山东烟台·高三期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初
购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万
元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设 为第n年的维修费用， 为前n年的平均维修费
用，若 万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为
（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店
售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天
售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第
__________天收入达到最高.
角度3：聚焦科技前沿
1．（2022·陕西·虢镇中学高二阶段练习）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国
第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛bn｝：
， ， ……依次类推，其中 ，则（ ）
A． B． C． D．
角度4：结合生产实践
1．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教
育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体
化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生
赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为 ，在数列
的任意相邻两项 与 （ ，2， ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
．按新数列 的各项依次派遣支教学生．记 为派遣了70批学生后支教学生的总数，则 的值为
（ ）
A．387 B．388 C．389 D．390
角度5：渗透数学文化
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时
期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108
座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.
天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干
即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、
戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以
此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重
新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（
）
A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯
3．（2022·江苏省苏州第十中学校高二阶段练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在
20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是
按照 ， 的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（ ）A．89 B．55 C．34 D．144
4．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9
间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从
明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为 .若设明间的宽度为
，则该大殿9间的总宽度为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算
相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一
半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ）
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【答案】C
【详解】由已知，设等比数列首项为 ，前n项和为 ， 公比为 , ，
则 ，等比数列首项 .
故选：C.
6．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发
现有这样一列数： ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ，
后来人们把这样的一列数组成的数列 称为“斐波那契数列”.记 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故选：B.
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由
波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形
各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形
代表挖去的面积，那么黑色三角形为剩下的面积（我们称黑色部分为谢尔宾斯基三角形）.用上面的方法可
以无限操作下去，操作1次得到第2个图案，操作2次得到第3个图案……，若最大的三角形边长为2，则
操作4次后得到的第5个图案中挖去的白色三角形个数为___________，挖去的面积为___________.
8．（2022·湖北·丹江口市第一中学模拟预测）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难
题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地
图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、
绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每
行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记 为第k行不同涂色种数，则 _____，
________．
【答案】 324
【详解】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故
种， ，
则 ①，所以 ②，
①-②得 ，即 ．
故答案为：324，
角度6：强调五育并举
1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）图1是中国古代建筑中的举架结构， ， ， ，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 ，
， ， 是举， ， ， ， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，
， ， ，已知 ， ， 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
2．（2022·福建三明·高二阶段练习）定义各项为正数的数列 的“美数”为 .若
各项为正数的数列 的“美数”为 ，且 ，则 ______.
3．（2022·全国·高三专题练习）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小
的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如
图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）A． B．1 C． D．
4．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图， 是一块半径为 的半圆形纸板，在 的左下
端剪去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的
半径）得图形 ， ，…， ，…，记第 块纸板 的面积为 ，则 ______，如果 ，
恒成立，那么 的取值范围是______．
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）“刺绣”是一门传统手工艺术，我国已有多种刺绣列入世界非遗文化遗产
名录．有一种刺绣的图案由一笔画构成，很像汉字“回”，称为“回纹图”（如图）． 某刺绣工在方格
形布料上用单线针法绣回纹图，共进行了 次操作，每次操作在前一次基础上向外多绣一圈(前三次操作之
后的图案分别如下图) ． 若第 次操作之后图案所占面积为 （即最外围不封口的矩形面积，如
），则至少操作_______次， 不少于 ；若每横向或纵向一个单位长度绣一针，称
为“走一针”，如图①共走了 针，如图②共走了 针，如图③共走了 针，则其第 次操作之后的回纹
图共走了______________针（用 表示）．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））某校在研究民间剪纸艺术时，经常会沿着纸的某条对称轴把纸对
折，规格为 的长方形纸，对折一次可以得到 和 两种规格的图形，他们的
周长之和为 ，对折二次可以得到 ， ， 三种规格的图形，他们的周
长之和为 ，以此类推，则折叠 次后能得到的所有不同图形的周长和 为___________ ，如
果对折 次后，能得到的所有图形的周长和记为 ，则 ___________ .
二、新考法
角度1：以高观点为背景
1．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，
给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数
列，如果 ，数列 为牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和
为 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·高二期中）对于数列 定义： ， ，
，…， （其中 ），称数列 为数列 的 阶差分数列.如果 （常数）
（ ），那么称数列 是 阶等差数列.现在设数列 是2阶等差数列，且 ， ，
，则数列 的通项公式为_________.
