文档内容
第 06 讲 函数 的图象及其应用
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数 的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 函数 的图象及其应用（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
2、由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到的
函数图像关于原点对称，则函数 图像的一条对称轴的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的
函数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则函数 在 上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数 的图象，只需把函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数 的部分图象
如图所示，则 （ ）
A．0 B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数 的图象变换
例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数 的图象经过图象变换得到函数 的
图象，则这个变换过程为（ ）
A．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
B．向左平移 个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）
C．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度
D．把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），向左平移 个单位长度例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数 的图像，只需把函数 的
图像上所有的点（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数 的图象，只需把函数
的图像（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）要得到 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2．（2022·北京八中高一期中）要得到 的图象，只要将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有
的点的（ ）A．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
4．（2022·全国·高三专题练习）要得到 的图象，需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数 在 上的图象如图所示，现
将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数 的部
分图象大致如图所示．将函数 的图象向左平移 个单位后，所得
函数为偶函数，则 （ ）A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的部分图象如图所示，若
，且 ，则 ________．
题型归类练
1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数 （其中 ， ， 的部分
图象如图所示；将函数 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的
图象，则函数 在（ ）上单调递减．
A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，则下
列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的图象向右平移 个单位后得到 的图象
C． 在区间 的最小值为
D． 为偶函数
3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数 （ ， ， ）的部分图象，
将 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 ，再将所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则（ ）
A．函数 在 上单调递减 B．点 为 图象的一个对称中心
C．直线 为 图象的一条对称轴 D．函数 在 上单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示，
下列说法正确的是（ ）A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数
D．将函数 的图象向左平移 个单位可得到一个偶函数
5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 __________.
高频考点三：五点法作图
例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
x 5
0 2 0 0
(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；(2)将 的图象向右平行移动 个单位，得到 的图象.若 图象的一个对称中心为
，求 的最小值.
例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数 ， ．
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)说明此函数图象可由 的图象经怎样的变换得到.
题型归类练
1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：
x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数 的解析式；
(2)若关于x的方程 在区间 上有解，求实数m的取值范围？
(3)将函数 的图像向右平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图像，若函数 在区间 上恰有10条对称轴，求 的取值范围？
2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数
在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x
0
0 1 0 -1 0
0 0 0
(1)请填写上表的空格处，并画出函数 图像
(2)写出函数 的解析式，将函数 的图像向右平移 个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原
来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像，求 的解析式．
(3)在（2）的条件下，若 在 上恰有奇数个零点，求实数a与零点
个数n的值．
3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____；
(2)列表并作出函数f(x)在长度为一个周期闭区间上的简图；(3)说明这个函数图像可由y＝sinx的图像经过怎样的变换得到.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数 的部分图
象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象关于直线x＝ 对称
D． 的图象关于点 中心对称
例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数 ，
部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 对称
C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
角度1题型归类练
1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数 （其中 ）的图象如图所示，下列4个命题中错误的是（ ）
A．向左平移 个单位长度后图象关于y轴对称
B．向右平移 个单位长度后的图象关于坐标原点对称
C． 是它的一个对称中心
D．单调递减区间是
2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数
的部分图象如图所示．将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，则下列有关
与 的描述正确的有______．（填序号）
①方程 所有根的和为 ；
②不等式 的解集为 ，
③函数 与函数 图象关于 对称．
3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数 的
部分图象如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，求函数
的解的集合.
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数 ，将 的图象向右平移 个单
位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象.
(1)求函数 的解析式及单调递增区间；
(2)方程 在 上的根从小到大依次为 ，求 的值.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数 的图象相邻对
称轴之间的距离是 ，若将 的图象向右移 个单位，所得函数 为奇函数．
(1)求 的解析式；
(2)若关于x的方程 在 上有三个解，求a的取值范围．例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数 （ ， ， ）的部分
图象大致如图．
(1)求 的单调递增区间．
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍得到函数 的图象．若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的
取值范围．
角度2题型归类练
1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的对称中心；
(2)已知 ，函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 是 的一个零点，若
函数 在 （m， 且 ）上恰好有10个零点，求 的最小值；2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数 的部分图象如图
所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若方程 在 上有三个不相等的实数根
，求m的取值范围及 的值．
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）已知函数 的最小正周期为 ，且直线
是其图象的一条对称轴.将函数 的图象向右平移 个单位，再将所得的图象上每一点的纵
坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作 ，令函数 .
