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考向 12 函数的图像
1．（2021·浙江高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时
的值可求.
【详解】
（1）可得 ，画出图像如下：，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】
关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
1.函数图象的画法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象
的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
2.图象变换法
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变
换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
3.识图的三种常用方法
（1）．抓住函数的性质，定性分析：
①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．（2）．抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
1．利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称
性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象――→y＝ － f (x )的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( － x )的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ － f ( － x )的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象――→y＝logx(a>0，且a≠1)的图象.
a
(3)伸缩变换
y＝f(x)――→y＝f(ax).
y＝f(x)――→y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象――→y＝ |f (x ) |的图象；
y＝f(x)的图象――→y＝ f ( | x | )的图象.
【知识拓展】
函数图象应用的常见题型与求解策略1．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数 ，则 的大致图象不
可能为（ ）
A． B．C． D．
2．（2021·重庆高三其他模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注
水时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·银川市第六中学高三其他模拟（文））已知函数 ，则下列图象错误
的是（ ）
A． 的图象： B． 的图象：C． 的图象： D． 的图象：
4．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）（多选题）为了得到函数 的图象，可将函数
的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
1．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）函数 （ 为常数， ， 为自然对数的底
数）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝3．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））函数 的图象向右平移1个单位长度
得到函数 的图象，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·浙江温州市·温州中学高三其他模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形
少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分
析函数解析式的特征已知函数 在 的大致图象如图所示，则函数 的解析式可能为（
）
A． B．C． D．
5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数 是定义在R上的周期为2的偶函数，当
，则函数 的图象与函数 的图象交点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2021·四川高三三模（理））函数 及 ，则 及
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·安徽淮北市·高三二模（文））《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍
堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体
对角面 截正方体可得两个壍堵，再沿平面 截壍堵可得一个阳马（四棱锥 ），
一个鳖臑（三个棱锥 ），若 为线段 上一动点，平面 过点 ， 平面 ，设正方体棱长为 ， ， 与图中鳖臑截面面积为 ，则点 从点 移动到点 的过程中， 关于 的函
数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·北京高三二模）已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵
坐标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）（多选题）若 图象上存在两点A，B关于原点对称，
则点对 称为函数 的“友情点对”(点对 与 视为同一个“友情点对”)若
恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
10．（2021·海南高三其他模拟）（多选题）由函数 的图象得到函数 的图象，正确
的变换方法有（ ）
A．将 的图象向左平移2个单位长度
B．将 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的9倍
C．先将 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，再向左平移1个单位长度
D．先将 的图象向右平移1个单位长度，将各点的纵坐标伸长到原来的3倍
11．（2021·四川成都市·成都七中高三三模（理））已知函数 ，若方程
有四个不同的根 ， ， ， ，则 的取值范围是______.
12．（2021·河南郑州市·高三三模（理））已知函数 ．（1）在平面直角坐标系中画出函数 的图象；
（2）若对 ， 恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，求
的最小值．
1．（2013·北京高考真题（理））函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对
称，则f(x)=（ ）
A． B． C． D．
2．（2015·全国高考真题（文））如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运
动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则函数的图像大致为（ ）A． B． C． D．
3．（2018·全国高考真题（文））函数 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
4．（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象
可能是A． B．
C． D．
5．（2013·湖南高考真题（文））函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2-4x+4的图象的交点个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2013·湖北高考真题（文））小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，
后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2017·天津高考真题（文））已知函数 ．设 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围是A． B．
C． D．
8．（2015·安徽高考真题（理））函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
9．（2015·北京高考真题（理））如图，函数 的图象为折线 ，则不等式
的解集是
A． B．
C． D．10．（2018·全国高考真题（理））设函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）当 ， ，求 的最小值．
1．【答案】C
【分析】
分类讨论 的取值，在不同情况下的解析式不同，则图像也不同，则可以判断出结果.
