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考向 51 变量间的相关
关系、统计案例
1．（2020·全国·高考真题（理））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽
率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由
实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y
和温度x的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】
由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.2．（2020·海南·高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市
空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中的 和 浓度（单位： ），
得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概
率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度
与 浓度有关？
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）有.
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得 列联表；
（3）计算出 ，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超
过150的天数有 天，
所以该市一天中，空气中的 浓度不超过75，且 浓度不超过150的概率为
；
（2）由所给数据，可得 列联表为：
合计
64 16 80
10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据 列联表中的数据可得
，
因为根据临界值表可知，有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有
关.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善 列联表，考查了独立性检验，属于
中档题.
1. 回归分析问题的类型及解题方法
(1)求回归方程
①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．
②利用公式，求出回归系数b.
③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
(3)利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数b.
(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线
性相关性越强．
2.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说
明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
3.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的
一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式χ2＝计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关
系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称
为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，
称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
n x x y y
i i
b i1
n x x 2
i $ a y $ bx
(2)回归方程为y＝bx＋a，其中 i1 ， .
(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的
平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表
明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很
强的线性相关性．
3．独立性检验(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x，x}和{y，y}，其样本频数列联表(2×2
1 2 1 2
列联表)如下：
y y 总计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c＋d
2
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判
断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
【常用结论】
(1)求解回归方程的关键是确定回归系数 a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点
(x－，y－)．
(2)根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有
关的把握越大．
(3)根据回归方程计算的b^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
1．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））已知某种商品的广告费支出
（单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程为 ，计算得 ，则当投入10万元广告费时，销售
额的预报值为（ ）
A．75万元 B．85万元 C．95万元 D．105万元
2．（2018·河北衡水中学一模（理））如图，5个 数据，去掉 后，下列
说法错误的是（ ）A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变
强
3．（2021·全国·模拟预测（理））已知对于一组数据 ， ，…，
， 关于 的线性回归方程为 ，若 ，则 ______．
4．（2021·四川内江·模拟预测（文））有人发现，多看手机容易使人近视，下表是
调查机构对此现象的调查数据：
近视 不近视 总计
少看手机
多看手机
总计
则在犯错误的概率不超过__________的前提下认为近视与多看手机有关系.
附表：
参考公式： ，其中 .
1．（2021·广东肇庆·模拟预测）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对
于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间
（单位：小时）与工资 （单位：元）之间的关系如下表：若 与 的线性回归方程为 ，预测当工作时间为 小时时，工资大约为（
）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．（2019·辽宁大连·一模）设有一个回归方程为 ，则变量 增加一个单
位时（ ）
A． 平均增加1.5个单位 B． 平均增加2个单位
C． 平均减少1.5个单位 D． 平均减少2个单位
3．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））为了了解山高 （km）与气温 （℃）的
关系，登山人员随机抽测了5次山高与相应气温，如下表：
气温（℃） 22 14 8
山高（km） 22 33 38 47 52
由表中数据，得到线性回归方程 ，由此估计山高 处气温大约为（
）
A． ℃ B． ℃ C． ℃ D． ℃
4．（2021·江西丰城·模拟预测（理））对四组数据进行统计，获得以下散点图，关
于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B．C． D．
5．（2021·山东菏泽·二模）下列说法错误的是（ ）
A．用相关指数 来刻画回归效果， 越小说明拟合效果越好
B．已知随机变量 ，若 ，则
C．某人每次投篮的命中率为 ，现投篮5次，设投中次数为随机变量 ．则
D．对于独立性检验，随机变量 的观测值 值越小，判定“两分类变量有关系”犯
错误的概率越大
6．（2021·河南·模拟预测（文））由一组样本点 、 、 、 、
，根据最小二乘法求得的回归方程为 ，则 ___________.
7．（2021·全国·模拟预测）某企业一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量 （万件） 2 3 4
单位成本 （元/件） 3 7
现根据表中所提供的数据，求得 关于 的线性回归直线方程为 ，则预测当
时单位成本为每件______元.
