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重难点 06 三角恒等变换（3 种考向）
【目录】
考向1：给角求值问题
考向2：给值求值问题
考向3：给值求角问题
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求
角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
α α
（2）商数关系： ＝tan ．
2．诱导公式
α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos ，tan（ +2k ）＝tan ，其中k Z．
公式二：sin（ + ）＝﹣sin ，cos（ + ）＝﹣cos ，tan（ + ）＝tan ．
α π α α π α α π α ∈
公式三：sin（﹣ ）＝﹣sin ，cos（﹣ ）＝cos ，tan（﹣ ）＝﹣tan ．
π α α π α α π α α
公式四：sin（ ﹣ ）＝sin ，cos（ ﹣ ）＝﹣cos ，tan（ ﹣ ）＝﹣tan ．
α α α α α α
π α α π α α π α α
公式五：sin（ ﹣ ）＝cos ，cos（ ﹣ ）＝sin ，tan（ ﹣ ）＝cot ．
α α α α α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ，tan（ + ）＝﹣cot ．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
α α α α α α
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝cos coαs ﹣βsin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝sin αcos β+cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝siαn coβs ﹣cαos sβin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
4．二倍角α 的β 正弦、余弦、正切公式
α β
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ；
2
（2）C 2 α：cos 2α ＝cos2 α ﹣sαin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ；
α
α α α α α
学科网（北京）股份有限公司 1（3）T ：tan 2 ＝ ．
2
三α 、题α 型方法
考向1：给角求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏南京·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若 ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测） 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数 .
（Ӏ）求函数 的单调递增区间；
（ӀӀ）若 ，求 的值.
6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数 的最小值是－
2，其图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 2（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
考向2：给值求值问题
一、单选题
1．（2023·湖北·统考二模）已知 ，则
（ ）
A． B．－1 C． D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ， ，则
=（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几
何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，
黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”，那
么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，
（黄金分割比），则 （ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 35．（2023·上海奉贤·统考一模）已知 ， ， ， ，满足 ，
， ，有以下 个结论：
①存在常数 ，对任意的实数 ，使得 的值是一个常数；
②存在常数 ，对任意的实数 ，使得 的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①不成立、②成立
C．结论①成立、②不成立
D．结论①、②都不成立
6．（2023·天津和平·统考二模）函数 的部分图象如图
所示， ，则下列四个选项中正确的个数为（ ）
①
②函数 在 上单调递减；
③函数 在 上的值域为 ；
④曲线 在 处的切线斜率为 ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．“ ， ”的否定是“ ， ”
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称
8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司 4A．存在 ， ，使
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
D．在 中，若 ， 则 的值为 或
三、填空题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则
________．
四、双空题
10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在 中，
，则 __________；点 是 上靠近点 的一个三等分点，
记 ，则当 取最大值时， __________．
五、解答题
11．（2023·天津·统考二模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知
， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
12．（2023·云南丽江·统考一模）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
学科网（北京）股份有限公司 513．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ， ．
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，c＝3，若向量
与 垂直，求 的周长．
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数 ，
且 ．
(1)求a的值和函数 在区间 上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若 ， ，求 的值．
15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 的图象如图所示．将
函数 的图象向左平移 个单位长度后得函数 的图象．
学科网（北京）股份有限公司 6(1)求 的解析式；
(2) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ，求
的面积．
考向3：给值求角问题
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 、 都是锐角，且 ，
，那么 、 之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角 ， ，
则 ______.
4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最
小的点.当三角形三个内角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都
学科网（北京）股份有限公司 7为 .已知点 为 的费马点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，且 ，则 的值为
__________.
三、解答题
5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点 关于 轴的
对称点为 ，求所有满足条件的 取值的集合 ；
（2）在 中，角 所对的边分别为 ，当角 为集合 中 的最小正数时，
， ，求边长 的值.
6．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围．
7．（2023·天津·校联考一模）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)设 ， ，求 和 的值．
学科网（北京）股份有限公司 88．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形
中， ， ，且 是边长为 的等边三角形， 交 于
点．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，设 ，求 ．
9．（2023·广东茂名·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足 .
(1)求A；
(2)若D为边BC上一点，且 ，试判断 的形状.
学科网（北京）股份有限公司 9