【详解】
①当 时， ，则A符合，C不符合；
②当 时， ，
若 ，即 或 时，则 ，即 ，则其图象为双曲线在x轴上方的部分，
若 ，即 时，则 ，即 ，则其图象为圆在x轴上方的部分，
故B符合；
③当 时， ，即 ，其图象表示为双曲线的上支，故D符合.
故选：C
2．【答案】A
【分析】
设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间t的函数
关系式即可判断得解.
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点 ，水面半径 ，此时水面高
度 ，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知， ，即 ，则注入水的体积为
，
令水匀速注入的速度为 ，则注水时间为t时的水的体积为 ，
于是得 ，
而 都是常数，即 是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是 ， ，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象
是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
3．【答案】C
【分析】
作出函数 ，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答
案.
【详解】
先作出 的图象，如图所示，
所以A正确；
对于B， 的图象 是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确；
对于C，当 时， 的图象与 的图象相同，且函数 的图象关于 轴对称，故
C错误；
对于D， 的图象与 的图象关于 轴对称而得到，故D正确.
故选：C.
4．【答案】BC
【分析】
根据函数图像变换求得结果.【详解】
解：由题意函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，
可得到函数 的图象，则 错误，B正确；
因为 ，
则将函数 的图象向上平移一个单位可得到函数 的图象，
则C正确，D错误.
故选：BC.
1．【答案】B
【分析】
考查函数 在 上的函数值符号，结合特殊值法、排除法可得出合适的选项.
【详解】
，排除A选项；
当 时， ，则 ，排除D选项；
因为 ，所以 ，根据指数函数的性质，对于 ， ，
因为 ，故 ，排除C选项.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．【答案】C
【分析】
通过奇偶性及特殊值分析即可
【详解】
A项为奇函数，排除，
B项，当 ， ，排除
D项 时 ，排除
故选：C
3．【答案】D
【分析】
根据函数图象的变换，求得函数 ，根据当 时，得到 ，可排除A、B；当
时，得到 ，可排除C，进而求解.
【详解】
由题意，可得 ，其定义域为 ，
当 时， ，函数 ，
故排除A、B选项；
当 时，0 ，故函数 ，故排除C选项；
当 时，函数 ，
该函数图象可以看成将函数 的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.故选：D.
4．【答案】B
【分析】
根据函数为非奇非偶函数排除A，C；设题干中函数图象与 轴交点的横坐标分别为 ，且 ，
且 ，利用数形结合分别判断 的零点可得出.
【详解】
根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与 轴交点的横坐标分别为 ，且 ，且 .
对于B，令 ，即 ，作出 和 的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数 的图象与 轴交点的横坐标满足 ，且 ，符合题意；
对D，令 ，即 ，作出 和 的函数图象，如图所示：由图象可知，函数 的图象与 轴交点的横坐标满足 ，且 ，故D不符合题
意.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数图象选择解析式，解题的关键是先判断奇偶性，再数形结合根据函数零点情
况判断.
5．【答案】A
【分析】
根据所给函数及其性质，画出对应的图像，直接观察交点即可得解.
【详解】
由 ，
可得当 ，
再根据函数 是定义在R上的周期为2的函数，
故可画出函数 的图象与函数 的图象，
根据图像知，共有6个交点，
故选：A.
6．【答案】B【分析】
讨论 、 确定 的单调性和定义域、 在y轴上的截距，再
讨论 、 ，结合 的单调性，即可确定函数的可能图象.
【详解】
当 时， 单调递减， 单调递减，所以 单调递增且定义
域为 ，此时 与y轴的截距在 上，排除C.
当 时， 单调递减， 单调递增，所以 单调递减且定义域为
，此时 与y轴的截距在 上.
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，故只有B符合要求.
故选：B.
7．【答案】B
【分析】
分析得出 ，可得出 ，求出 关于 的函数关系式，由此可得出合适的选
项.