8．（2021·福建·漳州三中三模）根据下面的数据：
1 2 3 4
32 48 72 88
求得 关于 的回归直线方程为 ，则这组数据相对于所求的回归直线方程
的4个残差的方差为___________.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)
9．（2021·江西南昌·一模（理））2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处
于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的
10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，
从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数 300 400 500 600 700
感染人数 3 3 6 6 7并求得 与 的回归方程为 ，同期，在人数为10000的条件下，以拟合
结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为 ；注射疫苗后仍被感染的人数记为 ，
则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为 ；参考数据：
；结果保留3位有效数字）
10．（2020·广东·大沥高中模拟预测）某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的
前5个月的利润情况如下表所示：
第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月
利润（单位：万元） 1 11 27 51 80
设第i个月的利润为y万元．
（1）根据表中数据，求y关于i的方程 （ ， 的值要求保留小数点后
四位有效数字）；
（2）根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验
证，方法如下：先计算新数据 对应的残差 ，再计算 ，若
，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为
120万元，是判断(1)中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．
参考数据： ，取 ．
附：回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，
．
11．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））推进垃圾分类处理，是
落实绿色发展理念的必然选择．为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场
举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行
动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．
（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜
欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的 ，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女
性居民的 ，判断能否在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分
类志愿者与性别有关？
附： ， ．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直
线方程 ，数据统计如表：
志愿者人数x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量y（千克） 24 29 41 46 t
已知 ， ， ，根据所给数据求t，预测志愿者人数
为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量．
附： ， ．
12．（2021·云南大理·模拟预测（理））2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫
星发射中心用长征 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺
利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中
国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，
该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进
行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y
（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ，模型②：
；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为 ．
（1）根据下列表格中的数据，比较当 时模型①，②的相关指数 的大小，
并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元
时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿
元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投
入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数 ，且当 越大时，回归方程的拟合
效果越好． ．
用最小二乘法求线性回归方程 的截距： ．
1．（2011·江西·高考真题（理））变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),
(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),
(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1). 表示变量Y与X之间的线性相关系
数, 表示变量V与U之间的线性相关系数,则A． B． C． D．
2．（2014·重庆·高考真题（理））已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本
平均数 ， ，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是
A． B．
C． D．
3．（2015·湖北·高考真题（文））已知变量 和 满足关系 ，变量 与
正相关． 下列结论中正确的是
A． 与 负相关， 与 负相关
B． 与 正相关， 与 正相关
C． 与 正相关， 与 负相关
D． 与 负相关， 与 正相关
4．（2015·福建·高考真题（理））为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，
随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入 （万
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
元）
支出 （万
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
元）
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一
户收入为15万元家庭年支出为（ ）
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
5．（2011·湖南·高考真题（文））通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项
运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50总计 60 50 110
由
附表：
0．050 0．010 0．001
3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
6．（2011·陕西·高考真题（理））设（x，y），（x，y），…，（x，y）是变
1 1 2 2 n n
量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线
（如图），以下结论正确的是
A．直线l过点
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
7．（2011·辽宁·高考真题（文））调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万
元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关
关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程： =0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.
8．（2011·广东·高考真题（文））工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变
化的回归方程为 =50+80x，下列判断正确的是_______
①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80
元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生
产率为2千元．
9．（2015·全国·高考真题（文））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，
需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）
的影响，对近8年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46. 56 6.
289.8 1.6 1469 108.8
6 3 8
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费
x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下
列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：
10．（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分
为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件
产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
11．（2020·全国·高考真题（理））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，
野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200
个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据
(x，y)(i=1，2，…，20)，其中x和y分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：
i i i i
公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ，
， .（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种
野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(x，y)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
i i
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获
得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并
说明理由.
附：相关系数r= ， ≈1.414.
12．（2020·全国·高考真题（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天
的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200] (200，400] (400，600]
空气质量等级
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点
值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量
等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，
并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的
空气质量有关？
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.8281．B
【分析】
根据表中数据求出 和 ，从而求得样本中心 ，代入回归方程 后求得 ，再令 时，即
可求出销售额的预报值.
