2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页
，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时
，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P(A B)= P(A)+P(B)．
U
·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)= P(A)P(B)．
·圆柱的体积公式V =Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．
1
·棱锥的体积公式V = Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C ={xÎR|1£ x<3}，则(A C) B=
I U
A．2 B．2,3 C．-1,2,3 D．1,2,3,4
ìx+ y-2£0,
ï
ïx- y+2³0,
2．设变量x,y满足约束条件í 则目标函数z =-4x+ y的最大值为
x³-1,
ï
ï îy³-1,
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设xÎR，则“x2 -5x<0”是“|x-1|<1”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
第1页 | 共6页C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
x2 y2
5．已知抛物线y2 =4x的焦点为F ，准线为l，若l与双曲线 - =1 (a>0,b>0)的两条渐近线分
a2 b2
别交于点A和点B，且| AB|=4|OF |（O为原点），则双曲线的离心率为
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
6．已知a=log 2，b=log 0.2，c=0.50.2，则a,b,c的大小关系为
5 0.5
A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b
7．已知函数 f(x)= Asin(wx+j)(A>0,w>0,|j|<p)是奇函数，将y = f x的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且
æpö æ3pö
g
ç ÷
= 2，则 f
ç ÷
=
è4ø è 8 ø
A．-2 B．- 2 C． 2 D．2
ìx2 -2ax+2a, x£1,
8．已知aÎR，设函数 f(x)=í 若关于x的不等式 f(x)³0在R上恒成立，则a
îx-alnx, x>1.
第2页 | 共6页的取值范围为
A．0,1 B．0,2 C．0,e D．1,e
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
5-i
9．i是虚数单位，则 的值为_____________．
1+i
8
æ 1 ö
10．ç 2x- ÷ 的展开式中的常数项为_____________．
è 8x3 ø
11．已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
ìx=2+2cosq,
12．设aÎR，直线ax- y+2=0和圆í （q为参数）相切，则a的值为_____________．
îy =1+2sinq
(x+1)(2y+1)
13．设x>0, y >0, x+2y =5，则 的最小值为_____________．
xy
14．在四边形ABCD中，AD∥BC, AB=2 3, AD=5, ÐA=30°，点E在线段CB的延长线上
uuur uuur
，且AE = BE，则BD×AE =_____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b+c=2a，3csinB=4asinC．
第3页 | 共6页（Ⅰ）求cosB的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2B+ ÷的值．
è 6ø
16．（本小题满分13分）
2
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
3
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望
；
（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图，AE ^平面ABCD，CF∥AE, AD∥BC ，AD^ AB, AB= AD=1, AE = BC =2．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
（Ⅲ）若二面角E-BD-F 的余弦值为 ，求线段CF 的长．
3
18．（本小题满分13分）
x2 y2 5
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ．
a2 b2 5
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB与x轴的交点，点N 在y轴的
负半轴上．若|ON |=|OF |（O为原点），且OP^MN，求直线PB的斜率．
第4页 | 共6页19．（本小题满分14分）
设a 是等差数列，b 是等比数列．已知a =4,b =6，b =2a -2,b =2a +4．
n n 1 1 2 2 3 3
（Ⅰ）求a 和b 的通项公式；
n n
ì1, 2k <n<2k+1,
（Ⅱ）设数列c 满足c =1,c =í 其中kÎN*．
n 1 n b ,n=2k,
î
k
（i）求数列 a c -1 的通项公式；
2n 2n
2n
（ii）求åac nÎN* ．
i i
i=1
20．（本小题满分14分）
设函数 f(x)=excosx, g(x)为 f x的导函数．
（Ⅰ）求 f x的单调区间；
ép pù æp ö
（Ⅱ）当xÎ ê , ú 时，证明 f(x)+g(x) ç -x ÷ ³0；
ë4 2û è2 ø
æ p pö
（Ⅲ）设x 为函数u(x)= f(x)-1在区间ç 2np+ ,2np+ ÷内的零点，其中nÎN，证明
n è 4 2ø
p e-2np
2np+ -x < ．
2 n sinx -cosx
0 0
第5页 | 共6页第6页 | 共6页