3．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二阶段练习）对给定的数列 ，记 ，则称数列
为数列 的一阶商数列；记 ，则称数列 为数列 的二阶商数列；以此类推，可得数列
的P阶商数列 ，已知数列 的二阶商数列的各项均为 ，且 ，则
___________．
4．（2022·上海·高二期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的正整数 都有 ,
且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有 （ 为常数,且 ）,它的
前 项和为 ,并且满足 ,令 ,记数列 的“上渐近值”为
,则 的值为 _____．
5．（2022·四川资阳·高一期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，通常是一个粗
糙或零碎的几何形状，并可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有
自相似的特征．如图，有一列曲线 ， ，…， ，…，且 是边长为1的等边三角形， 是对
进行如下操作而得到：将曲线 的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向
外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉 记曲线 的周长依次为 ， ，…， ，…，
则 ______．角度2：以给定定义、热点信息为背景
1．（2022·山东聊城·高三期中）若函数 使得数列 ， 为递增数列，则称函数 为
“数列保增函数”．已知函数 为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）对于数列 ，定义 为数列 的“好数”，已
知某数列 的“好数” ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的和构成
一个等比数列，则称该数列为“和等比”数列。已知“和等比数列 的前三项分别为 ，
，则数列 的前11项和 ________．
4．（2022·福建宁德·高三期中）对于数列{ }，若对任意 ，都有 ，则称该数列{ }为
“凸数列”．设 ，若 是凸数列，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提
出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相
等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，
26，37，则该数列的第19项为（ ）
A．290 B．325 C．362 D．399
角度3：考查开放、探究精神
1．（2022·上海·高二专题练习）如图，在边长为1的正三角形 中， ， ，
，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 正三角形 ，记
，则 __．2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45， 中的每一项都可用如图
所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
3．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）将正整数 分解为两个正整数 的积，即 ，当 两数
差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 即为6的最优分解，当 是 的最优分
解时，定义 ，则数列 的前100项和为___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学史有许多光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”就是其中十分精彩
的一页．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，
3，6，4，10，…，记这个数列的前 项和为 ，则 __________．
5．（2022·上海·华师大二附中高一期末）如图，在边长为1的正三角形ABC中， ，
， ，可得正三角形 ，以此类推可得正三角形 、…、正三角形 ，记
，则 ______．角度4：考查数学运算、数据分析得核心素养
1．（2022·山东青岛·高二期中）集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数
学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，
去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续
下去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况
下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在前 次操作中共去掉的线段长度之和不小于 ，则 的
最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（2022·北京师大附中高三阶段练习）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，
取一条长度为 的线段，第 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第 次操作，将留下的
两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过 次这样的操作后，
去掉的所有线段的长度总和大于 ，则 的最小值为（ ）
（参考数据： ， ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西省丰城中学高三阶段练习（理））杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官
员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：
．若正项数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 的通项公式为 ，则根据三角垛公式，可得数列 的前20项和
（ ）A．2620 B．2660 C．2870 D．2980
4．（2022·湖南·长沙市同升湖高级中学有限公司高三阶段练习）若 是函数
的极值点，数列 满足 ， ，设 ，记 表示不超过
的最大整数，设 ，若不等式 ，对任意 属于正整数都成立，则实数
的最大值为（ ）．
A．1011 B．1012 C．2022 D．1010
角度5：相近学科融合
1．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为
奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反
映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如
图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行
有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）
A．53 B．55 C．57 D．59
2．（2022·全国·高三专题练习）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和
音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间
的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根
弦）分别与雁柱曲线和直线 交于点 （ ， ）和 （ ， ），则 ( )
参考数据：取 .
A．814 B．900 C．914 D．10003．（2022·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年
(公元1584年)，他写成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1和2之间插
入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后
这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第5个数是插入的第1个数的 倍
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它
是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即
数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以
天文单位A．U.为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4得数列 ，可以发现 从第3项起，每
一项是前一项的2倍，则 ______， ______.