【详解】
设 、 分别为截面与 、 的交点， ， ，平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以， ，同理可得 ， ，
所以， ，
所以， ，易知 ，
因此， .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，
结合解析式进行判断.
8．【答案】D
【分析】
根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 的等式，进而可求得实数
的值.
【详解】由题意可得 ，再将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ，
又因为 ，所以， ，整理可得 ，
因为 且 ，解得 .
故选：D.
9．【答案】BD
【分析】
根据所给新定义，进行转化，首先求出 时 关于原点对称的函数为 ，即
在 上有两解，构造函数 ，研究 的图像与性质，即可得解.
【详解】
首先求出 时 关于原点对称的函数为 ，
若要 恰有两个“友情点对”，
则 有两解，即 在 上有两解，
令 ，求导可得 ， ，
当 ， ， 为减函数，
当 ， ， 为增函数，
则 ，所以其图像为：
若要 在 上有两解，则 ，
故选：BD
【点睛】
本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定
计算量，属于中档题.本题的关键有：
（1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点；
（2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题.
10．【答案】ABC
【分析】
根据每个选项对图象的描述求出变换后的函数解析式，从而可选出正确答案.
【详解】
解析对于A，变换过程为 ，即 ，故A正确；
对于B，变换过程为 ，故B正确；
对于C，变换过程为 ，故C正确；
对于D，变换过程为 ，故D错误.
故选:ABC.11．【答案】
【分析】
设 < < < ，由 ， ，则问题转化为
，根据 ，求得范围即可.
【详解】
设 < < < ，则 ，
由图知 ， ，
当 时， 或4，则
故 ，易知其在 单减，
故故答案为：
【点睛】
关键点点睛：找到方程 四个不同的根 ， ， ， 之间的关系，将问题中的四个变量转化
为一个变量，即函数问题进行解决.
12．【答案】（1）作图见解析；（2）3．
【分析】
（1）按绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数，然后画出图象；
（2）由图象得 ，利用“1”的代换，由柯西不等式得最小值．
【详解】
（1） ，图像如下所示
（2）由（1）知， ，所以 ，利用柯西不等式．
所以 最小值为3．当且仅当 时等号成立．
【点睛】
思路点睛：本题考查含绝对值的函数的图象与最值，考查柯西不等式．含绝对值的函数一般用绝对值定义
分类讨论去掉绝对值符号，化函数为分段函数形式然后求解．求最值的关键是凑配出柯西不等式的形式，
然后应用不等式求得结论．
1．【答案】D
【详解】
与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为 ，
向左平移1个单位得 ，
即 ．
故选D．
2．【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可得 ,由此可排除C,D；当 时
点 在边 上， ， ，所以 ,
可知 时图像不是线段,可排除A,故选B.
考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力.
3．【答案】B
【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解： 为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函
数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图
象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4．【答案】D
【分析】
本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确
结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，函数
过定点 且单调递减，D选项符合；当 时，函数 过定点 且单调递增，
则函数 过定点 且单调递减，函数 过定点 且单调递增，各选项均不符
合.综上，选D.
【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论
的不同取值范围，认识函数的单调性.
5．【答案】C
【详解】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像，可知有两个交点.
6．【答案】C
【分析】
先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】
考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，
由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时
间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选C．
【点睛】
本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.
7．【答案】A
【详解】
满足题意时 的图象恒不在函数 下方，
当 时，函数图象如图所示，排除C,D选项；当 时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
8．【答案】C
【详解】
试题分析：函数在 处无意义，由图像看 在 轴右侧，所以 ， ，由
即 ，即函数的零点 ，故选C．考点：函数的图像
9．【答案】C
【详解】
试题分析：如下图所示，画出 的函数图象，从而可知交点 ，∴不等式
的解集为 ，故选C．
考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
10．【答案】（1）见解析（2）
【详解】
分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．
（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值
详解：（1） 的图像如图所示．（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 ，故
当且仅当 且 时， 在 成立，因此 的最小值为 ．
点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．
