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华师大版九年级下册数学知识点总结
第二十六章 二次函数
一、二次函数概念：
1、 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax + bx + c （ a, b, c是常数，a丰0 ）的函数，叫做二次函数。
2
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 乂 0，而 b ,c 可以为零。二次函数的定义域是全体实数。
2、 二次函数 y = ax + bx + c 的结构特征：
2
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是 2。
⑵a, b, c 是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y = ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x > 0 时，y 随 x的增大而增大；
a > 0 向上 （ ） y 轴 x < 0 时，y 随 x的增大而减小；
0, 0
x = 0 时，y 有最小值 0。
x > 0 时，y 随 x的增大而减小；
a < 0 向下 （ ） y 轴 x < 0 时，y 随 x的增大而增大；
0, 0
x = 0 时，y 有最大值 0。
2. y = ax + c 的性质:
2
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x > 0 时，y 随 x的增大而增大；
a > 0 向上 （ ） y 轴 x < 0 时，y 随 x的增大而减小；
0, c
x = 0 时，y 有最小值 c。
x > 0 时，y 随 x的增大而减小；
a < 0 向下 （ ） y 轴 x < 0 时，y 随 x的增大而增大；
0 , c
x = 0 时，y 有最大值 c。
13. y = a ( x - h 匕 的性质:
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x > h 时，y 随 x的增大而增大； x < h 时，y 随
( )
a > 0 向上 h, 0 X=h x的增大而减小；
x = h 时，y 有最小值 0。
x > h 时，y 随 x的增大而减小； x < h 时，y 随
( )
a < 0 向下 h, 0 X=h x的增大而增大；
x = h 时，y 有最大值 0。
4. y = a ( x 一 h ) 2 + k 的性质:
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
( ) x > h 时，y 随 x的增大而增大；x < h 时，y 随 x
a > 0 向上 X=h
h, k
的增大而减小；x = h 时，y 有最小值 k。
( ) x > h 时，y 随 x的增大而减小；x < h 时，y 随 x
a < 0 向下 X=h
h, k
的增大而增大；x = h 时，y 有最大值 k。
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
( )
方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y = a x - h 2 + k，确定其顶点坐标(h, k )；
( )
⑵保持抛物线 y = ax2的形状不变，将其顶点平移到 h ,k 处，具体平移方法如下：
向上 ( k > 0 ) 【或向下 ( k <0 ) 】平移 Ik l 个单位 ”
y=ax
2+k
向右(h>0)【或左
向右(h>0)【或左
(h<0)】 平移lkI个单位
向右(h>0)【或左
(h<0)】 平移lkI个单位
(h<0)】 平移lkI个单位
向上(k>0)【或下
(k<0)】 平移Ikl个单位
y=a(x-h)2
y=a(x-
向上(k>0)【或下(k<0)】平移Ikl个单
h)2 +k
位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。 概括成八个字“左加右减，上加
下减”。
方法二：
⑴y = ax2 + bx + c 沿 y轴平移：向上(下)平移 m个单位，
y = ax + bx + c 变成 y = ax + bx + c + m (或 y = ax + bx + c 一 m)
2 2 2
2⑵y 二 ax2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m个单位，
y = ax + bx + c 变成 y = a（x + m） + b（x + m） + c （或 y = a（x 一 m） + b（x 一 m） + c ）
2 2 2
四、二次函数 y = a （ x - h ） + k与 y = ax + bx + c 的比较
2 2
（
从解析式上看，y = a x-h ）2 + k与 y = ax2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
(b ) =a x + — b 4ac 一 b
丿
I 2a
2
4a
,k =
五、 二次函数 y =
ax + bx + c 图象的画法
2
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax + bx + c 化为顶点式 y = a（x-h） + k，确定其开口方向、对称轴
2 2
（
及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 0,
） （ ） （ ） （ ） （ ）
c 、 以及 0, c 关于对称轴对称的点 2h，c 、与 x轴的交点 x , 0 ， x , 0 （若与 x轴没有交点，则
取两组关
12
于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y 轴的交点.
六、 二次函数 y = ax + bx + c 的性质
2
b 顶点坐标为（一
2
，込竺
1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x
2a 、2a 4a
=
当 x
<-2
时，y 随 x的增大而减小；当 x〉-2时，y 随 x的增大而增大；当 x
=
-2时，y 有最小值 2a 2a 2a
4ac
-
b
2
b 顶点坐标为 （-2, 二竺 b
2 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x
. = 2a 、2a 4a 当 x <-时， y 随 x 的
4a
4ac
增大而增大；当 x〉-2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x = -2 时，y 有最大值 一 b。
2a 2a 4a
七、 二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y = ax + bx + c （ a， b， c 为常数，a 丰 0）；
2
2. 顶点式： y = a（x 一 h） + k （ a， h， k 为常数，a 丰 0）；
2
3. 两根式： y = a（x - x ）（x - x ） （ a丰0， x ， x 是抛物线与 x轴两交点的横坐标）.
1 2 1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛
物线与 x 轴有交点，即 b2-4ac > 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种
形式可以互化.