【详解】
解：由题意得 ，
，
∴样本中心为 ，
∵回归直线 过样本中心 ，
∴ ，解得： ，
∴回归直线方程为 ，
当 时， ，
故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
故选：B．
2．B
【分析】
根据图中的点，计算去掉 前后的相关系数、残差平方和、 ，即可判断各选项的正误.
【详解】
由图， ， ，则 ， ，，
∴相关系数 .
令回归方程 ，则 ，
∴ ，即回归方程为 ，可得 为 ， ，
， ， ，
∴残差平方和 ，故 ，
去掉 后，
， ，则 ， ，
，
∴相关系数 .
∴ ，A、D正确；
令回归方程 ，则 ，
∴ ，即回归方程为 ，可得 为 ， ，
， ，
∴残差平方和 ，故 ，∴ ，B错误，C正确；
故选：B
3．60
【分析】
求出 ，将 代入可求出 ，即可得出所求.
【详解】
由 可得 ，把 代入回归方程可得 ，
故 ．
故答案为：60.
4．
【分析】
根据列联表计算得 ，进而得答案.
【详解】
解:根据列联表计算 ,
所以在犯错误的概率不超过 的前提下认为近视与多看手机有关系.
故答案为：
1．B
【分析】
由样本中心点可求得 ，将 代入回归直线即可求得结果.
【详解】
由表格数据知： ， ，
， 线性回归方程为 ，
，即当工作时间为 小时时，工资大约为 元.故选：B.
2．C
【分析】
根据所给的回归直线的方程把自变量由 变为 时，表示出变化后 的值，两式相减即可求解.
【详解】
因为直线回归方程为： ①，
当变量 增加一个单位时 ②，
由② ①可得： ，
所以变量 增加一个单位时 平均减少1.5个单位，
故选：C.
3．B
【分析】
计算出 ，代入 ，求得 ，进而得解.
【详解】
由题得， ，
代入 ，解得
当 时， ， .
故选：B
4．A
【分析】
由给出的四组数据的散点图，结合相关系数的概念，逐图判定，即可求解.
【详解】
由给出的四组数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，相关系数大于0，
题图2和题图4是负相关，相关系数小于0，
题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以 接近于1， 接近于 ，
由此可得 ．故选：A．
5．A
【分析】
对于判断个命题真假，只要对各选项逐个判断即可.对于A相关指数越大说明拟合效果越好，题中说法相反；
对于B根据正态分布图像知 概率与 概率相同，即可判断 的概率为 ；对于C可以根据二项
分布 得出 从而求解；对于D根据独立性检验知识判断即可.
【详解】
对于A选项，相关指数越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好，故A错；
对于B选项，正态分布图像关于 对称，因为 概率为 ，所以 概率为 ，故 的概率为
，故B正确；
对于C选项，服从二项分布 ，因此 ，则 ，故C正确；
对于D选项，对于分类变量进行独立性检验时，随机变量 的观测值越小，则分类变量间越有关系的可信
度越小，故判定两分类变量约有关系发错误的概率越大，故D正确．
故选:A
6．
【分析】
求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程即可求得 的值.
【详解】
由已知条件可得 ， ，
将点 的坐标代入回归直线方程可得 ，解得 .
故答案为： .
7．9
【分析】
先求得 ， 代入线性回归直线方程 ，得 ，进而求得 ，代入 即可
求得结果.【详解】
由所给数据可求得 ， ，代入线性回归直线方程 ，得 ，
解得 ，
所以线性回归直线方程 ，当 时单位成本 （元/件）.
故答案为：9.
【点睛】
关键点点睛：线性回归直线方程 过（ ），求得 .
8．3.2
【分析】
把x的各个值代入回归直线方程，求出y的估计值，再计算出对应的残差，最后求出它们的方差得解.
【详解】
把x=1，2，3，4依次代入回归直线方程为 ，所得估计值依次为： ，
，
对应的残差依次为：0.8，-2.4，2.4，-0.8，它们的平均数为0，
所以4个残差的方差为 .
故答案为：3.2
9．
【分析】
先求出线性回归方程中 的值，从而可求 ，再根据题设中的计算方法可求疫苗的有效率.