(1)求函数 的函数解析式；
(2)求函数 的最大值及相对应的 的值；
(3)若函数 在 内恰有2021个零点，其中常数 ， ，求常数 与 的值.
角度3：三角函数模型
例题1．（2022·江西景德镇·高一期中）某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度（单位：℃）随时
间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： ， ．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？
例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至
今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径
为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，简车上均匀分
布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以
盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为
．(1)求 ， ， ， 的值；
(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？
角度3题型归类练
1．（2022·山东山东·高一期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国
劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面
3m，一水斗从水面处的点 处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此
时水斗距离水面高度为h．
(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水
面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？
2．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，
轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 分钟．在圆周上均
匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计
时，旋转时间为t分钟．(1)当 时，求1号座舱与地面的距离；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在 这段时间内，H恰有三次取得最大值，
求 的取值范围．
3．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖
水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港
口水深y（米）与时间 （单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该
曲线可近似地看成函数图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船
底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此
港时间段的建议．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2019·天津·高考真题（文））已知函数 是奇函数，将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小
正周期为 ，且 ，则
第五部分：第 06 讲 函数 的图象及其应用
（精练）
一、单选题
1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位
长度，则所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））要得到函数 的图像，只需把函数
的图像（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位3．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知函数 ， 恒成立，
且 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））将偶函数 的图
象向右平移 个单位，得到 的图象，则 的一个单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·模拟预测（文））若将函数 图象上点的横坐标变为原来的2倍、纵坐
标不变，然后将所得图象沿x轴向左移 个单位长度，最后将所得图象沿y轴向上平移2个单位长度得到
函数 的图象，则下列说法中错误的个数是（ ）
①函数 的最小正周期是 ；
②函数 的最大值是2；
③函数 图象的一个对称中心是点 ；
④函数 在区间 上单调递增．
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2022·上海市七宝中学高一期中）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为
“同形”函数，给出下列四个函数： ， ， ，
，则“同形”函数是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
7．（2022·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广西贵港·模拟预测（文））已知函数 的部分图象如图
所示，下列说法错误的是（ ）
A． 在 上单调递减
B．该函数的初相是
C．该图象可由 的图象向左平移 个单位得到
D． 的图象关于直线 对称
二、填空题
9．（2022·陕西西安·三模（理））若函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数
的图象重合，则 的一个可能的值为___________；
10．（2022·河南·高三阶段练习（文））将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来
的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在 时恒成立，则实数m的最
大值是___．
11．（2022·全国·高三专题练习（理））定义运算“★”： ．设函数
，给出下列四个结论：① 是 的最小正周期；② 在有2个零点；③ 在 上是单调递增函数；④ 的图象可以由 的图象向右平移 个单
位长度得到．其中所有正确结论的序号是__________．
12．（2022·江西·二模（理））把 的图象向右平移 个单位，再把所得图象各点的横坐
标缩短为原来的 倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数 的图象，若
对 成立．
① 的一个单调递减区间为 ；
② 的图象向右平移 个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为 ；
③ 的对称中心为 ；
④若关于x的方程 在区间 上有两个不相等的实根，则n的取值范围为
．
其中，判断正确的序号是_________．
三、解答题
13．（2022·江西赣州·高一期中）已知函数 ．
(1)当 时，函数 的图象关于直线 对称，求 的值；
(2)在第一问的条件下，将 的图像向右平移 个单位得到函数 ，求 在 上的单调递增区
间．14．（2022·甘肃酒泉·高一期末）函数 的部分图象如图所示.
(1)求A， ， 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 ，且 ，求
的值.
15．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数 .
(1)在下列坐标系中，作出函数 在 上的大致图象；
(2)将函数 图象的横坐标伸长为原来的 倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数
在 上的值域.16．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习（文））已知函数 部分
图象如图所示．
(1)求函数 的解析式．
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，然后再向右平移 个长度单
位，得到函数 的图象关于y轴对称，求 的最小值．
(3)设函数 在区间 上有两个不同的零点 ，求 ．
