文档内容
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 .
·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高
·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ， ，则
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
2.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 最大值为
的
第1页 | 共6页A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
的
3.设 ，则“ ”是“ ”
A. 充分而不必要条件
.
B 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
5.已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.
6.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于
点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
第2页 | 共6页A. B. C. 2 D.
7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若
，则
A. -2 B. C. D. 2
8.已知函数 若关于 方程 恰有两个互异的实数解，
的
则 的取值范围为
A. B. C. D.
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第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 是虚数单位，则 的值为__________.
10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.
11. 曲线 在点 处的切线方程为__________.
12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
第3页 | 共6页棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
13. 设 ， ， ，则 的最小值为__________.
14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 __________.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利
息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分
层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
的
（Ⅱ）抽取 25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如
右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
第4页 | 共6页（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面
， ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原
点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心
第5页 | 共6页在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
20. 设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
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