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考点 20 导数的概念及其运算
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导
数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、
恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将
导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活
应用数学知识分析问题、解决问题的能力.
【基础知识回顾】
1. 导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个
0
常数A，则称f(x)在x＝x 处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x )．
0 0 0
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自
变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x 处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x ，f(x))处的切线的斜率，过点P的
0 0 0
切线方程为y－y＝f′(x )(x－x)．
0 0 0
3. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝ αx α － 1
续表
基本初等函数 导函数
f(x)＝sinx f′(x)＝ cos x
f(x)＝cosx f′(x)＝ － si n x
f(x)＝ex f′(x)＝ e x
f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝ a x ln a
f(x)＝lnx f′(x)＝
f(x)＝logx(a>0，且a≠1) f′(x)＝
a
4. 导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函
数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于
x u xy对u的导数与u对x的导数的乘积．
1、下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．e D．2
4、 设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为，则点M横坐标的
取值范围为(D )
A. B.
C. D.
5、下列求导过程正确的选项是( )
A.′＝
B．()′＝
C．(xa)′＝axa－1
D．(log x)′＝′＝
a
6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线 在 处的
切线斜率为-1，则 ___________.
7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知 ，设函数 的图象在
点（1， ）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________ .考向一 基本函数的导数
例1、求下列函数的导数
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
变式1、求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝.
变式2、求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)y＝xsincos.
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求
导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内
逐层求导，必要时可换元
考向二 求导数的切线方程
例2、(1)函数 的图象在点 处的切线方程为__________．
(2)函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
变式1、(1)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y)处的切线与“过”点P(x ，y)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x ，
0 0 0 0 0
y)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x )，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过
0 0
点P(x ，y)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
0 0
考向三 导数几何意义的应用
例3、已知函数 ， 和直线 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)是否存在 ，使直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线？如果存在，求出 的值；
如果不存在，请说明理由．
变式1、已知函数 是 的导函数，则过曲线 上一点
的切线方程为__________________．
变式2：若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．变式3、(2019常州期末） 若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝
________．
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A． B．a=e，b=1
C． D． ，
3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 .若 为奇函数，则曲线
在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线 在点 处的切线方程为____________．
5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：① ；② ；③
，则直线 ( )不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序
号）．
7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数 ，若曲线
在点 处的切线方程为 ，则 的值为_______.
8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线 在点 处
的切线为 ，直线 与 轴和直线 分别交于点 、 ，点 ，则 的面积取值范围为
_____．