八、 二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数 a
3二次函数 y = ax + bx + c 中，a作为二次项系数，显然 a丰0。
2
⑴当 a>0 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；
⑵当 a<0 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大。
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小。
2. 一次项系数 b
在二次项系数 a确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。
⑴在 a > 0 的前提下，
当 b > 0 时，-工< 0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；
2a
当 b = 0 时，丄=0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
2a
当 b < 0 时，丄 > 0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧。
2a
⑵ 在 a<0 的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当 b > 0 时，-2 > 0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；
2a
当 b = 0 时，丄=0，即抛物线的对称轴就是 y 轴；
2a
当 b < 0 时，-2 < 0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧。
2a
总结起来，在 a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置。
b
ab 的符号的判定：对称轴 x =- 在 y 轴左边则 ab > 0，在 y 轴的右侧则 ab < 0，概括的说就是“左 2a
同右异”
总结：
3. 常数项 c
⑴当 c>0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；
⑵当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；
⑶当 c<0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负。 总结起来，c决定了
抛物线与 y 轴交点的位置。
总之，只要 a ,b ,c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函
数的解析式必须根据题 目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 x 轴对称
y = ax + bx + c 关于 x轴对称后，得到的解析式是 y = -ax - bx - c ；
2 2
y = a ( x - h ) 2 + k关于 x轴对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h ) 2 - k ；
42. 关于 y 轴对称
y = ax + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax- bx + c ；
2 2
( ) ( )
y = a x - h 2 + k关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a x + h 2 + k ；
3. 关于原点对称
y = ax + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax + bx - c ；
2 2
( ) ( )
y = a x-h 2 + k关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a x + h 2 -k ；
4. 关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转 180°)
y = ax2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 -bx + c -— 2a
( ) ( )
y = a x - h 2 + k关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a x - h 2 + k。
( )
5. 关于点 m, n 对称
y = a ( x- h ) + k关于点 ( m, n ) 对称后，得到的解析式是 y =-a ( x + h - 2m ) 2 + 2n - k
2
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变。求抛物
a
线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线
(或 表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其
对 称抛物线的表达式。
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x轴交点情况)：
一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.
图象与 x 轴的交点个数：
( ) ( )
1 当 △ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x轴交于两点 A x，0 ，B x，0 (x丰x ) ，其中的 x，x 是一元二次方程
1 2 1 2 1 2
ax 2 + bx + c = 0 ( a丰0 )的两根。这两点间的距离 AB = |x - x |=「气甲竺.
2 1 |a|
2 当△ = 0 时，图象与 x轴只有一个交点；
3 当△<0 时，图象与 x轴没有交点.
1'当 a > 0 时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 y > 0 ；
2'当 a < 0 时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y < 0。
2. 抛物线 y = ax + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
2
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax2 + bx + c 中 a , b , c 的符号，或由二次函数中 a , b , c 的符号判断 图象
5的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x轴的一个
交 点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2
+ bx +
c（a丰 0）本身就是所含字母 x的二次函数；下
面
以 a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
y=3(x+4)2
/ y=2(x-4)2
y=2 x2+2
y=2 x2
-,y=2 x2-4
A> 0 抛物线与 x轴有 二次三项式的值可正、 一兀二次方程有两个不相等实根
可零、可负
两个交点
△ = 0 抛物线与 x轴只 二次三项式的值为非负 一兀二次方程有两个相等的实数根
有一个交点
A< 0 抛物线与 x轴无 二次三项式的值恒为正 一兀二次方程无实数根.
交占
二次函数图八像、参、考：
十一、函数的应用
6'刹车距离
二次函数应用 < 何时获得最大利润
最大面积是多少
第二十七章：《圆》
一、知识回顾
圆的周长：C=2nr 或。="小、圆的面积：S=nr2
圆环面积计算方法：S=nR2-nr2 或 S=n（R2—（2）（R 是大圆半径，r 是小圆半径） 二、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点 0 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做
圆弧，简称弧。
2、 垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、 角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、 到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、 到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
二、 点与圆的位置关系
1、点在圆内 = d < r n 点 C 在圆内；
2、点在圆上 n d 二 r n 点 B 在圆上；
3、点在圆外 n d > r n 点 A 在圆外；
三、 直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 n d > r n 无交点；
2、直线与圆相切 n d 二 r n 有一个交点;
3、直线与圆相交 n d R + r；
外切（图 2）= 有一个交点 n R — r < d < R + r = d 二 R + r ；
