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第 1 节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S
＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝ | α | r
扇形面积公式 S＝lr＝ | α | r 2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设 α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝ ( x ≠ 0) .
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，
OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用 180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度.
答案 －
3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
答案 {－675°，－315°}
解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令
－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，
∴β＝－675°或β＝－315°.
4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)
是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案 －3
解析 因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得＝－.
解得y＝－3.
5.(2022·安徽五校联考)已知角θ的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边
上有一点P(4sin θ，cos θ)，θ∈，则tan θ＝________.
答案
解析 由题意知tan θ＝＝，故tan θ＝±，又θ∈，∴tan θ＝.
6.(2022·开封模拟)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.如图1，在半圆O中作出
两个扇形OAB和OCD，再从扇形OAB中剪下扇环形ABDC制作扇面(如图2).当
扇环形ABDC的面积与扇形OAB的面积的比值为时，扇面形状较为美观，则此
时扇形OCD的半径与半圆O的半径的比值为________.答案
解析 设∠AOB＝θ，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为r ，依题意，有＝，
1
即＝，
所以＝＝＝，
所以＝.
, 考点一 角的概念及其表示
1.(2021·合肥期末)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角α所表示的范围(阴影部
分)是( )
答案 C
解析 当k为偶数时，集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}与表示的角终边相同，位
于第一象限；当k为奇数时，集合
与表示的角终边相同，位于第三象限.
2.若角α是第二象限角，则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
答案 C
解析 因为α是第二象限角，
所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角.
所以是第一或第三象限角.
3.终边在直线y＝x上的角的集合为________
答案
解析 ∵在(0，2π)内终边在直线 y＝x上的角是，，与，终边相同的角分别为2kπ＋，2kπ＋＝(2k＋1)π＋，k∈Z，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为.
感悟提升 1.确定nα，(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角 α的范围，再写出nα或的范围，然后根据n的
可能取值讨论确定nα或的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法).
2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的
所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
考点二 弧度制及其应用
例1 (经典母题)一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积.
解 由已知得α＝，R＝10，
∴S ＝α·R2＝××102＝(cm2).
扇形
迁移1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝×10＝(cm)，
S ＝S －S ＝·l·R－·R2·sin
弓形 扇形 三角形
＝××10－×102×＝(cm2).
迁移2 (变条件)若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心
角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，
则l＝20－2R(0＜R＜10).
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
感悟提升 应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
训练1 (1)(2021·长沙质检)已知弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，则这条弧所
在的圆的半径为( )
A.1 B.2 C.π D.2π
(2)在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇
形的面积为________.答案 (1)D (2)
解析 (1)∵弧长4π的弧所对的圆心角为2弧度，∴＝2，解得r＝2π，
∴这条弧所在的圆的半径为2π.
(2)单位圆半径r＝1，200°的弧度数是200×＝.
∴l＝，S ＝lr＝××1＝.
扇形
考点三 三角函数的定义及应用
例2 (1)(2021·成都诊断)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半
轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(
)
A.sin α＝ B.cos 2α＝－
C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.不存在
(3)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan
α＝________.
答案 (1)B (2)A (3)－ 或－
解析 (1)由三角函数的定义，可得 cos α＝，则sin α＝±，cos 2α＝2cos2α－1＝
－，sin 2α＝2sin αcos α＝±，tan 2α＝±，所以选B.
(2)∵1弧度约等于57°，2弧度约等于114°，∴sin 2＞0.
∵3弧度小于π弧度，在第二象限，∴cos 3＜0.
∵4弧度小于弧度，大于π弧度，在第三象限，
∴tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4 ＜0.
(3)设P(x，y)，由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即
r＝，所以sin α＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±，当m＝时，r＝
2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝
－，所以cos α＝＝－，tan α＝.
感悟提升 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原
点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，
求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根
据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那
就要进行分类讨论求解.
训练2 (1)已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，
则cos 2θ＝( )
A.－ B.－ C. D.
(3)函数y＝的定义域为________________.
答案 (1)B (2)B
(3)(k∈Z)
解析 (1)由题意得⇒所以角α的终边在第二象限.
(2)设P(t，2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝.当t＞0时，cos θ＝；当t
＜0时，cos θ＝－.
因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－.
(3)∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈ (k∈Z).1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，
排除A、B，易知D错误，C正确.
2.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一
象限角.其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确.－400°＝
－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确.－315°＝－360°＋45°，从而－
315°是第一象限角，④正确.
3.(2022·西安调研)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( )
A.－ B.
C. D.
答案 D
解析 因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝
－＋＝.
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝|α|r2＝×4×r2，
解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
5.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A.B.
C.
D.
答案 D
解析 由图知，角α的取值集合为∪
＝∪
＝.
6.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A.－ B.± C.－ D.±
答案 C
解析 由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
综上sin α·tan α＝－.
7.(2021·哈尔滨质检)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角的终边在( )
A.第二、四象限
B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上
D.第二、四象限或x轴上
答案 D
解析 ∵|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，
∵|tan θ|＝－tan θ，∵tan θ≤0，
∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，
∴角的终边在第二、四象限或x轴上.故选D.
8.(2022·吕梁模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又
割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念
的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如
图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运
用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )
A.0.052 4 B.0.062 8
C.0.078 5 D.0.069 8
答案 D
解析 将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°，
因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，
所以90××1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π，
所以sin 4°≈≈0.069 8.
9.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是
________，最大负角是________.
答案 二 138° －222°
解析 ∵－2 022°＝－6×360°＋138°，
∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同.
∴－2 022°角是第二象限角.
与－2 022°角终边相同的最小正角是138°.
又138°－360°＝－222°，故与－2 022°角终边相同的最大负角是－222°.
10.若扇形的面积为，半径为1，则扇形圆心角的弧度数为________.
答案
解析 设扇形的圆心角为α，
∵扇形的面积为，半径为1，
∴＝α·12，
∴α＝.11.若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是
________.
答案 sin αOM>MP，故有sin α