【详解】
由题设表格中的数据可得 ，故 ，
故 ，而 ，
故疫苗有效率为 ，
故答案为： .
10．（1）
（2）可靠
【分析】
（1）设 ，求出 ， ， ，再由 即可求解.
（2）将 代入，求出 ，再求 即可求解.
（1）
解：设 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，
故 关于 的回归方程为 .
（2）
解：由（1）知，当 时， ，
因为 ，
所以（1）中求得的回归方程可靠.
11．
（1）能
（2） ，93.4千克
【分析】
（1）根据题意，列出2×2列联表，再根据 公式计算，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
（2）由表中数据和题中所给数据，可求出 的值，再根据参考公式求得线性回归系数 和 ，可得回归直
线方程为 ，再将 代入，即可求出结果．
（1）解：根据题意，列出的2×2列联表如下：
喜欢担任垃圾分类志愿者 不喜欢担任垃圾分类志愿者 合计
男性居民 10 20 30
女性居民 15 5 20
合计 25 25 50
，
所以，能在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关．
（2）
解：由表中数据可知， ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴回归直线方程为 ．
当 时， ．
所以当志愿者为10人时，垃圾分拣量大约为93.4千克.
12．（1）模型②拟合精度更高、更可靠， 亿；（2）投入17亿元比投入20亿元时收益小.
【分析】
（1）根据公式计算相关指数，再根据大小选择合适的模型，根据所得模型可求直接受益.
（2）根据（1）中的公式结合利润计算方法可求公司收益，从而可得两者的大小关系.
【详解】
（1）对于模型①，
对应的 ，
故对应的 ，
故对应的相关指数 ，
对于模型②，同理对应的相关指数 ，故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为 .
（2）当 时，
后五组的 ， ，
由最小二乘法可得 ，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
1．C
【详解】
第一组变量正相关，第二组变量负相关．
2．A
【详解】
试题分析：因为 与 正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心 ，故排除
选项B；故选A．
考点：线性回归直线.
3．A
【详解】
因为变量 和 满足关系 ，一次项系数为 ，所以 与 负相关；变量 与 正相关，设，所以 ，得到 ，一次项系数小于零，所以 与 负相关，故选A.
4．B
【详解】
试题分析：由题 ， ，所以
．
试题解析：由已知 ，
又因为 ，
所以 ，即该家庭支出为 万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
5．A
【详解】
由 ，而 ，故由独立性检验的意义可知选A
6．A
【详解】
试题分析：回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相
关系数的绝对值是小于1的，是在﹣1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制．
解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，
两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确，
两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，故C不正确，
所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确，
故选A．
点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，
是一个基础题．7．0.245
【详解】
当 变为 时， =0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245，而0.245x+0.321+0.245-
（0.245x+0.321）=0.245.因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元，本题填写
0.245.
8．②
【详解】
试题分析：回归方程 ═50+80x变量x增加一个单位时，变量 产生相应变化，从而对选项一一进行分
析得到结果．
解：劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．
①④不满足回归方程的意义．
故答案为②．
点评：主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单
位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．
9．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）（ⅰ） ；（ⅱ）46.24
【详解】
（Ⅰ）由散点图可以判断， 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型.
（Ⅱ）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = ，
∴ =563-68×6.8=100.6.
∴ 关于 的线性回归方程为 ，
∴ 关于 的回归方程为 .
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 =49时，年销售量 的预报值
=576.6，
.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当 = ，即 时， 取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
10．（1）75%；60%；
（2）能.
【分析】
根据给出公式计算即可
【详解】
（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为 ,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为 .
（2） ,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
11．（1） ；（2） ；（3）详见解析
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式 计算即可；
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】
（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为（2）样本 (i=1，2，…，20)的相关系数为
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】
本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容
易题.
12．（1）该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率分别为 、 、 、 ；（2）
；（3）有，理由见解析.
【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为 、 、 、 的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 列联表，计算出 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】
（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 的概率为 ，等级为 的概率为
，等级为 的概率为 ，等级为 的概率为 ；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3） 列联表如下：
人次 人次
空气质量不好
空气质量好，
因此，有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于
基础题.