r
相交（图 3）=有两个交点
； n d = R — r ； n
内切（图 d 4）=有一个交点 内含（图 5）= 无交点
五、垂径定理 垂径定理：垂直 d < R—r ； 于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：
（1）平分弦（不是直
径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条
弧；
（2） 弦的垂
直平分线经过
圆心，并且平
分弦所对的两
条弧；
（3） 平分弦
所对的一条弧
的直径，垂直
平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个
结论
即：
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① AB 是直径 ②AB 丄 CD ③ CE = DE ④弧 BC 二弧 BD ⑤弧 AC 二弧 AD
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在 0 O 中，AB 〃 CD
D
.•.弧 AC =弧 BD O
A
六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆
心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推
3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相
等，则可以推出其它的 3 个结论 即：① ZAOB 二
ZDOE •，② AB = DE ；
③OC 二 OF •④ 弧 BA 二弧 BD
七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的
角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：•・• ZAOB 和 ZACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角
.•・ ZAOB 二 2ZACB
2、圆周角定理的推论：
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是
等弧；
即：在 0 O 中，•・• ZC、ZD 都是所对的圆周角
・•・ZC 二 ZD
C
推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的
弦 是直径。
即：在 0 O 中，•・• AB 是直径 或•・• ZC 二 90。
・•・ZC 二 90。 ・•・AB 是直径
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ ABC 中，• OC = OA = OB
・•・△ ABC 是直角三角形或 ZC 二 90。 A
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的
半的逆定理。
八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
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即:在 0 O 中，
•四边形 ABCD 是内接四边形
・•・ ZC +Z BAD 二 180。 ZB +Z D 二
180。
ZDAE 二 ZC
线；
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：•・• MN 丄 OA 且 MN 过半径 OA 外
端 ・•・MN 是 0 O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推
M A N
论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道
其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
A
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：•・• PA、PB 是的两条切线
.•・ PA 二 PB
PO 平分 ZBPA
十一、圆幂定理
（1） 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在 0 O 中，•・•弦
AB、CD 相交于点 P ,
・•・ PA - PB 二 PC - PD
（2） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。
即：在 0 O 中，• •直径 AB 丄 CD ,
.•・ CE = AE - BE
2
1
0
B C D更多资料请关注公众号【班班通教学平台】涵盖初一到初三的全科复习资料
（3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长
的比例中项。
即：在 0 O 中，•・• PA 是切线，PB 是割线
・•・ PA = PC - PB
2
（4） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的 交点
的两条线段长的积相等（如上图）。
P
即：在 0 O 中，• PB、PE 是割线
.•・ PC - PB 二 PD - PE
A
十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的
的公共弦。
D
如图：OO 垂直平分 AB。
12
.・・O O 垂直平分 AB
1 2
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1） 公切线长：RtAOO C 中，AB = CO 二 J OO —CO ；
2 2 2 2
1 2 112 2
（2） 外公切线长： CO 是半径之差； 内公切线长： CO 是半径之和
22
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在 0 O 中厶 ABC 是正三角形，有关计算在 RtABOD 中进行:
E
O
C
B
1
1
即：・・・0 q、0 O 相交于 A、B两点
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OD : BD : OB
二
1:
朽:2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 RtAOAE 中进行，OE : AE : OA = 1:1: 迈：
3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 RtAOAB 中进行，AB :OB :OA = 1:J3:2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
兀
,n R
1、扇形：（1）弧长公式：l =
180
c n兀 R 2
l
⑵扇形面积公式：S二顽
n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
1. 重点：
2、圆柱： (1)了解普查与抽样调查的概念，并能根据实际情况确定收集数据的
（1）A 圆柱侧面展开 方式； ⑵了解总体、个体、 样本等概念，能够指出研究对象的总
A
图
S 二 S + 2 S = 2 兀 rh + 2 兀 体、个体与样本；
r
2
⑶学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行
表 侧 底
抽样调查，用样本估 计总体; ⑷ 通过整理和分析数据，准
B 圆柱的体积：V = n r 2h B
确地作出决策。
2）A 圆锥侧面展开图
2. 难点：
S 二 S + S 二兀 Rr + 兀 r
21 正确识别问题中的总体、个体、样本、样本容量等，并
表 侧 底
能选择合适的样本看总体 ⑵能够对数据的来源，处理数据
B 圆锥的体积：V = 3
一兀 r
的方法，以及由此得到的结果进行合理的分析。
2h
3. 知识梳理：
知识点 内容关注 注意事项
总体是考察对象的主体，个体是组成
总体、个体、 样 样本容量是一个
总体的每一个对象，样本是总体中的一部
本、样本容量 样本中个体的数量
分个体，样本容量是样本包含的个体数量
普查是对所有对象进行调查，抽样调
普查与抽样 普查与抽样调查
查是对部分对象进行调查
调查 的范围不同
使样本具有代表性，不偏向总体中的 简单的随机抽样
某些个体，对每个个体都公平的方法，就 对总体中每个个体来
简单的 随机抽样
是用抽签的方法决定个体进入样本 说，被抽到的机会是
第二十八章 样本与总体
均等的
重点、难点：
1
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在抽样前，不能预测哪些个体会被抽 随机性是抽取样
随机性 中，这种不能事先预测结果的特性称为随 本具有代表性的重要
机性 保障
(1)样本在总体中
需有代表性；
用随机抽样的方法获取样本，且样本
抽样调查
⑵样本容量应该
容量合适时，由样本得出的特性会更接近
的可靠性
足够大；
总体的特性
⑶样本要避免遗
漏某一个群体
借助调查作 通过媒体收集信息，将信息进行全 分析角度不同，
面、科学地分析
决策 得到的结论也会不同
媒体中数据很多，有许多有用的信 考虑信息的时效 性、
容易误导决 策
息，但信息不一定可靠，要全面分析 可靠性和代表性
的统计图
1
3
